Konštrukcia mnohouholníkov s využitím množín všetkých bodov danej vlastnosti

Ma-Ko-02-T List 1 Konštrukcia mnohouholníkov s využitím množín všetkých bodov danej vlastnosti RNr. Marián Macko U: pomínaš si zo základnej školy na konštrukciu pravidelného šesťuholníka so stranou a dĺžky 3 centimetre? Ž: Je celkom zaujímavá. Na postup konštrukcie pravidelného šesťuholníka sa nedá zabudnúť. Na kružnici s polomerom 3 centimetre si zvolím bod a od neho nanesiem šesť rovnakých oblúčikov. Využijem k tomu kružnice s polomerom 3 centimetre. E F 3 cm 3 cm Ž: Prečo sa pýtate? U: Pretože sa budeme zaoberať konštrukciou mnohouholníkov. Ž: Teda aj štvorcov, rovnobežníkov a lichobežníkov? U: Áno, veď aj to sú mnohouholníky. Je zaujímavé, že všetky, ktoré si vymenoval, sú zároveň štvoruholníkmi. Ž: Jasné! Veď s týmito útvarmi sa v rôznych úlohách stretávam asi najviac. Často som počítal ich obvody, obsahy, veľkosti vnútorných uhlov... le teraz, ak som dobre porozumel, sa budeme zaoberať ich konštrukciou. U: Veru tak. Na úvod však nezaškodí pripomenúť si základné charakteristiky týchto rovinných útvarov. Začnime rovnobežníkom. ko by si ho charakterizoval? Ž: Rovnobežník je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú na navzájom rovnobežných priamkach. b a a a

Ma-Ko-02-T List 2 U: Na predchádzajúcom obrázku sú okrem rovnobežníka aj jeho špeciálne prípady a to obdĺžnik a štvorec. Čím sa vyznačujú? Ž: Obdĺžnik je rovnobežník, ktorého všetky vnútorné uhly sú pravé. To znamená, že susedné strany obdĺžnika sú na seba kolmé. k navyše susedné strany obdĺžnika majú rovnakú dĺžku, vznikne štvorec. U: Existuje ešte jeden špeciálny prípad rovnobežníka. Jeho susedné strany sú rovnako dlhé. Ž: Zrejme máte na mysli kosoštvorec. Jeho uhlopriečky, podobne ako v štvorci, sú na seba kolmé. U: čo lichobežník? Ž: Na rozdiel od rovnobežníkov, u lichobežníkov stačí, ak iba dve jeho protiľahlé strany ležia na navzájom rovnobežných priamkach. c a U: Pripomeniem, že tieto dve strany nazývame základne lichobežníka a zvyšné dve strany sú ramená lichobežníka. týmito pojmami sa veľmi často stretneš v úlohách o lichobežníkoch. U: Nemali by sme však zabudnúť na to, že aj trojuholník patrí medzi mnohouholníky. Je to mnohouholník s najmenším počtom strán. k ovládaš konštrukcie trojuholníka, tak konštrukcia štvoruholníka by pre teba nemala byť až takým problémom. Ž: ko súvisia konštrukcie štvoruholníkov s trojuholníkmi? U: Každý konvexný štvoruholník predsa vieme rozdeliť na dva neprekrývajúce sa trojuholníky. Vo väčšine prípadov treba postupne narysovať každý z týchto trojuholníkov, a tak dostaneme štvoruholník. amozrejme, že sú aj prípady, keď v štvoruholníku musíme nejaké úsečky dokresľovať. j vtedy však získame trojuholník, konštrukcia ktorého je východiskom k celému štvoruholníku. Ž: Mohli by sme to vyskúšať na príklade? U: V poriadku. Zadám pomerne jednoduchú úlohu. Máme zostrojiť rovnobežník, ak sú dané dĺžky uhlopriečok a a dĺžka a strany. Ž: obre, ale nezadali ste žiadne číselné hodnoty. U: aná úloha je parametrická. Jej dôležitou súčasťou bude diskusia, ktorá je však poslednou fázou konštrukčnej úlohy. Začnime preto prvou fázou konštrukčnej úlohy, ktorou je rozbor. Obsahuje náčrt rovnobežníka. V náčrte sú farebne vyznačené zadané úsečky. a

