ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε τον τύπο της. Για παράδειγμα, έστω η συνάρτηση με τύπο () = τότε: Σωστή κίνηση: Βρίσκουμε πρώτα το πεδίο ορισμού της που είναι το D = {,} στη συνέχεια απλοποιούμε τον τύπο και βρίσκουμε ότι () =. + και Λάθος κίνηση: Απλοποιούμε τον τύπο και βρίσκουμε βρίσκουμε ότι D = { }. () = και στην συνέχεια + Ερώτηση. Αν,g δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α και Β αντίστοιχα, τότε πότε η g δεν ορίζεται; Η g δεν ορίζεται όταν (A) Β=. Ερώτηση 3. Αν οι συναρτήσεις,g είναι ορισμένες στο Α και για κάθε Α, ισχύει ()g() =, τότε μπορώ να πω ότι ( () = για κάθε Α) ή (g() = για κάθε Α); Όχι γιατί υπάρχουν συναρτήσεις που έχουν γινόμενο μηδέν, αλλά αυτές δεν είναι < < μηδενικές. Για παράδειγμα οι συναρτήσεις: () = και g() =. 3
Ερώτηση 4. Πως γίνεται η μετατόπιση της γραφικής παράστασης οριζόντια; C μιας συνάρτησης κατακόρυφα ή Αν έχω g() = () + c ή g() = () c, c> η γραφική παράσταση της C g προκύπτει με μετατόπιση της C πάνω ή κάτω αντίστοιχα κατά c μονάδες. Αν έχω g() = ( + c) ή g() = ( c), c> η γραφική παράσταση της C g προκύπτει με μετατόπιση της C αριστερά ή δεξιά αντίστοιχα κατά c μονάδες. Παράδειγμα: Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης Για κάθε έχουμε () = ( + ) 9. () = + 4 5. Σχεδιάζουμε πρώτα την γραφική παράσταση της συνάρτησης () =. Μετατοπίζουμε αυτή κατά μονάδες αριστερά και έτσι προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης () = ( + ). Τη νέα γραφική παράσταση την μετατοπίζουμε προς τα κάτω κατά 9 μονάδες και προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης () = ( + ) 9. Έτσι η γραφική παράσταση της προκύπτει από τη γραφική παράσταση της με μετατόπιση μονάδων προς τα αριστερά και 9 μονάδες προς τα κάτω. (βλέπε σχήμα)
Ερώτηση 5. Αν για μία συνάρτηση γνωρίζουμε ότι π.χ () < (3) μπορούμε να πούμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα; Όχι. Μόνο αν γνωρίζαμε ότι η, με πεδίο ορισμού D =, είναι γνησίως μονότονη και ότι π.χ () (3), 3,τότε θα λέγαμε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. <, όπου [ ] Ερώτηση 6. Οι συναρτήσεις πρέπει οπωσδήποτε να είναι γνησίως μονότονες στο πεδίο ορισμού τους; Όχι. Δεν είναι απαραίτητο μια συνάρτηση να είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της. Για παράδειγμα η συνάρτηση με τύπο () =, με D =, η οποία δεν είναι γνησίως μονότονη στο, και γνησίως αύξουσα στο [, + ). D =, αλλά είναι γνησίως φθίνουσα στο ( ] Επίσης υπάρχουν συναρτήσεις που δεν είναι μονότονες σε κανένα διάστημα του πεδίου ορισμού τους. Για παράδειγμα, η συνάρτηση με τύπο:, () =, άρρητος ρητός Ερώτηση 7. Αν μία συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα (ή γν. φθίνουσα) σε δύο διαστήματα,, σημαίνει ότι θα είναι γνησίως αύξουσα (ή γν. φθίνουσα) στην ένωσή τους;
