Matematički modeli sistema U analizi i sintezi SAU se koriste kvantitativni matematički modeli koji opisuju fiziku sistema. Generalno, dinamika sistema je opisana običnim diferencijalnim jednačinama. lasa sistema koja će se proučavati u toku ovog kursa su: kontinualni, linearni, stacionarni sistemi sa koncentrisanim parametrima. Takvi sistemi se opisuju sistemima linearnih diferencijalnih jednačina sa konstantnim koefeicijentima. Obzirom da je veliki broj fizičkih sistema nelinearan, u okviru ove teme će se govoriti i o linearizaciji, koja omogućava primenu Laplasove transformacije (Laplace). Takođe, biće reči i o Laplasovoj transformaciji kao veoma korisnom alatu za rešavanje problema opisanih diferencijalnim jednačinama. Obradiće se relacije ulaz-izlaz (RUI) i funkcija prenosa sistema, a u okviru grafičkih metoda predstavljanja sistema blok dijagram, graf toka signala i njihove transformacije (simplifikacija, uprošćavanje). Uvod Da bi se razumela dinamika i projektovalo upravljanje za neki kompleksan sistem prvo mora biti poznat njegov matematički model. Pošto su razmatrani sistemi u prirodi dinamički, za njihovo opisivanje se koriste sistemi diferencijalnih jednačina (DJ). Pri rešavanju sistema diferencijalnih jednačina pogodno je koristiti Laplasovu transformaciju (LT) koja pojednostavljuje određivanje rešenja. Ukoliko je SAU opisan sistemom nelinearnih DJ pre primene LT je potrebno izvršiti linearizaciju. U praksi, sistemi koji se razmatraju mogu biti veoma komplikovani, ili njihova priroda nije u potpunosti poznata te je u procesu modelovanja potrebno uvesti (usvojiti) određene pretpostavke, zanemarenja i uprošćenja. Nakon završenog modelovanja SAU je opisan sistemom linearnih DJ. Na kraju se na osnovu postavljenog modela, primenom LT, određuje ponašanja sistema u različitim uslovima i za različite pobude. Analiza dinamičkih sistema se prema dosad navednom može raščlaniti na sledeće korake:. Definisanje sistema i njegovih komponenti;. Formulisanje matematičkog modela uz nabrajanje usvojenih pretpostavki; 3. Pisanje sistema DJ koji opisuje model (sistem); 4. Rešavanje postavljenog sistema jednačina po željenim izlaznim promenljivima; 5. Provera tačnosti rešenja i usvojenih pretpostavki; 6. Ako je potrebno, ponovo proanalizirati sistem i ponovo formulisati model. Primer: Van der Pol ov oscilator Električno kolo sa slike proizvodi oscilacije u prisustvu nelinearnog elementa triode. U triodi elektroni se emituju sa grejača (katode) i prelaskom na anodu (pozitivnog potencijala e p ) formiraju struju kroz triodu (i p ). Negativan potencijal mrežice (eg) se upotrebljava za upravljanje tom strujom. Struja kroz mrežicu se zanemaruje.