Ma-Ko-02-T List 3 Ž: Mali ste pravdu. Je to jednoduchá úloha. tačí narysovať trojuholník, kde bod je priesečníkom uhlopriečok. ody a už nájdem pomerne ľahko. U: No, vidíš! V náčrte si objavil trojuholník, ktorého konštrukcia vedie k narysovaniu rovnobežníka. Poďme však od začiatku. To, že najskôr narysujeme trojuholník sa premietne do známych a hľadaných bodov rovnobežníka. kús ich vymenovať. Ž: Za známe body budem považovať body a. Hľadanými bodmi rovnobežníka budú body, a. U: ko nájdeš bod, ak body a sú známe? Ž: od je stredom uhlopriečky, takže úsečka má dĺžku. Preto zostrojím kružnicu k 1 so stredom v bode a polomerom. Rovnako viem zdôvodniť, že vzdialenosť 2 2 bodu od bodu je polovicou dĺžky uhlopriečky. Preto zostrojím kružnicu k 2 so stredom v bode a polomerom. od získam ako priesečník týchto dvoch kružníc. 2 k 1 k 2 a U: Tieto podmienky môžeme pomocou matematickej symboliky zapísať tak, ako je to uvedené v nasledujúcej tabuľke. = k 1 ; k 1 (; 2 = k 2 ; k 2 (; 2 k 1 k 2 U: Potrebujeme zostrojiť ešte body a rovnobežníka. ) 2 ) 2 Ž: Na ich konštrukciu využijem stredovú súmernosť. tredom súmernosti je priesečník uhlopriečok rovnobežníka. U: Prečo? Ž: Veď sme povedali, že bod je zároveň stredom uhlopriečok a. Vzdialenosť je taká istá ako vzdialenosť. Rovnaké sú aj dĺžky úsečiek a. Preto sa v stredovej súmernosti so stredom v bode zobrazí bod do bodu a bod sa zobrazí do bodu. = : = :

Ma-Ko-02-T List 4 U: Rozbor konštrukčnej úlohy si zvládol celkom dobre. Verím, že takto zvládneš aj druhú fázu konštrukčnej úlohy. Ž: Máte na mysli zápis konštrukcie? U: Áno. Zápis konštrukcie je vlastne postupnosťou krokov, ktoré musíme vykonať, aby sme sa od známych bodov dopracovali k výslednému útvaru. Popisuje geometrické útvary, pomocou ktorých zostrojíme neznáme body hľadaného rovnobežníka. Ž: le to potom dosť súvisí s rozborom úlohy. U: Máš pravdu. Zápis konštrukcie je ucelenejšou a prehľadnejšou formou vyjadrenia myšlienok z rozboru. Pokús sa o to najskôr slovne. Ž: Najskôr narysujem úsečku zadanej dĺžky. Na to, aby som získal bod, potrebujem zostrojiť dve kružnice. Jedna kružnica bude mať stred v bode a jej polomerom bude polovica zadanej dĺžky uhlopriečky. tredom druhej kružnice bude bod a jej polomer bude polovicou zadanej dĺžky uhlopriečky rovnobežníka. le tieto dve kružnice sa mi pretnú v dvoch bodoch. Získam teda dve riešenia pre priesečník uhlopriečok. U: To, koľko riešení má úloha, nie je v zápise konštrukcie podstatné. Rozbor a zápis konštrukcie majú ukázať, ako vôbec nájdeme aspoň jedno riešenie úlohy. Či toto riešenie existuje, alebo je ich viac, budeme analyzovať v poslednej fáze konštrukčnej úlohy. Pokračuj teda v slovnej formulácii zápisu konštrukcie. Získal si bod. Čo ďalej? Ž: obre, porozumel som. V stredovej súmernosti so stredom v bode zobrazím bod. Získam takto bod. od je obrazom bodu, tiež v stredovej súmernosti podľa bodu. tačí mi spojiť zodpovedajúce vrcholy a mám rovnobežník. U: účasťou tejto fázy riešenia konštrukčnej úlohy je aj vlastná konštrukcia. Urobili by sme ju v prípade, keď v zadaní úlohy sú určené číselne hodnoty všetkých veličín. Naša úloha však patrí medzi parametrické, preto v jej riešení bude dôležitá diskusia. 1. ; = a ) 2. k 1 ; k 1 (; 2 ) 3. k 2 ; k 2 (; 2 4. ; k 1 k 2 5. ; : 6. ; : 7. U: Treťou fázou konštrukčnej úlohy je dôkaz správnosti konštrukcie. Máme v ňom overiť, či nutné podmienky z rozboru sú aj postačujúce pre konštrukciu rovnobežníka. Ž: Čo to znamená? U: V našom prípade ide o zdôvodnenie, že každý rovnobežník, ktorý zostrojíme podľa uvedeného postupu konštrukcie, má stranu dĺžky a, ako aj uhlopriečky a požadovanej veľkosti.