Όχι. Διότι, για παράδειγμα, αν θεωρήσουμε την συνάρτηση ( ) i. Αν, (,) με ( ) ( ) στο = (,). * = με A = τότε: < < > >. Άρα γν. φθίνουσα ii. Αν, (, + ) με ( ) ( ) στο = (, + ). < < > >. Άρα γν. φθίνουσα < < < < (βλέπε σχήμα) iii. Όμως για ( ) ( ) Άρα η () δεν είναι γν. φθίνουσα για κάθε *. Ερώτηση 8. Αν μία συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, πως αποδεικνύουμε ότι η έχει το ίδιο είδος μονοτονίας; Μπορώ να χρησιμοποιήσω αυτή την πρόταση στην λύση μιας άσκησης; A. Απόδειξη ος τρόπος: Έστω γνησίως αύξουσα στο A. Έστω y,y ( A) με y < y. Τότε θα υπάρχουν, A με = y (y ) = και ( ) = y (y ) =. ( )
Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις: Αν Άτοπο. Αν = και επειδή η είναι συνάρτηση θα έχουμε: ( ) y y ( ) > και επειδή η είναι γν. αύξουσα τότε ( ) ( ) υποθέσαμε ότι ( ) = y < y = ( ). Αν < έχουμε ( ) ( ) ( ) = < =. >. Άτοπο διότι ( ) ( ) y = ( ) = < = = y Άρα ( y ) ( y ) < και συνεπώς η είναι γν. αύξουσα. ος τρόπος: Έστω ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο A. Έστω y,y ( A) ( ( y) ) ( y) με y y ( ) < έτσι ώστε ( y ) ( y ) άρα και επειδή η είναι γνησίως αύξουσα, οπότε έχουμε y y, Άτοπο. Άρα ( y ) ( y ) < και συνεπώς η είναι γν. αύξουσα. B. Αυτή η πρόταση δεν αναφέρεται στο σχολικό βιβλίο. Καλό είναι, αν χρειαστεί να αποδειχθεί. Ερώτηση 9. Αν μία συνάρτηση είναι ορισμένη στο και διέρχεται από τα σημεία A(, 4) και B(5, ) < 5 > (5) ;, μπορώ να πω ότι είναι γν. φθίνουσα, αφού ισχύει: ( ) Όχι. Αυτό για να ισχύει πρέπει η να είναι γν. μονότονη Ερώτηση. Η εύρεση του τύπου της αντιστρόφου συνάρτησης βρίσκεται πάντοτε, σε οποιοδήποτε τύπο συνάρτησης;
Δεν είναι πάντα δυνατόν να βρούμε τον τύπο της αντιστρόφου συνάρτησης. Για 5 3 παράδειγμα η συνάρτηση με τύπο () = 3 + + 6 + 5,, ενώ είναι - και αντιστρέφεται, δεν μπορούμε να λύσουμε αλγεβρικά την εξίσωση 5 3 ψ= 3 + + 6 + 5, ως προς χ, για την εύρεση του τύπου της αντιστρόφου συνάρτησης. Ερώτηση. Είναι λάθος να βρούμε πρώτα τον τύπο της ορισμού της από τον τύπο της; και στη συνέχεια να βρούμε το πεδίο Η εύρεση του πεδίου ορισμού της αντιστρόφου συνάρτησης προκύπτει, από τους περιορισμούς που θα προκύψουν για το ψ : α) στην πορεία επίλυσης της εξίσωσης ψ= () ως προς και β) από τους περιορισμούς που υπάρχουν για τα από το πεδίο ορισμού της. Οποιαδήποτε άλλη διαδικασία εύρεσης του πεδίου ορισμού της αντιστρόφου, ενδεχομένως να οδηγήσει σε σφάλμα. Ερώτηση. Θέλω να γνωρίζω ως προς τα σημεία τομής των γραφημάτων της και όταν: η είναι γνησίως αύξουσα. η είναι γνησίως φθίνουσα., τι συμβαίνει Όταν η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα,τότε τα σημεία τομής των γραφημάτων της και είναι υποχρεωτικά πάνω στη διχοτόμο ψ=. Σε αυτή την περίπτωση, για να βρούμε τα σημεία τομής των γραφημάτων της και, λύνουμε το σύστημα των σχέσεων: ψ = ψ= () ή ψ = ψ= ()
