Θα λύσετε ένα από τα έξι πακέτα ασκήσεων που ακολουθούν, τα οποία είναι αριθµηµένα από 0 έως5. Ο κάθε φοιτητής βρίσκει το πακέτο που του αντιστοιχεί από τον αριθµό µητρώου του. Συγκεκριµένα υπολογίζει το υπόλοιπο τη διαίρεσης του αριθµού που σχηµατίζουν τα τρία τελευταία ψηφία του ΑΜ δια του 6. Το υπόλοιπο αυτό είναι από 0-5 και καθορίζει τον αριθµό του πακέτου. Για παράδειγµα ένας υποθετικός φοιτητής µε αριθµό µητρώου: ΑΜ= 5009000 θα υπολογίσει το Mod(0;6) =3. Άρα αναλαµβάνει το πακέτο ασκήσεων 3. Προσοχή!! εν πρέπει να γίνει λάθος στο πακέτο που θα επιλέξετε διότι αλλιώς είναι ως εάν δεν παραδώσετε άσκηση. Προσέξτε πριν να υποβάλλετε την εργασία σας στο eclass να εφοδιάσετε τις απαντήσεις µε εξώφυλλο, όπως στο παράδειγµα που ακολουθεί, στο οποίο θα αναγράφονται το όνοµα ο ΑΜ,το mod() και το πακέτο που προκύπτει.
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Παπαδόπουλος Ιωάννης ΑΜ 5009000 Πακέτο Μοd(0;6)=3 Πακέτο Ασκήσεων 3 Αθήνα 5//0
Οµάδα Ασκήσεων 0 Προβληµα 0. ίνεται ένα σύστηµα διαβίβασης διακριτών δεδοµένων µε ισοπίθανα σύµβολα, τα: { s =(,0,0,0) Τ, s = (0,,0,0) Τ, s 3 = (0,0,,0) Τ,s 4 = (0,0,0,) Τ }. Στο φωρατή του συστήµατος το διαβιβαζόµενο σύµβολο συνοδεύεται από προσθετικό θόρυβο, το διάνυσµα v, του οποίου οι συνιστώσες είναι τυχαίες µεταβλητές, στατιστικά ανεξάρτητες µεταξύ τους, µε Gaussan κατανοµή. Επίσης κάθε συνιστώσα έχει µέση τιµή µηδέν και την ίδια διακύµανση σ. Εποµένως για ένα άγνωστο σύµβολο s που αποστέλλει ο ποµπός ο φωρατής λαµβάνει το διάνυσµα =s+ν=(,, 3, 4 ) T. 0..α) Ποιες από τις συνθήκες του προβλήµατος µας οδηγούν στο συµπέρασµα ότι για να γίνει η φώραση του άγνωστου συµβόλου s από το ληφθέν διάνυσµα µε ελάχιστη πιθανότητα σφάλµατος, πρέπει να εφαρµοστεί το κριτήριο της µέγιστης πιθανοφάνειας (Maxmum Lkelhood-ML). (0.3µονάδες) 0..β) Ποιες από τις συνθήκες του προβλήµατος µας επιτρέπουν να απλοποιήσουµε το κριτήριο ML σε κριτήριο ελάχιστης απόστασης. (0.7µονάδες) 0..γ) Να αποδείξετε ότι το κριτήριο της ελάχιστης απόστασης στο σύστηµα αυτό απλοποιείται στο κριτήριο µέγιστης συνιστώσας του, δηλαδή: (.4µονάδες) Αν > j=,,3,4 j s= s j 0.. α Η ισχύς του κριτηρίου ML εξασφαλίζεται από το δεδοµένο ότι όλα τα σύµβολα είναι ισοπίθανα. 0..β Η ισχύς του κριτηρίου ελάχιστης απόστασης εξασφαλίζεται από τα δεδοµένα ότι οι συνιστώσες του θορύβου ακολουθούν Gaussan κατανοµή, έχουν την ίδια µέση τιµή και διασπορά και είναι στατιστικά ανεξάρτητες. 