ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Τελική Εξέταση 5 Ιουνίου 00 Απαντήστε όλα τα κάτωθι ερωτήµατα, παρέχοντας επεξηγηµατικά σχόλια όπου χρειάζεται.. (6 µον.) ίνεται ο πίνακας 4 4 A 4 0. (α) ( 0 µον.) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) ( µον.) Είναι δυνατή η διαγωνοποίηση του πίνακα Α; Γιατί; Εάν ο πίνακας διαγωνοποιείται, να βρεθεί αντιστρέψιµος πίνακας P τέτοιος ώστε ο P AP να είναι διαγώνιος. (γ) ( µον.) Είναι ο πίνακας Α αντιστρέψιµος; Εξηγείστε. (α) Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα Α είναι: λ + 4 4 δa λ λi A λ λ λ λ λ λ λ λ ( ) 4 0 6 5 + ( ) ( ). Εποµένως, ιδιοτιµές του Α είναι οι: λ 0, λ, λ. Υπολογίζουµε τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα: Για την ιδιοτιµή λ 0 θα πρέπει: 4 4 0 4 + 4 0 4 4 (0 I A) u 0 4 0 0 4 0 u 0 0 R Για την ιδιοτιµή λ : 4 4 0 4 + 4 0 4 4 ( I A) u 4 0 0 0 0 4 u 0 0 0 R Για την ιδιοτιµή λ : 4 4 4 0 4 4 + 4 0 ( I A) u 0 0 0 0 u 0 + 0 R
(β) Ο πίνακας Α διαγωνοποιείται αφού το χαρακτηριστικό πολυώνυµό του έχει (όσες και ο βαθµός του) διακεκριµένες ρίζες. Η διαγωνοποίηση αυτή πραγµατοποιείται αν κανείς χρησιµοποιήσει τον πίνακα που έχει ως στήλες τα τρία (γραµµικώς ανεξάρτητα) ιδιοδιανύσµατα του Α που υπολογίσαµε στο υποερώτηµα (α): (Αποδεικνύεται δε ότι P 0 και 4 0 (γ) Ο Α δεν είναι αντιστρέψιµος αφού έχει ιδιοτιµή το µηδέν. 4 4 P 4. 0 0 0 - P A P 0 0 D). 0 0. ( µον.) ίνεται το σύστηµα + + + λ + λ + Να βρεθούν οι τιµές του λ για τις οποίες το παραπάνω σύστηµα έχει: (i) µοναδική λύση, (ii) άπειρες λύσεις, (iii) καµία λύση και να βρεθούν οι λύσεις όποτε υπάρχουν. Θεωρούµε τον επαυξηµένο πίνακα του συστήµατος στον οποίο εφαρµόζουµε στοιχειώδεις µετασχηµατισµούς: Γ Γ Γ Γ Γ ( λ ) Γ λ Γ 0 λ Γ Γ + λ 0 λ 4. 0 λ+ 0 λ+ 0 0 λ λ+ 6 λ 0 0 ( λ)( λ+ ) λ Εποµένως, το σύστηµα έχει : Μοναδική λύση όταν λ και λ την,, ( + λ) ( + λ) Άπειρες λύσεις όταν Καµία λύση όταν λ-. λ τις { 5, 4, R }
. ( µον.) ίνεται η παρακάτω απεικόνιση : f a + b + c a + b f: Π Π, ( ) όπου Π ο χώρος των πολυωνύµων ως προς το πολύ β βαθµού και Π ο χώρος των πολυωνύµων ως προς το πολύ α βαθµού. α) Να δείξετε ότι η παραπάνω απεικόνιση είναι γραµµική και να βρεθεί ο πίνακάς της ως προς τις προφανείς βάσεις ({,, } του Π και{, } τουπ ). β) Να βρεθεί ο πυρήνας της παραπάνω απεικόνισης και η διάσταση του. Είναι η συνάρτηση f ένα προς ένα ; γ) Να βρεθεί η διάσταση της εικόνας της f. (α) Για κάθε ζεύγος διανυσµάτων για κάθε k R έχουµε: u + +, v + + του χώρου Π και a b c