Ma-Ko-02-T List 5 Ž: To, že strana má dĺžku a centimetrov vyplýva predsa z prvého kroku konštrukcie. U: Máš pravdu. Podobne zdôvodníme aj zvyšné úsečky. Podľa kroku 4. konštrukcie sme bod zostrojili ako priesečník dvoch kružníc. Jedna kružnica, ako to vyplýva z kroku 2. konštrukcie, má polomer rovný polovici uhlopriečky a polomer druhej kružnice je podľa kroku 3. rovný polovici uhlopriečky. Ž: ha! Teda úsečky a majú polovičnú veľkosť ako zadané uhlopriečky. le podľa 5. kroku konštrukcie bod zostrojíme ako obraz bodu v osovej súmernosti podľa stredu. Z toho vyplýva, že úsečka má požadovanú veľkosť. ĺžku uhlopriečky vieme zdôvodniť analogicky. Využijeme však 6. krok konštrukcie. U: To znamená, že podľa zápisu konštrukcie narysujeme rovnobežník s úsečkami požadovaných veľkostí. Ž: le, čo ak si zvolím také číselné hodnoty, že žiaden rovnobežník nedostanem? U: Vieš povedať, kedy sa to môže stať? Od konštrukcie ktorého neznámeho bodu závisí počet riešení úlohy? Ž: ôležitý je predovšetkým bod. ody a získame už jednoznačne pre každý priesečník uhlopriečok a. k bod však nezostrojíme, tak nezostrojíme ani body a. U: Ideš na to veľmi dobre. Pre počet riešení úlohy je rozhodujúca existencia trojuholníka. Keďže bod získame ako priesečník dvoch kružníc, počet riešení úlohy závisí od počtu spoločných bodov kružníc k 1 a k 2. Pozri sa ešte raz na posledný obrázok. Ž: Tak toto náhodou viem veľmi dobre. Kružnice sú nesústredné, preto môžu mať dva alebo jeden spoločný bod, alebo sa nepretnú. Teda úloha môže mať dva, jedno alebo žiadne riešenie. U: Trochu som ťa zmiatol. Je pravda, že kružnice môžu mať jeden spoločný bod, ale mám dojem, že vtedy rovnobežník nezostrojíš. Ž: Jasné! Kružnice by sa vtedy dotýkali. od by ležal na úsečke, ale priesečník uhlopriečok rovnobežníka nemôže ležať na žiadnej jeho strane. U: Úloha môže mať teda dve, alebo žiadne riešenia. ko to súvisí s dĺžkami úsečiek v zadaní úlohy? Ž: by sa kružnice pretli v dvoch bodoch, musí byť súčet ich polomerov väčší ako dĺžka strany a. Teda 2 + 2 U: Nezabudni, že ide o konštrukciu trojuholníka. Musia teda platiť aj zvyšné dve nerovnosti pre dĺžky jeho strán, a to 2 > a. + a > 2, a + > 2 2. k platia tieto tri nerovnosti, tak riešením úlohy sú dva rovnobežníky.

Ma-Ko-02-T List 6 Ž: To znamená, že ak aspoň jedna z týchto nerovností neplatí, tak úloha nemá riešenie. Neexistuje rovnobežník s požadovanými vlastnosťami. U: právne. Tým sme zvládli aj poslednú fázu konštrukčnej úlohy, ktorú nazývame diskusia. Nezabudni, že túto fázu robíme iba vtedy, keď je zadaná úloha parametrická. V parametrickej úlohe nie je zadaná číselná hodnota aspoň jednej zo zadaných veličín mnohouholníka.

Ma-Ko-02-1 List 7 Príklad 1: aná je kružnica k(; 4 cm). Zostrojte štvoruholník so stranou dĺžky 6 centimetrov a uhlom β = 60, ak priesečník jeho uhlopriečok má od stredu kružnice k vzdialenosť v = 2,5 cm. Kružnica k je štvoruholníku opísaná. Ž: Najskôr urobím náčrt, v ktorom farebne vyznačím zadané prvky. Priesečník uhlopriečk a označím symbolom U. r U v 60 U: ko by si začal samotnú konštrukciu? Teda, ktoré prvky by si považoval za známe? k Ž: Mal by som začať kružnicou k a stranou štvoruholníka. Hľadanými bodmi sú preto body, a priesečník U uhlopriečok. U: Predpokladám, že vieš ako umiestniť úsečku dĺžky 6 centimetrov do kružnice k. Ž: Na kružnici si zvolím bod. od dostanem ako priesečník kružnice k a kružnice k, ktorá bude mať stred v bode a polomer 6 centimetrov. Tým zabezpečím dĺžku úsečky. Teraz mi napadlo, že získam dva takéto body. U: Umiestnenie úsečky považujeme v tejto úlohe za známe. Z toho dôvodu nás druhý priesečník týchto kružníc nebude zaujímať. Úlohu teda vyriešime iba pre jedno umiestnenie úsečky. Jej konštrukciu navyše považujeme za základnú, preto ju v zápise uvedieme iba v jednom kroku. Poďme teda na podmienky pre bod. Pozri sa na obrázok. Ž: Jedna podmienka je jednoduchá. od patrí kružnici k, lebo je opísaná štvoruholníku. Navyše viem veľkosť uhla. Preto zostrojím uhol X veľkosti 60 stupňov. od teda získam ako priesečník kružnice k a polpriamky X. U: Zo zvyšných dvoch hľadaných bodov nájdeš ako prvý v poradí priesečník U uhlopriečok. Popíš ako! Ž: Keďže je to priesečník uhlopriečok, tak určite patrí uhlopriečke. pojím teda body a. le ako mám využiť jeho vzdialenosť od stredu kružnice k? To mám zostrojiť nejakú priamku?

