Φασµατική επεξεργασία και φιλτράρισµα χρονοσειρών γεωδαιτικού ενδιαφέροντος

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Τµήµα Αγρονόµων και Τοπογράφων Μηχανικών Πρόγραµµα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Γεωπληροφορικής» Κατεύθυνση "Σύγχρονες Γεωδαιτικές Εφαρµογές Φασµατική επεξεργασία και φιλτράρισµα χρονοσειρών γεωδαιτικού ενδιαφέροντος ιαµαντής Παπανικολάου Επιβλέπων καθηγητής: ηµήτριος Τσούλης Θεσσαλονίκη 21

Περίληψη Η παρούσα µεταπτυχιακή εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια του µεταπτυχιακού προγράµµατος Γεωπληροφορικής στην κατεύθυνση Σύγχρονες Γεωδαιτικές Εφαρµογές του τµήµατος Αγρονόµων και Τοπογράφων Μηχανικών. Πραγµατεύεται την επεξεργασία σήµατος και το φιλτράρισµα χρονοσειρών µε έµφαση σε γεωδαιτικά δεδοµένα. Εστιάζοντας στο γεγονός ότι κάθε παρατήρηση ενός φυσικού φαινοµένου συνοδεύεται από θόρυβο, ένας τυπικός στόχος της επεξεργασίας σήµατος αποτελεί το φιλτράρισµα του σήµατος και ο διαχωρισµός του θορύβου από το αρχικό σήµα. Στο πρώτο µέρος της εργασίας παρουσιάζεται η θεωρητική ανάλυση της επεξεργασίας σήµατος στο πεδίο των αποστάσεων και στο πεδίο των συχνοτήτων. Στα ίδια πεδία ορισµού εξετάζονται τα µαθηµατικά µοντέλα ορισµένων χαρακτηριστικών φίλτρων. Στα πλαίσια της εργασίας αναπτύχθηκε ένα πακέτο λογισµικού σε περιβάλλον MATLAB για την ανάλυση και το φιλτράρισµα σηµάτων. Προγραµµατίσθηκαν το µη γραµµικό φίλτρο Hampel και εννέα γραµµικά (boxcar, triangular, Hamming, Hanning, optimal, Butterworth, Chebyshev I, Chebyshev II, elliptic). Τα φίλτρα αυτά εφαρµόσθηκαν στις παρατηρήσεις βαρυτηµέτρων υπεραγωγιµότητας του δικτύου GGP (Global Geodynamics Program), στις µετρήσεις του επιταχυνσιοµέτρου της δορυφορικής αποστολής CHAMP (Challenging Minisatellite Payload) και στις χρονοσειρές παραµέτρων προσανατολισµού της γης (EOP, Earth Orientation Parameters) που διατίθενται από την IERS (International Earth Rotation Service). Στόχος της εργασίας ήταν να πραγµατοποιηθεί µια διεξοδική διερεύνηση των µαθηµατικών παραµέτρων των ανωτέρω φίλτρων, ώστε να ποσοτικοποιηθεί ο ρόλος τους στην ανάλυση χρονοσειρών. Η συγκεκριµένη διερεύνηση οδήγησε σε µία ποσοτική αξιολόγηση των συγκεκριµένων φίλτρων επιτρέποντας µια σχετική κατάταξή τους από την ανάλυση κάθε µίας χρονοσειράς. i

Abstract The present thesis has been carried out in the frame of the postgraduate program Geoinformatics, specialization Modern Geodetic Applications at the faculty of Rural and Surveying Engineering, Aristotle University of Thessaloniki. Main scope of the thesis was to present the main features of signal processing and filtering and apply them to current geodetic data. Taking into consideration that every observation of a phenomenon is accompanied by noise, a typical goal of signal processing is the filtering and the noise separation from the initial data. The first part of the thesis presents the theoretical analysis of signal processing in both the space and frequency domains. Furthermore this part of the thesis examines the mathematical models of some characteristic filters defined in the same domains. In the frame of the thesis a software package has been developed in MATLAB. The non linear Hampel filter and nine linear ones (boxcar, triangular, Hamming, Hanning, optimal, Butterworth, Chebyshev I, Chebyshev II, elliptic) have been implemented. These filters have been applied to GGP (Global Geodynamics Program) observations, CHAMP (Challenging Minisatellite Payload) accelometer data and EOP (Earth Orientation Parameters) time series, which are given by the IERS (International Earth Rotation Service). One of the main objectives was to perform an extensive numerical investigation of the involved mathematical parameters of the aforementioned filters in order to quantify their contribution to the time series analysis scheme. This investigation led to a numerical assessment of these filters, permitting at the same the performance of a relative validation of the different filters, as applied to the same time series. ii

Ευχαριστίες Στο σηµείο αυτό, θα ήθελα να εκφράσω κάποιες ιδιαίτερες ευχαριστίες. Πρώτα απ όλα θα ήθελα να ευχαριστήσω θερµά τον επιβλέποντα καθηγητή µου κ. ηµήτριο Τσούλη για τις καθοδηγητικές συµβουλές του, την πλούσια βιβλιογραφία που παρείχε και κυρίως για την ανεξάντλητη υποµονή που επέδειξε στις πολύωρες και εποικοδοµητικές συζητήσεις µας καθ όλη την διάρκεια ολοκλήρωσης της εργασίας. Επίσης ιδιαίτερες ευχαριστίες αξίζουν οι γονείς µου για την συνεχή στήριξή τους. Παράλληλα θα ήθελα να ευχαριστήσω δύο άτοµα που το καθένα µε τον δικό του, ξεχωριστό τρόπο, µε βοήθησε σηµαντικά για την διεκπεραίωση αυτής της εργασίας. Στον Mr. Tomas και στην Snrta Olhia. Τέλος θα ήθελα να αναφερθώ στον φίλο που µας βλέπει από µακριά. iii

Περιεχόµενα Περίληψη....i Abstract....ii Ευχαριστίες......iii Περιεχόµενα....iv 1. Εισαγωγή...1 2. Επεξεργασία σήµατος...3 2.1 Γενικά....3 2.2 Επεξεργασία σήµατος στο πεδίο των αποστάσεων...4 2.2.1 Τύποι σηµάτων.....4 2.2.2 Συστήµατα....6 2.2.3 Εξισώσεις διαφορών........8 2.2.4 Απόκριση σε ώθηση Συνέλιξη........8 2.3 Επεξεργασία σήµατος στο πεδίο των συχνοτήτων..11 2.3.1 Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου...11 2.3.2 ιακριτός µετασχηµατισµός Fourier..14 2.3.3 Ταχύς µετασχηµατισµός Fourier 16 2.3.4 Συνέλιξη στο πεδίο των συχνοτήτων.17 3. Φίλτρα..2 3.1 Ορισµός φίλτρου.. 2 3.2 Κατηγορίες ιδανικών φίλτρων....21 3.3 Μη ιδανικά φίλτρα...23 3.4 Φίλτρα πεπερασµένης απόκρισης σε ώθηση (FIR)....24 3.4.1 Μέθοδοι σχεδίασης FIR φίλτρων... 26 3.4.2 Μέθοδος Παραθύρων...26 iv

3.4.3 Μέθοδος βέλτιστων ισοκυµατικών φίλτρων..32 3.5 Φίλτρα άπειρης απόκρισης σε ώθηση (ΙIR)...33 3.5.1 Μέθοδοι σχεδίασης ΙIR φίλτρων....35 3.6 Φίλτρα εντοπισµού και αντικατάστασης ακραίων τιµών (Hampel Filter)....38 4. Προγραµµατισµός φίλτρων...42 4.1 Προγραµµατισµός στο MATLAB... 46 5. Εφαρµογές των φίλτρων σε γεωδαιτικά δεδοµένα...5 5.1 Ανάλυση των δεδοµένων.....5 5.1.1 εδοµένα προγράµµατος GGP...51 5.1.2 εδοµένα δορυφορικής αποστολής CHAMP...52 5.1.3 εδοµένα χρονοσειρών EOP...55 5.2 Επεξεργασία των δεδοµένων...56 5.2.1 Φιλτράρισµα σήµατος δεδοµένων προγράµµατος GGP...57 5.2.2 Φιλτράρισµα σήµατος επιταχυνσιοµέτρου δορυφορικής αποστολής CHAMP.74 5.2.3 Φιλτράρισµα σήµατος χρονοσειρών EOP..81 6. Συµπεράσµατα...91 Βιβλιογραφία...94 v

1 Εισαγωγή Τα σύγχρονα δεδοµένα στην επιστήµη της γεωδαισίας και γενικότερα στις γεωεπιστήµες δίνονται µε τη µορφή χρονοσειρών. Τέτοιες χρονοσειρές µπορεί να είναι για παράδειγµα οι καταγραφές ενός παλιρροιογράφου, οι επαναλαµβανόµενες µετρήσεις ενός απόλυτου βαρυτηµέτρου, οι παρατηρήσεις του επιταχυνσιοµέτρου των δορυφορικών αποστολών CHAMP (CHAllenging Minisatellite Payload) και GRACE (Gravity Recovery and Climate Experiment), οι παρατηρήσεις των δευτέρων παραγώγων του ελκτικού δυναµικού από την αποστολή GOCE (Gravity Ocean Circulation Explorer) κ.α. Οι πρωτογενείς αυτές παρατηρήσεις χαρακτηρίζονται από θόρυβο που µπορεί να εκφράζει είτε τις ατέλειες των οργάνων µέτρησης, είτε άλλες εξωτερικές επιδράσεις. Ως σήµα (signal) ορίζεται µία χρονική ακολουθία τιµών, η οποία περιέχει πληροφορίες που περιγράφουν τις µεταβολές ενός φυσικού µεγέθους. Μαθηµατικά τα σήµατα µπορούν να περιγραφούν από συναρτήσεις ως προς µία ή ως προς περισσότερες ανεξάρτητες µεταβλητές. ηλαδή ένα σήµα µπορεί να περιγραφεί και συναρτησιακά ως µία εξαρτηµένη µεταβλητή x(t), η οποία µεταβάλλεται συναρτήσει µίας ποσότητας t (ανεξάρτητη µεταβλητή). Μερικά παραδείγµατα σηµάτων αποτελούν η µεταβολή της έντασης του ήχου ως προς το χρόνο, η µεταβολή της έντασης της ηλεκτροµαγνητικής ακτινοβολίας που εκπέµπεται από ένα δορυφόρο συναρτήσει του χρόνου, η τιµή της λαµπρότητας κάθε εικονοστοιχείου µίας εικόνας ως συνάρτηση δύο χωρικών µεταβλητών κ.α. Η επεξεργασία σήµατος (signal processing) σχετίζεται µε την ανάλυση, τον µετασχηµατισµό το φιλτράρισµα και τη διαχείριση σηµάτων. Ένας τυπικός στόχος της αποτελεί η αποκοπή του θορύβου από τις παρατηρήσεις ενός φυσικού 1