a b c f(u+v) f(( a + a ) + ( b + b ) + ( c + c )) ( a + a ) + ( b + b ) ( a+ b) + ( a+ b) f(u)+ f(v), f(u) k f( ka + kb+ kc) ka+ kb k ( a+ b) k f(u). Εποµένως, η απεικόνιση f είναι πράγµατι γραµµική. Εναλλακτικά θα µπορούσε κανείς να τεκµηριώσει τη γραµµικότητα της διαπιστώνοντας ότι πρόκειται για την πρώτη παράγωγο συναρτήσεων. Για τον υπολογισµό του πίνακά της ως προς τις βάσεις {,, } και { }, έχουµε: f Έτσι ο ζητούµενος πίνακας είναι ο Kerf { c, c R} f f + + + () (0 0 ) 0 0 0, f f + + + ( ) (0 0) 0, f f + + + ( ) ( 0 0) 0. 0 0 A 0 0. (β) Παρατηρούµε ότι αν u a + b + c είναι τυχόν στοιχείο του χώρου Π, τότε : f(u) 0 a+ b 0 a b 0. Εποµένως, ο πυρήνας της f αποτελείται από όλα τα σταθερά πολυώνυµα: Πρόκειται δηλαδή για έναν υπόχωρο του Π διάστασης. Η απεικόνιση f δεν είναι - αφού ο πυρήνας της περιέχει και µη µηδενικά στοιχεία. (γ) Αν Imf είναι η εικόνα της απεικόνισης f, τότε είναι γνωστό ότι: dim Π dim(im f ) + dim( Kerf ). Εποµένως, dim(im f ) + dim(im f ).
4. ( µον.) (α) (6 µον.)εξετάστε ως προς τη σύγκλιση τις κάτωθι σειρές αιτιολογώντας την απάντησή σας: i) ii) iii) 0 0 + 0 ( )( ) + + (β) (6 µον.) Να βρεθούν τα παρακάτω όρια : i) lim 0 si ii) lim e iii) lim ( ) + (α) (i) Η σειρά συγκλίνει αφού αν εφαρµόσουµε το Κριτήριο του Λόγου έχουµε: + + + lim lim <. + + (ii) Ισχύει ότι:,. Έτσι, αφού, όπως είναι γνωστό, η σειρά + + + + ζ () αποκλίνει, το ίδιο θα ισχύει και για την. 0 + (iii) Παρατηρούµε ότι: ( ) ( ). + + + + + + + + ( )( ) 0 0 Πρόκειται, εποµένως, για τηλεσκοπική σειρά της µορφής ( a a ) µε a η οποία συγκλίνει στο a lim a lim 0. + + + + + (β) (i) (ii) si ( si ) cos lim lim lim lim 0 si 0 si 0 ( si ) 0 si + cos ( cos ) si si 0 0 lim lim 0. 0 0 cos + cos si cos0 0 si 0 ( si + cos ) ( ) lim e lim lim lim 0. + + e + ( e ) + e
(iii) ( + ) ( + + ) ( + ) lim ( + ) lim lim + + + lim lim. + + + 0+ ( + + ) + + ( + + ) ( + + ) 5. ( 4 µον.) ίνεται η συνάρτηση f ( ) + a+ b b+ a > Για ποιες τιµές των a, b είναι η f() παραγωγίσιµη στο - ; Εξηγείστε την απάντησή σας. Αν η f() είναι παραγωγίσιµη στο θα είναι και συνεχής σε αυτό το σηµείο. Εποµένως θα πρέπει: lim f( ) lim f( ) lim ( + a+ b) lim ( b+ a ) a+ b + b+ a a. Επίσης θα πρέπει να συµπίπτουν οι πλευρικές παράγωγοι της f στο : f( ) f( ) f( ) f( ) lim lim + ( + a+ b) ( a+ b) ( b+ a ) ( a+ b) lim lim + ( + + b) b ( b ) b lim lim + + ( ) ( b+ b) ( + ) ( )( + ) b ( + ) lim lim lim lim + + lim ( ) lim ( b) bb 0. 6. ( µον.) α) (6 µον.) Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα: i) cos d ii) d iii) ( 5) ed e +