Ma-Ko-02-1 List 8 U: Trochu rozmýšľaj. tred kružnice máš daný. Priesečník U má od tohto pevného bodu vzdialenosť 2,5 centimetra. Kde ležia body, krorých vzdialenosť od daného bodu je konštantná? Ž: Veď to je triviálne. ko som mohol na to neprísť. Priesečník U uhlopriečok bude ležať na kružnici l so stredom v bode a polomerom 2,5 centimetra. U: Presne tak. od U teda získame ako priesečník úsečky a kružnice l. Na nasledujúcom obrázku máš všetky tieto množiny bodov vyznačené. Z obrázka navyše zistíš, že bod zostrojíš ako priesečník kružnice k a polpriamky U. 1 X U 1 U 2 l 60 k Ž: Nebola to náročná úloha. ala sa pochopiť. U: Počkaj, ešte nie sme na konci jej riešenia. Podmienky pre hľadané body zapíšeme prehľadne do tabuľky. Urobím to ja, ty potom zapíš postup konštrukcie.

Ma-Ko-02-1 List 9 1. k(; 4 cm) 1. = 60 X, X = 60 k X 1. U 2. U = 2,5 cm U l(; 2,5 cm) U l 1. k 2. U U k U Ž: o zápisu konštrukcie v podstate zhrniem všetko čo sme už povedali. Môžete si to prezrieť v nasledujúcej tabuľke. 1. k; k(; 4 cm) 2. ;, k, = 6 cm 3. X; X = 60 4. ; k X 5. l; l(; 2,5 cm) 6. U; U l 7. ; k U 8. U: Na nasledujúcom obrázku si môžeš pozrieť konštrukciu hľadaného štvoruholníka.

Ma-Ko-02-1 List 10 1 X U 1 2 U 2 l k Ž: Úloha má teda dve riešenia.

Ma-Ko-02-2 List 11 Príklad 2: Zostrojte rovnobežník, ak je dané a = 6 cm, výška v a = 3 cm a = = 120, kde je priesečník uhlopriečok rovnobežníka. Ž: Urobím si náčrt rovnobežníka a farebne vyznačím zadané prvky. v a 120 a U: Väčšina úloh o mnohouholníkoch súvisí s konštrukciou trojuholníka. Je to tak aj v tomto prípade. Ž: si máte na mysli trojuholník. Poznám stranu a uhol oproti tejto strane. To sa dá narysovať? U: Využi aj výšku rovnobežníka. Vieš predsa, že bod je priesečník uhlopriečok rovnobežníka. Ž: Máte pravdu. od je stredom uhlopriečok, preto má od priamky vzdialenosť rovnú polovici výšky rovnobežníka. U: V trojuholníku budeme za známe vrcholy považovať body a. Hľadaným bodom je bod. Vieš vyjadriť podmienky pre tento bod? Ž: Keďže výška na stranu má dĺžku rovnú polovici v a, tak bod patrí priamke rovnobežnej s priamkou. Vzdialenosť týchto priamok je v a = 1,5 cm. ko využijem uhol veľkosti 2 120 stupňov potrebujem poradiť. U: pomínaš si na stredový a obvodový uhol? Ž: Pripomeňte mi, o čo ide? U: Vrchol trojuholníka je bodom, z ktorého vidíme úsečku pod uhlom 120 stupňov. Množinou všetkých bodov X v rovine, z ktorých vidíme úsečku pod uhlom 120 stupňov, je zjednotenie menších oblúkov dvoch kružníc. Oblúky prislúchajú tetive a stredmi kružníc sú také body O, že nekonvexný uhol O má veľkosť 240 stupňov. Ž: kde sú tam stredové a obvodové uhly? U: Zadaný uhol je obvodovým uhlom prislúchajúcim tetive kružnice a uhol O je k nemu stredový. Navyše vieme, že stredový uhol má vždy dvojnásobnú veľkosť ako obvodový. Preto má nekonvexný uhol O veľkosť 240 stupňov. Množinu bodov X tejto vlastnosti označíme písmenom µ gréckej abecedy. Preto platí µ = {X E 2 : X = 120 }. Ž: Trochu si spomínam. Túto množinu sme vždy zapísali v jednom kroku konštrukcie. Potom som mal problém, ako ju narysovať. Mohli by ste to pripomenúť?

Ma-Ko-02-2 List 12 U: amozrejme, aj keď musím priznať, že konštrukciu množiny µ považujeme za základnú konštrukciu. Preto ju zapisujeme v jednom kroku. Na jej zostrojenie je potrebné nájsť stred O. Povedali sme, že nekonvexný uhol O má v našom prípade veľkosť 240 stupňov. Úsečka je tetivou hľadanej kružnice, teda O a O sú polomery. Ž: To znamená, že trojuholník O je rovnoramenný. Konvexný uhol pri vrchole O má veľkosť 120 stupňov. Uhly O a O sú rovnaké a zvyšuje na nich 60 stupňov. Preto majú veľkosť 30 stupňov. U: No vidíš. Z kružnice so stredom v bode O a polomerom O narysuješ iba menší oblúk prislúchajúci tetive. To preto, lebo obvodový uhol je 120 stupňov. 30 v a a 120 1 2 v a 30 µ p 120 O 240 Ž: k by bol obvodový uhol ostrý, tak by sme zobrali väčší oblúk? U: Pochopil si správne. Vráťme sa však k našej úlohe. opracovali sme sa teda k tomu, že bod nájdeme ako priesečník priamky p a množiny µ. Ž: Už sa teším na rysovanie. om zvedavý, či sa mi podarí zostrojiť množinu µ. U: okončime ešte rozbor konštrukčnej úlohy. Popísať podmienky pre zostrojenie vrcholov a rovnobežníka by nemal byť problém. Ž: Mám na to viac možností. si by som narysoval priamku q, ktorá je rovnobežná s priamkou a je od nej vo vzdialenosti zadanej výšky v a rovnobežníka. Potom stačí predĺžiť úsečky a a tam, kde pretnú priamku q, mám body a. q v a a U: k hovoríš, že máš viac možností, tak čo iné by si využil?