E bb e p e g M i i R i p L i R Slika. Slika prikazuje tipičnu karakteristiku triode: i p =φ(e p µe d ) () gde je µ faktor pojačanja (m>>). Sa P je označena radna, a ujedno i prevojna tačka. i p φ(e bb ) P e p µe g E bb Slika. Na osnovu električnog kola sa slike mogu se napisati sledeći izrazi: i p =ii c i R () L di =Ri R (3) L di t = i L d i = i. (4) Nakon deljenja jednačine () sa i smene (4) u () sledi: L d i i= (i p-i R ). (5) Nakon množenja jednačine (5) sa i smene () (3) u (5) sledi: L d i L R di i=φ(µe ge p ). (6) Pošto je struja kroz mrežicu zanemariva, važi sledeći izraz: e g =M di, (7) a na osnovu slike se može napisati: e p =E bb -L di. (8) Definiše se nova promenljiva e, čiji je definicioni izraz (uz uvažavanje jednačina (7) i (8)):
e=e p µe g =E bb -L di µmdi =E bb(µm-l) di. (9) Sada se uvodi smena: y=i-φ(e bb ) () Nakon uvođenja smene () izraz (6) se može napisati u obliku: yφ(e bb)=φ E bb (µm-l) dy. () L d y L R dy Ako je: f dy =φ E bb (µm-l) dy -φ(e bb), () izraz () se može napisati u obliku: L d y L R dy y=f dy. (3) Razvojem () u Tejlorov red dobija se izraz: f dy =φ(e bb) φ(e bb )φ'(e bb )(µm-l) dy φ''(e bb) (µm-l) dy 6 φ'''(e bb) (µm-l) dy 3... (4) Pošto je P prevojna tačka važi: φ''(e bb )=. (5a) Dodatnom analizom slike može se zaključiti: φ'(e bb )>, φ'''(e bb )<, (5b) a takođe važi i uslov: µm-l> za µ>> (5c) Uz uvažavanje izraza (5) i uz zanemarivanej članova višeg reda, izraz (4) se može napisati u obliku: f dy =φ'(e bb)(µm-l) dy 6 φ'''(e bb) (µm-l) dy 3 (6) Nakon zamene (6) u (3) sledi: L d y L R dy y=φ'(e bb)(µm-l) dy 6 φ'''(e bb) (µm-l) dy 3. (7) Ako se definišu veličine α i β na sledeći način: L R -φ'(e bb)(µm-l)=-α, α> za µ>>; (8) 6 φ'''(e bb)(µm-l) 3 =- β 3, β>; (9) izraz (7) se može napisati u obliku: 3 L d y -αdy β 3 dy y=. () Uvode se sledeće oznake: ω = α L ; τ=ωt; y= β z ; ε=αω pa se izraz () može napisati u ω obliku: d z dτ -ε dz - 3 dτ 3 dz dτ z= () Ako se izvrši diferenciranje izraza () po τ i uvede smena: dz =x, dobija se Van der Polova dτ jednačina: d x dτ ε(x -) dx x= () dτ 3
Jednačina () je ime dobila po danskom fizičaru i elektro inženjeru Balthasaru Van der Polu (889-959) koji je istraživao oscilovanje i prvi je matematički opisao pojave iz laboratorije. Jednačinu je prvi analizirao lord Leyleigh istražujući probleme akustike. Opisivanje fizičkih sistema diferencijalnim jednačinama Diferencijalne jednačine koje opisuju pojedine sisteme se postavljaju na osnovu fizičkih zakona koji opisuju pojedine procese. Ovakav pristup se jednako primenjuje na mehaničke, električne, hidro, pneumatske i termodinamičke sisteme. U nekim slučajevima se fizički različite pojave opisuju jednačinama istog oblika i tada se uspostavljaju analogije. Sledeći primer će pokazati uspostavljanje elektro - mehaničkih analogija. Primer Posmatra se mehanički sistem na slici. y M f b Slika. Sila f vuče telo mase M u desno, pri čemu se telo pomera i njegov se položaj, y, menja. Ovom kretanju se odupiru sledeće sile: sila u opruzi nastala usled stezanja (proporcionalna koeficijentu krutosti ), inercija tela (proporcionalna masi M) i trenje o podlogu (proporcionalno koeficijentu trenja b). Ako se ovo izrazi matematički, sledi jednačina f = M d y bdy y () Izraz () je diferencijalna jednačina koja opisuje dinamiku posmatranog sistema. Dalje, posmatra se električno kolo prikazano na slici. 4