(β) (6 µον.) Να υπολογιστεί το εµβαδόν που περικλείεται µεταξύ της συνάρτησης f ( ) l, του άξονα και των ευθειών και e. (α) (i) cos( ) + si( ) si( ) cos d d (cos( ) + ) d ( + ) + c c. 4 + + (ii) Χρησιµοποιώντας τον µετασχηµατισµό y 5 dy d, έχουµε: d ( 5) y dy y dy c c. y y + ( 5) + (iii) Χρησιµοποιώντας τον µετασχηµατισµό y e dy e d y d, έχουµε: ed y dy dy l y + + c l( e + ) c. e + y+ y y+ + (β) Το ζητούµενο εµβαδόν είναι ίσο µε: e e e e d d d e e d e l l [ l ] (l ) ( l l) e e d e ( e ). 7. (6 µον.) Γράψετε αν οι κάτωθι προτάσεις είναι σωστές ή λάθος. Α) A A det A α) Σωστό β) Λάθος Β) Το σύνολο E {(, ) : 0} α) Σωστό β) Λάθος + είναι διανυσµατικός υπόχωρος του Γ) Έστω διανυσµατικοί χώροι E, E τέτοιοι ώστε dim E, dim E. Τότε ισχύει ότι dim( E + E ) ή. α) Σωστό β) Λάθος R. ) Αν Α +ΑΙ, τότε ισχύει πάντοτε ότι Α - Α+Ι ( Ι είναι ο µοναδιαίος πίνακας). α) Σωστό β) Λάθος
A A det A det A det A±. Έτσι και το είναι det A (Α) Λάθος: ( ) 0 πιθανή τιµή για την ορίζουσα του Α. Για παράδειγµα, αν A 0, τότε A A και det A. (Β) Λάθος αφού το σύνολο Ε δεν περιέχει το µηδενικό στοιχείο του R : 0+ 0 0. (Γ) Σωστό: ισχύει ότι ( ) ( ) dim E + E dim E + dim E dim( E E ) dim E + E dim( E E). Όµως η τοµή E E είναι υπόχωρος του Ε και άρα έχει διάσταση 0 ή. Αντίστοιχα, εποµένως, η διάσταση του Ε +Ε µπορεί να είναι ή. ( ) Σωστό: A + A I A ( A+ I) ( A+ I) A I A A+ I.. 8. (6 µον.) Για τις κάτωθι προτάσεις πολλαπλής επιλογής, γράψετε τη σωστή απάντηση:. Αν f ( ) 4+ τότε το lim f ( ) είναι ίσο µε Α. Β. Γ. 4. ( ) si 5. Αν λ lim 0, τότε Α. λ 0 Β. λ Γ. λ 5. λ 5 ( ). Αν f e, τότε οι ρίζες της f '( ) είναι : Α. Β. 0 ή Γ.. ή - 4. Η συνάρτηση f ( ), έχει: Α. Τοπικό ελάχιστο στo - και τοπικό µέγιστο στο. Β. Τοπικό ελάχιστο στo 0 και τοπικό µέγιστο στο. Γ. Τοπικό ελάχιστο στo και τοπικό µέγιστο στο -.. Τοπικό ελάχιστο στo και τοπικό µέγιστο στο 0. () Σωστή απάντηση είναι η : () Σωστή απάντηση είναι η : 4+ ( )( ) lim lim lim( ). si(5 ) si(5 ) si( y) lim 5 lim 5 lim 5 5. 0 0 5 y 0 y
() Σωστή απάντηση είναι η Γ: Πράγµατι, f ( ) e ( ) e ( ) e ( ), η οποία έχει µοναδική ρίζα το. (4) Σωστή απάντηση είναι η Γ γιατί : f + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f ( ) ( ) 6 Εποµένως, οι πρώτη παράγωγος έχει ρίζες στα σηµεία, - για τα οποία παρατηρούµε ότι: f () 6 > 0, f ( ) 6 < 0. Συνεπώς, η f έχει τοπικό ελάχιστο στο και τοπικό µέγιστο στο -. Η γραφική της παράσταση στο διάστηµα [-,] έχει ως εξής: