Charakteristika Štatistické riadenie procesov Regulačné diagramy 3-1 3 Regulačné diagramy Cieľ kapitoly Po preštudovaní tejto kapitoly budete vedieť: čo je to regulačný diagram, aké je jeho teoretické pozadie na aký účel sa používa. Doba potrebná k preštudovaniu kapitoly: 40 minút Základné pojmy regulačný diagram, centrálna priamka, horná regulačná hranica, dolná regulačná hranica, Shewhartove regulačné diagramy, 3σ-regulačný diagram, rozsah výberu, priemerná dĺžka priebehu regulačného diagramu, logické podskupiny, zoskupenie bodov. 3.1 Regulačné diagramy Regulačný diagram je nástroj štatistického riadenia procesov, ktorý umožňuje určovať, či je proces stabilný alebo nie. Znázorňuje regulovanú charakteristiku procesu v závislosti na čísle výberu alebo čase. Sú to buď individuálne hodnoty alebo vypočítaná charakteristika (napr. výberový priemer z niekoľkých vzoriek). Základne časti diagramu sú: Centrálna priamka CL (Central Line) je očakávaná hodnota regulovanej veličiny. Horná regulačná hranica UCL (Upper Control Limit) Dolná regulačná hranica LCL (Lover Control Limit) Bod mimo regulačných hraníc signalizuje možnú nestabilitu procesu, teda prítomnosť vymedziteľných príčin. 14 12 Horná regulačná hranica UCL 10 8 6 Centrálna priamka CL Dolná regulačná hranica LCL 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Číslo výberu Obr. 1 Regulačný diagram Rozptyl vnútri hraníc predstavuje prirodzenú variabilitu, ktorá nie je spôsobená inými príčinami. Na variabilitu procesu môžeme nazerať z pohľadu meraných výstupov procesu a tolerančných hraníc, ktoré určujú, či výrobok je dobrý alebo zlý a odzrkadľujú potreby zákazníka. Druhý pohľad je skúmanie vplyvu náhodných a vymedziteľných príčin a hľadanie možností znižovania variability výrobného procesu. Tu sa používajú regulačné diagramy. Peter Bober 2008-2013
Hustota pravdepodobnosti f(x) Štatistické riadenie procesov Regulačné diagramy 3-2 3.2 Štatistický základ regulačných diagramov Regulačné diagramy vychádzajú zo štatistických testov hypotéz. Uvažujme prípad: vyrába sa súčiastka, ktorej dôležitý parameter X sa meria. Tento parameter bude predmetom štatistickej regulácie. Predpokladáme, že regulovaná veličina X má normálne rozdelenie s μ=46 a σ=0,3. Počas výroby chceme overiť, či stredná hodnota parametra X zostala nezmenená. Budeme testovať dvojicu hypotéz na hladine významnosti α: Vyberieme n súčiastok, zmeriame parameter každej súčiastky a vypočítame priemer: Vypočítaný priemer je bodový odhad strednej hodnoty μ a bude pre každý výber iný, teda je to náhodná veličina. Zaujíma nás stredná hodnota a smerodajná odchýlka tejto novej náhodnej veličiny. Priemer predstavuje súčet n hodnôt x i, pričom každá hodnota x i je náhodná veličina s normálnym rozdelením s μ=46 a σ=0,3. Pre strednú hodnotu a smerodajnú odchýlku súčtu náhodných veličín platí: V grafe je znázornená hustota pravdepodobnosti veličiny pre n=5: 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 45,5 45,6 45,7 45,8 45,9 46 46,1 46,2 46,3 46,4 46,5 Kritická oblasť testu α/2 α/2 1-α (α - hladina významnosti) Charakteristika x α/2 kvantil 1-α/2 kvantil Ak stále platí hypotéza H 0, potom priemer bude ležať v intervale ( ) s pravdepodobnosťou 1-α (citlivosť testu). Pravdepodobnosť, že by priemer ležal príliš ďaleko od stredu až v kritickej oblasti testu je malá (α sa zvykne voliť 0,0027). Preto prehlásime, že taká veľká odchýlka znamená posun strednej hodnoty μ a hypotézu H 0 zamietame. Musíme si však uvedomiť, že s pravdepodobnosťou α sa dopúšťame chyby (chyba prvého druhu). V opačnom prípade prijímame hypotézu H 0. Peter Bober 2008-2013
Štatistické riadenie procesov Regulačné diagramy 3-3 Kvantily určíme pomocou normovaného normálneho rozdelenia u. Náhodnú veličinu prerátame na u podľa vzťahu: Kritická oblasť testu (zamietnutie H 0 ) je pre čo je to isté ako a a pretože pre normálne normované rozdelenie s μ norm =0 a σ norm =1 platí: Nech, potom. Takto budú regulačné hranice vo vzdialenosti 3 sigma od centrálnej priamky: Pravdepodobnosť α sa nazýva riziko zbytočného signálu (mylné zamietnutie hypotézy H 0 ). V štatistických testoch poznáme aj pravdepodobnosť mylného prijatia hypotézy H 0 ak platí hypotéza H 1 (chyba druhého druhu), ktorá sa označuje ako β a nazýva sa riziko chýbajúceho signálu. Pre 3 sigma regulačné diagramy je riziko zbytočného signálu 0,0027. Diagramy založené na tomto princípe sa volajú aj Shewhartove regulačné diagramy podľa W. A. Shewharta. 3.3 Rozsah a frekvencia výberu Väčší rozsah výberu skôr zachytí aj menšiu zmenu regulovanej veličiny ale zvyšuje náklady na meranie. Vhodný rozsah výberu (počet meraní) je možné zvoliť podľa operatívnej charakteristiky testu (pozri obr.). Operatívna charakteristika testu vyjadruje pravdepodobnosť β pre rôzne hodnoty posunu regulovanej veličiny a rôzne hodnoty rozsahu n. β 1 0,5 n=15 n=10 n=10 0 46 46,01 46,02 46,03 46,04 Z operatívnej charakteristiky testu môžeme zvoliť rozsah výberu tak, aby pravdepodobnosť nesprávneho prijatia hypotézy H 0 bola známa a akceptovateľná. Zvolíme primeranú pravdepodobnosť chýbajúceho signálu β a posun hodnoty Peter Bober 2008-2013