0..γ Με βάση το κριτήριο της ελάχιστης απόστασης αποφασίζουµε: s = s s < s j j=,,3,4, j Ας δεχθούµε ότι =(,, 3, 4 ) T τότε: s = + + + + k =,,3, 4 k 3 4 οπότε η σχέση s < s j γίνεται ισοδύναµα: s < s j < j > j και το κριτήριο απλοποιείται σε s = s > j =,,3,4, j j Προβληµα 0. Στο Φωρατή του συστήµατος του Προβλήµατος 0. λαµβάνεται η ακολουθία διανυσµάτων { n }: =(0.04, 0.5, 0.88, 0.44) T, =(-0.03,.03, 0., 0.0) T, 3 =(-0.0, -0.7, 0.06, 0.73) T, 4 =(-0.0, -0.7, 0.06, 0.73) T 0..α) Να υπολογίσετε την πιο πιθανή ακολουθία συµβόλων {s n } που έχει φθάσει στον φωρατή. (0.7 µονάδες) 0..β) Να υπολογίσετε την αντίστοιχη ακολουθία θορύβου {v n }. (.0 µονάδες) 0..γ) Να υπολογίσετε κατά προσέγγιση την διακύµανση σ. (.6 µονάδες) k
0.α Εφαρµόζοντας το κριτήριο της µέγιστης συνιστώσας έχουµε ότι : 0..β Ισχύει ότι = s+ v v= s Συνεπώς: v 3 v ( 0,0,,0 ), ( 0,,0,0 ), ( 0,0,0, ), ( 0,0,0,) Τ Τ Τ Τ s = s = s = s = 3 4 T T = ( 0.04, 0.5, 0., 0.44), v = ( 0.03, 0.03, 0., 0.0), T T (.0, 0.6, 0.06, 0.7), = ( 0.0, 0.6, 0.06, 0.7), = v 0 4 0..γ Αφού οι συνιστώσες των διανυσµάτων της απάντησης 0.β είναι στατιστικά ανεξάρτητες, έχουν την ίδια διακύµανση και µέση τιµή µηδέν, η κοινή τιµή της διακύµανσης, σ υπολογίζεται από τον τύπο: 4 σ = ( v + v + + 4) 6 v v 3 = και αντικαθιστώντας βρίσκουµε: σ =0.03 Προβληµα 0.3 Το v είναι τυχαία µεταβλητή µε Gaussan κατανοµή, µέση τιµή και διακύµανση σ =9. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες: 0.3.α) P =(v>5) (0.7 µονάδες) 0.3.β) P =(v<-5) (.0 µονάδες) 0.3.γ) P 3 =(3<v<6) (.6 µονάδες) Σύµφωνα µε τον γνωστό τύπο υπολογισµού της πιθανότητας στο συγκεκριµένο πρόβληµα, έχουµε: 0.3.α 0.3.β 0.3.γ
Οµάδα Ασκήσεων Προβληµα. ίνεται ένα σύστηµα διαβίβασης διακριτών δεδοµένων µε ισοπίθανα µιγαδικά σύµβολα, τα: { s =, s = j }. Στην είσοδό του φωρατή του συστήµατος το διαβιβαζόµενο σύµβολο συνοδεύεται από θόρυβο, τον µιγαδικό v, του οποίου τόσο το πραγµατικό όσο και το φανταστικό µέρος είναι τυχαίες µεταβλητές, στατιστικά ανεξάρτητες µεταξύ τους, µε Gaussan κατανοµή. Επίσης κάθε µέρος έχει µέση τιµή µηδέν και την ίδια διακύµανση σ. Εποµένως για ένα άγνωστο σύµβολο s που αποστέλλει ο ποµπός ο φωρατής λαµβάνει τον µιγαδικό =s+ν=( +j )..