i G = /R L u i g i l i c Slika. Električno kolo sa slike se može opisati sledećim izrazom i = i g i l i c = Gu t L u I L du Pošto je: u = dψ, prethodni izraz se može napisati i = d Ψ GdΨ i L Ψ. () Ako se posmatraju jednačine () i () vidi se da su one istog oblika, iako opisuju fizički različite pojave (sisteme). Na osnovu istog oblika jednačina uspostavljaju se sledeće analogije: Mehaničke veličine Električne veličine sila f struja i položaj y fluks Ψ krutost (elastičnost) masa M kapacitivnost trenje b provodnost G recipročna vrednost induktivnosti /L Jednačine () i () se mogu rešiti nekom od metoda za rešavanje DJ (metoda neodređenih koeficijenata). Neka je za DJ () y(t )=Y()= i f=f=const., tada je rešenje gde su, α, β i θ koeficijenti koje treba odrediti. y = e -α t sin(β t θ ), (3) Za rešenje jednačine (), uz uslove: u(t )= i i=i=const., se dobija: u = e -α t sin(β t θ ) (4) 5
gde su, α, β i θ koeficijenti koje treba odrediti. Grafički se rešenje može predstaviti krivom na slici 3, i prokomentarisati na sledeći način. Za t, u, odnosno nema napona na kalemu, otporniku i kondenzatoru. ako se to objašnjava? Za kalem je konstitutivna relacija u = L di. Ako je i=const, tada je u l=, odnosno kalem će se ponašati kao kratak spoj. Iz tog razloga struja ne teče kroz otpornik (u r =), a ako je kondenzator ranije bio napunjen isprazniće se kroz kratak spoj (u c =). u - α e t vreme π / β Slika 3. Primer Na slici je prikazan elektromehanički regulator. Ulazna promenljiva je signal greške u obliku električnog napona e, a izlazna (upravljačka) veličina je pomeraj poluge u. Pretpostavlja se da je veza između napona e i elektromagnetne sile u jezgru linearna, preko koeficijenta razmere k. Zanemaruju se sve mase, a između sila, pomeraja i brzina kod opruge i prigušivača primenjuju se linearni odnosi. Formirati diferencijalnu jednačinu koja opisuje zavisnost izlazne promenljive u od ulaza e. oeficijent krutosti opruge je, a koeficijenti viskoznog trenja u prigušivačima (uljnim cilindrima) su D i D. x e D D u Rešenje: Elektromotorna sila: F m =ek () Sila koja deluje na krajevima opruge je: F o =(u-x) () dx Sila u prvom prigušivaču: F D = (3) du Sila u drugom prigušivaču: F = D (4) Na osnovu ravnoteže sila u tačkama i slede izrazi: F m =F F (5) F o =F. (6) 6
Nakon zamene desnih strana izraza ()-(4) u izraze (5) i (6) sledi: ek du (u x) D (u dx x ) D = = (7) (8) Izražavanjem x iz jednačine (7) i zamenom u (8) nakon sređivanja sledi traženi izraz: D D d u du D k de ( D D ) = ke (9) Primer Na slici je prikazan hidraulični regulacioni uređaj (hidraulični servo motor). Opisati dinamiku uređaja, odnosno formirati diferencijalnu jednačinu koja opisuje vezu između ulazne promenljive x u x u (greška, regulaciono odstupanje) i izlazne promenljive x i (upravljačka a veličina). Površina radnog klipa je A x [m ], protok ulja je q [kg/s], specifična težina ulja je ρ [kg/m 3 ], dužine kraka poluge su a i b. b Slika q x i Rešenje: Potrebno je uvesti osnovne A pretpostavke koje olakšavaju modelovanje hidrauličnih sistema: P ulje je nestišljiv fluid; P sve mase (klipova, poluga, opruga, ulja) su zanemarivo male u odnosu na sile koje se ostvaruju pritiskom ulja u cilindrima; P3 pomeraji tačaka uređaja su linearni; P4 protoci ulja su linearno povezani sa pomeranjem klipa razvodnika; P5 veze između sila, pomeraja opruge i brzine klipa u prigušivaču su linearne. Prvi korak je određivanje veze između pomaka klipa razvodnika x i pomaka x i i x u. U tu svrhu se koristi slika. Na osnovu sličnosti trouglova x u x i AB i A B sledi: B A xu xi x x = i b a x = xu xi B' x i a x b A' a b b a b a b oličina ulja koja se razmenjuje između razvodnika i radnog cilindra je (prema P4) linearno zavisna od x, preko faktora proporcionalnosti : b a = x = xu xi a b a b dx q = Aρ i. q. Takođe važi i: Nakon izjednačavanja desnih strana poslednja dva izraza 7