Ma-Ko-02-2 List 13 Ž: Možno stredovú súmernosť podľa bodu. V tejto súmernosti sa bod zobrazí do bodu a bod sa zobrazí do bodu. U: Vidím, že v tejto časti konštrukcie máš o riešení úlohy prehľad. V rámčeku sú prehľadne zhrnuté podmienky pre hľadané body. 1. ; = 1,5 cm p, p, p; = 1,5 cm 2. = 120 µ, µ = {X E 2 : X = 120 } p µ = : = : Ž: Môžem zapísať postup konštrukcie? U: Prečo nie. ám vidíš, že v podmienkach som využil druhý spôsob určenia bodov a rovnobežníka. Nezabudni na to ani ty. Ž: Trochu to skráti riešenie. V zápise v podstate iba zhrniem to, čo sme povedali v rozbore úlohy. 1. ; = 6 cm 2. p; p ; p, = 1,5 cm 3. µ; µ = {X E 2 : X = 120 } 4. ; p µ 5. ; : 6. ; : 7. U: Podľa tohto zápisu určite zvládneš aj samotnú konštrukciu rovnobežníka. Môžeš si ju porovnať s výsledkom na nasledujúcom obrázku. 2 1 2 1 q O 2 1 p µ a µ 4 O 3 p

Ma-Ko-02-2 List 14 U: ko máš možnosť vidieť, podľa kroku 4. konštrukcie sme dostali dva rôzne priesečníky uhlopriečok rovnobežníka s priamkou p. Oba zostrojené rovnobežníky sú však zhodné, preto má úloha iba jedno riešenie.

Ma-Ko-02-3 List 15 Príklad 3: Zostrojte lichobežník, ak je dané = 8 cm, = 3 cm, = 6 cm a = 7 cm. U: Riešenie úlohy začneme rozborom. Pozri sa najskôr na náčrt. 3 cm 6 cm 7 cm 8 cm Ž: Poznáme obe základne lichobežníka a jeho uhlopriečky, ktoré sa pretínajú v bode. kúsim využiť trojuholníky a. Mali by byť podobné, lebo uhly pri vrchole sú vrcholové, teda rovnaké. Rovnaké sú aj striedavé uhly a. U: Nie je to zlý nápad. Vedel by si tieto trojuholníky zostrojiť? Ž: Tak to už bude ťažšie, lebo v každom trojuholníku viem dĺžku iba jednej strany. Uhlopriečky lichobežníka predstavujú súčty zvyšných dvoch dvojíc. Počkajte... To by sa dalo vypočítať. Veď by som mal byť schopný určiť pomer podobnosti trojuholníkov. trane jedného trojuholníka odpovedá strana druhého trojuholníka. Pomer podobnosti trojuholníkov a je teda 8 3. U: Verím, že by si dĺžky zvyšných strán dopočítal. Ukážeme si však iné riešenie. Lichobežník doplníme do rovnobežníka EF, tak ako to vidíš na nasledujúcom obrázku. Popíš, ako sme rovnobežník vytvorili. 3 cm 8 cm F 6 cm 7 cm 7 cm 8 cm Ž: Pridali ste taký istý lichobežník ako. Nakreslili ste ho však naopak, hore nohami. trana E má teda dĺžku 3 centimetre a strana F má dĺžku 8 centimetrov. U: Vieš vyjadriť aj dĺžku úsečky E? Ž: Veď je to uhlopriečka lichobežníka. okonca je rovnobežná s uhlopriečkou, preto má tú istú veľkosť. U: No vidíš. Takže určite budeš vedieť narysovať trojuholník E. 3 cm E

Ma-Ko-02-3 List 16 Ž: Počkajte, nech sa zorientujem v obrázku... ha! Tak toto je fakt triviálna úloha. Poznám dĺžky všetkých strán trojuholníka E, lebo E = 11 cm = 6 cm E = 7 cm. od zostrojím pomocou dvoch kružníc. Kružnica k 1 má stred v bode a polomer 6 centimetrov, stredom kružnice k 2 je bod E a jej polomer má veľkosť 7 centimetrov. U: Nájsť zvyšné body a lichobežníka je tiež triviálna záležitosť. V rámčeku si prezri podmienky pre všetky hľadané body lichobežníka. k 4 3 cm k 1 k 2 p 3 cm E k 3 1. = 6 cm k 1 (; 6 cm) 2. E = 7 cm k 2 (E; 7 cm) k 1 k 2 E k 3 (E; 3 cm) 1. p, p, p 2. = 3 cm k 4 (; 3 cm) p k 4 Ž: Zapíšem postup konštrukcie. Začneme úsečkou E dĺžky 11 centimetrov. Potom pomocou kružníc k 1 a k 2 zostrojíme bod. Zvyšok konštrukcie je už triviálny. elý postup je zapísaný v rámčeku.