α) Ποιες από τις συνθήκες του προβλήµατος µας οδηγούν στο συµπέρασµα ότι για να γίνει η φώραση του άγνωστου συµβόλου s από το ληφθέν σύµβολο µε ελάχιστη πιθανότητα σφάλµατος, πρέπει να εφαρµοστεί το κριτήριο της µέγιστης πιθανοφάνειας (Maxmum Lkelhood-ML). (0.5 µονάδες).β) Ποιες από τις συνθήκες του προβλήµατος µας επιτρέπουν να απλοποιήσουµε το κριτήριο ML σε κριτήριο ελάχιστης απόστασης. (0.9 µονάδες).γ) Να αποδείξετε ότι το κριτήριο της ελάχιστης απόστασης στο σύστηµα αυτό απλοποιείται στο κριτήριο της µεγαλύτερης συνιστώσας του, δηλαδή: Αν > s=, αλλιώς s= j (.0 µονάδες)..α Η ισχύς του κριτηρίου ML εξασφαλίζεται από το δεδοµένο ότι τα σύµβολα είναι ισοπίθανα...β Η ισχύς του κριτηρίου ελάχιστης απόστασης εξασφαλίζεται από τα δεδοµένα ότι οι συνιστώσες του θορύβου ακολουθούν Gaussan κατανοµή, έχουν την ίδια µέση τιµή και διασπορά και είναι στατιστικά ανεξάρτητες...γ Με βάση το κριτήριο της ελάχιστης απόστασης αποφασίζουµε j < s= jαλλιώς s= ή ισοδύναµα ή ή τελικά ( ) ( ) + < + s= jαλλιώς s= < s= jαλλιώς s= > s= jαλλιώς s= Προβληµα. Στο Φωρατή του συστήµατος του Προβλήµατος λαµβάνεται η ακολουθία µιγαδικών { n }: = 0.04+j.5, = 0.88+j0.44, 3 = -0.03+j.03, 4 = -0.0+j0.03, 5 = 0.06+j0.73,.α) Να υπολογίσετε την πιο πιθανή ακολουθία συµβόλων {s n } που έχει φθάσει στον φωρατή. (.0 µονάδες).β) Να υπολογίσετε την αντίστοιχη ακολουθία θορύβου {v n }. (.5 µονάδες).γ) Να υπολογίσετε κατά προσέγγιση την διακύµανση σ. (.0 µονάδες)
. α Σύµφωνα µε το κριτήριο της µεγαλύτερης συνιστώσας, ο ποµπός έχει στείλει εκτιµούµε την πιο πιθανή τιµή και την καταγράφουµε στον πίνακα (γραµµή ). 0.04+j.5 0.88+j0.44-0.03+j.03-0.0+j0.03 0.06+j0.73 s j j j j v=-s 0.04+j0.5-0.+j0.44-0.03+j0.03-0.0-j0.97 0.06-j0.7. β Ισχύει οτι. Συνεπώς:. Έτσι συµπληρώνεται η Τρίτη γραµµή του Πίνακα...γ Θυµηθείτε ότι τόσο το πραγµατικό όσο και το φανταστικό µέρος του θορύβου ακολουθούν Gaussan κατανοµή, έχουν µηδενική µέση τιµή, τηνίδια διακύµανση σ και είναι στατιστικά ανεξάρτητα. Εποµένως η διακύµανση µπορεί να εκτιµηθεί από τον τύπο: 5 σ = ( Re( v) ) ( Im( v) ) + 0 ι= Και αντικαθιστώντας βρίσκουµε σ =0.5. Προβληµα.3 Να αποδείξετε ότι στο πιο πάνω σύστηµα η πιθανότητα σφάλµατος P b δίνεται από τη σχέση Pb = Q (. µονάδες) σ Υπόδειξη: Θυµηθείτε ότι αν ν=ν +ν ή ν=ν -ν όπου ν και ν τυχαίες µεταβλητές στατιστικά ανεξάρτητες και µε µέση τιµή µ και µ και διακυµάνσεις