δηλαδή ισχύουν οι ισοδυναμίες : () () () = = και () = () () =. Όταν η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα, για να βρούμε τα σημεία τομής των γραφημάτων της και, αν υπάρχουν, λύνουμε το σύστημα των σχέσεων: ψ = () ψ= () Σε αυτή την περίπτωση, τα κοινά σημεία τομής των γραφημάτων της και υπάρχουν, δεν βρίσκονται υποχρεωτικά μόνο πάνω στη διχοτόμο ψ=. Παράδειγμα: Έστω η συνάρτηση με τύπο = + [ + ) Τότε: Η είναι γνησίως φθίνουσα στο [, + ). (),,. Η είναι αντιστρέψιμη με: = ( ] Λύνοντας το σύστημα: (),,. ψ = () ψ= (), αν βρίσκουμε τα εξής σημεία τομής των γραφημάτων της και : Α(,), Β(,) και + 5 + 5 Γ,, όπου, το σημείο Γ ανήκει στην διχοτόμο ψ=, ενώ τα σημεία Α και Β δεν ανήκουν στην διχοτόμο ψ=, αλλά είναι συμμετρικά ως προς αυτή. Ερώτηση 3. Αν δεν γνωρίζω τον τύπο μιας συνάρτησης, πως μπορώ να βρω την ;
Αν δεν γνωρίζουμε τον τύπο μιας συνάρτησης, μπορούμε να βρούμε την, αρκεί να γνωρίζουμε μια κατάλληλη συναρτησιακή σχέση που να περιέχει την ( ) και να μπορούμε να δείξουμε ότι η () είναι -. Για παράδειγμα, έστω συνάρτηση και για κάθε ισχύει η σχέση: 3 3 + 3 =. () ( ) ( ) Αποδεικνύουμε ότι η είναι -: Έστω ( ) = ( ) για κάθε, τότε 3 3 3 3 ( ) = ( ) 3 ( ) = 3 ( ) () και επίσης ( ) = ( ) (3) Προσθέτοντας τις () και (3) έχουμε () 3 3 + = + = = 3 ( ) ( ) 3 ( ) ( ) 3 3 Άρα η είναι -. Γνωρίζουμε ότι ισχύει: ( ) ( ) ( ) () = y y = οπότε αντικαθιστώντας στην () προκύπτει: 3 + 3 = 3y + y 3 (y) = (y) = y + y 3 Άρα 3 3 3 () = +,. 3 3 Ερώτηση 4. Γνωρίζοντας τον τύπο μιας συνάρτησης, που είναι -, υπάρχει περίπτωση να μη μπορώ να βρω την ; Τότε τι άλλο μπορώ να κάνω; Υπάρχει περίπτωση να μην μπορούμε να βρούμε την,. Για παράδειγμα: 5 3 Έστω () = + + 3 η οποία είναι -. Όμως δεν μπορούμε να βρούμε την. Αυτό που μπορούμε όμως να κάνουμε, είναι να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση της διότι γνωρίζουμε ότι η C είναι συμμετρική της γραφικής παράστασης C της, ως προς την διχοτόμο της γωνίας Oy. Έτσι, αφού σχεδιάσουμε την C, μπορούμε να σχεδιάσουμε την C. C
Ερώτηση 5. Αν για μια - συνάρτηση ισχύει () () = τότε () = ; Όχι. Διότι για παράδειγμα, αν θεωρήσουμε την συνάρτηση () =, δηλαδή () () =, όμως (). (), * =. Τότε Ερώτηση 6. Υπάρχει συνάρτηση ώστε να ισχύει () () = τότε () = ; Ναι, αρκεί η να είναι γν. αύξουσα στο, οπότε η θα έχει πεδίο ορισμού το. Η απόδειξη έχει ως εξής: Έχουμε () = () (()) = () Έστω με ( ) και έστω ( ) > τότε αφού η είναι γν. αύξουσα θα έχουμε () (( )) > ( ) > ( ) που είναι άτοπο. Ερώτηση 7. Αν () = για κάθε τότε () () = ; Ναι, Θέτουμε στην () = όπου το () ( ()) = () = () () = () οπότε θα έχουμε Ερώτηση 8. Αν ορίζεται η, τότε ( ()) = για κάθε Α ;
Όχι, διότι πρέπει το ( Α ). Ερώτηση 9. Μία συνάρτηση που είναι ορισμένη σ ένα διάστημα Δ και είναι -, η γραφική της παράσταση C τέμνει τον άξονα σε ένα ακριβώς σημείο; Όχι, διότι για να ισχύει θα πρέπει το ( ), πράγμα το οποίο δεν γνωρίζουμε. Ερώτηση. α) Αν, Α με τότε ( ) ( ) ; β) Αν, Α με = τότε ( ) = ( ) ; γ) Αν, Α με ( ) = ( ) τότε = ; α) Όχι διότι, αν () =, έχουμε, όμως ( ) = (). β) Ναι. γ) Όχι πάντα. Για να ισχύει πρέπει η να είναι -. Ερώτηση. Το lim (), αν υπάρχει, είναι μοναδικό; Ναι.