i nakon sređivanja sledi: Aρ(a b) dx a i x i = b a x dx u, odnosno: T i i xi = pxu Primer Na slici je prikazan termoelektrični termometar čiji je ulazni signal merena temperatura θ, a izlazni signal ugao skretanja kazaljke galvanometra φ. Formirati diferencijalnu jednačinu koja opisuje ponašanje termometra, odnosno povezuje θ i φ. Rešenje: olo galvanometra Ležaj (B) Opruga () azaljka φ θ e Objekat merenja θ θ S Termo spreg N R,L Permanentni magnet alem galvanometra Elektromotorna sila termosprega (e) je srazmerna razlici temperatura toplog (θ ) i hladnog kraja (θ ) preko konstante razmere ( T ): e= T (θ -θ ) () Ako se pretpostavi da je temperatura toplog kraja (θ ) jednaka merenoj temperaturi(θ) (što se sme uraditi ako je vremenska konstanta termosprega zanemariva u odnosu na vremensku konstantu objekta merenja, odnosno ako je toplotni kapacitet termosprega mnogo manji od toplotnog kapaciteta objekta) i da je θ = o (šte se i čini pri praktičnoj realizaciji ovakvih uređaja), izraz () postaje: e= T θ. () Elektromotorna sila (EMS) e proizvodi u kolu galvanometra struju čija je veličina određena otpornošću (R) i induktivnošću (L) kola: di e L Ri =. (3) Momenat koji deluje na kalem je srazmeran jačini struje koja protiče kroz kolo galvanometra, preko koeficijenta razmere g : m= g i. (4) 8
Usled dejstva momenta kalem se kreće (rotira) u magnetnom polju permanentnog magneta. Momenat se troši na kretanje kalema i kazaljke (zajednički momenat inercije je J), i savlađivanje trenja u ležajevima (B) i krutosti opruge (), tako da je: d φ dφ m = J B φ (5) Usled kretanja kalema kroz magnetno polje permanentnog magneta u njemu se indukuje kontraelektromotorna (EMS) sila koja utiče na struju u kolu galvanometra. Veličina EMS je srazmerna brzini promene ugla φ (kretanje kalema kroz magnetno polje) preko konstante razmere i. Na osnovu navedenog se modifikuje izraz (3) i piše: di dφ e = L Ri i (6) Izjednačavanjem desnih strana izraza (4) i (5) formira se izraz koji povezuje ugao φ i struju i: J d φ B dφ φ = i (7) g g g Nakon diferenciranja izraza (7) sledi: 3 J d φ B d φ dφ di = (8) 3 g g g Smenom (7) i (8) u (6), nakon sređivanja se dobija: 3 LJ d φ LB RJ d φ L RB gi dφ R e = φ (9) 3 g g g g Nakon izjednačavanja desnih strana izraza () i (9), nakon sređivanja sledi: 3 LJ d φ LB RJ d φ L RB gi dφ R φ = θ 3 g T g T g T g T 9
Primer Na slici je prikazana elekrična mreža. Formirati diferencijalnu jednačinu koja opisuje zavisnost izlaznog napona (U ) od ulaznog (U ). Rešenje: R i R i U U R R U U U i Na osnovu usvojenih smerova struja i napona (na slici) moguće je napisati konstitutivne relacije za otpornike i kondenzatore i jednačine prema prvom i drugom irhofovom zakonu. onstitutivne relacije su: u R =R i R () du i = () u R =R i R (3) du i = (4) takođe važi: u R =u. (5) i R =i =i (6) Prema prvom irhofovom zakonu je: i=i R i. (7) Prema drugom irhofovom zakonu je: u =u u ; (8) u =u R u. (9) Na osnovu relacija (), (5) i (8) može se napisati: ir ( u u R = ). () Na osnovu relacija () i (8) može se napisati: ( u ) d u i =. ()
Nakon smene () i () u (7) sledi: ( u ) d u i ( u u ) R = () Na osnovu relacija (3), (4), (6) i (9) može se napisati: ( R i ) d u i = (3) Nakon izjednačavanja desnih strana izraza () i (3) sledi: d ( ) ( u u ) d( u R i ) u u = (4) R Smenom desne strane izraza () u (4), nakon sređivanja sledi konačan izraz koji opisuje zavisnost izlaznog napona u od ulaznog u : d u du R ( ) R R R R u = (5) d u du = R R ( R R ) u Primer Idealan par zupčanika je spojen sa jedne strane sa motorom, a sa druge sa opterećenjem u obliku punog cilindra, kao što je prikazano na slici. Ukupni momenat inercije zupčanika Z i rotora motora je J m. Ukupna inercija zupčanika Z i opterećenja T l je J l. oeficijent trenja u ležajevima motora je b m, a opterećenja b l. Broj zubaca zupčanika Z je N, a Z je N. Brzina obrtanja motora je ω a opterećenja ω. Formirati diferencijalnu jednačinu koja opisuje međusobnu povezanost brzine obrtanja opterećenja ω i momenta motora T M. Rešenje Momenat opterećenja je jednak sumi momenata koji nastaju usled inercije opterećenja i gubitaka trenja u ležajevima: ω J m, T m Z, N M J l, b l,t l Z, N ω dω Tl = Jl blω. () Prenosni odnos je jednak međusobnom odnosu broja zubaca zupčanika reduktora ili međusobnom odnosu brzina ω i ω : n=n /N =ω /ω. () Momenat opterećenja sveden na osovinu motora je:
l l l * l n b d n J T n T ω ω = = (3) Momenat neopterećenog motora je jednak sumi momenata koji nastaju usled inercije rotora i gubitaka ventilacije i trenja u ležajevima: m m m b d J T ω ω =. (4) Pošto je, prema (): ω =n ω, to se izraz (3) može napisati: m m m nb d nj T ω ω =. (5) Sada je ukupan momenat motora T M : m l m l m * l M nb n b d nj n J T T T ω ω = = (6)
Elektromehaničke analogije Jednačine koje opisuju neke pojave u elektrotehnici imaju isti oblik kao jednačine mnogih pojava u mehanici, termodinamici, hidraulici, pneumatici itd. Na osnovu takvih analogija, za mnoge pojave neelektrične prirde mogu se formirati električne mreže čije se ponašanje opisuje jednačinama istog oblika. Neke od elektromehaničkih analogija su prikazane u tabeli. Električne veličine Mehaničke veličine napon u [V] sila f [N] struja i [A] brzina v [m/s] količina naelektrisanja q [] položaj x [m] induktivnost L [H] masa M [kg] kapacitivnost [F] recipročna vrednost koeficijenta elastičnosti opruge / električna otpornost R [Ω] trenje F Tabela. Analogne veličine Analogije navedene u tabeli spadaju u najčešće korištene. Analogije je moguće postaviti i na drugi način, što zavisi od načina pristupa problemu o čemu će biti reči kasnije. Na osnovu postavljenih analogija moguće je za simulaciju ponašanja, umesto mehaničkih sistema, koristiti, mnogo pogodnija, električna kola. U cilju konstruisanja složenih analognih kola uvedena su sledeća pravila:. mehanički elementi sa istom translatornom ili rotacionom brzinom kretanja se nalaze u paralelnoj mehaničkoj vezi;. mehanički elementi čije je translatorno ili rotaciono kretanje dato zbirom ili razlikom dveju brzina nalaze se u rednoj mehaničkoj vezi; 3. mehaničkim elementima u paraleli odgovaraju električni elementi vezani na red; 4. mehaničkim elementima vezanim na red odgovaraju električni elementi vezani u paralelu. Primer: Formirati diferencijalne jednačine i funkcije prenosa koje opisuju sisteme sa slika 4, i uspostaviti analogije između električnih i mehaničkih veličina. Mehanički sistem sa translatornim kretanjem: x M masa; koeficijent elastičnosti opruge; f F koeficijent trenja; M x pomeraj (položaj) tela f spoljna sila pod čijim se dejstvom vrši kretanje F Slika Jednačina ravnoteže sila sistema sa slike je: Nakon uvođenja smene v=x, izraz () postaje: Mx Fx x=f. () 3
M dv t fv v=f; () što nakon primene Laplasove transformacije daje: MsV(s)FV(s) V(s) s =F(s). (3) Funkcije prenosa sistema sa slike je: G(s)= V(s) F(s) = s Ms Fs. (4) Mehanički sistem sa rotacionim kretanjem: θ M J F Slika J momenat inercije valjka; koeficijent elastičnosti opruge; F koeficijent trenja; θ ugaoni pomeraj (položaj) tela; f spoljni momenat pod čijim se dejstvom vrši kretanje. Jednačina ravnoteže momenata sistema sa slike je: Jθ Fθθ=M. (5) Nakon uvođenja smene ω=θ, izraz (5) postaje: J dω t fω ω=m; (6) što nakon primene Laplasove transformacije daje: JsΩ(s)FΩ(s) Ω(s) s =M(s). (7) Funkcije prenosa sistema sa slike je: G(s)= Ω(s) M(s) = s Js Fs. (8) Redno RL kolo: u R i u L u R L u Slika 3. Jednačina ravnoteže napona sistema sa slike 3, prema drugom irhofovom zakonu je: u L u R u =L di t Ri i=u. (9) Nakon uvođenja smene i=q, izraz (9) postaje: 4