Ma-Ko-02-3 List 17 1. E; E = 11 cm 2. k 1 ; k 1 (; 6 cm) 3. k 2 ; k 2 (E; 7 cm) 4. ; k 1 k 2 5. k 3 ; k 3 (E; 3 cm) 6. ; E k 3 7. p; p, p 8. k 4 ; k 4 (; 3 cm) 9. ; p k 4 10. Ž: Na poslednom obrázku je narysovaný lichobežník. k 4 3 cm k 1 k 2 p 3 cm E k 3

Ma-Ko-02-4 List 18 Príklad 4: Zostrojte konvexný štvoruholník, ak je dané = 4 cm, = 5 cm, = 6 cm, = = 90, kde je priesečník uhlopriečok štvoruholníka. Ž: Urobím náčrt štvoruholníka a vyznačím zadané prvky. 5 cm 4 cm 6 cm Ž: Tuším, že to nebude náročná úloha. Štvoruholník sa rozpadol na dva neprekrývajúce sa trojuholníky, trojuholník a trojuholník. Narysovať trojuholník nebude problém. U: Prečo? Ž: V trojuholníku poznám všetky tri strany. Konštrukcia trojuholníka zadaného tromi stranami patrí medzi základné konštrukcie. U: Hľadaným bodom štvoruholníka je preto bod. Čo vieš zohľadniť na jeho určenie? Ž: Viem, že uhol má byť pravý. le, ako to využijem...? Počkajte! Už to mám. Zostrojím Thalesovu kružnicu. U: Máš pravdu. Vrcholy X pravých uhlov X vytvárajú Thalesovu kružnicu. Kde má táto kružnica stred, a aký má polomer? Ž: Priemerom Thalesovej kružnice je úsečka dĺžky 6 centimetrov. Jej polomer je teda rovný 3 centimetrom a stred úsečky je stredom kružnice. U: Zo zadania vieme, že aj uhol je pravý, pričom je priesečník uhlopriečok štvoruholníka. ko využiješ túto informáciu? Ž: k je uhol pravý, tak by som mal v bode zostrojiť kolmicu na úsečku. Na tejto kolmici bude ležať bod. U: klamem ťa, ale bod nepoznáme. Ž: kože nepoznáme? Veď to je stred úsečky. U: ola by to pravda, keby zadaný štvoruholník bol rovnobežník. Uhlopriečky rovnobežníka sa rozpoľujú. Pretínajú sa v strede. Vo všeobecnom štvoruholníku to tak nemusí byť. to je aj náš prípad. Uhlopriečky sa síce pretínajú v bode, ale ten nemusí byť stredom úsečky.

Ma-Ko-02-4 List 19 Ž: obre, pochopil som. le, ako zostrojím kolmicu, ak nemám bod? U: Pozri sa ešte raz na náčrt. Priamke, ktorá je kolmá na úsečku, patrí ešte jeden, nám už známy bod. Vieš ktorý? Ž: ha! ko som na to mohol neprísť sám. Jasné! Veď je to bod. od patrí predsa aj uhlopriečke. U: No vidíš. Priamku p kolmú na úsečku preto zostrojíme cez bod. k T p Ž: V podstate máme celý štvoruholník, lebo bod získame ako priesečník priamky p a Thalesovej kružnice k T. U: Nakoniec zhrnieme základné myšlienky rozboru. Za známe body sme považovali vrcholy, a. Vytvárajú trojuholník, ktorý vieme zostrojiť na základe vety (sss). ké sú podmienky pre bod, ktorý je hľadaným bodom? Ž: od nájdeme ako priesečník priamky p a Thalesovej kružnice. Podrobnejšie zdôvodnenie som zapísal do rámčeka. 1. = 90 k T ; k T ( ; 3 cm) 2. = 90 p; p ; p k T p U: V zápise konštrukcie predsa len rozpíšeme konštrukciu trojuholníka vo viacerých krokoch. Pokús sa ich sformulovať. Ž: Nebude to ťažké. Najskôr zostrojím úsečku veľkosti 6 centimetrov. Potom zostrojím dve kružnice. Kružnica k 1 bude mať stred v bode a polomer 5 centimetrov. Kružnica k 2 bude mať stred v bode a polomer 4 centimetre. od nájdem ako priesečník týchto dvoch kružníc.