Ερώτηση. Μπορώ να βρω το lim 3 ; 5 Το πεδίο ορισμού της με τύπο () 3 Α = D = 3, +. Αφού η δεν =, είναι [ ) ορίζεται κοντά στο -5, δεν έχει νόημα να αναζητήσουμε το Συμπέρασμα : lim 3. 5 Στη λύση ασκήσεων, που θέλουμε να βρούμε αν υπάρχει ή δεν υπάρχει το lim (), πρέπει πριν τον υπολογισμό του ορίου, να κάνουμε τα εξής βήματα :. Να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.. Να ελέγχουμε αν ορίζεται κοντά στο. 3. Αν η δεν ορίζεται κοντά στο, τότε δεν αναζητούμε το lim (). 4. Αν η ορίζεται κοντά στο, τότε αναζητούμε την ύπαρξη ή την μη ύπαρξη του lim (). Ερώτηση 3. Η αναζήτηση του ορίου μιας συνάρτησης ( ) στο έχει πάντα νόημα; Όχι. Πρέπει η συνάρτηση ( ) να ορίζεται όσο θέλουμε κοντά στο, δηλαδή η ( ) είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής ( α, ) ή (,, β) ή ( α, ) ( β ) Το όριο lim ( ) στο παρακάτω σχήμα δεν έχει νόημα να
Ερώτηση 4. Τι σημαίνει η μεταβλητή παίρνει πολύ κοντά τιμές στο ; Σημαίνει ότι η απόσταση των τιμών της μεταβλητής από το, δηλαδή η γίνεται οσοδήποτε μικρή και αν θέλουμε. Ερώτηση 5. Το πρέπει να ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης; Δεν είναι απαραίτητο, αρκεί η συνάρτηση να ορίζεται όσο θέλουμε πολύ κοντά στο Ερώτηση 6. Το όριο είναι ίσο με την τιμή της ( ) στο ; Μπορεί να είναι ίσο με την ( ) ή διαφορετική από αυτή Παράδειγμα ο : Η συνάρτηση ( ) = D =,, + ( )( + ) lim ( ) = lim = lim = lim( + ) = Παράδειγμα ο : έχει πεδίο ορισμού το ( ) ( ) 3 Η συνάρτηση ( ) = + 4έχει πεδίο ορισμού το D = 3 3 ( ) = ( + ) = + = = ( ) lim lim 4 4 4
Ερώτηση 7. Τι σημαίνει ότι μια συνάρτηση ( ) έχει μια ιδιότητα p κοντά στο ; Ότι η συνάρτηση ( ) έχει την ιδιότητα p για κάθε α (,) (, β ) ή (, ) (, β ) Παραδείγματα: ο : Η συνάρτηση ( ) α ή εϕ π = έχει την ιδιότητα p: θετική για κάθε, p: > για τα χ κοντά στο. ο : Αν lim ( ) = τότε η συνάρτηση έχει την ιδιότητα ( ) Ερώτηση 8. Το όριο μιας συνάρτησης είναι μοναδικό; Αν το όριο μιας συνάρτησης υπάρχει είναι μοναδικό. Ερώτηση 9. Οι ιδιότητες των πράξεων των ορίων ισχύουν πάντα; Όχι, βασική προϋπόθεση να υπάρχουν τα όρια των συναρτήσεων Παράδειγμα: Έστω οι συναρτήσεις ( ) =, g( ) = + Έχουμε lim ( ) = lim = και lim ( ) = lim = άρα δεν υπάρχει το lim ( ) + + Επίσης έχουμε lim g ( ) = lim + =, lim g ( ) = lim + = 3 άρα δεν υπάρχει το + + lim g ( ), όμως το lim( ( ) + g ( ) ) = lim + = lim + g = lim + lim g δεν ισχύει Άρα η ιδιότητα ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Ερώτηση 3. Υπάρχουν τα όρια των τριγωνομετρικών συναρτήσεων lim ηµ, ± lim συν ; ± Όχι γιατί είναι περιοδικές συναρτήσεις Ερώτηση 3. Τι λέμε απροσδιόριστη μορφή; Απροσδιόριστη μορφή λέγεται εκείνη η μορφή για την οποία δεν μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα, δηλαδή το όριο μπορεί να πάρει οποιοδήποτε αποτέλεσμα Απροσδιόριστες μορφές είναι ( + ) + ( ), ( ± ) ( + ) ( + ), ( ) ( ),, ± ± Ερώτηση. Η συνάρτηση του σχήματος είναι συνεχής στο = ;
