/5 MO 30: KRUŽNICA Kružnica: Kružnicu s stredm S a plmerm r > 0 nazývame mnžinu všetkých bdv X v rvine, pre ktré platí SX = r. bvd = O = πr Kruh: Mnžinu všetkých bdv X v rvine, pre ktré platí SX r nazývame kruhm s stredm S a plmerm r. Hranicu kruhu tvrí takzvaná hraničná kružnica. bsah = S = πr ( S dvdíme buď: integrálm aleb pmcu n-uhlníka (zväčšujeme n) limitne) Priemer: Priemerm kružnice(kruhu) rzumieme jednak čísl d = r, jednak každú úsečku dĺžky d, ktrej kncvé bdy ležia na kružnici(na hraničnej kružnici). V tmt chápaní je teda priemer špeciálny prípad tetivy kružnice. r = plmer Kružnicvý blúk: prienik kružnice a plrviny Výpčet dĺžky blúka pmcu priamej úmery: α v stupňch: πr... 360 O m... α πr O m = 360.α O m = dĺžka blúka α v radiánch: πr O m =.α π α je stredvý uhl = r.α Kruhvý výsek : prienik kruhu a uhla, ktrý má vrchl v strede kružnice S Výpčet bsahu kruhvéh výseku pmcu priamej úmery: α v stupňch: πr... 360 S v... α πr Sv = α 360 α v radiánch: πr r Sv = α =.α π S v je bsah kruhvéh výseku.
/5 Kruhvý dsek: prienik kruhu a plrviny S d = S v S πr = 360 α r sinα = r r sinα α = r ( α sinα)rad π = knštanta = 3,4 = Ludlfv čísl Medzikružie: Plcha hraničená dvmi sústredným kružnicami. S = π r π r = π ( r - r ) Opísaná kružnica: Kružnica písaná trjuhlníku ABC je kružnica prechádzajúca jeh trmi vrchlmi A, B, C. Každému trjuhlníku mžn písať kružnicu. Jej stred nájdeme ak priesečník sí strán trjuhlníka. Vpísaná kružnica: Kružnica vpísaná trjuhlníku ABC je kružnica ležiaca vnútri trjuhlníka ABC a dtýkajúca sa všetkých jeh strán. Každému trjuhlníku mžn vpísať jednu kružnicu. Jej stred nájdeme ak priesečník sí uhlv trjuhlníka. Pre plmer písanej kružnice, plmer vpísanej kružnice a statné prvky trjuhlníka platia nasledujúce základné vzťahy: abc r = 4S S ρ = a b c r = = = sinα sin β sin γ Kde r je plmer písanej kružnice, ρ je plmer vpísanej kružnice, S je bsah trjuhlníka, je jeh bvd, a, b, c sú dĺžky strán a α, β, γ sú veľksti vnútrných uhlv. Veta bvdvm a stredvm uhle: Veľksť každéh bvdvéh uhla prislúchajúceh blúku m sa rvná plvici veľksti stredvéh uhla prislúchajúceh blúku m. A,B rzdelia k na dva blúky C ľubvľný bd na k Stredvý uhl je práve jeden, bvdvých je neknečne veľa
3/5 Špeciálnym prípadm vety bvdvm a stredvm uhle je Talesva veta, ktrú dstaneme, keď za blúk m zvlíme plkružnicu. Talesva veta: Všetky bvdvé uhly nad priemerm sú pravé. Tetivy kružnice: Každá úsečka MN, ktrej kncvé bdy M a N ležia na kružnici, sa nazýva tetiva kružnice. Priemer PQ je tetiva prechádzajúca stredm S kružnice. Plmer kružnice je každá úsečka SP, SQ, SR, ktrej jeden kncvý bd je stred kružnice a druhý leží na kružnici. Vzájmná plha priamky a kružnice: Priamka v všebecnej plhe môže: pretínať kružnicu v dvch rôznych bdch - sečnica kružnice dtýkať sa kružnice v jednm splčnm bde - dtyčnica kružnice nebsahvať žiadne bdy kružnice - nesečnica kružnice. Priamka p je sečnicu kružnice, priamka t jej dtyčnicu a priamka r je nesečnicu kružnice. Dtyčnica ku kružnici je priamka klmá na plmer kružnice v bde dtyku. Dtyčnica kružnice nebsahuje žiadne vnútrné bdy kružnice. Existujú práve dve dtyčnice kružnice rvnbežné s danu priamku. Dôkaz: Stredm S kružnice k prechádza jediná klmica k na danú priamku. Priamka k je priemer kružnice klmý na hľadanú dtyčnicu v smere priamky. Pretína kružnicu v dvch rôznych bdch, ktré sú dtykvými bdmi dvch dtyčníc kružnice v danm smere.
4/5 Existujú práve dve dtyčnice kružnice prechádzajúce jej vnkajším bdm. Dôkaz: Dtyčnica kružnice je klmá ma plmer kružnice v bde dtyku. Trjuhlník RST určený stredm kružnice, vnkajším bdm R a bdm dtyku T je pret pravuhlý, s pravým uhlm pri vrchle T a prepnu SR. Bd dtyku teda leží na Tálesvej kružnici s priemerm SR. Tálesva kružnica pretína danú kružnicu k v dvch rôznych bdch, ktré sú dtykvými bdmi dvch dtyčníc prechádzajúcich vnkajším bdm R kružnice. Vzájmná plha dvch kružníc: Uvažujme dve kružnice k (S, r ), k (S, r ), r > r S S a r + r < S S - kružnice nemajú splčné bdy, každá leží v vnkajšej blasti tej druhej S S a r + r = S S - kružnice majú vnkajší dtyk S S a r - r < S S < r + r kružnice sa pretínajú v dvch splčných bdch S S, S S = r - r menšia z kružníc leží v vnútrnej blasti druhej a majú splčný vnútrný dtyk. S S, S S < r - r menšia z kružníc leží v vnútrnej blasti druhej a nemajú splčné bdy X ρ, r S X r nazývame S = S, r r kružnice sú sústredné. Oblasť { } medzikružím. S = S, r =r kružnice sú ttžné Veta mcnsti bdu ku kružnici: Nech k(s,r) je kružnica v rvine a M bd neležiaci na tejt kružnici. Nech p, q sú dve sečnice kružnice k prechádzajúce bdm M a pretínajúce kružnicu k v bdch P, P, Q, Q. Ptm platí: P M P M = Q M Q M = SM r Veta Aplónivej kružnici: Nech A, B sú dva bdy rôzne bdy rviny, k R + { }. Mnžina všetkých bdv X v rvine, pre ktré platí AX =k BX je kružnica s stredm na priamke AB. Nazýva sa Aplóniva kružnica.
5/5 Dôkaz vety bvdvm a stredvm uhle {C}= plpriamka AS prienik s k BCS rvnstranný uhl SBC= α Uhl CSB, teda φ = 80 - α a zárveň φ =80 - ω ω= α Plpriamka CS prienik k, vznikne bd D ω + ω = ω α + α = α φ +φ =φ φ =80 - α =80 - ω φ =80 - α =80 - ω α =ω α =ω ω + ω =(α + α )= α