σ και σ, τότε η ν είναι επίσης τυχαία µεταβλητή µε µέση τιµή µ=µ + µ, αντίστοιχα µ=µ - µ και διακύµανση σ = σ + σ. Κατά τα γνωστά η πιθανότητα σφάλµατος, P e µπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση: P = P Y X & X = + P Y X & X = j b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P = P Y X X = 0.5 + P Y X X = j 0.5 b Pb = 0.5 P Y = j X = + P Y = X = j Όµως όταν Χ= =+v +jv και όταν Χ=j =v +j(+v ) Pb = 0.5 P( v > + v) + P( v > + v) ( ) ( ) Pb = 0.5 P v v > + P v v < Επειδή όµως v και v είναι τυχαίες µεταβλητές, µε Gaussan κατανοµή µέση τιµή µηδέν και στατιστικά ανεξάρτητες ισχύει ότι η v=v -v τους είναι τυχαία µεταβλητή µε Gaussan κατανοµή µέση τιµή µηδέν και διακύµανση το άθροισµα των διακυµάνσεων, δηλαδή σ = σ. Εποµένως: v Pb = 0.5 P( v v > ) = Q = Q = Q = Q σ v σ v σ σ
Οµάδα Ασκήσεων Πρόβληµα. Σε ένα τηλεπικοινωνιακό σύστηµα διαβίβασης διακριτών δεδοµένων µε ισοπίθανα σύµβολα, τα στοιχεία του αστερισµού {0,}, ο θόρυβος στην είσοδο του καναλιού 3 6 για v 8 3 ακολουθεί κατανοµή µε οµοιόµορφο PDF fv( ν) =. Παρατηρείστε ότι 0 για v > 8 3 η αναµενόµενη τιµή της κατανοµής αυτής είναι ίση µε µηδέν...α) Να υπολογίσετε τις συναρτήσεις πυκνότητας της υπό συνθήκη πιθανότητας 0 f z s= (.0 µονάδες) f ( z s= ) και ( )..β) Πώς διαµορφώνεται το κριτήριο µέγιστης πιθανοφάνειας στο σύστηµα αυτό; (.0 µονάδες)..γ) Να υπολογίσετε την πιθανότητα σφάλµατος για το πιο πάνω σύστηµα αν ακολουθήσουµε το κριτήριο: Αν > s=, αλλιώς s= 0 (.4 µονάδες).α. Για την f ( z s= 0) έχουµε f ( z s 0) Ενώ για την ( ) f ( z s ) 3 6 για v 8 3 = = 0 για v > 8 3 f z s= ολισθαίνει η κατανοµή ώστε η µέση τιµή να γίνει 3 6 για - 3 v 4 3 = = 0 αλλού.β Για f s= 0 > f s= s= 0 ( ) ( ) αλλιώς s=.γ P = P Y X & X = 0 + P Y X & X = = P Y = 0 s= 0.5+ P Y = s= 0 0.5 b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Pb = 0.5 P < s= + P s= 0 = 0.5 P + v< + P v δηλαδή: Pb = 0.5 P( v< ) + P( v ) Με βάση την κατανοµή του v 3 5 P( v < ) = fv( v) dv = dv 6 = 8 3 6 και 3 8 3 5 P( v ) = f ( ) v v dv= dv 6 = 6 και τελικά 5 P b = 6