Štatistické riadenie procesov Regulačné diagramy 3-4 parametra. Z operatívnej charakteristiky potom určíme požadovaný rozsah výberu n. Vysoká frekvencia výberu zvyšuje náklady na meranie, ale zvyšuje aj pravdepodobnosť včasného odhalenia posunu regulovanej veličiny. Priemerná dĺžka priebehu ARL (average run length) je priemerný počet výberov pred tým, ako dostaneme signál. Pre 3 sigma regulačné diagramy sa ARL vypočíta: Ak je proces stabilný, potom diagram vytvorí zbytočný signál priemerne raz za 370 výberov. Podobne môžeme určiť, ako často sa v priemere vyšle signál pri nestabilnom procese. Z operatívnej charakteristiky testu určíme pre rozsah výberu n a hodnotu posunu parametra pravdepodobnosť β. Priemerná dĺžka priebehu (počet výberov medzi vyslaním signálu) potom bude 3.4 Logické podskupiny Merania, použité vo výbere, majú byť zoskupené tak, aby v rámci skupiny pôsobili len náhodné príčiny variability. Napríklad: merania majú časovo nasledovať za sebou, merania sa zoskupujú podľa stroja alebo pracovníka. merania sa zoskupujú podľa dodávateľa surovín. Ak výber meraní nezohľadní uvedené podmienky, potom sa v meraniach prejavia okrem náhodných príčiny variability aj vymedziteľné príčiny, napr. vplyv konkrétneho pracovníka na výsledok procesu. 3.5 Zoskupenie bodov v regulačných diagramoch Určité zoskupenia bodov v regulačnom diagrame sú pri stabilnom procese málo pravdepodobné a preto je ich možné využiť na signalizáciu prítomnosti vymedziteľných príčin. Na nasledovnom obrázku je uvedený príklad šiestich za sebou ležiacich bodov, ktoré stále stúpajú: +3 +2 + - -2-3 A B C C B A UCL CL LCL Niektoré typické zoskupenia bodov signalizujúce prítomnosť vymedziteľných príčin: 1. jeden bod leží za zónou A, 2. šesť bodov v rade za sebou stúpa alebo klesá, Peter Bober 2008-2013
Štatistické riadenie procesov Regulačné diagramy 3-5 3. dva z troch bodov v rade za sebou ležia v zóne A alebo mimo nej, 4. pätnásť bodov v rade za sebou leží v zóne C (nad alebo pod CL), 5. deväť bodov v rade za sebou leží v zóne C alebo za ňou, 6. štrnásť bodov za sebou pravidelne kolíše hore a dolu, ale žiadny neleží v zóne C, 7. štyri body z piatich za sebou ležia v zóne B alebo nad ňou, 8. osem bodov v rade za sebou leží na oboch stranách od CL. Zhrnutie Regulačné diagramy sú nástroj pre sledovanie štatistickej stability procesu. Poskytujú výstražný signál o narušení stability. Regulačný diagram ma centrálnu priamku, hornú regulačnú hranicu a dolnú regulačnú hranicu a postupne sa doň zakresľuje nameraná charakteristika. Odvodenie regulačných hraníc je urobené na základe testovania hypotéz, kde sa volí hladina významnosti alfa. Ak charakteristika leží mimo regulačných hraníc diagramu, potom predpokladáme, že stabilita procesu bola narušená. Pravdepodobnosť falošného signálu je alfa. Pravdepodobnosť chýbajúceho signálu o narušení stability sa označuje beta. Regulačné hranice ležia pre tzv. 3 sigma diagramy vo vzdialenosti tri sigma od strednej hodnoty. Otázky 1. Na aký účel slúži regulačný diagram? 2. Čo obsahuje typický regulačný diagram? 3. Na akom štatistickom základe sú formulované regulačné hranice diagramu? 4. Vysvetlite interpretáciu chyby prvého druhu alfa a chybu druhého druhu beta štatistického testu. 5. Aký je 3 sigma regulačný diagram? 6. Aká je pravdepodobnosť falošného poplachu pre 3 sigma diagram? 7. Čo znamená hladina významnosti alfa pri regulačnom diagrame? 8. Čo znázorňuje operatívna charakteristika regulačného diagramu? 9. Vysvetlite význam pojmu priemerná dĺžka priebehu. 10. Čo je logická podskupina a ako sa vytvára? 11. Uveďte aspoň 4 typické zoskupenia bodov v diagrame, ktoré signalizujú prítomnosť vymedziteľných príčin. Miesto pre poznámky 3.6 Literatúra [1] Terek, Milan - Ľubica Hrnčiarová: Štatistické riadenie kvality. Bratislava: Iura Edition, 2004. ISBN 80-89047-97-1, s. 21-29 28.2.2013 8:52 Peter Bober 2008-2013