Lq Rq q=u. () Primenom Laplasove transformacije na (9) dobija se: LsI(s)FI(s) I(s) s =U(s). () Funkcije prenosa sistema sa slike 3 je: G(s)= I(s) U(s) = s Ls Rs () Na osnovu upoređivanja jednačina (), (5) i (); (), (6) i (9); (3), (7) i () te (4), (8) i () uspostavljaju se analogije među veličinama, prikazane u tabeli. Električne veličine Translatorne veličine Rotacione veličine napon u sila f momenat M struja i brzina v ugaona brzina w naelektrisanje q položaj x ugao q induktivnost L masa M momenat inercije J kapacitet elastičnost / elastičnost / otpor R trenje F trenje F Tabela. Način formiranja analogija prikazan u tabeli se naziva pristup preko konture, analogija preko konture. Ovakav pristup formiranju elektromehaničkih analogija se najčešće i primenjuje. Paralelno RL kolo: i G = R i G L i L i Slika 4. Jednačina ravnoteže struja sistema sa slike 4, prema prvom irhofovom zakonu je: i i G i L = di t Gu L u=i. (3) Nakon uvođenja smene u=ψ, izraz (3) postaje: ψ Gψ L Primenom Laplasove transformacije na (3) dobija se: su(s)gu(s) U(s) L s Funkcije prenosa sistema sa slike 4 je: ψ=i. (4) =I(s). (5) 5
G(s)= U(s) I(s) = s s Gs. (6) L Na osnovu upoređivanja jednačina (), (5) i (4); (), (6) i (3); (3), (7) i (5) te (4), (8) i (6) uspostavljaju se analogije među veličinama, prikazane u tabeli. Električne veličine Translatorne veličine Rotacione veličine struja i sila f momenat M napon u brzina v ugaona brzina w fluks ψ položaj x ugao q kapacitet masa M momenat inercije J induktivnost L elastičnost / elastičnost / provodnost G trenje F trenje F Tabela. Način formiranja analogija prikazan u tabeli se naziva pristup preko čvora, analogija preko čvora. Ovakav pristup je takođe ispravan, ali manje uobičajen. Razlog je čisto praktične prirode, i leži u činjenici da je lakše obezbediti izvor konstantnog napona (pristup preko konture) nego izvor konstantne struje (pristup preko čvora). Primer Formirati diferencijalne jednačine koje opisuju sisteme sa slika 3, i uspostaviti analogije između električnih i mehaničkih veličina. Električni sistem diferencijalni kompenzator: i i R i R u u u R Slika. Prema oznakama na slici i prvom irhofovom zakonu je: I R i =i. () Smenom konstitutivnih relacija za kondenzator i otpornik u izraz (), a uz uvažavanje oznaka sa slike, dobija se diferencijalna jednačina koja opisuje ponašanje diferencijalnog kompenzatora: d(u -u ) R (u -u )= R u. () 6
Mehanički translatorni sistem : F x x Slika Jednačina koja opisuje ravnotežu sila, prema slici, je: d(x -x ) F (x -x )= x. (3) Upoređivanjem jednačina () i (3) uspostavljaju se sledeće analogije: naponi u i, i=, pomeraji x i, i=, kapacitet trenje F otpori R i, i=, elastičnost / i, i=, Mehanički translatorni sistem : F F x x y Slika 3 Diferencijalne jednačine kretanja koje opisuju sistem sa slike 3 su: d(x -x ) d(x -y) F =F ; (4) d(x -y) F =y. (5) Eliminacijom y iz prethodnih jednačina dobija se: d(x -x ) F F F (x -x )=F x. (6) Nakon deljenja jednačine (6) sa F F sledi: d(x -x ) F (x -x )= F x (7) Upoređivanjem jednačina () i (7) uspostavljaju se sledeće analogije: naponi u i, i=, pomeraji x i, i=, kapacitet elastičnost / otpori R i, i=, trenje F i, i=, 7
Primer: Formirati matematički model mehaničkog sistema sa slike : D F D F M F g F x M x x Slika. Rešenje: Prema oznakama sa slike je: m d x i i x i =m i - sila inercije; F D =Dx =D dx - sila viskoznog trenja; F i = i x i sila elastičnosti opruge; F gi =m i g sila težine tela; F pokretačka (spoljna) sila; x,x generalisane koordinate. Translatorno kretanje krutog tela je opisano diferencijalnom jednačinom ma =F, što predstavlja drugi osnovni zakon mehanike. Primenom ovog zakona na dati slučaj sledi: m i x i =ΣF x spoljnih sila. () Ako se usvoje generalisane koordinate x i x, na osnovu () se formira jednačina ravnoteže sila koje deluju na telo m : m x =F-F D -F F g ; () gde je: F D =Dx ; F = x= (x -x ); F g =m g; pa se () može napisati u obliku: 8