Πρόβληµα. Σε ένα σύστηµα µε ισοπίθανα σύµβολα που ανήκουν στον αστερισµό {0,,,3} τα σύµβολα φθάνουν στον φωρατή συνοδευόµενα από προσθετικό θόρυβο µε Gaussan κατανοµή, µέση τιµή µηδέν και διακύµανση σ...α). Γράψτε την ακολουθία κατωφλίων {Τ } =,,3 που πρέπει να χρησιµοποιήσει ο δέκτης για τη φώραση. (.6 µονάδες)..β). Σχεδιάστε την χαρακτηριστική µεταφοράς (σχέση εισόδου εξόδου) του αναλογοψηφιακού µετατροπέα (ADC) που πρέπει να χρησιµοποιηθεί για τη φώραση. (.7 µονάδες)..α Για να εφαρµοστεί η αρχή της ελάχιστης απόστασης τα κατώφλια πρέπει να τοποθετηθούν στα µέσα των αποστάσεων των γειτονικών συµβόλων του αστερισµού: s+ s+ T = T, T, T3= 0.5,.5,.5..β s 3 0 0.5.5.5 Πρόβληµα.3 Αν ο φωρατής του Προβλήµατος. λάβει την ακολουθία { n } ={-.0.,., 0.9,.,.7, 3., 0.,-0.,.9}.3α) Να γράψετε την ακολουθία των πιο πιθανών συµβόλων {s n }(0.7 µονάδες).3β) Να γράψετε την ακολουθία του θορύβου {ν n }(0.9 µονάδες).3γ) Να υπολογίσετε κατά προσέγγιση τη τιµής της διακύµανσης. (.7 µονάδες).3.α&β -0.. 0.9..7 3. 0. -0..9 s 0 3 3 0 0 v=-s -0. 0. -0. 0. -0.3 0. 0. -.0-0..3.γ Αφού η µέση τιµή της ν είναι µηδέν, η διακύµανση υπολογίζεται ως: 5 σ = v = [ 0.0 + 0.0 + 0.0 + 0.0 + 0.09 + 0.0 + 0.04 + 0.04 + 0.0 ] = 0.05 9 9 ι=
Οµάδα Ασκήσεων 3 Πρόβληµα 3. Σε ένα τηλεπικοινωνιακό σύστηµα διαβίβασης διακριτών δεδοµένων µε 4 ισοπίθανα σύµβολα, τα στοιχεία του αστερισµού {-3,-,,3}, ο θόρυβος στην είσοδο του φωρατή ακολουθεί Laplacan κατανοµή ( fv( ν) = e ν ) 3.α) Να υπολογίσετε τις συναρτήσεις πυκνότητας της υπό συνθήκη πιθανότητας 3 f z s= 3 (.7 µονάδες). f ( z s= ), f ( z s= ), f ( z s= ), ( ) 3.β) Να αποδείξετε ότι για την πιο πάνω κατανοµή το κριτήριο µέγιστης πιθανοφάνειας απλοποιείται σε κριτήριο ελάχιστης απόστασης. (.6 µονάδες) 3.γ) Γράψτε την ακολουθία κατωφλίων {Τ } =,,3 που πρέπει να χρησιµοποιήσει ο δέκτης για τη φώραση και σχεδιάστε την χαρακτηριστική µεταφοράς (σχέση εισόδου εξόδου) του αναλογοψηφιακού µετατροπέα (ADC) που πρέπει να χρησιµοποιηθεί για τη φώραση. (. µονάδες) 3.α. Κατά τα γνωστά έχουµε ίδια κατανοµή µε τον θόρυβο αλλά η µέση τιµή αυξάνει κατά την τιµή του συµβόλου: 3 f( s= 3) = e +, f( s ) e + = =, f( s= ) = e 3 f( s= 3) = e 3.β Κριτήριο Μέγ. Πιθανοφάνειας: f s= > f s= j j=,,3,4, j s= Αν ( ) ( ) οπότε αντικαθιστώντας τις συναρτήσεις: j e > e j=,,3,4, j s= j ln ln,,3, 4, e > e j= j s= ln > ln j j=,, 3, 4, j s= < j j=,,3,4, j s= 3..γ Για να εφαρµοστεί η αρχή της ελάχιστης απόστασης τα κατώφλια πρέπει να τοποθετηθούν στα µέσα των αποστάσεων των γειτονικών συµβόλων του αστερισµού: s+ s+ T = T, T, T3= -, 0, s 3 - -3-0
