ΗΜΥ 429 6. Γραμμικά συστήματα και Συνέλιξη 1
Γραμμικά συστήματα Ένα σύστημα είναι γραμμικό αν έχει τις ιδιότητες: Ομοιογένεια Προσθετικότητα Χρονική αμεταβλητότητα (δεν είναι απαραίτητη για γραμμικότητα, αλλά υποχρεωτική για τις περισσότερες μεθόδους ΨΕΣ) Ομοιογένεια: αν η είσοδος x[n] έχει έξοδο y[n], τότε μια είσοδος kx[n] έχει έξοδο ky[n]. Προσθετικότητα: Αν x [ n] = x k [ n] η είσοδος στο γραμμικό σύστημα, τότε η έξοδος: k y [ n ] = y k[ n ], όπου [n] : η έξοδος του συστήματος στην είσοδο [n] k y k Χρονική αμεταβλητότητα: ένα σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο αν για όλα τα n 0 η είσοδος με τιμές x 1 [n]=x 1 [n- n 0 ] έχει έξοδο y 1 [n]=y 1 [n- n 0 ]. x k 2
Αλλιώς: Στατική γραμμικότητα πώς ένα γραμμικό σύστημα συμπεριφέρεται όταν η είσοδος δεν αλλάζει: y[n]=kx[n], όπου Κ: σταθερά. Όλα τα γραμμικά συστήματα έχουν αυτή την ιδιότητα. Ημιτονοειδής πιστότητα (sinusoidal fidelity): αν η είσοδος σε ένα γραμμικό σύστημα είναι ημιτονοειδής, τότε η έξοδος είναι επίσης ημιτονοειδής με την ίδια συχνότητα. Ιδιότητες γραμμικότητας: αντιμεταθετική ιδιότητα επαλληλία. 3
Ανάλυση και επαλληλία: η «καρδιά» της ΨΕΣ Figure από Scientist s and engineer s guide to DSP. 4
Κοινές μέθοδοι ανάλυσης (1) Σε συναρτήσεις δέλτα: ανάλυση ενός σήματος με Ν δείγματα σε Ν συναρτήσεις δέλτα, όπου η κάθε μια αποτελείται από ένα δείγμα του σήματος και (Ν-1) μηδενικά δείγματα. (2) Σε μοναδιαίες κλιμακωτές συναρτήσεις: ανάλυση ενός σήματος με Ν δείγματα σε Ν συναρτήσεις, όπου η κάθε μια αποτελείται από έναν αριθμό αρχικών δειγμάτων ίσων με μηδέν και τα υπόλοιπα δείγματα είναι μια σταθερή τιμή. (3) Σε μονές/ζυγές συναρτήσεις: ένα σήμα με Ν δείγματα είναι ζυγά συμμετρικό αν x[n/2+i]=x[n/2-i] και μονά συμμετρικό αν x[n/2+i]=-x[n/2-i]. Ζυγό μέρος: Μονό μέρος: x E x O 1 [ n] = n 2 ( x[ n] + x[ N ]) 1 [ n] = n 2 ( x[ n] x[ N ]) 5
(4) Ανάλυση δείγμα παρά δείγμα: ανάλυση σε μονά και ζυγά δείγματα. Η βάσητουfft! (5) Ανάλυση Fourier: κάθεσήμαμενδείγματααναλύεταισεν+2 ημιτονοειδή σήματα (Ν ημίτονα, Ν συνημίτονα). 6
Γραμμικά Χρονικά-Αναλλοίωτα Συστήματα Linear Time-Ivariant Systems: Χαρακτηρίζονται εξ ολοκλήρου από την κρουστική τους απόκριση (απόκριση συστήματος όταν η είσοδος είναι παλμός δέλτα) Συνδυάζουν ταυτόχρονα τη γραμμική ιδιότητα και την ιδιότητα χρονικής αμεταβλητότητας Έξοδος, y[n], ενός συστήματος ΓΧΑ, με κρουστική απόκριση h[n], για κάθε είσοδο, x[k]: k = y [ n] = x[ k] h[ n k] 7
Συνέλιξη (convolution) Η ΠΙΟ ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΤΕΧΝΙΚΗ ΣΤΗ ΨΕΣ Η βάση πολλών τεχνικών ΨΕΣ, π.χ. σχεδιασμός ψηφιακών φίλτρων μέσω κατάλληλης κρουστικής απόκρισης, εντοπισμός αεροσκαφών και υποβρυχίων μέσω ραντάρ και σόναρ, καταστολή ηχούς σε τηλεφωνήματα. Μαθηματικόςτρόποςσυνδυασμού2 σημάτων για παραγωγή ενός 3 ου σήματος. Επίσημη μαθηματική πράξη (όπως είναι, π.χ. η πρόσθεση). Συνδέει 3 σήματα: την είσοδο, x, την κρουστική απόκριση του συστήματος, h, και την έξοδο, y ενός γραμμικού συστήματος: y [ ] = x[ ]* h[ ] 8