m x =F-Dx - (x -x )m g. (3) Jednačina ravnoteže sila koje deluju na telo m je: m x =m g- x - (x -x ). (4) Napomena: Obratiti pažnju na smer dejstva sila (poslednji sabirak) kod formiranja jednačine 4. Primenom ranije navedenih elektromehaničkih analogija, formira se električna mreža (slika.) analogna posmatranom mehaničkom sistemu sa slike. i u R u i E R (i -i ) E u L u u L E L Slika. L Diferencijalne jednačine koje opisuju ponašanje sistema sa slike su: Zamenom analognih mehaničkih veličina u (5) i (6) sledi: Nakon transformacije jednačine (7) sledi odnosno, nakon deljenja sa : Nakon diferenciranja () sledi: a nakon diferenciranja (): E E=Ri (i -i )L di ; (5) E =L di - (i -i ) i. (6) m gf=dx (x -x )m x =Dx (x -x )m x ; (7) m g= (x -x )m x x = (x -x )m x x. (8) Nakon transformacije (4) ili (8), pošto su analogne, sledi: x =-m g-fdx x m x ; (9) m x =- g- F D x m x x. () x =- F D x m x x ; () x =- F D m x x x. () 9
m x =m g x -x ( ). (3) Nakon smene () i () u (3) dobija se linearna nehomogena diferencijalna jednačina četvrtog reda sa konstantnim koeficijentima, koja opisuje dinamiku sistema prikazanih na slkama i : a 4 x a 3 x a x a x a x =b F b Fb ; (4) m m m D m gde su: a 4 = ; a 3 = ; a =( ) ; a =m ( ) D m ; a = ; b = ; ( ) m b = ; b =g m ( ).
Linearizacija (linearna aproksimacija) fizičkih sistema Većina fizičkih sistema je linearna u određenim granicama (za određene vrednosti promenljivih veličina). Svi sistemi su nelinearni ako vrednosti promenljivih izađu iz određenih granica. Na primer, ranije opisan slučaj sa masom i oprugom, slika. Sistem je linearan dok su pomeranja y mala. Ako se telo mase M pomeri za veliko y tada će se opruga istegnuti preko mere i pući. Iz tog razloga pitanje linearnosti i uslova pod kojima ona egzistira mora biti razmatrano za svaki sistem pojedinačno. Osobina linearnosti sistema se definiše preko pojmova pobude (ulaza) i odziva (izlaza) sistema. y M f i G = /R L u b i g i l i c Slika. Slika. Za električnu mrežu na slici pobuda je struja i a odziv napon u. Generalno, mi ćemo pobudu (ulaz) označavati sa u (nema veze sa naponom) a odziv (izlaz) sa y. Neophodan uslov da bi sistem bio linearan može se definisati preko pojmova pobude i odziva na sledeći način.. Ako se sistem pobudi pobudom u, daje odziv y. Ako se sistem pobudi pobudom u, daje odziv y. Da bi sistem bio linearan potrebno je da pobuda u u rezultuje odzivom y y. Ovaj princip se zove princip superpozicije.. Ako sistem pobuđen pobudom u daje odziv y, tada, ako je sistem linearan, za pobudu βu (β=const.) daje odziv βy. Ovaj princip se zove princip homogenosti. Def. Da bi sistem bio linearan mora zadovoljavati principe superpozicije i homogenosti. Sistem opisan relacijom y=u nije linearan jer ne zadovoljava princip superpozicije. u =y ; u =y. Po principu superpozicije bi moralo biti: (u u ) =y y =u u, što nije tačno. Sistem y=mub nije linearan jer ne zadovoljava princip homogenosti: mβub βy. Ipak, drugi primer y=mub se može razmatrati u radnoj tački (u,y ) za male promene u i y, tako da je u=u u i y=y y. Sada se umesto y=mub može napisati y y=mu m ub, gde izraz y=m u zadovoljava uslove linearnosti. Radna tačka predstavlja radni režim u kome su sve promenljive poznate i konstantne. Na primer za jednosmerni motor čiji je nominalni napon 6V i nominalna brzina obrtanja 75o/min, nominalni radno režim predstavlja jednu moguću (najčešću, uobičajenu) radnu tačku. Tada se motor opterećen nominalnim opterećenjem priključen na nominalni napon obrće nominalnom brzinom, pri čemu vuče nominalnu struju. Male promene, odnosno okolina radne tačke, bi predstavljale promene izlaza pod uticajem malih promena ulaza. Na primer, ako se ulazni napon menja u granicama ±%, tada se i brzina obrtanja menja u tim granicama, to jest ako je u=6±5v onda je n=75±3o/min, što na radnoj karakteristici definiše pravolinijski segment umesto (radne) tačke.