Πρόβληµα 3. Για το σύστηµα του Προβλήµατος 3. Να υπολογίσετε τις υποσυνθήκη πιθανότητες P(Y=-3 X=-) Θέτουµε ( ) και P(Y= X=). (. µονάδες) ( = 3 = ) = ( < = ) = ( = ) P Y X P s f s d ( 3 ) + ( + ) P Y = X = = e d= e d + = w w ( ) exp w P( Y = 3 X = ) = e dw = ( ) ( 0 ) ( ) P Y = X = = P < < s= = f s= d ( ) P Y = X = = e d 0 [0,] = και [,] = Επειδή για ( ) Θέτουµε ( ) Θέτουµε ( ) P( Y = X = ) = e d+ e 0 0 ( ) ( ) = w w 0και 0 w = w w 0και w ( ) 0 w w e e 0 P Y = X = = e dw e dw= ( = = ) = P Y X e Πρόβληµα 3.3 Σε ένα τηλεπικοινωνιακό σύστηµα µε 4 σύµβολα, αυτά του αστερισµού { +j, -+j, --j, -j}. Στο φωρατή τα σύµβολα συνοδεύονται από µιγαδικό θόρυβο µε πραγµατικό και φανταστικό µέρος τυχαίες µεταβλητές µε Gaussan κατανοµή, µέση τιµή µηδέν και την ίδια διακύµανση σ. ίνεται ότι η ακολουθία λήψης { n }={0.8+j., -0.8+j0.9, -0.9-j0.9,.3 j0.9}. 3.3α) Να γράψετε την ακολουθία των πιο πιθανών συµβόλων {s n }(0.7 µονάδες) 3.3β) Να γράψετε την ακολουθία του θορύβου {ν n }} (0.9 µονάδες) 3.3γ) Να υπολογίσετε κατά προσέγγιση τη τιµής της διακύµανσης (.7 µονάδες). 3.3α&β 3.3.γ 0.8+j. -0.8+j0.9-0.9-j0.9.3-j0.9 s +j -+j --j -j v=-s 0.+j0. 0.-j0. -0.+j0. -0.3+j0. Θυµηθείτε ότι τόσο το πραγµατικό όσο και το φανταστικό µέρος του θορύβου ακολουθούν Gaussan κατανοµή, έχουν µηδενική µέση τιµή, την ίδια διακύµανση σ και είναι στατιστικά ανεξάρτητα. Εποµένως η διακύµανση µπορεί να εκτιµηθεί από τον τύπο:
σ 4 = + 8 ι= Και αντικαθιστώντας βρίσκουµε σ =0.075. ( Re( v) ) Im( v) ( )
Οµάδα Ασκήσεων 4 Πρόβληµα 4. Σε ένα τηλεπικοινωνιακό σύστηµα διαβίβασης διακριτών δεδοµένων µε 3 ισοπίθανα σύµβολα, αυτά του αστερισµού {-3,0,3}, ο θόρυβος στην είσοδο του φωρατή ακολουθεί Gaussan κατανοµή µε µέση τιµή µηδέν και διακύµανση σ =.5. 4..α) Να υπολογίσετε τις συναρτήσεις πυκνότητας της υπό συνθήκη πιθανότητας 3 0 f z s= 3, (.5 µονάδες). f ( z s= ), f ( z s= ), ( ) 4..β) Γράψτε την ακολουθία κατωφλίων {Τ } που πρέπει να χρησιµοποιήσει ο δέκτης για τη φώραση και σχεδιάστε την χαρακτηριστική µεταφοράς (σχέση εισόδου εξόδου) του αναλογοψηφιακού µετατροπέα (ADC) που πρέπει να χρησιµοποιηθεί για τη φώραση. (.0 µονάδες) 4..α Ο γενικός τύπος για την εύρεση της συνάρτησης πυκνότητας της υποσυνθήκη πιθανότητας είναι ο ακόλουθος: ( z s ) σ f ( z s) = e πσ Έτσι έχουµε: ( 3) f z s e π.5 ( z) ( 3) z+ 4.5 4.5 = =, f ( z s= 0) = e και ( z 3) π.5 4.5 f ( z s= 3) = e π.5 4.β Σύµφωνα µε την αρχή της ελάχιστης απόστασης τα κατώφλια βρίσκονται στο µέσον της απόστασης των γειτονικών συµβόλων. Συγκεκριµένα: T =(s +s + )/ =, T ={-.5,,5} Και αντίστοιχα η χαρακτηριστική µεταφοράς θα είναι: V ou V