Ma-Ko-02-4 List 20 U: Povedal si to presne. Zápis konštrukcie si máš možnosť pozrieť v rámčeku. Je zápisom tých myšlienok, ktoré sme povedali v rozbore úlohy. 1. ; = 6 cm 2. k 1 ; k 1 (; 5 cm) 3. k 2 ; k 2 (; 4 cm) 4. ; k 1 k 2 5. k T ; k T ( ; 3 cm) 6. p; p, p 7. ; k T p 8. Ž: kúsim narysovať. Výsledok mám na nasledujúcom obrázku. k 1 k 2 k T p

Ma-Ko-02-5 List 21 Príklad 5: Zostrojte kosoštvorec, ak je daná dĺžka uhlopriečky = 8 cm a polomer kružnice vpísanej do kosoštvorca ϱ = 1,5 cm. U: Riešenie konštrukčnej úlohy začneme rozborom. Čo patrí do rozboru? Ž: Najskôr si urobím náčrt kosoštvorca. Farebne vyznačím zadanú uhlopriečku a polomer kružnice vpísanej do kosoštvorca. Polomerom sú úsečky E, F, G a H, kde stred uhlopriečky je stredom kružnice vpísanej do kosoštvorca. otykové body na stranách kosoštvorca som označil písmenami E, F, G a H. H ϱ G l ϱ E F U: ú tieto štyri body pre konštrukciu potrebné? Ž: si áno. ko ináč využijem zadaný polomer kružnice vpísanej do kosoštvorca? U: Máš pravdu. Za známe body budeme považovať vrcholy a. Hľadanými bodmi budú body,, E, F, G a H. Ž: Uf. Neznámych bodov je dosť veľa. U: Ktorý z nich by si hľadal ako prvý v poradí? Ž: Pokúsim sa nájsť podmienky pre hľadaný bod G. Viem, že jeho vzdialenosť od stredu je daná polomerom ϱ. Zostrojím preto kružnicu k so stredom v bode a polomerom 1,5 cm. le nič iné mi nenapadá. U: Pozri sa ešte raz na náčrt kosoštvorca. Povedal si, že G je dotykovým bodom kružnice a strany kosoštvorca. Ž: ha! Úsečky G a sú na seba kolmé. le, ako to využijem? U: Z kolmosti úsečiek vyplýva, že uhol G je pravý. hceš zostrojiť bod G. Kde ležia vrcholy X pravých uhlov X? Ž: Jasné! Zostrojím Thalesovu kružnicu k T so stredom v strede úsečky. Úsečka bude priemerom Thalesovej kružnice. U: Thalesova kružnica je množinou vrcholov X pravých uhlov X, ak je zadaná úsečka. od G teda zostrojíme ako priesečník Thalesovej kružnice k T a kružnice k. Neviem, či si uvedomuješ, ale spomenuté dve kružnice popisujú spôsob konštrukcie nielen bodu G, ale aj bodu F na strane.

Ma-Ko-02-5 List 22 k T G ϱ l ϱ F Ž: ž teraz som si uvedomil, že kosoštvorec je symetrický podľa priamky. U: Kosoštvorec má dve osi symetrie. Osou súmernosti je aj uhlopriečka. Ž: No dobre, ale ako ju chcete využiť, keď nemáte ani jeden z bodov a? U: Využijeme istú vlastnosť uhlopriečok kosoštvorca. pomínaš si? Ž: Nooo...? Viem, že uhlopriečky kosoštvorca sa rozpoľujú. U: na to, že sú kolmé, si zabudol. Vrcholy a kosoštvorca patria teda priamke p, ktorá je kolmá na uhlopriečku. Priamka p zároveň prechádza bodom. G F p Ž: Vidím, že sa chcete vyhnúť konštrukcii bodov E a H. U: Pochopil si správne. Nájsť body a by už nemal byť pre teba problém. Ž: od zostrojím ako priesečník priamok p a F. Prienikom priamok p a G získam bod. U: Rozbor sme teda zvládli. Zápis podmienok pre hľadané body G, F, a si máš možnosť pozrieť ešte raz v rámčeku.

Ma-Ko-02-5 List 23 1. G = 1,5 cm G k(; 1,5 cm) 2. G = 90 G k T ( ; 2 cm) G k k T 1. F = 1,5 cm F k(; 1,5 cm) 2. F = 90 F k T ( ; 2 cm) F k k T 1. p; p p 2. F F p F 1. p; p p 2. G G p G U: k si pozorne vnímal celý rozbor, zápis konštrukcie by si mal zvládnuť v pohode. Ž: Najskôr narysujem úsečku veľkosti 8 centimetrov. Zostrojím jej stred. ody G a F nájdem ako priesečníky dvoch kružníc. Jedna z kružníc má stred v bode a polomer 1,5 centimetra a druhá kružnica je Thalesova. Jej priemerom je úsečka. U: ko si správne uviedol, obe kružnice majú dva spoločné body. Ktorý z nich označíme ako bod G, nie je vôbec podstatné. Úloha teda vedie k jednému riešeniu. Pokračuj ďalej v popise konštrukcie. Ž: Zostáva mi nájsť body a. tredom uhlopriečky zostrojím kolmicu p na. Priesečník priamky p s priamkou G určuje bod. od získam ako priesečník priamky p, ale tentokrát s priamkou F. Môžem teda narysovať kosoštvorec. U: Tak, ako v každej konštrukčnej úlohe, aj teraz celý zápis konštrukcie uvedieme prehľadne pomocou symboliky v nasledujúcej tabuľke. 1. ; = 8 cm 2. k; k(; 1,5 cm) 3. k T ; k T ( ; 2 cm) 4. F, G; F, G k k T 5. p; p, p 6. ; p F 7. ; p G 8.