φαινοµένου. Έτσι, έστω οι παρατηρήσεις ενός φυσικού µεγέθους δίνονται από ένα σήµα m(t). Εάν s(t) είναι το σήµα που αντιστοιχεί στις άγνωστες τιµές που εκφράζουν το φυσικό µέγεθος, τότε η σχέση που συνδέει τα δύο σήµατα θα είναι της µορφής: m( t) = s( t) + v( t), (1.1) όπου v(t) αποτελεί το σήµα θορύβου που συνοδεύει τις παρατηρήσεις. Η εκτίµηση του σήµατος s(t) και ο διαχωρισµός του από το αρχικό σήµα m(t) αποτελεί αντικείµενο της επεξεργασίας σήµατος. Η ανάπτυξη της παρούσας εργασίας χωρίζεται σε δύο βασικά µέρη: Θεωρητική ανάλυση: Στο πρώτο µέρος παρουσιάζεται η θεωρία της επεξεργασίας σήµατος καθώς και η ανάπτυξη του αντίστοιχου µαθηµατικού υποβάθρου. Η ανάλυση αυτή συνοδεύεται από την ανάπτυξη των φίλτρων που εξετάσθηκαν στην παρούσα εργασία. Αριθµητική εφαρµογή: Τα φίλτρα που αναπτύχθηκαν, εφαρµόζονται σε χρονοσειρές πραγµατικών δεδοµένων γεωδαιτικού ενδιαφέροντος µέσω ενός πακέτου λογισµικού που αναπτύχθηκε στα πλαίσια της εργασίας σε περιβάλλον MATLAB. Η αριθµητική διερεύνηση των φίλτρων οδηγεί στην εξαγωγή συµπερασµάτων όσον αφορά την χρήση και την αξιολόγηση τους και προσφέρει ένα χρήσιµο υπόβαθρο για την επεξεργασία άλλων χρονοσειρών. 2

2 Επεξεργασία σήµατος 2.1 Γενικά Η επεξεργασία σήµατος πραγµατοποιείται σε δύο πεδία τιµών. Στο πεδίο των αποστάσεων (space domain) και στο πεδίο των συχνοτήτων (frequency domain). Ο διαχωρισµός αυτός βασίζεται στο πεδίο ορισµού των τιµών του σήµατος που έχει σαν αποτέλεσµα την διαφορετική διαδικασία ανάλυσής του. Στην πρώτη περίπτωση το πεδίο ορισµού (χρόνος, αποστάσεις κ.λ.π.) εξαρτάται από το είδος του σήµατος και η επεξεργασία γίνεται απευθείας στο σήµα χωρίς κάποια αρχική διεργασία. Στη δεύτερη περίπτωση αρχικά το σήµα µετασχηµατίζεται και το νέο πεδίο ορισµού είναι το πεδίο των συχνοτήτων. Για τον µετασχηµατισµό αυτό στη παρούσα εργασία εξετάζονται οι µετασχηµατισµοί Fourier. Στη συνέχεια επεξεργάζονται οι τιµές του σήµατος στο πεδίο των συχνοτήτων και µε αντίστροφο µετασχηµατισµό από το πεδίο των συχνοτήτων περνάµε σε εκείνο των αποστάσεων. Η δεύτερη περίπτωση είναι γνωστή και ως φασµατική ανάλυση του σήµατος. Λόγω της υψηλής αριθµητικής ακρίβειας των µετασχηµατισµών (ευθύς και αντίστροφος) η διαδικασία αυτή είτε πραγµατοποιείται στο ένα πεδίο είτε στο άλλο δίνει τα ίδια αποτελέσµατα. Πεδίο των αποστάσεων Αρχικό σήµα Επεξεργασία Τελικό σήµα α) 3

Πεδίο των συχνοτήτων Αρχικό σήµα Μετασχηµατισµός Σήµα (στο πεδίο των συχνοτήτων) Επεξεργασία Επεξεργασία Τελικό σήµα (στο πεδίο των συχνοτήτων) Αντίστροφος Μετασχηµατισµός Τελικό σήµα β) Σχήµα 2.1: ιαγράµµατα επεξεργασίας σήµατος, α) πεδίο αποστάσεων, β) πεδίο συχνοτήτων. 2.2 Επεξεργασία σήµατος στο πεδίο των αποστάσεων Στο πρώτο µέρος αυτού του κεφαλαίου αναλύεται η επεξεργασία σήµατος στο πεδίο των αποστάσεων και συνοδεύεται από το αντίστοιχο µαθηµατικό υπόβαθρο. Στη συνέχεια, στο δεύτερο µέρος γίνεται η αντίστοιχη ανάλυση στο πεδίο των συχνοτήτων. 2.2.1 Τύποι σηµάτων Τα σήµατα ταξινοµούνται σε δύο βασικές κατηγορίες: στα σήµατα συνεχούς χρόνου (continuous time) και στα σήµατα διακριτού χρόνου (discrete time). Ο διαχωρισµός αυτός βασίζεται στο είδος της ανεξάρτητης µεταβλητής. Ας σηµειωθεί ότι η ανεξάρτητη µεταβλητή που στις δύο παραπάνω περιπτώσεις θεωρείται ο χρόνος, µπορεί να λάβει τιµές και από άλλο πεδίο ορισµού. Για παράδειγµα η µεταβολή της πίεσης στην ατµόσφαιρα ως προς το ύψος είναι ένα σήµα συνεχούς χρόνου όπου η ανεξάρτητη µεταβλητή είναι το ύψος και όχι ο χρόνος. Συνεπώς τα σήµατα συνεχούς και διακριτού χρόνου πρέπει να θεωρούνται όροι που αναφέρονται σε οποιαδήποτε συνεχής η διακριτή µεταβλητή, αντιστοίχως (Oppenheim et al 1999). 4

Στα σήµατα συνεχούς χρόνου (continuous time) η ανεξάρτητη µεταβλητή είναι συνεχής, δηλαδή µπορεί να λάβει µία οποιαδήποτε τιµή σε ένα συνεχές διάστηµα. Το πεδίο ορισµού της είναι ένα υποσύνολο ή το σύνολο των πραγµατικών αριθµών R. Τα σήµατα αυτά ονοµάζονται και αναλογικά σήµατα (analog signals). Ένα τέτοιο σήµα µαθηµατικά περιγράφεται συµφωνά µε µία εξίσωση της µορφής x(t) όπου t πραγµατικός αριθµός και απεικονίζεται στο σχήµα 2.2α. Ως παραδείγµατα αναλογικών σηµάτων αποτελούν η ένταση του ήχου ως συνάρτηση του χρόνου, το µέτρο της επιτάχυνσης της βαρύτητας ως συνάρτηση του ύψους κ.α. Στα σήµατα διακριτού χρόνου (discrete time) η ανεξάρτητη µεταβλητή είναι διακριτή, λαµβάνει δηλαδή διακριτές τιµές στο πεδίο ορισµού της που είναι ένα υποσύνολο ή το σύνολο των ακέραιων αριθµών Z. Ένα τέτοιο σήµα µαθηµατικά περιγράφεται ως µία ακολουθία x(n), όπου n ένας ακέραιος αριθµός και απεικονίζεται στο σχήµα 2.2β. Οι συντεταγµένες ενός σηµείου από µετρήσεις σε γνωστά τακτά χρονικά διαστήµατα, τα δεδοµένα του επιταχυνσιοµέτρου ενός δορυφόρου που καταγράφονται µε σταθερή περίοδο αποτελούν κάποια παραδείγµατα σηµάτων διακριτού χρόνου. x(t) x(n) 1.8 1.6 t 1.4 1.2 1.8.6.4.2 n (a) -.2 2 4 6 8 1 12 14 16 18 (β) Σχήµα 2.2: Τύποι σηµάτων: α) συνεχούς χρόνου, β) διακριτού χρόνου Στη παρούσα εργασία εξετάζονται χρονοσειρές που είναι σήµατα διακριτού χρόνου. Συνεπώς η θεωρητική ανάλυση που ακολουθεί αναφέρεται µόνο σε τέτοιου είδους σήµατα. 5

2.2.2 Συστήµατα Ένα σύστηµα µπορεί να θεωρηθεί ως ένας µηχανισµός µεταξύ σηµάτων που δέχεται ως είσοδο ένα σήµα x(n) και παράγει ως έξοδο ένα άλλο σήµα y(n) ( ερµάνης 1999). Μαθηµατικά λοιπόν ένα σύστηµα εκφράζεται ως ένας τελεστής T, δηλαδή ένας τρόπος απεικόνισης µίας συνάρτησης σε µία άλλη, δηλαδή ( ) T x( n) y n =. (2.1) x(n) T y(n) Σχήµα 2.3: Σύστηµα εισόδου και εξόδου. Η έξοδος του συστήµατος y(n) ονοµάζεται και απόκριση του συστήµατος (system response) ενώ η είσοδος x(n) είναι γνωστή και ως αίτιο. Στη συνέχεια ακολουθούνε κάποια βασικά χαρακτηριστικά συστηµάτων. Γραµµικό (linear) είναι το σύστηµα εκείνο στα οποίο ισχύει η αρχή της υπέρθεσης. ηλαδή αν η είσοδος του συστήµατος αποτελείται από ένα γραµµικό συνδυασµό σηµάτων τότε η έξοδος του συστήµατος ισούται µε τον ίδιο γραµµικό συνδυασµό των εξόδων του συστήµατος. Μαθηµατικά αυτό εκφράζεται ως εξής: αν y 1 (n) είναι η απόκριση ενός συστήµατος στην είσοδο x 1 (n) και y 2 (n) είναι η απόκριση του ίδιου συστήµατος στην είσοδο x 2 (n), τότε η απόκριση αυτού του συστήµατος στην είσοδο ax 1 (n)+bx 2 (n), θα είναι ίση µε ay 1 (n)+by 2 (n), όπου a και b τυχαίοι σταθεροί πραγµατικοί αριθµοί. Έτσι αν ( ) = T ( ) και y ( ) ( ) 2 n T x2 n y n x n 1 1 =, τότε ισχύει ( ) = T ( ) + ( ) = T ( ) + T ( ) = ( ) + ( ) y n ax n bx n a x n b x n ay n by n 1 2 1 2 1 2. (2.2) 6