Πρόβληµα 4. 4..α) Για το σύστηµα του Προβλήµατος 4. Να υπολογίσετε τις υπό συνθήκη πιθανότητες P(Y=-3 X=-3) 4..β) Αν ισχύει και P(Y=-3 X=3). (. µονάδες) P(Y=-3 & X=-3)= P(Y=3 & X=3)=0. και P(Y=0 & X=0)=0.4 Να υπολογίσετε την πιθανότητα σφάλµατος P e του διακριτού καναλιού..0 µονάδες) 4..α) Γνωρίζουµε ότι στον δέκτη λαµβάνεται =s+v, όπου s, v το σύµβολο που έστειλε ο ποµπός και ο θόρυβος από τον αποδιαµορφωτή. Για να αποφασιστεί Y=-3 πρέπει να ισχύει <-.5. P Y = 3 X = 3 = P <.5 s= 3 = P s+ v<.5 s= 3 ( ) ( ) ( ).5 P( Y = 3 X = 3) = P( v<.5) = P( v>.5) = Q = Q( ).5 P Y = 3 = 3 = 0.6 ηλαδή ( X ) ( X ) P Y = 3 = 3 = 0.84 Οµοίως για να αποφασιστεί Y=-3 πρέπει να ισχύει <-.5. P Y = 3 X = 3 = P <.5 s = 3 = P s+ v<.5 s = 3 ( ) ( ) ( ) 4.5 P( Y = 3 X = 3) = P( v< 4.5) = P( v> 4.5) = Q = Q( 3).5 ( ) ( ) ( ) ( ) P Y = 3 X = 3 = Q 3 = Q 3 = 0.003 ηλαδή 4..β) ( X ) P Y = 3 = 3 = 0.003 ( ) ( ) ( ) ( ) Pe = P X = Y = P Y = 0 & X = 0 + P Y = 3 & X = 3 + P Y = 3 & X = 3 = 0.4 0. 0. = 0. Πρόβληµα 4.3 Σε ένα τηλεπικοινωνιακό σύστηµα µε 4 σύµβολα, αυτά του αστερισµού {, j, -,-j}. Στο φωρατή τα σύµβολα συνοδεύονται από µιγαδικό θόρυβο µε πραγµατικό και φανταστικό µέρος τυχαίες µεταβλητές µε Gaussan κατανοµή, µέση τιµή µηδέν και την ίδια διακύµανση σ. ίνεται ότι η ακολουθία λήψης { n }={0.+j., -.+j0., -0.-j.9,.3 j0.}. 4.3α) Να γράψετε την ακολουθία των πιο πιθανών συµβόλων {s n }(0.7 µονάδες) 4.3β) Να γράψετε την ακολουθία του θορύβου {ν n }} (0.9 µονάδες) 4.3γ) Να υπολογίσετε κατά προσέγγιση τη τιµής της διακύµανσης (.7 µονάδες). Για να βρούµε την λύση θα πρέπει να εφαρµόσουµε το κριτήριο ελάχιστης απόστασης... Θεωρούµε την ακολουθία k=, j, -,-j όπως δίνεται στην εκφώνηση. Έτσι παίρνουµε κατά σειρά και στην Η ακολουθία πιθανώ συµβόλων δίνεται από τον ακόλουθο πίνακα:
3 4 0.+j. -.+j0. -0.-j.9.3-j0. s j - -j ν=-s 0.-0.9j -0.+0.j -0.+0.j 0.3-0.j Για να βρούµε την προσέγγιση της τιµής της διακύµανσης θα πάρουµε το πραγµατικό και φανταστικό µέρος του θορύβου.παίρνουµε λοιπόν: 4 σ = σ Re = σ Im = ( v Re + v Im) 4 ( ) = = ( 0.04 + 0.8 + 0.0 + 0.0 + 0.0 + 0.0 + 0.09 + 0.0 ) = 0.4 8 ηλαδή σ =0.4.
