Σήματα και Συστήματα Βασίλειος Δαλάκας & Παναγιώτης Ριζομυλιώτης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σήματα και Συστήματα 1/16
Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 146) Να υπολογιστεί ο ML της ακόλουθης συνάρτησης { t x(t) = 2, 0 < t < 2 6, t > 2 Σήματα και Συστήματα 2/16
Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 146) Να υπολογιστεί ο ML της ακόλουθης συνάρτησης { t x(t) = 2, 0 < t < 2 6, t > 2 Λύση: Εκφράζουμε την x(t) ως συνδυασμό γνωστών συναρτήσεων των οποίων ο ML μπορεί να βρεθεί εύκολα x(t) = [t 2 u(t) t 2 u(t 2)] + 6u(t 2) Σήματα και Συστήματα 2/16
Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 146) Να υπολογιστεί ο ML της ακόλουθης συνάρτησης { t x(t) = 2, 0 < t < 2 6, t > 2 Λύση: Εκφράζουμε την x(t) ως συνδυασμό γνωστών συναρτήσεων των οποίων ο ML μπορεί να βρεθεί εύκολα x(t) = [t 2 u(t) t 2 u(t 2)] + 6u(t 2) = t 2 u(t) (t 2 6)u(t 2) Σήματα και Συστήματα 2/16
Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 146) Να υπολογιστεί ο ML της ακόλουθης συνάρτησης { t x(t) = 2, 0 < t < 2 6, t > 2 Λύση: Εκφράζουμε την x(t) ως συνδυασμό γνωστών συναρτήσεων των οποίων ο ML μπορεί να βρεθεί εύκολα x(t) = [t 2 u(t) t 2 u(t 2)] + 6u(t 2) = t 2 u(t) (t 2 6)u(t 2) = t 2 u(t) [(t 2 4t + 4) + 4t 10]u(t 2) Σήματα και Συστήματα 2/16
Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 146) Να υπολογιστεί ο ML της ακόλουθης συνάρτησης { t x(t) = 2, 0 < t < 2 6, t > 2 Λύση: Εκφράζουμε την x(t) ως συνδυασμό γνωστών συναρτήσεων των οποίων ο ML μπορεί να βρεθεί εύκολα x(t) = [t 2 u(t) t 2 u(t 2)] + 6u(t 2) = t 2 u(t) (t 2 6)u(t 2) = t 2 u(t) [(t 2 4t + 4) + 4t 10]u(t 2) = t 2 u(t) [(t 2) 2 + 4(t 2) 2]u(t 2) Σήματα και Συστήματα 2/16
Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 146) Να υπολογιστεί ο ML της ακόλουθης συνάρτησης { t x(t) = 2, 0 < t < 2 6, t > 2 Λύση: Εκφράζουμε την x(t) ως συνδυασμό γνωστών συναρτήσεων των οποίων ο ML μπορεί να βρεθεί εύκολα x(t) = [t 2 u(t) t 2 u(t 2)] + 6u(t 2) = t 2 u(t) (t 2 6)u(t 2) = t 2 u(t) [(t 2 4t + 4) + 4t 10]u(t 2) = t 2 u(t) [(t 2) 2 + 4(t 2) 2]u(t 2) = t 2 u(t) (t 2) 2 u(t 2) 4(t 2)u(t 2) + 2u(t 2) Σήματα και Συστήματα 2/16
Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 146) Παίρνοντας το ML των δύο πλευρών έχουμε τελικά: με Re(s) > 0 X(s) = 2 s 3 e 2s 2 s 3 4e 2s 1 s 2 + 2e 2s 1 s Σήματα και Συστήματα 3/16
Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 146) Να υπολογιστεί ο ML της συνάρτησης x(t) = 1 e t t Σήματα και Συστήματα 4/16
Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 146) Να υπολογιστεί ο ML της συνάρτησης x(t) = 1 e t t Λύση: Σήματα και Συστήματα 4/16
Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 146) Να υπολογιστεί ο ML της συνάρτησης x(t) = 1 e t t Λύση: Το ανάπτυγμα σε σειρά Taylor γύρω από το 0 της e t είναι e t = ( 1) n t n n=0 n! Σήματα και Συστήματα 4/16
Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 146) Να υπολογιστεί ο ML της συνάρτησης x(t) = 1 e t t Λύση: Το ανάπτυγμα σε σειρά Taylor γύρω από το 0 της e t είναι e t = ( 1) n t n n=0 Επομένως η x(t) μπορεί να γραφτεί ως n! x(t) = 1 e t t ( 1) n 1 t n 1 = n! n=1 Σήματα και Συστήματα 4/16
Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 146) Ζητήθηκαν οι πράξεις στην προηγούμενη σχέση 1 e t t = 1 ( 1) n t n n=0 n! t = t 1 ( 1) n t n ( n! n=0 ( 1) n 1 t n 1 = n! n=1 = t 1 t 1 ( 1) n t n n! 1) = t 1 n=0 n=1 ( 1) n t n n! Σήματα και Συστήματα 5/16
Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 146) Ορίζοντας τη μεταβλητή k = n 1, η παραπάνω έκφραση γίνεται x(t) = k=0 ( 1) k t k (k + 1)! Σήματα και Συστήματα 6/16
Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 146) Ορίζοντας τη μεταβλητή k = n 1, η παραπάνω έκφραση γίνεται x(t) = k=0 ( 1) k t k (k + 1)! Παίρνοντας το ML των δύο πλευρών έχουμε τελικά εκμεταλλευόμενοι την ιδιότητα της γραμμικότητας ότι { ( 1) k t k } L{x(t)} = L (k + 1)! k=0 Σήματα και Συστήματα 6/16
Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 146) Ορίζοντας τη μεταβλητή k = n 1, η παραπάνω έκφραση γίνεται x(t) = k=0 ( 1) k t k (k + 1)! Παίρνοντας το ML των δύο πλευρών έχουμε τελικά εκμεταλλευόμενοι την ιδιότητα της γραμμικότητας ότι { ( 1) k t k } L{x(t)} = L = (k + 1)! k=0 k=0 ( 1) k (k + 1)! L{tk } Σήματα και Συστήματα 6/16
Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 146) Ορίζοντας τη μεταβλητή k = n 1, η παραπάνω έκφραση γίνεται x(t) = k=0 ( 1) k t k (k + 1)! Παίρνοντας το ML των δύο πλευρών έχουμε τελικά εκμεταλλευόμενοι την ιδιότητα της γραμμικότητας ότι { ( 1) k t k } L{x(t)} = L = (k + 1)! k=0 k=0 ( 1) k (k + 1)! L{tk } Σύμφωνα με τον πίνακα 31 (σελ 113) του βιβλίου έχουμε L{t k } = k!, Re(s) > 0 sk+1 Σήματα και Συστήματα 6/16
Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 146) Συνεπώς ( 1) k L{x(t)} = (k + 1)! k=0 k! s k+1 Σήματα και Συστήματα 7/16
Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 146) Συνεπώς L{x(t)} = ( 1) k k! (k + 1)! s k+1 = k=0 k=0 ( 1) k k + 1 1 s k+1 Το τελευταίο, όμως, άθροισμα είναι το ανάπτυγμα σε σειρά Taylor γύρω από το μηδέν της συνάρτησης ln(1 + ω) με ω = 1/s Αυτό ορίζεται για ω <, δηλαδή s 0 Τελικά: L{x(t)} = ln(1 + 1 ), Re(s) > 0 s Σήματα και Συστήματα 7/16
Πρόβλημα 3 (βιβλίο σελίδα 147) Να υπολογιστεί ο αντίστροφος ML της συνάρτησης X(s) = 5s2 15s + 7 (s + 1)(s 2) 3 Re(s) > 2 Σήματα και Συστήματα 8/16
Πρόβλημα 3 (βιβλίο σελίδα 147) Να υπολογιστεί ο αντίστροφος ML της συνάρτησης X(s) = 5s2 15s + 7 (s + 1)(s 2) 3 Re(s) > 2 Λύση: Υπολογίζουμε το ανάπτυγμα της X(s) σε μερικά κλάσματα X(s) = 5s2 15s + 7 (s + 1)(s 2) 3 Σήματα και Συστήματα 8/16
Πρόβλημα 3 (βιβλίο σελίδα 147) Να υπολογιστεί ο αντίστροφος ML της συνάρτησης X(s) = 5s2 15s + 7 (s + 1)(s 2) 3 Re(s) > 2 Λύση: Υπολογίζουμε το ανάπτυγμα της X(s) σε μερικά κλάσματα X(s) = 5s2 15s + 7 (s + 1)(s 2) 3 = A s + 1 + B s 2 + C (s 2) 2 + D (s 2) 3 Σήματα και Συστήματα 8/16
Πρόβλημα 3 (βιβλίο σελίδα 147) Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε τις σταθερές A,B,C και D A = lim (s + 1)X(s) = 3 s 1 Σήματα και Συστήματα 9/16
Πρόβλημα 3 (βιβλίο σελίδα 147) Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε τις σταθερές A,B,C και D A = lim (s + 1)X(s) = 3 s 1 1 B = lim s 2 (3 1)! d 2 ds 2 [(s 2)3 X(s)] = 1 Σήματα και Συστήματα 9/16
Πρόβλημα 3 (βιβλίο σελίδα 147) Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε τις σταθερές A,B,C και D A = lim (s + 1)X(s) = 3 s 1 B = 1 lim s 2 (3 1)! C = 1 lim s 2 (3 2)! d 2 ds 2 [(s 2)3 X(s)] = 1 d ds [(s 2)3 X(s)] = 2 Σήματα και Συστήματα 9/16
Πρόβλημα 3 (βιβλίο σελίδα 147) Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε τις σταθερές A,B,C και D A = lim (s + 1)X(s) = 3 s 1 B = 1 lim s 2 (3 1)! C = 1 lim s 2 (3 2)! d 2 ds 2 [(s 2)3 X(s)] = 1 d ds [(s 2)3 X(s)] = 2 D = lim s 2 1 (3 3)! [(s 2)3 X(s)] = 1 Σήματα και Συστήματα 9/16
Πρόβλημα 3 (βιβλίο σελίδα 147) Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε τις σταθερές A,B,C και D Άρα A = lim (s + 1)X(s) = 3 s 1 B = 1 lim s 2 (3 1)! C = 1 lim s 2 (3 2)! d 2 ds 2 [(s 2)3 X(s)] = 1 d ds [(s 2)3 X(s)] = 2 D = lim s 2 1 (3 3)! [(s 2)3 X(s)] = 1 X(s) = 3 s + 1 + 1 s 2 + 2 (s 2) 2 1 (s 2) 3 Σήματα και Συστήματα 9/16
Πρόβλημα 3 (βιβλίο σελίδα 147) Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε τις σταθερές A,B,C και D Άρα οπότε A = lim (s + 1)X(s) = 3 s 1 B = 1 lim s 2 (3 1)! C = 1 lim s 2 (3 2)! d 2 ds 2 [(s 2)3 X(s)] = 1 d ds [(s 2)3 X(s)] = 2 D = lim s 2 1 (3 3)! [(s 2)3 X(s)] = 1 X(s) = 3 s + 1 + 1 s 2 + 2 (s 2) 2 1 (s 2) 3 x(t) = ( 3e t + e 2t + 2te 2t t2 2 e2t) u(t) Σήματα και Συστήματα 9/16
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Να υπολογιστεί ο αντίστροφος ML της συνάρτησης 2s 2 + 6s + 6 X(s) = (s + 2)(s 2 Re(s) > 2 + 2s + 2) Σήματα και Συστήματα 10/16
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Να υπολογιστεί ο αντίστροφος ML της συνάρτησης 2s 2 + 6s + 6 X(s) = (s + 2)(s 2 Re(s) > 2 + 2s + 2) Λύση: Υπάρχουν 2 τρόποι με τους οποίους μπορούμε να λύσουμε την άσκηση Σήματα και Συστήματα 10/16
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Να υπολογιστεί ο αντίστροφος ML της συνάρτησης 2s 2 + 6s + 6 X(s) = (s + 2)(s 2 Re(s) > 2 + 2s + 2) Λύση: Υπάρχουν 2 τρόποι με τους οποίους μπορούμε να λύσουμε την άσκηση Ο 1ος τρόπος είναι να υπολογίσουμε ότι ο δευτεροβάθμιος παράγοντας του παρονομαστή παραγοντοποιείται ως s 2 + 2s + 2 = (s + 1 + j)(s + 1 j) Σήματα και Συστήματα 10/16
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Να υπολογιστεί ο αντίστροφος ML της συνάρτησης 2s 2 + 6s + 6 X(s) = (s + 2)(s 2 Re(s) > 2 + 2s + 2) Λύση: Υπάρχουν 2 τρόποι με τους οποίους μπορούμε να λύσουμε την άσκηση Ο 1ος τρόπος είναι να υπολογίσουμε ότι ο δευτεροβάθμιος παράγοντας του παρονομαστή παραγοντοποιείται ως s 2 + 2s + 2 = (s + 1 + j)(s + 1 j) Έτσι, η συνάρτηση X(s) αναλύεται ως εξής: X(s) = A s + 2 + B s + 1 + j + C s + 1 j Σήματα και Συστήματα 10/16
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) όπου οι σταθερές A, B, C υπολογίζονται από τις σχέσεις A = lim [(s + 2)X(s)] = 1 s 2 Σήματα και Συστήματα 11/16
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) όπου οι σταθερές A, B, C υπολογίζονται από τις σχέσεις A = lim [(s + 2)X(s)] = 1 s 2 B = lim [(s + 1 + j)x(s)] = j s 1 j j + 1 Σήματα και Συστήματα 11/16
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) όπου οι σταθερές A, B, C υπολογίζονται από τις σχέσεις A = lim [(s + 2)X(s)] = 1 s 2 B = lim [(s + 1 + j)x(s)] = j s 1 j C = lim [(s + 1 j)x(s)] = j s 1+j j + 1 j 1 Σήματα και Συστήματα 11/16
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) όπου οι σταθερές A, B, C υπολογίζονται από τις σχέσεις A = lim [(s + 2)X(s)] = 1 s 2 B = lim [(s + 1 + j)x(s)] = j s 1 j C = lim [(s + 1 j)x(s)] = j s 1+j Το ανάπτυγμα της X(s) γίνεται έτσι: X(s) = 1 s + 2 + j + 1 j 1 j 1 j + 1 s + 1 + j + j 1 j 1 s + 1 j Σήματα και Συστήματα 11/16
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) όπου οι σταθερές A, B, C υπολογίζονται από τις σχέσεις A = lim [(s + 2)X(s)] = 1 s 2 B = lim [(s + 1 + j)x(s)] = j s 1 j C = lim [(s + 1 j)x(s)] = j s 1+j Το ανάπτυγμα της X(s) γίνεται έτσι: X(s) = 1 s + 2 + Ο αντίστροφος ML της συνάρτησης είναι j + 1 j 1 j 1 j + 1 s + 1 + j + j 1 j 1 s + 1 j x(t) = L 1 {X(s)} Σήματα και Συστήματα 11/16
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) x(t) = [ e 2t + j j + 1 e (1+j)t + j j 1 e (1 j)t] u(t) Σήματα και Συστήματα 12/16
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) x(t) = = [ e 2t + j j + 1 e (1+j)t + j j 1 e (1 j)t] u(t) [ e 2t + e t( j j + 1 e jt + j j 1 ejt)] u(t) Σήματα και Συστήματα 12/16
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) x(t) = = = [ e 2t + j j + 1 e (1+j)t + j j 1 e (1 j)t] u(t) [ e 2t + e t( j j + 1 e jt + j j 1 ejt)] u(t) [ ( j e 2t + e t 2Re j + 1 e jt)] u(t) Σήματα και Συστήματα 12/16
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) x(t) = = = [ e 2t + j j + 1 e (1+j)t + j j 1 e (1 j)t] u(t) [ e 2t + e t( j j + 1 e jt + j j 1 ejt)] u(t) [ ( j e 2t + e t 2Re j + 1 e jt)] u(t) = [e 2t + e t (cos t + sin t)]u(t) Σήματα και Συστήματα 12/16
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Ο εναλλακτικός τρόπος λύσης είναι να κρατηθούν οι συζυγείς μιγαδικοί παράγοντες και να γίνει η εξής ανάλυση: X(s) = A s + 2 + Bs + C s 2 + 2s + 2 Σήματα και Συστήματα 13/16
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Ο εναλλακτικός τρόπος λύσης είναι να κρατηθούν οι συζυγείς μιγαδικοί παράγοντες και να γίνει η εξής ανάλυση: X(s) = Το A βρίσκεται εύκολα όπως και πριν A s + 2 + Bs + C s 2 + 2s + 2 A = lim [(s + 2)X(s)] = 1 s 2 Σήματα και Συστήματα 13/16
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Ο εναλλακτικός τρόπος λύσης είναι να κρατηθούν οι συζυγείς μιγαδικοί παράγοντες και να γίνει η εξής ανάλυση: X(s) = Το A βρίσκεται εύκολα όπως και πριν A s + 2 + Bs + C s 2 + 2s + 2 A = lim [(s + 2)X(s)] = 1 s 2 Τα B και C μπορούν με τη σειρά τους να υπολογιστούν με δύο τρόπους Σήματα και Συστήματα 13/16
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Εξίσωση ομοβάθμιων όρων Σήματα και Συστήματα 14/16
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Εξίσωση ομοβάθμιων όρων Bs + C s 2 + 2s + 2 = 2s 2 + 6s + 6 (s + 2)(s 2 + 2s + 2) 1 s + 2 Σήματα και Συστήματα 14/16
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Εξίσωση ομοβάθμιων όρων Bs + C s 2 + 2s + 2 2s 2 + 6s + 6 = (s + 2)(s 2 + 2s + 2) 1 s + 2 = 2s2 + 6s + 6 s 2 2s 2 (s + 2)(s 2 + 2s + 2) Σήματα και Συστήματα 14/16
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Εξίσωση ομοβάθμιων όρων Bs + C s 2 + 2s + 2 2s 2 + 6s + 6 = (s + 2)(s 2 + 2s + 2) 1 s + 2 = 2s2 + 6s + 6 s 2 2s 2 = και συνεπώς B = 1 και C = 2 (s + 2)(s 2 + 2s + 2) s + 2 s 2 + 2s + 2 Σήματα και Συστήματα 14/16
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Αντικατάσταση τιμών στο ανάπτυγμα Σήματα και Συστήματα 15/16
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Αντικατάσταση τιμών στο ανάπτυγμα Θέτουμε s = 0 X(0) = A 2 + C 2 Σήματα και Συστήματα 15/16
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Αντικατάσταση τιμών στο ανάπτυγμα Θέτουμε s = 0 X(0) = A 2 + C 2 άρα C = 2X(0) A = 2 6 4 1 = 2 Σήματα και Συστήματα 15/16
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Αντικατάσταση τιμών στο ανάπτυγμα Θέτουμε s = 0 X(0) = A 2 + C 2 άρα C = 2X(0) A = 2 6 4 1 = 2 Για να βρούμε και το B, πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη του αναπτύγματος της X(s) με s και παίρνουμε το όριο καθώς το s : Σήματα και Συστήματα 15/16
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Αντικατάσταση τιμών στο ανάπτυγμα Θέτουμε s = 0 X(0) = A 2 + C 2 άρα C = 2X(0) A = 2 6 4 1 = 2 Για να βρούμε και το B, πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη του αναπτύγματος της X(s) με s και παίρνουμε το όριο καθώς το s : sa lim sx(s) = lim s s s + 2 + lim s Bs + 2 s s 2 + 2s + 2 = A + B Σήματα και Συστήματα 15/16
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Αντικατάσταση τιμών στο ανάπτυγμα Θέτουμε s = 0 X(0) = A 2 + C 2 άρα C = 2X(0) A = 2 6 4 1 = 2 Για να βρούμε και το B, πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη του αναπτύγματος της X(s) με s και παίρνουμε το όριο καθώς το s : sa lim sx(s) = lim s s s + 2 + lim s Bs + 2 s s 2 + 2s + 2 = A + B Συνεπώς B = 1 Σήματα και Συστήματα 15/16
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Με βάση τις τιμές για τα A,B,C, μπορούμε να γράψουμε το ανάπτυγμα της X(s) Σήματα και Συστήματα 16/16
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Με βάση τις τιμές για τα A,B,C, μπορούμε να γράψουμε το ανάπτυγμα της X(s) X(s) = 1 s + 2 + s + 2 s 2 + 2s + 2 = 1 s + 2 + s + 1 (s + 1) 2 + 1 + 1 (s + 1) 2 + 1 Σήματα και Συστήματα 16/16
Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Με βάση τις τιμές για τα A,B,C, μπορούμε να γράψουμε το ανάπτυγμα της X(s) X(s) = 1 s + 2 + s + 2 s 2 + 2s + 2 = 1 s + 2 + s + 1 (s + 1) 2 + 1 + 1 (s + 1) 2 + 1 Από την οποία έχουμε x(t) = [e 2t + e t (cos t + sin t)]u(t) Σήματα και Συστήματα 16/16