ako doći do ovog izraza? Posmatra se neki nelinearan sistem (elektronsko kolo, tranzistor i sl.) opisan opštom relacijom y=g(u), () gde je izlaz y neke nelinearna funkcija ulazne promenljive (signala) u. Nominalna (normalna) radna tačka je definisana vrednošću u. Pošto je funkcija g( ) kontinualna u oblasti (intervalu) od interesovanja ona se za vrednost u=u, u okolini radne tačke može razviti u Taylor-ov red dg y = g(u) = g(u ) du u-u d g u=u! du (u-u ) d 3 g u=u! du 3 (u-u ) 3 u=u 3!... () dg Nagib (gradijent) funkcije u radnoj tački du je dobra aproksimacija krive g(u) za u=u mali interval (malu promenu) (u-u ) odstupanja od radne tačke. U tom slučaju je sasvim prihvatljiva sledeća aproksimacija, gde se odbacuju viši članovi Taylor-ovog reda dg y = g(u ) du (u-u u=u ) = y m(u-u ), (3) što se može napisati kao linearna jednačina y-y = m(u-u ), (4) ili y = m u, (5) što je i trebalo pokazati. Ukoliko se posmatra multivarijabilni sistem (više ulaza, više pobudnih promenljivih) u=(u,u,...,u n ) može se pisati da je y = g(u,u,...,u n ) = g(u). (6) Sada se razvoj u Taylor-ov red u okolini radne tačke (u,u,...,u n )=u nelinearne funkcije g(u) piše: dg dg dg y = g(u ) du (u u=u -u ) du (u u=u -u )... du (u n u=u n -u n ), (7) Primer. Telo mase M je postavljeno na oprugu čija je sila f srazmerna kvadratu promene dužine (y ). Formirati linearizovani model opruge u okolini radne tačke - stacionarno stanje.
M f f = y nelinearna opruga y f Rešenje U razmatranom (stacionarnom) stanju sve stoji. Telo pritiska oprugu silom Mg (ggravitaciona konstanta) a reakcija opruge je f =y. Pošte je upitanju ravnotežno stanje, to je f =Mg=y df dy. Linearizovani model je f=m y, gde je: m = dy = y=y dy = y y=y, pa je linearna aproksimacija modela opruge f=y y, i važi samo za male promene y u okolini radne tačke y. Primer. Posmatra se matematičko klatno (slika ). y y l θ T. π π/ π/ π θ. θ Mg Slika Slika Momenat koji deluje na masu klatna, a razvija se usred dejstva Zemljine sile teže i deluje u pravcu kretanja klatna je T = M g l sinθ. () Nelinearnost ove zavisnosti T=f(θ) je prikazana na slici. Ravnotežno stanje je θ = (stacionarno stanje, stanje u kome će se sistem prirodno zaustaviti). Prvi izvod izraza () izračunat u tački stacionarnog stanja daje sledeću linearnu aproksimaciju 3
sinθ T - T Mgl (θ-θ θ θ=θ ). () Pošto je θ = i T =, to je: T = M g l cos()(θ-) = M g l θ. (3) Poslednji izraz je dobra aproksimacija za -45 o θ 45 o, a za - o θ o greška linearizovanog modela je manja od %. 4