Οµάδα Ασκήσεων 5 Πρόβληµα 5. Σε ένα διακριτό κανάλι µε 4 ισοπίθανα σύµβολα ο πίνακας των υπό συνθήκη πιθανοτήτων P(Y=j X=) είναι ο ακόλουθος: 5.α) Να καταγράψετε τον Πίνακα της απόκοινού Πιθανότητας P(Y=j &X=),j=,,3,4 (.6 µονάδες) 5.β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα σφάλµατος του καναλιού(.0 µονάδες) 5..γ) Να υπολογίσετε την πιθανότητα εµφάνισης των συµβόλων στην έξοδο του καναλιού. (0.8 µονάδες) 5..α Για να ( = & = ) θα πρέπει να κάνουµε: ( = & = ) = ( = = ) ( = ) P Y j X P Y j X P Y j X P X βρούµε το: Αφού µιλάµε για 4 ισοπίθανα σύµβολα έχουµε P(X=)=0.5. Έτσι ο πίνακας που θα πάρουµε θα είναι ο ακόλουθος: 5..β P = P X = Y e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Pe = P Y = & X = + P Y = & X = + P Y = 3 & X = 3 + P X = 4 & Y = 4 P = [0.+ 0.+ 0.+ 0.] e P(Y=j X=) Υ= Υ= Υ=3 Υ=4 Χ= 0.8 0. 0.0 0. Χ= 0. 0.8 0. 0.0 Χ=3 0.0 0. 0.8 0. Χ=4 0. 0.0 0. 0.8 P(Y=j&X=) Υ= Υ= Υ=3 Υ=4 Χ= 0. 0.05 0.0 0.05 Χ= 0.05 0. 0.05 0.0 Χ=3 0.0 0.05 0. 0.05 Χ=4 0.05 0.0 0.05 0. P e = 0. 5.γ Από τον κανόνα περιθωριακής πιθανότητας προκύπτει: 4 ( ) ( ) P Y = = P Y = & X = j, j =,,3, 4 j= Προσθέτοντας λοιπόν τα στοιχεία της κάθε στήλης του Πίνακα της αποκοινού πιθανότητας προκύπτει: P(Y=)= P(Y=)= P(Y=3)= P(Y=4)=0.5 Πρόβληµα 5. Το v είναι τυχαία µεταβλητή µε Gaussan κατανοµή, µέση τιµή - και διακύµανση σ =4. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες: 5..α) P =(v>3) (0.7 µονάδες)
5..β) P =(v<-) (.0 µονάδες) 5..γ) P 3 =(<v<4) (.6 µονάδες) Αφού µας δίνεται η διακύµανση και η µέση τιµή µπορούµε εύκολα από τη συνάρτηση Q(κ) να βγάλουµε τα αποτελέσµατα µας: 5..α 3+ P( ν > 3) = Q = Q( ) = 0.03 5..β ( ) P( ν < ) = P( ν > ) = Q = Q( 0.5) = Q( 0.5) P < = Q(0.5) = 0.3 ( ν ) 5..γ ( ) ( ) 4 P( < ν < 4) = P( ν > ) P( ν > 4) = Q Q = 5 Q( ) Q = 0.5 Πρόβληµα 5.3 Σε ένα τηλεπικοινωνιακό σύστηµα µε 4 σύµβολα, αυτά του αστερισµού { +j, -+j, --j, -j}. Στο φωρατή τα σύµβολα συνοδεύονται από µιγαδικό θόρυβο µε πραγµατικό και φανταστικό µέρος τυχαίες µεταβλητές µε Gaussan κατανοµή, µέση τιµή µηδέν και την ίδια διακύµανση σ. ίνεται ότι η ακολουθία λήψης { n }={.-j., 0.8-j0.9, +0.9-j0.9, -.3 j0.9}. 5.3α) Να γράψετε την ακολουθία των πιο πιθανών συµβόλων {s n }(0.7 µονάδες) 5.3β) Να γράψετε την ακολουθία του θορύβου {ν n }} (0.9 µονάδες) 5.3γ) Να υπολογίσετε κατά προσέγγιση τη τιµής της διακύµανσης (.7 µονάδες). Παίρνουµε το κριτήριο ελάχιστης απόστασης. Έτσι έχουµε: 3 4.-j. 0.8-j0.9 0.9-j0.9 -.3 j0.9 s -j -j -j --j ν=-s 0.-0.j -0.+0.j -0.+0.j -0.3+0.j Για να βρούµε την προσέγγιση της τιµής της διακύµανσης θα πάρουµε το πραγµατικό και φανταστικό µέρος του θορύβου. Λαµβάνουµε λοιπόν: 4 σ = σ Re = σ Im = ( v Re + v Im) 4 ( ) = = ( 0.0 + 0.0 + 0.04 + 0.0 + 0.0 + 0.0 + 0.09 + 0.0 ) = 0.05 8 ηλαδή σ =0.05