Χρονικά αµετάβλητο (time invariant) ονοµάζεται το σύστηµα κατά το οποίο µία χρονική µετατόπιση της εισόδου αντιστοιχεί στην ίδια χρονική µετατόπιση της εξόδου. Αυτό είναι ένα σύστηµα που παράγει το ίδιο αποτέλεσµα y(n) για το ίδιο αίτιο x(n), ανεξάρτητα από την χρονική στιγµή εφαρµογής του. ηλαδή αν y(n) είναι η έξοδος του συστήµατος µε είσοδο x(n), τότε για χρονική µετατόπιση ίση µε n, η έξοδος y(n-n ) του ίδιου συστήµατος αντιστοιχεί σε είσοδο ίση µε x(n-n ). Αν τότε ισχύει ( ) T x( n) y n =, ( ) = T ( ) y n n x n n. (2.3) Τα συστήµατα που πληρούν τις προϋποθέσεις των δύο παραπάνω χαρακτηριστικών είναι γνωστά ως γραµµικά και χρονικά αµετάβλητα συστήµατα ή LTI systems (Linear Time Invariant). Ευσταθές (stable) ονοµάζεται ένα σύστηµα εάν και µόνο εάν κάθε περιορισµένη είσοδος παράγει µία περιορισµένη έξοδο (BIBO, Bounded Input Bounded Output), δηλαδή για x( n ) < θα ισχύει y( n ) <. ηλαδή ένα τέτοιο σύστηµα εξασφαλίζει ότι αν η είσοδος είναι περιορισµένη και δεν απειρίζεται τότε και η απόκρισή του δε θα απειρίζεται. Αιτιατό (causal) σύστηµα είναι εκείνο του οποίου η έξοδος, σε κάθε χρονική στιγµή, εξαρτάται µόνο από τις τιµές του σήµατος εισόδου στην τρέχουσα χρονική στιγµή καθώς και σε προηγούµενες τιµές. ηλαδή αναφέρεται σε ένα σύστηµα στο οποίο το αποτέλεσµα ποτέ δε προηγείται του αιτίου. Έτσι η έξοδος για n= n εξαρτάται από 7

τις τιµές της εισόδου µόνο για n n. ηλαδή συστήµατα της µορφής y( n) = x( n) και y( n) = x( n) + x( n 1) είναι αιτιατά, ενώ συστήµατα της µορφής y( n) = x( n+ 1) και y( n) = x( n) x( n+ 1) δεν χαρακτηρίζονται ως αιτιατά. 2.2.3 Εξισώσεις διαφορών Μία σηµαντική κατηγορία LTI συστηµάτων είναι εκείνη στην οποία το σήµα εισόδου x(n) συνδέεται µε το σήµα εξόδου y(n) µέσω µίας γραµµικής εξίσωσης διαφορών (difference equation). Η γενική έκφραση µίας τέτοιας εξίσωσης δίνεται από τη σχέση N i ( ) i ( ), (2.4) y( n) = a x n i b y n i M i= i= 1 όπου α i και b i αποτελούν τους συντελεστές του συστήµατος και είναι σταθεροί πραγµατικοί αριθµοί. Στην επεξεργασία του σήµατος µε LTI συστήµατα χρησιµοποιούνται κυρίως γραµµικές εξισώσεις διαφορών στη σύνδεση σήµατος εισόδου και εξόδου. 2.2.4 Απόκριση σε ώθηση Συνέλιξη Ένα βασικό σήµα για την θεωρητική ανάλυση των σηµάτων στο πεδίο των αποστάσεων είναι o µοναδιαίος παλµός (unit sample sequence) που ορίζεται ως δ ( n) 1, n= =, n (2.5) και είναι γνωστός ως η συνάρτηση δέλτα του Dirac (Dirac delta function). Έχει την ιδιότητα κάθε σήµα να µπορεί να γράφεται µε τη µορφή 8

x( n) = x( m) δ ( n - m). (2.6) m= - Εάν ο µοναδιαίος παλµός δ(n) εφαρµοσθεί στην είσοδο ενός LTI συστήµατος, τότε το σήµα εξόδου το οποίο θα παρατηρηθεί δίνει τα χαρακτηριστικά του συστήµατος. Αυτό το σήµα εξόδου, που συνήθως συµβολίζεται µε h(n), ονοµάζεται απόκριση σε ώθηση ή κρουστική απόκριση (impulse response). Άρα σε ένα LTI σύστηµα όταν η είσοδος είναι το µοναδιαίο σήµα δ(n) τότε η έξοδος y(n) ισούται µε την απόκριση σε ώθηση h(n) σύµφωνα µε τη σχέση ( ) ( ) T δ( ) y n = h n = n. (2.7) Εφόσον το σήµα h(n) αποτελεί την απόκριση ενός LTI συστήµατος µε είσοδο τον παλµό δ(n) τότε λόγω του ότι το σύστηµα είναι χρονικά αµετάβλητο ένα σήµα εξόδου h(n-m) οφείλεται σε ένα παλµό δ(n-m). Παρόµοια, λόγω της γραµµικότητας του συστήµατος σε ένα σήµα εισόδου της µορφής x(m)δ(n-m) η απόκρισή του ισούται µε x(m)h(n-m) (Rabiner and Gold, 1975). Συνεπώς η απόκριση y(n) ενός LTI συστήµατος µε είσοδο ένα σήµα x(n) δίνεται από τη σχέση ( ). (2.8) y( n) = x( m) h n m m= Η παραπάνω εξίσωση γράφεται εναλλακτικά µε την παρακάτω µορφή που είναι γνωστή ως συνέλιξη (convolution) των δύο ακολουθιών x(n) και h(n) και δίνεται από τη σχέση y( n) = x( n)* h( n). (2.9) Η απόκριση y(n) ενός LTI συστήµατος που υπολογίζεται από τη συνέλιξη των ακολουθιών x(n) και h(n) παρουσιάζεται σχηµατικά στο επόµενο σχήµα. 9

LTI system x(n) h(n) y(n) = h(n)*x(n) Σχήµα 2.4: Σύστηµα LTI Η συνέλιξη όπως περιγράφηκε παραπάνω ονοµάζεται και γραµµική συνέλιξη (linear convolution). Οι σχέσεις 2.8 και 2.9 δόθηκαν για σήµατα x(n) και h(n) µε < n<. Στην πραγµατικότητα όµως τα σήµατα x(n) και h(n) είναι πεπερασµένου µήκους Ν 1 και Ν 2 αντίστοιχα. Το τελικό σήµα y(n) αποτελείται από Ν=Ν 1 +Ν 2-1 όρους και δίνεται από τη σχέση N 1 y( n) = x( n)* h( n) = x( m) h n m ( ). (2.1) m= Η συνέλιξη δύο περιοδικών σηµάτων x p (n) και h p (n), µήκους Ν το καθένα ονοµάζεται κυκλική ή περιοδική συνέλιξη (circular or periodic convolution). Το τελικό σήµα y p (n) µήκους Ν δίνεται από τη σχέση N 1 y ( n) = x ( n) h ( n) = x ( m) h n m p p p p p m= ( ). (2.11) Ιδιότητες συνέλιξης Οι ιδιότητες της συνέλιξης που ακολουθούν ισχύουν και για τα δύο είδη συνελίξης, γραµµικής και κυκλικής, είναι η αντιµεταθετική, η προσεταιριστική και η επιµεριστική. Αντιµεταθετική ιδιότητα: x ( n)* x ( n) = x ( n)* x ( n). (2.12) 1 2 2 1 1

Προσεταιριστική ιδιότητα: [ ] [ ] x ( n)* x ( n)* x ( n) = x ( n)* x ( n) * x ( n). (2.13) 1 2 3 1 2 3 Επιµεριστική ιδιότητα: [ ] x ( n)* x ( n) + x ( n) = x ( n)* x ( n) + x ( n)* x ( n). (2.14) 1 2 3 1 2 1 3 2.3 Επεξεργασία σήµατος στο πεδίο των συχνοτήτων Η µέθοδος ανάλυσης και επεξεργασίας σηµάτων όπως περιγράφτηκε µέχρι εδώ εφαρµόζεται στο πεδίο των αποστάσεων. Εναλλακτικά αυτή η επεξεργασία µπορεί να υλοποιηθεί στο χώρο των συχνοτήτων. Πρώτα όµως απαιτείται η µετατροπή των σηµάτων από το χώρο των αποστάσεων στο χώρο των συχνοτήτων και αυτή γίνεται µε τους µετασχηµατισµούς Fourier. Όπως αναφέρθηκε και προηγουµένως τα αριθµητικά δεδοµένα που αναλύονται στην εργασία αφορούνε αποκλειστικά σήµατα διακριτού χρόνου, συνεπώς η ανάλυση των µετασχηµατισµών Fourier που ακολουθεί επικεντρώνεται σε αυτού του είδους τα σήµατα. 2.3.1 Μετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου Ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου (DTFT, Discrete Time Fourier transformation) ενός σήµατος διακριτού χρόνου x(n) είναι η αναπαράσταση του σήµατος αυτού ως συνδυασµός µιγαδικών εκθετικών συναρτήσεων της µορφής j n e ω, όπου ω η γωνιακή συχνότητα (angular frequency) που εκφράζεται σε rad/sec.ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου του σήµατος x(n), που ονοµάζεται και φάσµα (spectrum) εκφράζεται µαθηµατικά από την σχέση X j n = x n e ω. (2.15) n= ( ω) ( ) 11

Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου ορίζεται ως π 1 jωn x( n) = X( ω) e dω 2. (2.16) π π Οι σχέσεις 2.15 και 2.16 αποτελούν το ζεύγος του µετασχηµατισµού Fourier διακριτού χρόνου. Για να δηλώσουµε ότι η συνάρτηση Χ(ω) είναι ο µετασχηµατισµός F{ } Fourier του σήµατος x(n), γράφουµε συµβολικά X( ω ) = x( n) αντίστροφος µετασχηµατισµός γράφεται ως x( n) F X( ω) =. Η συνάρτηση X(ω) είναι µιγαδική και γράφεται ως 1 { }, ενώ ο jϕ ( ω ) ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) X = Xr + jx i = X e, (2.17) όπου X r ( ω ) και X i ( ω ) αποτελούν το πραγµατικό και φανταστικό µέρος της X(ω) αντίστοιχα και ισχύει =, X i( ω) x( n)sin( ωn) n= n= ( ) ( )cos( ω ) Xr ω x n n = (2.18) Με βάση τη µιγαδική µορφή της συνάρτησης X(ω) j ( ) ( ω) ( ω) X = X e ϕ ω, (2.19) ορίζονται το φάσµα εύρους ή µέτρου (amplitude or magnitude spectrum) ( ω 2 ) ( ω 2 ) ( ω ) X = Xr + X i, (2.2) το φάσµα ενέργειας (energy spectrum) ( ω ) 2 2 ( ω ) 2 ( ω ) X = Xr + X i (2.21) 12

και το φάσµα φάσης (phase spectrum) ( ) ( ω) ( ) arctan X i ω ϕ ω =. (2.22) X r Ιδιότητες του µετασχηµατισµού Fourier διακριτού χρόνου Ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου παρουσιάζει ορισµένες ιδιότητες, οι οποίες είναι χρήσιµες για την ανάλυση σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου. Με x( n) X( ω) Fourier. συµβολίζεται το ζεύγος του µετασχηµατισµού I. Γραµµικότητα Εάν x ( n) X ( ω) και x ( n) X ( ω) 1 1 2 2, τότε ( ) ( ) ( ) ( ) α x n + α x n α X ω + α X ω, (2.23) 1 1 2 2 1 1 2 2 όπου α 1 και α 2 σταθεροί πραγµατικοί αριθµοί. II. Χρονική µετάθεση Εάν x( n) X( ω), τότε jωn ( ) ( ω) x n n e X. (2.24) III. Φασµατική µετάθεση Εάν x( n) X( ω), τότε ( ) ( ω ω ) jωn e x n X. (2.25) IV. Πολλαπλασιασµός Εάν x ( n) X ( ω) και x ( n) X ( ω) 1 1 2 2, τότε 13

1 x ( n) x ( n) X ( θ) X ( ω θ) dθ. (2.26) 1 2 1 2 2π 2π V. Συνέλιξη Εάν x ( n) X ( ω) και x ( n) X ( ω) 1 1 2 2, τότε ( )* ( ) ( ω) ( ω) x n x n X X. (2.27) 1 2 1 2 2.3.2 ιακριτός µετασχηµατισµός Fourier Στη προηγούµενη ενότητα είδαµε ότι το φάσµα ενός σήµατος διακριτού χρόνου x(n), µε χρήση µετασχηµατισµού Fourier, είναι η συνεχής συνάρτηση X(ω). Στη περίπτωση αυτή το σήµα x(n) ορίζεται για κάθε ακέραιο αριθµό n, όπου < n<. Στη πραγµατικότητα το σήµα x(n) αποτελείται από µία ακολουθία πεπερασµένων όρων πλήθους Ν. Για τέτοιου είδους σήµατα χρησιµοποιείται ένας διαφορετικός µετασχηµατισµός Fourier που ονοµάζεται διακριτός µετασχηµατισµός Fourier (DFT, Discrete Fourier Transformation). Ο DFT δεν εκφράζει µία συνεχή συνάρτηση αλλά µία ακολουθία τιµών. Οι τιµές αυτές αποτελούν ισαπέχοντα δείγµατα του φάσµατος Χ(ω). Έστω ένα περιοδικό σήµα x(n) µε περίοδο Ν, δηλαδή x(n) = x(n+rn), όπου n και r οποιοιδήποτε ακέραιοι αριθµοί. Η σχέση 2.16 που δίνει το µετασχηµατισµό Fourier διακριτού χρόνου µε ω = 2π/Ν για το περιοδικό σήµα x(n) γράφεται ως 1 j(2 π / N ) kn x( n) = X( ωk) e, (2.28) N k= όπου το φάσµα Χ(ω k ) έχει διακριτές τιµές και υπολογίζεται µόνο για τις συχνότητες ω k =2πk/N. Επειδή το σήµα είναι περιοδικό µε περίοδο Ν, τότε για τιµές k=,1,..,n-1 και αντικαθιστώντας το φάσµα Χ(ω k ) µε Χ(k), δηλαδή X ( ω ) X ( k),η παραπάνω σχέση γράφεται ως k 14

x( n) 1 N N 1 j(2 π / N ) kn = X k e, (2.29) k= ( ) η οποία αποτελεί τον αντίστροφο διακριτό µετασχηµατισµό Fourier (Inverse Discrete Fourier Transform DFT). Ο ευθύς προκύπτει από την παραπάνω σχέση και δίνεται από ( ) X k N 1 j(2 π k / N ) n = x( n) e. (2.3) n= Όπως και το αρχικό σήµα x(n), έτσι και το φάσµα Χ(k) είναι περιοδικό µε περίοδο Ν. Το φάσµα Χ(k+Ν) ισούται µε N 1 N 1 X k N x n e x n e e X k n= n= j(2 π / N )( k+ N ) n j(2 π k / N ) n j2π n ( + ) = ( ) = ( ) = ( ) Στη συνέχεια ακολουθούνε κάποιες βασικές ιδιότητες του διακριτού µετασχηµατισµού Fourier. I. Γραµµικότητα DFT Εάν x ( n) X ( k) και x ( n) X ( k) 1 1 DFT 2 2 DFT, τότε ( ) ( ) ( ) ( ) α x n + α x n α X k + α X k, (2.31) 1 1 2 2 1 1 2 2 όπου α 1 και α 2 σταθεροί πραγµατικοί αριθµοί. II. Χρονική µετάθεση DFT Εάν x( n) X( k), τότε jωn ( ) ( ) DFT x n n e X k. (2.32) 15

III. Φασµατική µετάθεση DFT Εάν x( n) X( k), τότε DFT j(2 π / N ) kn e x n X k k ( ) ( ). (2.33) IV. Συµµετρία DFT Εάν x( n) X( k), τότε DFT 1 X( n) x( k). (2.34) N V. Κυκλική συνέλιξη DFT Εάν x ( n) X ( k) και x ( n) X ( k) 1 1 DFT 2 2 DFT, τότε ( ) ( ) ( ) ( ) x n x n X k X k. (2.35) 1 2 1 2 VI. Πολλαπλασιασµός DFT Εάν x ( n) X ( k) και x ( n) X ( k) 1 1 DFT 2 2, τότε DFT 1 x1( n) x2( n) X1( k) X 2( k). (2.36) N 2.3.3 Ταχύς µετασχηµατισµός Fourier Ο ταχύς µετασχηµατισµός Fourier (FFT, Fast Fourier Transformation) είναι ένας αλγόριθµος υπολογισµού του διακριτού µετασχηµατισµού Fourier. Στην πράξη δεν υπάρχει ένας αλγόριθµος αλλά πλήθος διαφορετικών αλγορίθµων που το επιτυγχάνουν αυτό. Οι διαφορές τους βρίσκονται κυρίως στο είδος των πράξεων. Όλοι όµως έχουν ένα κοινό χαρακτηριστικό ότι χρειάζονται µόνο ( N / 2) log 2 µιγαδικούς πολλαπλασιασµούς για τον υπολογισµό ενός DFT Ν σηµείων. Σε αντίθεση ο DFT χρειάζεται Ν 2 πολλαπλασιασµούς. Ο πιο γνωστός αλγόριθµος είναι αυτός των Cooley και Tukey ο οποίος παρουσιάσθηκε το 1965 και υπήρξε καταλύτης στη διάδοση της ψηφιακής επεξεργασίας σήµατος (Cooley and Tukey 1965). Ο αλγόριθµος αυτός µπορεί να N 16

εφαρµοσθεί σε σήµατα αποτελούµενα από Ν δείγµατα, µε Ν=2 m, δηλαδή πρόκειται για αλγόριθµο βάσης 2 (radix 2). 2.3.4 Συνέλιξη στο πεδίο των συχνοτήτων Σε ένα LTI σύστηµα η έξοδος y(n) δίνεται από τη συνέλιξη του σήµατος εισόδου x(n) και της απόκρισης σε ώθηση h(n) σύµφωνα µε την σχέση 2.9 ( ) ( )* ( ) y n = x n h n. Σύµφωνα µε την ιδιότητα της συνέλιξης (σχέση 2.27) του µετασχηµατισµού Fourier διακριτού χρόνου η συνέλιξη δύο ακολουθιών x(n) και h(n) ισούται µε F ( )* ( ) ( ω) ( ω) x n h n X H. Συνεπώς το φάσµα Υ(ω) του σήµατος εξόδου y(n) δίνεται από τη σχέση ( ω) ( ω) ( ω) Y = X H. (2.37) Η παραπάνω σχέση µας λέει ότι η συνέλιξη δύο ακολουθιών στο πεδίο των αποστάσεων, ισοδυναµεί µε το γινόµενο των φασµάτων τους στο πεδίο των συχνοτήτων. Το γεγονός αυτό είναι µεγάλης σηµασίας στην ανάλυση σηµάτων και συστηµάτων όπως επίσης και στην κατανόηση του τρόπου µε τον οποίο ένα LTI σύστηµα αποκρίνεται σε κάποια είσοδο που εφαρµόζεται σε αυτό. Η συνάρτηση Η(ω) αποτελεί το φάσµα της απόκρισης σε ώθηση h(n) και ονοµάζεται απόκριση συχνότητας (frequency response) του συστήµατος. Αναλόγως εκφράζεται η συνέλιξη δύο σηµάτων και στην περίπτωση του διακριτού µετασχηµατισµού Fourier. Προηγουµένως όµως απαιτείται µία επιπλέον επεξεργασία. Έστω ότι Ν και Μ είναι τα πλήθη τιµών των σηµάτων x(n) και h(n) αντιστοίχως, τότε το πλήθος τιµών της εξόδου y(n) θα είναι Ν+M. Επειδή τα σήµατα x(n) και h(n) έχουν µικρότερο πλήθος τιµών από Ν+Μ, τότε προστίθενται σε καθένα 17