Ma-Ko-02-5 List 24 k T G l F p

Ma-Ko-02-6 List 25 Príklad 6: Zostrojte obdĺžnik, ak je dané = 120, kde je priesečník uhlopriečok štvoruholníka a a + b = 10 cm. Ž: Načrtnem si obdĺžnik. od je priesečníkom jeho uhlopriečok a. Farebne vyznačím zadaný uhol a súčet dĺžok strán a a b. 120 b a U: Urobil si chybu. Nemôžeš vyznačiť farebne úsečky a. Nepoznáš dĺžky týchto úsečiek. Zo zadania vieš iba to, aký je súčet ich dĺžok. Preto sa snaž tieto úsečky dostať do jednej línie. Ž: Mám namerať úsečku od bodu na polpriamku? U: Presne tak. k úsečku b prenesieš na polpriamku, získaš bod X. Úsečka X bude mať zadanú veľkosť 10 centimetrov. Z Y 120 b a b X Ž: ko mi to pomôže? Veď budem poznať iba jeden vrchol obdĺžnika. ko zostrojím body, a? U: Musím povedať, že dosť jednoducho. Je pravda, že zatiaľ to nie je v obrázku vidieť. k trochu porozmýšľaš, tak veľkosti uhlov, ktoré sú priľahlé k strane X v trojuholníku X, by si mal byť schopný vypočítať. Ž: Poznám iba uhol. Ten má podľa zadania veľkosť 120 stupňov. Trojuholník je rovnoramenný so základňou. Keďže súčet veľkostí vnútorných uhlov v trojuholníku je 180 stupňov, na uhly pri základni zvyšuje 60 stupňov. keďže uhly a sú zhodné, tak uhol má veľkosť 30 stupňov.

Ma-Ko-02-6 List 26 U: Teda aj uhol X má veľkosť 30 stupňov. Verím, že takto jednoducho zdôvodníš aj výpočet veľkosti uhla X. Nezabudni na to, že úsečku sme preniesli na úsečku X. Ž: ha! obre, že ste to pripomenuli. Trojuholník X je tiež rovnoramenný, lebo úsečky a X majú veľkosť b. Navyše tieto ramená zvierajú pravý uhol. Pri vrcholoch X a v trojuholníku sú preto uhly veľkosti 45 stupňov. U: No vidíš. Zvládol si to s prehľadom. Podľa vety (usu) vieme teda narysovať trojuholník X. Za známe body budeme považovať body a X. ké budú podmienky pre hľadaný bod? Ž: od patrí ramenu Y uhla YX veľkosti 30 stupňov a ramenu XZ uhla XZ veľkosti 45 stupňov. Získam ho prienikom týchto dvoch polpriamok. 1. X = 30 Y, XY = 30 2. X = 45 XZ, XZ = 45 Y XZ U: Táto konštrukcia bola základom celej úlohy. To ostatné už získame pomerne jednoducho. k zostaneš ešte na chvíľu v trojuholníku X, tak objavíš, že bod je jeho význačným bodom. Vieš akým? Ž: Že by to súviselo s kolmosťou? Vlastne, áno. od je pätou výšky z bodu na stranu X. U: právne. od preto zostrojíme ako priesečník úsečky X a priamky p, ktorá je kolmá na úsečku X a prechádza bodom. Vedel by si zostrojiť aj bod? Ž: To je už teraz ľahké. le ťažšie sa to slovne popisuje. od získam ako priesečník dvoch priamok. Jedna z nich prechádza bodom a je rovnobežná s priamkou p. ruhá priamka prechádza bodom a je rovnobežná s priamkou X. U: Konštrukcia bodu by sa dala zvládnuť jednoduchšie na základe stredovej súmernosti podľa priesečníka uhlopriečok obdĺžnika. od sa v nej zobrazí do bodu. tredom súmernosti je stred úsečky. Ž: obrá finta! Zjednoduší to zápis konštrukcie. U: Tak ho slovne okomentuj! Ž: Najskôr narysujem úsečku X dĺžky a + b. od získam ako priesečník ramien Y a XZ uhlov XY a XZ, ktorých veľkosti sú 30 stupňov, resp. 45 stupňov. odom zostrojím priamku p kolmú na X. Priesečník priamky p s úsečkou X označím ako bod. Na zostrojenie bodu využijem stredovú súmernosť, ktorej stredom súmernosti je stred úsečky. Získam takto obdĺžnik. U: elý postup konštrukcie je symbolicky zapísaný v nasledujúcej tabuľke.

Ma-Ko-02-6 List 27 1. X; X = a + b = 10 cm 2. XY ; XY = 30 3. XZ; XZ = 45 4. ; Y XZ 5. p; p X, p 6. ; X p 7. ; : 8. Ž: Zistil som, že je potrebné často dokresľovať rôzne úsečky, alebo ich prenášať na iné priamky. Potom už úloha nie je náročná. Ten obdĺžnik narysujem veľmi jednoducho. Môžem? U: Určite si úlohe porozumel. Tak sa pusti do rysovania. Ž: Výsledok mojej práce si máte možnosť pozrieť na nasledujúcom obrázku. Z p Y 120 b 30 45 a b X