x[ ] Γραμμικό Σύστήμα h[n] y[ ] x[ ] * h[ ] = y[ ] Θεώρημα της επαλληλίας: βασική έννοια της ΨΕΣ (ι) η είσοδος αναλύεται σε απλά προσθετικά σήματα (ιι) το καθένα περνά από ένα γραμμικό σύστημα, και (ιιι) η έξοδος του συστήματος συντίθεται από πρόσθεση των εξόδων των προσθετικών σημάτων. Η έξοδος που παίρνουμε από αυτήν την διαδικασία είναι όμοια και απαράλλακτη από την έξοδο που παίρνουμε όταν η είσοδος είναι το αρχικό σήμα πριν από την ανάλυσή του. Βασικές μέθοδοι ανάλυσης: με συναρτήσεις δέλτα και Fourier. Ανάλυση με συναρτήσεις δέλτα ΣΥΝΕΛΙΞΗ. 9
Κρουστική απόκριση γραμμικού συστήματος: έξοδος του συστήματος όταν η είσοδος είναι συνάρτηση δέλτα (συνάρτηση μοναδιαίου παλμού) Αν δύο συστήματα είναι διαφορετικά η κρουστική απόκρισή τους διαφέρει Γνωρίζοντας την κρουστική απόκριση ενός συστήματος γνωρίζουμε την απόκριση για κάθε μετατοπισμένη και κλιμακωμένη συνάρτηση δέλτα. Γνωρίζοντας την κρουστική απόκριση του συστήματος γνωρίζουμε την απόκριση για κάθε σήμα εισόδου! Δηλ. τα γνωρίζουμε ΟΛΑ για το σύστημα. 10
Συνέλιξη σήματος x[n], με n=1,,ν, και κρουστικής απόκρισης του συστήματος, h[m], με m=1,,μ έχει ως αποτέλεσμα σήμα y[k], με k=1,,μ+ν-1. Δύο τρόποι ερμηνείας συνέλιξης: (1) Απότηνκατεύθυνσητηςεισόδου: πώς κάθε δείγμα της εισόδου συνεισφέρει σε δείγματα της εξόδου αντίληψη έννοιας συνέλιξης. (2) Από την κατεύθυνση της εξόδου: πώς κάθε δείγμα της εξόδου έχει πάρει πληροφορίες από δείγματα της εισόδου μαθηματικός ορισμός συνέλιξης. 11
Από την κατεύθυνση της εισόδου Βασίζεται στη βασική έννοια της ΨΕΣ Κάθε δείγμα της εισόδου χρησιμοποιείται για κλιμάκωση της μετατοπισμένης κρουστικής απόκρισης του συστήματος, δηλ. κάθε δείγμα της εισόδου πολλαπλασιάζεται με τη μετατοπισμένη κρουστική απόκριση. Η έξοδος συντίθεται με πρόσθεση των αποτελεσμάτων αυτού του πολλαπλασιασμού. Figure από Scientist s and engineer s guide to DSP. 12
Matlab: y=conv(x,h); Ή function y=my_conv(x,h); N=length(x); M=length(h); y=zeros(1,n+m-1); for i=1:n for j=1:m y(i+j-1)=y(i+j-1)+x(i)*h(j); end end 13
Από την κατεύθυνση της εξόδου Πληροφορίες για το πώς κάθε δείγμα της εξόδου μπορεί να υπολογιστεί ανεξάρτητα από τα υπόλοιπα δείγματα της εξόδου. «Μηχανή Συνέλιξης (ΜΣ)»: ηέξοδόςτης είναι ευθυγραμμισμένη με το δείγμα της εξόδου που υπολογίζεται. Η κρουστική απόκριση μέσα στη ΜΣ είναι αντικατοπτρισμένη στον άξονα y. Figure από Scientist s and engineer s guide to DSP. 14
Δείγματα εκτός των ορίων του x, δηλ. για n<0 ή n>ν: η κρουστική απόκριση δεν είναι εντελώς «βυθισμένη» στην είσοδο τα πρώτα και τελευταία (Μ-1) δείγματα της εξόδου δεν είναι χρησιμοποιήσιμα Μπορούμε να τα: Θέσουμε = 0, δηλ. padding (γέμισμα) Αγνοήσουμε. Figure από Scientist s and engineer s guide to DSP. 15
Matlab: function y=my_conv2(x,h); N=length(x); M=length(h); x=[zeros(1,m-1) x zeros(1,m-1)]; y=zeros(1,n+m-1); for i=1:n+m-1 for j=1:m y(i)=y(i)+h(j)*x(m+i-j); end end 16
Μαθηματικός ορισμός: Για ένα σήμα x[n] με Ν δείγματα, n=0,,ν-1 και h[m] σήμα με Μ δείγματα, m=0,,μ-1, το άθροισμα συνέλιξης του x και h είναι: y[ i] = M 1 j= 0 h[ j] x[ i όπου i=0,,μ+ν-2 και αντιστοιχεί στην δεξιά-αριστερή μετατόπιση της μηχανής συνέλιξης. j] 17
Επόμενη διάλεξη: 7. Ιδιότητες Συνέλιξης Μετασχηματισμός Fourier 18