από αυτά τα σήµατα στοιχεία µηδενικής τιµής έτσι ώστε το πλήθος τιµών τους να γίνει Ν+Μ. Η τεχνική αυτή είναι γνωστή µε το όνοµα µηδενική συµπλήρωση (zero padding). Στη περίπτωση των παραπάνω σηµάτων x(n) και h(n) που έχουν προέλθει από την τεχνική της µηδενικής συµπλήρωσης η γραµµική συνέλιξη τους ισούται µε την κυκλική (Kamen and Heck, 2), δηλαδή x( n) * h( n) x( n) h( n) =. Τα σήµατα x(n) και h(n) για τις νέες τιµές που προστίθενται παίρνουν την µορφή ( ) x n ( ) h n =, n=,1,.., N 1 =, n = N, N + 1,.., N + M 1 =, n=,1,.., M 1 =, n = M, M + 1,.., M + N 1 Τα φάσµατα τους δίνονται από τις επόµενες σχέσεις ( ) ( ) N+ M 1 X k = x n e k = N+ M n= N+ M 1 n= j2 π kn/( N+ M ) ( ),,1,.., 1 H k = h n e k= N+ M j2 π kn/( N+ M ) ( ),,1,.., 1 (2.38) Σύµφωνα µε την ιδιότητα της κυκλικής συνέλιξης (σχέση 2.35) του διακριτού µετασχηµατισµού Fourier ισχύει DFT x( n) h( n) X( k) H( k). Επειδή για την περίπτωση της µηδενικής συµπλήρωσης ισχύει η ισότητα της γραµµικής µε την κυκλική συνέλιξη η παραπάνω σχέση γράφεται ως DFT ( )* ( ) ( ) ( ) x n h n X k H k. Συνεπώς το φάσµα Υ(k) του σήµατος εξόδου y(n) δίνεται από τη σχέση ( ) X( k) H( k) Y k =. (2.39) 18

Έτσι για τον υπολογισµό της απόκρισης y(n) ενός συστήµατος LTI στο πεδίο των συχνοτήτων αρχικά υπολογίζονται οι διακριτοί µετασχηµατισµοί Fourier X(k), H(k) των ακολουθιών x(n), h(n) αντίστοιχα. Το γινόµενο αυτών δίνει το φάσµα Y(k) και στη συνέχεια µε εφαρµογή ενός αντίστροφου διακριτού µετασχηµατισµού Fourier υπολογίζεται η απόκριση του συστήµατος y(n). Η διαδικασία αυτή φαίνεται σχηµατικά στο παρακάτω διάγραµµα. h(n) H(k) FFT FFT x(n) X(k) X(k)H(k) Y(k) IFFT y(n) Σχήµα 2.5 Συνέλιξη στο πεδίο των συχνοτήτων. 19

3 Φίλτρα 3.1 Ορισµός φίλτρου Ως φίλτρο (filter) ορίζεται ένα γραµµικό σύστηµα το οποίο είτε αποκόπτει ορισµένες συχνότητες του σήµατος εισόδου είτε διαµορφώνει ορισµένες συχνότητες του σήµατος εισόδου. Τα πρώτα είναι γνωστά ως φίλτρα επιλογής συχνοτήτων (frequency selective filter) ενώ τα δεύτερα ως φίλτρα διαµόρφωσης συχνοτήτων (frequency shaping filter) (Oppenheim et al 1997). Στα φίλτρα επιλογής συχνοτήτων για ορισµένες τιµές συχνοτήτων η απόκριση της συχνότητας ισούται µε Η(ω) =. Συνεπώς το φάσµα του τελικού σήµατος για τις συγκεκριµένες συχνότητες ισούται µε Υ(ω) = Χ(ω)Η(ω) = και εποµένως αυτές οι συχνότητες αποµακρύνονται από το τελικό σήµα y(n). Στα φίλτρα διαµόρφωσης συχνοτήτων η απόκριση της συχνότητας Η(ω) διαµορφώνει το τελικό σήµα σύµφωνα µε τη σχέση Υ(ω) = Χ(ω)Η(ω). Για το φιλτράρισµα του σήµατος στο πεδίο των αποστάσεων επιλέγονται αρχικά οι συχνότητες αποκοπής ή διαµόρφωσης και υπολογίζεται η απόκριση συχνότητας Η(ω). Με αντίστροφο µετασχηµατισµό Fourier υπολογίζεται η απόκριση σε ώθηση h(n). Η έξοδος y(n) του LTI συστήµατος υπολογίζεται από τη συνέλιξη της h(n) µε το σήµα εισόδου x(n) σύµφωνα µε τη σχέση y( n) = x( n)* h( n). Tα φίλτρα που εξετάζονται στη συνέχεια αποτελούν αποκλειστικά φίλτρα επιλογής συχνοτήτων. 2

3.2 Κατηγορίες ιδανικών φίλτρων Ιδανικά (ideal) φίλτρα ονοµάζονται εκείνα τα φίλτρα για τα οποία ισχύει H( ω ) = 1σε ένα ορισµένο πεδίο τιµών των συχνοτήτων, ενώ για το υπόλοιπο πεδίο τιµών του φάσµατος ισχύει H(ω)=. Εποµένως οι συχνότητες που δεν φιλτράρονται διατηρούν το πλάτος τους, δηλαδή Y( ω) X( ω) =. Τα φίλτρα ταξινοµούνται στις παρακάτω κατηγορίες ανάλογα µε τα χαρακτηριστικά τους στο πεδίο των συχνοτήτων, δηλαδή: Φίλτρα χαµηλής διέλευσης (ή χαµηλοπερατά) (Low Pass Filters, LPF) H ( ω) 1, ω ωc =, αλλού Φίλτρα υψηλής διέλευσης (ή υψηλοπερατά) (High Pass Filters, HPF) H ( ω) 1, ω ωc =, αλλού Φίλτρα διέλευσης εντός ζώνης (ή ζωνοπερατά) (Band Pass Filters, BPF) H 1, ω ω ω =, αλλού c1 c2 ( ω) Φίλτρα διέλευσης εκτός ζώνης (Band Stop Filters, BSF) H, ω ω ω = 1, αλλού c1 c2 ( ω) 21

Σχήµα 3.1: Μέτρο της απόκρισης συχνότητας των βασικών ιδανικών φίλτρων. Στο παραπάνω σχήµα φαίνονται τα βασικά ιδανικά φίλτρα. Οι ω, ω, ω c c1 c2 ονοµάζονται συχνότητες αποκοπής (cut off frequencies) και ορίζουν τα όρια µεταξύ των συχνοτήτων που επιτρέπεται να διέλθουν από το σύστηµα και αυτών που απορρίπτονται. Η περιοχή συχνοτήτων στην οποία επιτρέπεται η διέλευση αποτελεί τη ζώνη διέλευσης (passband), ενώ η περιοχή συχνοτήτων στην οποία δεν επιτρέπεται η διέλευση ονοµάζεται ζώνη απόρριψης ή ζώνη αποκοπής (stopband). Σύµφωνα µε τα παραπάνω, στα ιδανικά φίλτρα για την απόκριση Υ(ω) ισχύει Y ( ω) ( ω), ζώνη διέλευσης X =. (3.1), ζώνη αποκοπής 22

3.3 Μη ιδανικά φίλτρα Στη πραγµατικότητα η µορφή ενός φίλτρου αποκλίνει από αυτές τις ιδανικές µορφές, όπως για παράδειγµα αυτή του σχήµατος 3.2 για ένα χαµηλοπερατό φίλτρο. Η µετάβαση από τη ζώνη διέλευσης στη ζώνη αποκοπής δεν είναι ακαριαία αλλά σταδιακή, δηµιουργώντας έτσι µία νέα περιοχή συχνοτήτων, τη λεγόµενη ζώνη µετάβασης (transition band). Η συχνότητα ω p καθορίζει το όριο της ζώνης διέλευσης (passband edge) και η συχνότητα ω s της ζώνης µετάβασης (stopband edge). ηλαδή η ζώνη µετάβασης καθορίζεται µεταξύ των συχνοτήτων ω p και ω s. Η τιµή του µέτρου της συχνότητας H( ω ) δεν είναι πλέον σταθερά ίση µε την τιµή της µονάδας και την µηδενική τιµή στις ζώνες διέλευσης και αποκοπής αντιστοίχως, αλλά αποκλίνει από τις τιµές αυτές. Οι αποκλίσεις αυτές, που δεν είναι σταθερές, συµβολίζονται µε δ P και δ S για τις ζώνες διέλευσης και αποκοπής αντίστοιχα. ηλαδή στη περίπτωση των µη ιδανικών φίλτρων δεν ισχύει η σχέση 3.1. Κατά την επεξεργασία του σήµατος µε ιδανικά φίλτρα λόγω των χαρακτηριστικών τους, όπως η ασυνέχεια στην τιµή της συχνότητας αποκοπής ω c, δηµιουργούνται έντονα αριθµητικά προβλήµατα στον υπολογισµό του τελικού σήµατος εξόδου. Συνεπώς το φιλτράρισµα του σήµατος πραγµατοποιείται µόνο µε µη ιδανικά φίλτρα. Σχήµα 3.2: Μη ιδανικό φίλτρο χαµηλής διέλευσης. 23

Στο παραπάνω σχήµα ο άξονας x εκφράζει τις τιµές της συχνότητας ω µε µονάδα το rad/sec, ενώ ο άξονας y δίνει το µέτρο της απόκρισης της συχνότητας H( ω ). Το µέτρο αυτό µπορεί να εκφραστεί µε δύο προσεγγίσεις ως προς τον προσδιορισµό του µεγέθους του. Η πρώτη προσέγγιση καθορίζεται µε απόλυτο τρόπο όπου το µέτρο της απόκρισης της συχνότητας H( ω ) προκύπτει σύµφωνα µε τη σχέση 2.2, δηλαδή 2 2 ( ω) ( ω) ( ω) H = H + H. r i Η δεύτερη προσέγγιση καθορίζεται κατά σχετικό τρόπο σε µονάδες db (decibel), που είναι µία λογαριθµική µονάδα και υπολογίζεται σύµφωνα µε τη σχέση ( ω) ( ω) H db= 2 log1 ( ). (3.6) H max Όπως φάνηκε, σε ένα φίλτρο το φάσµα της απόκρισης της συχνότητας Η(ω) καθορίζει ποιες συχνότητες αποκόπτονται και ποιες διέρχονται στο τελικό σήµα. Συνεπώς η σχεδίαση και η δηµιουργία ενός φίλτρου επιτυγχάνεται µε τον υπολογισµό αυτού του φάσµατος. Στη συνέχεια ακολουθεί η ανάπτυξη των µεθόδων σχεδίασης φίλτρων. 3.4 Φίλτρα πεπερασµένης απόκρισης σε ώθηση (FIR) Σύµφωνα µε την εξίσωση διαφορών που δόθηκε στο προηγούµενο κεφάλαιο για γραµµικά χρονικά αµετάβλητα συστήµατα ισχύει N i ( ) i ( ). y( n) = a x n i b y n i M i= i= 1 24

Αν στη παραπάνω σχέση όλοι οι συντελεστές b i είναι µηδενικοί, δηλαδή b i = για i=1,2,..,μ ενώ οι α i είναι τυχαίοι πραγµατικοί αριθµοί, τότε η παραπάνω εξίσωση παίρνει τη µορφή N 1 i ( ). (3.2) y( n) = a x n i i= Σε αυτή την περίπτωση η έξοδος του συστήµατος εξαρτάται µόνο από την τρέχουσα και από προηγούµενες τιµές της εισόδου και όχι από προηγούµενες τιµές της εξόδου. Λαµβάνοντας υπόψη ότι γενικά η έξοδος ενός συστήµατος ισούται µε N 1 i= ( ) y( n) = h( n) x n i, τότε από την παραπάνω σχέση συµπεραίνεται ότι h( n) = ai. (3.3) ηλαδή οι συντελεστές a i συµπίπτουν µε την απόκριση σε ώθηση h(n) του συστήµατος. Ο µετασχηµατισµός Fourier της h(n) δίνει H ( ω) N 1 j n = h( n) e ω. (3.4) n= Αναλύοντας την παραπάνω σχέση προκύπτει ( ω) N 1 jωn ( ) () jω (1).. ( jω ( N 1) 1). (3.5) n= H = h n e = h + h e + + h N e Επειδή το µήκος της ακολουθίας h(n) είναι πεπερασµένο τότε τα φίλτρα της κατηγορίας αυτής ονοµάζονται φίλτρα πεπερασµένης απόκρισης σε ώθηση (Finite Impulse Response, FIR). Επίσης είναι γνωστά και ως µη αναδροµικά φίλτρα (non recursive filters) διότι η έξοδος y(n) του συστήµατος σε κάθε χρονική στιγµή εξαρτάται µόνο από την τρέχουσα και από προηγούµενες τιµές της εισόδου x(n) αγνοώντας τιµές της εξόδου σε προηγούµενες χρονικές στιγµές y( n 1), y( n 2),.. κ.λ.π. 25

Η µεταβλητή Ν στη σχέση 3.5 εκφράζει το µήκος (length) του φίλτρου και χαρακτηρίζεται από το πλήθος των όρων της κρουστικής απόκρισης, δηλαδή το πλήθος των συντελεστών h(n). Τα όρια των αποκλίσεων στις ζώνες διέλευσης και αποκοπής είναι ίσα µε 1± δ1 και δ 2 αντίστοιχα. Με τη βοήθεια της σχέσης 3.6 σε λογαριθµική κλίµακα τα όρια αυτά µετατρέπονται σε υπολογίζονται σύµφωνα µε τις σχέσεις R P και A s αντιστοίχως και R P 1 δ = 1 2 log1 1+ δ1 ( ), = 2 log 2 ( 1) A s 1 δ 1+ δ 1. (3.7) 3.4.1 Μέθοδοι σχεδίασης FIR φίλτρων Η σχεδίαση και η δηµιουργία FIR φίλτρων επιτυγχάνεται µε τον υπολογισµό της απόκρισης συχνότητας Η(ω) και κατ επέκταση τον υπολογισµό των συντελεστών της απόκρισης σε ώθηση h(n). Οι µέθοδοι που χρησιµοποιούνται ευρέως είναι οι εξής: η µέθοδος των παραθύρων (windows method) και η µέθοδος βέλτιστων ισοκυµατικών φίλτρων (optimal equiripple method). 3.4.2 Μέθοδος Παραθύρων Στη γενική της µορφή η απόκριση της συχνότητας Η(ω) δίνεται από τη σχέση H j n = h n e ω (3.8) n= ( ω) ( ) και η απόκριση σε ώθηση h(n) από τη σχέση 2π 1 jωn h( n) = H( ω) e dω 2π. (3.9) 26

Όπως φαίνεται στη σχέση 3.8 η απόκριση σε ώθηση αποτελεί ένα σήµα άπειρων όρων. Όµως για τη δηµιουργία FIR φίλτρων η h(n) πρέπει να αποτελείται από πεπερασµένους όρους. Ένας τρόπος είναι να αποκοπεί ένα µέρος της h(n) για ένα διάστηµα n =± N. Μία τέτοιου είδους αποκοπή δηµιουργεί έντονες µεταβολές στις τιµές της Η(ω). Αυτές οι µεταβολές έχουν κυµατοειδή µορφή και παρουσιάζονται στις ζώνες διέλευσης και αποκοπής. Οι µέγιστες τιµές αυτών των µεταβολών βρίσκονται στις τιµές ασυνέχειας της Η(ω), δηλαδή στο όριο ανάµεσα στη ζώνη διέλευσης και τη ζώνη µετάβασης καθώς και στο όριο ανάµεσα στη ζώνη µετάβασης και στη ζώνη αποκοπής (σχήµα 3.2). Το φαινόµενο αυτό είναι γνωστό ως φαινόµενο Gibbs (Gibbs phenomenon). Σχήµα 3.3: Φίλτρο χαµηλής διέλευσης επηρεασµένο από το φαινόµενο Gibbs. Ένας τρόπος για την επίτευξη των FIR φίλτρων που θα περιορίζει τις µεταβολές της Η(ω) είναι η χρησιµοποίηση µίας πεπερασµένης ακολουθίας βάρους w(n) που ονοµάζεται παράθυρο (window). Το µήκος της ακολουθίας του παραθύρου είναι το ίδιο µε το πλήθος τιµών της απόκρισης h(n) που πρόκειται να αποκοπεί. Η τελική απόκριση σε ώθηση δίνεται από τη σχέση 27

h ˆ( n) = h( n) w( n), N n N (3.1) Η αρχική απόκριση h(n) που αποκόπτεται υπολογίζεται από τη σχέση 3.9. Συνήθως θεωρείται ότι πρόκειται για ιδανικό φίλτρο, δηλαδή Η(ω) = 1 για τη ζώνη διέλευσης. Έτσι η σχέση 3.1 που δίνει τις τιµές της h(n), για Η(ω) = 1 παίρνει τη µορφή 2π 1 jωn h( n) = e dω 2π. (3.11) Τύποι παραθύρων Οι πιο σηµαντικές συναρτήσεις παραθύρων που χρησιµοποιούνται στην επεξεργασία του σήµατος είναι οι εξής (Ingle and Proakis, 2): I. Το τετραγωνικό παράθυρο (boxcar window) Αποτελεί την πιο απλή συνάρτηση παραθύρου και δίνεται από τη σχέση ( ) w n 1, n N 1 =. (3.12), αλλού Λόγω της µορφής της ακολουθίας, δηλαδή της απότοµης µετάβασής της από τη µηδενική τιµή στην τιµή της µονάδας, δηµιουργεί ασυνέχεια στην αρχή και στο τέλος της κατά τον πολλαπλασιασµό της µε την h(n) που έχει σαν επακόλουθο την έντονη εµφάνιση του φαινοµένου Gibbs. Γι αυτό δηµιουργήθηκαν και άλλοι τύποι παραθύρου µε µία πιο οµαλή µετάβαση τιµών. II. Το τριγωνικό παράθυρο (Bartlett or triangular window) Για την ελάττωση του φαινοµένου Gibbs µε µία πιο οµαλή µετάβαση από τη µηδενική τιµή στη τιµή της µονάδας δηµιουργήθηκε από τον Bartlett το τριγωνικό παράθυρο 28

( ) w n 2n N 1, n N 1 2 2n N 1 = 2, n N 1. (3.13) N 1 2, αλλού III. Το παράθυρο Hanning Με την ίδια λογική για µία ακόµα πιο οµαλή µετάβαση από τη µηδενική τιµή στην τιµή της µονάδας το παράθυρο Hanning εκφράζεται από τη συνάρτηση ( ) w n 2π n.5 1 cos, n N 1 = N 1. (3.14), αλλού IV. Το παράθυρο Hamming Αυτό το παράθυρο έχει παρόµοια σχέση ορισµού µε το προηγούµενο αλλά παρουσιάζει µικρότερη ασυνέχεια και εκφράζεται µε τη συνάρτηση ( ) w n 2π n.54.46 cos, n N 1 = N 1. (3.15), αλλού Στα επόµενα τρία σχήµατα που ακολουθούν απεικονίζονται οι ακολουθίες w(n) των παραπάνω παραθύρων, τα αντίστοιχα φάσµατά τους W(ω) και τέλος τα φάσµατα απεικονισµένα σε λογαριθµική κλίµακα. 29

Space domain 1.8 boxcar triang hanning hamming w(n).6.4.2 5 1 15 2 25 3 35 4 45 n Σχήµα 3.4: Οι τέσσερις τύποι φίλτρων τύπου παραθύρου. 45 4 35 Frequency domain boxcar triang hanning hamming 3 W(w) 25 2 15 1 5 1 2 3 4 5 6 frequency Σχήµα 3.5α: Τα φάσµατα των φίλτρων τύπου παραθύρου. 3

1 2 1 1 1 Frequency domain boxcar triang hanning hamming 1-1 W(w) 1-2 1-3 1-4 1-5 1-6 1 2 3 4 5 6 frequency Σχήµα 3.5β: Τα φάσµατα των φίλτρων σε λογαριθµική απεικόνιση. Η συνάρτηση W(ω), όπως φαίνεται στα σχήµατα 3.5α-β, αποτελείται από ένα κύριο λοβό (κεντρική καµπύλη) που περιέχει την κύρια φασµατική ενέργεια του παραθύρου και από παράπλευρους λοβούς που γενικά ελαττώνονται γρήγορα. Αυτή η µείωση φαίνεται καθαρά στο σχήµα 3.5α, µε τον κεντρικό λοβό να λαµβάνει τιµές πολύ µεγαλύτερες σε σχέση µε τους πλαϊνούς. Στην τελική απόκριση της συχνότητας Η(ω) επιδρούν εκτός από τον κύριο λοβό και οι παράπλευροι λοβοί της W(ω), που ευθύνονται για το φαινόµενο Gibbs. Αυτοί οφείλονται από τα σφάλµατα δ P και δ S των τιµών της Η(ω). Άρα το φάσµα µίας συνάρτησης παραθύρου πρέπει να έχει παράπλευρους λοβούς που να φθίνουν γρήγορα. Παρατηρώντας τα δύο παραπάνω σχήµατα φαίνεται ότι το φάσµα του τετραγωνικού παραθύρου boxcar δίνει πολύ µεγαλύτερους πλαϊνούς λοβούς σε σχέση µε τα υπόλοιπα παράθυρα. Αυτό έχει σαν αποτέλεσµα την εντονότερη εµφάνιση κυµάτωσης στην απόκριση συχνότητας Η(ω) στο συγκεκριµένο φίλτρο. Αντίθετα οι µικρότεροι λοβοί παρατηρούνται στο παράθυρο Hanning. 31

3.4.3 Μέθοδος βέλτιστων ισοκυµατικών φίλτρων Με τη µέθοδο των παραθύρων έγινε προσπάθεια προσέγγισης της ιδανικής απόκρισης συχνότητας του φίλτρου. Στην προσέγγιση αυτή η απόκλιση από την επιθυµητή απόκριση, που είναι ουσιαστικά το σφάλµα της µεθόδου, δεν είναι σταθερή αλλά λαµβάνει µέγιστες τιµές στο όριο της ζώνης διέλευσης µε τη ζώνη µετάβασης καθώς και στο όριο της ζώνης µετάβασης µε τη ζώνη αποκοπής. Όµως αν το µέγεθος του σφάλµατος παραµείνει σταθερό (equiripple design) σε όλο το εύρος των ζωνών διέλευσης και αποκοπής, επιτυγχάνεται καλύτερη προσέγγιση στην επιθυµητή απόκριση συχνότητας Η(ω). Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι το σφάλµα µοιράζεται σε όλο το φάσµα των συχνοτήτων και όχι µόνο γύρω από την ασυνέχεια της απόκρισης. Οι τιµές της απόκρισης της συχνότητας ενός τέτοιου φίλτρου µεταβάλλονται στη ζώνη διέλευσης µεταξύ των τιµών 1 και 1+ ενώ στη ζώνη αποκοπής µεταξύ της µηδενικής τιµής και της δ p δ p δ s. Στη µέθοδο της σχεδίασης βέλτιστων ισοκυµατικών φίλτρων αυτοί οι όροι παραµένουν σταθεροί και ο σκοπός είναι η ελαχιστοποίησή τους. Τη σχεδίαση ενός τέτοιου φίλτρου καθορίζουν πέντε παράµετροι οι οποίοι είναι Το µήκος του φίλτρου Ν Τα σφάλµατα δ s και δ p. Οι συχνότητες αποκοπής ω s και ω p. Ο αλγόριθµος βελτιστοποίησης που ανέπτυξαν οι Parks και McClellan (Parks and McClellan, 1972) διατηρεί σταθερές τις ποσότητες Ν, ω s και ω p µε σκοπό να ελέγχει τα όρια των ζωνών και επιτρέπει τη µεταβολή των δ s και δ p. Για την ανάπτυξη του αλγορίθµου αρχικά ορίζεται η συνάρτηση σφάλµατος προσέγγισης ως ( ω) ( ω) ( ω) ( ω) E = W H H, (3.16) d 32

όπου η E( ω ) υπολογίζεται στη ζώνη διέλευσης και αποκοπής και όχι στη ζώνη µετάβασης, ενώ η H ( ) d ω εκφράζεται από ένα ιδανικό φίλτρο. Η συνάρτηση βάρους W( ω ) δίνεται από τον τύπο W ( ω) 1/ K, =, ω ω p, (3.17) ω ω s όπου Κ ο λόγος δ / δ. p s Έτσι απαιτείται ένας αλγόριθµος ελαχιστοποίησης του όρου max E( ω ) 3.5 Φίλτρα άπειρης απόκρισης σε ώθηση (ΙIR) Η σχέση σήµατος εισόδου x(n) και εξόδου y(n) στα φίλτρα άπειρης απόκρισης σε ώθηση (Infinite Impulse Response, IIR) δίνεται από την εξίσωση διαφορών, όπως δόθηκε στο προηγούµενο κεφάλαιο, σύµφωνα µε την σχέση M i ( ) i ( ), y( n) = a x n i b y n i N i= i= 1 όπου α i και b i τυχαίοι πραγµατικοί αριθµοί. Όπως παρατηρείται η παραπάνω σχέση είναι αναδροµική, δηλαδή προηγούµενες τιµές της εξόδου χρησιµοποιούνται από το σύστηµα για τον υπολογισµό νέων τιµών της εξόδου σε επόµενες χρονικές στιγµές. Γι αυτό το λόγο τα φίλτρα αυτά είναι γνωστά και ως αναδροµικά φίλτρα (recursive filters). Η απόκριση της συχνότητας Η(ω) στη γενική της µορφή για τα φίλτρα IIR δίνεται από τη σχέση 33

H ( ω) j n = h( n) e ω. (3.18) n= Η παραπάνω σχέση εναλλακτικά γράφεται ως M H ( ω) = 1+ a e i n= N n= 1 jωn b e jωn i (3.19) Όπως φαίνεται από τη σχέση 3.18 η απόκριση σε ώθηση h(n) αποτελείται από άπειρους όρους. Έτσι τα συγκεκριµένα φίλτρα ονοµάζονται άπειρης απόκρισης σε ώθηση. Στη σχέση 3.19 οι συντελεστές α i και b i είναι τυχαίοι πραγµατικοί αριθµοί, όπου ένας τουλάχιστον συντελεστής b i πρέπει να είναι διάφορος του µηδενός. Σε περίπτωση που όλοι οι συντελεστές b i έχουν την µηδενική τιµή τότε τα φίλτρα αυτά ταυτίζονται µε τα φίλτρα πεπερασµένης απόκρισης σε ώθηση (FIR). Η απόκριση της συχνότητας Η(ω) στα IIR φίλτρα έχει τη µορφή του σχήµατος 3.5 και δίνεται από τη σχέση 3.19. Σχήµα 3.6: Φίλτρο χαµηλής διέλευσης µε τη µέθοδο IIR 34

Όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήµα η απόκλιση στη ζώνη διέλευσης λαµβάνει µέγιστη τιµή ίση µε 1/ 2 1+ ε, ενώ στη ζώνη αποκοπής ισούται µε 1/Α. Οι συχνότητες ω p και ω s αποτελούν τις συχνότητες στα όρια των ζωνών διέλευσης και αποκοπής, αντίστοιχα. Ο λόγος αυτών των δύο συχνοτήτων ονοµάζεται λόγος µετάβασης (transition ratio) ή παράµετρος επιλεκτικότητας (selectivity parameter) και συµβολίζεται µε k = ω p /ω s. Τέλος ο λόγος ε / 2 A 1 ονοµάζεται παράµετρος διακριτότητας (discrimination parameter) και συµβολίζεται συνήθως µε k 1. 3.5.1 Μέθοδοι σχεδίασης ΙIR φίλτρων Σε αντίθεση µε τα FIR, τα IIR φίλτρα δεν σχεδιάζονται µε χρήση κάποιου αλγορίθµου ή µε χρήση κάποιου µαθηµατικού ορισµού. Ο σχεδιασµός τους πραγµατοποιείται µε κάποιες γνωστές συναρτήσεις απόκρισης συχνότητας. Τα κυριότερα και ευρέως χρησιµοποιούµενα φίλτρα είναι τα φίλτρα Butterworth, τα φίλτρα Chebyshev και τα ελλειπτικά φίλτρα (Ingle and Proakis, 2). Φίλτρα Butterworth Το µέτρο της απόκρισης της συχνότητας Η(ω) στα φίλτρα της κατηγορίας Butterworth δίνεται από τη σχέση H ( ω) 2 1 = ω 1+ ωc 2N, (3.2) όπου ω c η συχνότητα αποκοπής και Ν µία µεταβλητή που χαρακτηρίζει το µήκος του φίλτρου που αντιστοιχεί στην µεταβλητή Ν της σχέσης 3.19. Ο ορισµός αυτών των δύο παραµέτρων απαιτείται για την σχεδίαση ενός φίλτρου Butterworth. 35

Φίλτρα Chebyshev Υπάρχουν δύο τύποι φίλτρων Chebyshev. Το µέτρο της απόκρισης της συχνότητας H(ω) για τα φίλτρα τύπου Ι δίνεται από τη σχέση H ( ω) 2 1 = 2 2 ω 1+ ε TN ωc (3.21) και για τα φίλτρα τύπου ΙΙ H ( ω) 2 = 1 ω + ω 2 2 c 1 ε TN 1. (3.22) Στις παραπάνω σχέσεις η παράµετρος ε σχετίζεται µε τα όρια του σφάλµατος της απόκρισης της συχνότητας H(ω) στη ζώνη διέλευσης (σχήµα 3.5). Ενώ ω c και Ν είναι, όπως προηγουµένως, η συχνότητα αποκοπής και το µήκος του φίλτρου αντιστοίχως. Τέλος η ποσότητα T ( x ) αντιστοιχεί σε πολυώνυµο Chebyshev τάξης Ν το οποίο εκφράζεται µε µια τριγωνοµετρική συνάρτηση της µορφής N T x = N. (3.23) 1 N ( ) cos( cos x) Ελλειπτικά φίλτρα Τα φίλτρα αυτού του είδους είναι παρόµοια µε τα φίλτρα Chebyshev, απλά αντί του πολυωνύµου Chebyshev χρησιµοποιούν την Ιακωβιανή ελλειπτική συνάρτηση (Jacobian elliptic function) τάξης Ν. Το µέτρο της απόκρισης της συχνότητας H(ω) για τα ελλειπτικά φίλτρα δίνεται από τη σχέση H ( ω) 2 1 =, (3.24) 2 2 ω 1+ ε U N ω c 36

όπου ε, ω και Ν οι παράµετροι όπως δόθηκαν προηγουµένως. Η συνάρτηση U ( x ) c αντιστοιχεί στην Ιακωβιανή ελλειπτική συνάρτηση τάξης Ν. Για τον ορισµό της στην αρχή δίνεται το ελλειπτικό ολοκλήρωµα (elliptic integral) από τη σχέση N ϕ 1 u( ϕ, k) = dy. (3.25) 2 2 1 k sin ( y) όπου k µία σταθερά µε < k < 1. Έτσι ορίζεται το Ιακωβιανό ελλειπτικό ηµίτονο (Jacobian elliptic sine) σύµφωνα µε τη σχέση sn( u, k) = sin( ϕ( u, k)), (3.26) όπου ϕ ( u, k) η αντίστροφη της σχέσης 3.25. Από την παραπάνω σχέση ορίζεται η Ιακωβιανή ελλειπτική συνάρτηση τάξης Ν σύµφωνα µε U ( ) (, ) N x = sn Nϕ k. (3.27) Περισσότερες λεπτοµέρειες για την Ιακωβιανή ελλειπτική συνάρτηση δίνονται από Parks and Burrus 1987. Το φιλτράρισµα όπως παρουσιάσθηκε από τα φίλτρα που προηγήθηκαν πραγµατοποιείται για την εξοµάλυνση (smoothing) των τιµών του σήµατος. Ένα τέτοιο παράδειγµα φιλτραρίσµατος παρουσιάζεται στο επόµενο σχήµα. Το σήµα εισόδου αποτελεί µία χρονοσειρά παρατηρήσεων ενός βαρυτηµέτρου υπεραγωγιµότητας µε µονάδες τα V(Volts) και ρυθµό καταγραφής το ένα λεπτό. 37

992.5 Initial Signal Filtered Signal 992 991.5 991 99.5 99 2.97 2.972 2.974 2.976 2.978 2.98 x 1 4 Σχήµα 3.7: Αρχικό και φιλτραρισµένο σήµα. Με την µπλε γραµµή απεικονίζεται το αρχικό σήµα των παρατηρήσεων, που εµφανίζει έντονες διακυµάνσεις, ενώ µε την κόκκινη απεικονίζεται το πιο οµαλό, φιλτραρισµένο σήµα. Στη συγκεκριµένη περίπτωση το αρχικό σήµα έχει επεξεργασθεί µε φίλτρο FIR µε τη µέθοδο του παραθύρου Hamming. 3.6 Φίλτρα εντοπισµού και αντικατάστασης ακραίων τιµών (Hampel Filter) Τα γραµµικά φίλτρα, όπως παρουσιάσθηκαν, είναι χρήσιµα για την απαλοιφή του θορύβου από το σήµα εισόδου. Η ιδιότητα της γραµµικότητας που τα χαρακτηρίζει επιτρέπει τη δηµιουργία διαφόρων κατηγοριών φίλτρων όπως τα χαµηλοπερατά, τα υψηλοπερατά, τα ζωνοπερατά και τα διέλευσης εκτός ζώνης. Υπάρχουν περιπτώσεις που κάποιες τιµές του αρχικού σήµατος των παρατηρήσεων χαρακτηρίζονται από µεγάλη απόκλιση και από ασυνέχεια σε σχέση µε τις τιµές του υπόλοιπου σήµατος. Οι τιµές αυτές δεν χαρακτηρίζονται ως θόρυβος αλλά ως ακραίες τιµές (outliers or anomalous data points) (Pearson 22). Ως ακραίες 38

τιµές µπορούν να χαρακτηρισθούν τα χονδροειδή σφάλµατα. Το φιλτράρισµά τους γίνεται µε µη γραµµικά φίλτρα και η µέθοδος ονοµάζεται καθαρισµός δεδοµένων (data cleaning). Η διαδικασία του καθαρισµού των δεδοµένων αποµακρύνει αυτές τις ακραίες τιµές και τις αντικαθιστά µε τιµές πιο αντιπροσωπευτικές σε σχέση µε το υπόλοιπο σήµα. Μία από τις µεθόδους ανίχνευσης ακραίων τιµών αποτελεί η µέθοδος Hampel identifier και η συνολική διαδικασία του φιλτραρίσµατος ονοµάζεται φίλτρο Hampel (Hampel filter). Έστω ένα σήµα διακριτού χρόνου x(n), µε n=1,2,..n. Για κάθε τιµή του n δηµιουργείται µία ακολουθία-παράθυρο της µορφής { } ( ) ( ) w n = x n K+ j, (3.28) όπου ο συντελεστής K + Z εκφράζει το συντελεστή του φίλτρου Hampel και j µια µεταβλητή που ισούται µε j=,1,..2k. Ο συντελεστής Κ επιλέγεται σύµφωνα µε το πλήθος των ακραίων τιµών του σήµατος. ηλαδή αν σε ένα σήµα περιέχονται Μ συνεχόµενες ακραίες τιµές, τότε για τον συντελεστή Κ πρέπει να ισχύει Κ>Μ. Στη συνέχεια υπολογίζεται η µεσαία τιµή (median) για κάθε ακολουθία w( n ), ως Z { ( )} = median w n. (3.29) Γενικά η µεσαία τιµή µίας ακολουθίας υπολογίζεται αφού πρώτα οι τιµές της ακολουθίας κατανεµηθούν σε σειρά από τη µεγαλύτερη στη µικρότερη, δηλαδή x x x ( ) ( ).. 1 2 ( N) και η µεσαία τιµή υπολογίζεται σύµφωνα µε την παρακάτω σχέση { ( )} median x n N+ 1 x, N περιττόςαριθµ ός 2 =. (3.3) N N x + x + 1 / 2, N άρτιος αριθµ ός 2 2 39

Η µέση απόλυτη απόκλιση (MAD, median absolute deviation) µίας συνάρτησης x(n) δίνεται από τη σχέση { ( )} { ( )} ( ) ( ) MAD x n = median x n median x n. (3.31) Έτσι υπολογίζεται η παρακάτω ποσότητα { } { ( )} ( ) Q= 1.4826 MAD w n = 1.4826 median w n Z. (3.32) Τέλος υπολογίζεται ένας συντελεστής D για κάθε τιµή του n της ακολουθίας x(n) D= w( n) Z. (3.33) Η διαδικασία του φιλτραρίσµατος ολοκληρώνεται µε τον έλεγχο της τιµής του συντελεστή D. Αν D< t Q, όπου t µία παράµετρος που ορίζεται από τον χρήστη και καθορίζει την ευαισθησία του φίλτρου και Q δίνεται από την σχέση 3.32, τότε y(n) = x(n), διαφορετικά y(n) = Z. ηλαδή ( ) y n x( n), D< tq =. (3.34) Z, D> tq + Οι τιµές της παραµέτρου t, µε t Z, καθώς και του συντελεστή φίλτρου K επιλέγονται ανάλογα µε το πλήθος και τις τιµές των ακραίων τιµών του σήµατος εισόδου. Αυξάνοντας την τιµή της παραµέτρου t µειώνεται η πιθανότητα να χαρακτηρισθεί µία τιµή ως ακραία, ενώ µικρές τιµές του t οδηγούν σε αύξηση του πλήθους των τιµών που χαρακτηρίζονται ως ακραίες. ηλαδή µικρές τιµές της παραµέτρου t καθιστούν το φίλτρο πιο ευαίσθητο στις ακραίες τιµές. Στη συνέχεια γίνεται εφαρµογή του φίλτρου Hampel σε µια χρονοσειρά δεδοµένων βαρυτηµέτρου υπεραγωγιµότητας. Τα δεδοµένα είναι σε µονάδες V (Volts) µε ρυθµό καταγραφής το ένα λεπτό. Στο σχήµα 3.11 απεικονίζεται µε κόκκινη γραµµή το αρχικό σήµα και µε µπλε το επεξεργασµένο σήµα χωρίς τις ακραίες τιµές. Οι συντελεστές που χρησιµοποιήθηκαν είναι K=65 και t=1. 4