Η ερώτηση δεν έχει νόημα γιατί το = δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Εξετάζουμε την συνέχεια μιας συνάρτησης μόνο στο πεδίο ορισμού της. Ερώτηση 33. Μια συνεχής συνάρτηση έχει γραφική παράσταση η οποία δεν διακόπτεται ποτέ; Κάθε συνεχής συνάρτηση σε διάστημα δεν διακόπτεται. Σε ένωση διαστημάτων μπορεί να διακόπτεται. Ερώτηση 34. Πότε εφαρμόζουμε το Θεώρημα Bolzano; Όταν θέλουμε να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση της μορφής ( ) = έχει μια τουλάχιστον ρίζα. Ερώτηση 35. Με το Θεώρημα Bolzano βρίσκουμε την ρίζα της εξίσωσης ( ) = ; Όχι. Το Θεώρημα Bolzano μας εξασφαλίζει την ύπαρξη μιας τουλάχιστον ρίζας της εξίσωσης ( ) =, χωρίς όμως να την προσδιορίζει. Για να βρούμε την ρίζα ή τις ρίζες πρέπει να λύσουμε την εξίσωση με τους γνωστούς τρόπους που μάθαμε στην Α και Β Λυκείου. Όταν η εξίσωση δεν λύνεται μπορούμε να βρούμε την ρίζα της εξίσωσης ( ) = με όποια προσέγγιση θέλουμε με την βοήθεια του Θεωρήματος Bolzano με διαδοχικές διχοτομήσεις των διαστημάτων.
Ερώτηση 36. Τι συμβαίνει αν η συνεχής συνάρτηση ( ) στο διάστημα Δ είναι διάφορη από το μηδέν; Η συνάρτηση ( ) αρνητικές. διατηρεί σταθερό πρόσημο, δηλαδή οι τιμές της θα είναι θετικές ή Το ίδιο συμβαίνει και ανάμεσα σε δύο διαδοχικές ρίζες της εξίσωσης ( ) = Η παρατήρηση αυτή μας βοηθάει να βρούμε το πρόσημο της συνάρτησης ανάμεσα στις διαδοχικές ρίζες επιλέγοντας ένα αριθμό σε κάθε ένα υποδιάστημα που ορίζουν οι διαδοχικές ρίζες. Ερώτηση 37. Τι κάνουμε όταν ζητούνται δύο ή περισσότερες ρίζες σε ένα διάστημα [ αβ, ] για την εξίσωση ( ) = ; Χωρίζουμε το διάστημα [, ] αβ σε υποδιαστήματα ανάλογα με το πλήθος των ριζών που μας ζητείται και εφαρμόζουμε το Θεώρημα Bolzano σε καθένα από τα διαστήματα αυτά. Ερώτηση 38. Τι κάνουμε όταν ζητείται ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα [ αβ, ] για την εξίσωση ( ) = ; Εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Bolzano για την συνάρτηση ( ) στο διάστημα [ αβ, ] και εξασφαλίζουμε την ύπαρξη τουλάχιστον μιας ρίζας στο [ αβ., ] Αν είναι - ή γνησίως μονότονη εξασφαλίζουμε και την μοναδικότητα της.
Ερώτηση 39. Αν στην εφαρμογή του Θεωρήματος Bolzano σε ένα διάστημα [ αβ, ] ισχύει ( ) ( ) κάνουμε; α β τι Η ρίζα της εξίσωσης ( ) = ανήκει στο διάστημα [, ] αβ. Ερώτηση 4. Όταν ζητείται η εύρεση ενός τουλάχιστον κοινού σημείου στο διάστημα [ αβ, ] των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων ( ),g( ) τι κάνουμε; Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Bolzano για την συνάρτηση h( ) = ( ) g( ) στο διάστημα [ αβ., ] Ερώτηση 4. Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία του Θεωρήματος των ενδιαμέσων τιμών; τέμνει την γραφική παράσταση C τουλάχιστον σ ένα σημείο. Κάθε ευθεία y = η με η ( α), ( β) Η σημαντικότερη συνέπεια του Θεωρήματος είναι ότι o Η εικόνα διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι διάστημα (όχι ένωση διαστημάτων) o Η εικόνα κλειστού διαστήματος μέσω συνεχούς συνάρτησης είναι κλειστό διάστημα.