Ανισότητες και Όρια Δειγματική Διδασκαλία Επιμέλεια Παρουσίαση Γιώργος Χριστοδουλίδης ο ΓΕΛ ΕYΟΣΜΟΥ
Ανισότητες και Όρια Διδακτικοί Στόχοι / Η κατανόηση της σχέσης μεταξύ του προσήμου της συνάρτησης και του προσήμου του ορίου της. 2/ Η άναζήτηση εργαλείων και τεχνικών για τον εγκλωβισμό συνάρτησης μεταξύ ισοσυγκλινουσών συναρτήσεων. 3/ Η προσέγγιση της έννοιας της συνέχειας συνάρτησης σε σημείο. 4/ H χρήση των ορίων στην εύρεση των ασυμπτώτων γραφικής παράστασης Διδακτικά Εργαλεία / Οι προτάσεις του σχολικού βιβλίου. 2/ Οι εφαρμογές που προκύπτουν. 2/ Οι παρατηρήσεις και τα συμπεράσματα που προκύπτουν από τις προτάσεις αυτές. 3/ Η χρήση του λογισμικού GEOGEBRA για την εποπτική προσέγγιση και επαλήθευση των συμπερασμάτων. 4/ Παραδείγματα και ασκήσεις. Μέθοδοι Προσέγγισης / Απεικόνιση της ανισοτικής σχέσης δύο συναρτήσεων δια του GEOGEBRA 2/ Σύγκλιση των συναρτήσεων σε ένα σημείο χ και εύρεση της ανισοτικής σχέσης των ορίων τους. 3/ Επαλήθευση της λογισμικής απεικόνισης δια των εφαρμογών των αλγεβρικών προτάσεων. 4/ Χρησιμοποίηση των ιδιοτήτων των απολύτων τιμών και γνωστών ανισοϊσοτήτων για τον εγκλωβισμό συνάρτησης μεταξύ δύο άλλων συναρτήσεων με κοινό όριο και λογισμική απεικόνιση της ανισοτικής σχέσης δια του GEOGEBRA. 5/ Εύρεση του κοινού ορίου των ισοσυγκλινουσών συναρτήσεων. 6/ Προσέγγιση δια των ανισοτήτων των απειριζόμενων συναρτήσεων. 7/ Απεικόνιση δια του GEOGEBRA των ασυμπτώτων και εύρεση αυτών με τη χρήση του ορίου συνάρτησης.
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΠΡΟΤΑΣΗ f(χ) g( ), κοντά στο χ lim f( ) lim g( ) ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται συνάρτηση f για την οποία ισχύει χf(χ)+ < συν3χ, χ R Aν υπάρχει το lim f(χ) και είναι πραγματικός αριθμός να το υπολογίσετε. χ Για κάθε χ R ισχύει χf(χ)+ < συν3χ χf(χ) < συν3χ Αν χ < τότε f(χ) >... οπότε lim f(χ)... lim f(χ)... () Αν χ > τότε f(χ) <... οπότε lim f(χ)... lim f(χ)... (2) Από τις () και (2) έχουμε lim f(χ) = lim f(χ) =... άρα lim f(χ) =...
ΠΡΟΤΑΣΗ 2 g( ) f ( ) h( ), lim κοντά στο χ lim g( ) lim h( ) f ( ) ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνεται συνάρτηση f για την οποία ισχύει χ +2χ f(χ) 2χ +, χ R f(χ) f() Να βρείτε τα όρια α) lim f(χ) β) lim χ Παρατηρείτε κάποιο σημείο χ όπου οι γραφικές παραστάσεις Cg και Ch συγκλίνουν; Ποιό είναι αυτό το σημείο; Ποιό φαίνεται να είναι το κοινό τους όριο l σε αυτό το σημείο; lim ( χ + 2χ )...και lim (2χ + )... άρα και lim f(χ) =... επίσης για χ= έχουμε...άρα f() =... οπότε χ + 2χ... f(χ) f() 2χ +... ν χ < τότε... ν χ > τότε... f(χ) f() άρα lim... χ
Δίνεται συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει ΑΣΚΗΣΗ 3 4 χ f(χ) ημ χ 2χ, χ R Να βρείτε τα όρια α) lim f(χ) β) lim χ f(χ) ημ2χ χ ημχ α) Ισχύει 4 χ f(χ) ημ χ 2χ, χ R 2... χ f(χ) ημ χ...... χ f(χ)...... f( χ)... Επειδή...... τότε και... χ f(χ) ημ2χ β) lim lim χ ημχ χ χ ημ2χ f(χ) χ ημχ χ...
ΑΣΚΗΣΗ 4 Δίνονται οι συναρτήσεις f,g : R R για τις οποίες ισχύει lim [f (χ) g (χ)] Nα αποδείξετε ότι lim f(χ) lim g(χ) 2 f(χ) f (χ)... άρα... f(χ)... και επειδή... τότε και lim f(χ)... χχ μοίως για τη g(χ) έχουμε... ή θέτουμε f (χ) g (χ) h(χ) 2 g (χ) h(χ) f (χ) οπότε και lim g (χ)... χχ
ΑΣΚΗΣΗ 5 Δίνεται η συνάρτηση f(χ) χ ημ, χ χ Nα εξετάσετε αν υπάρχει το lim f(χ) και σε περίπτωση που υπάρχει να το βρείτε Για κάθε χ... ισχύει : f(χ) χ ημ χ ημ... χ χ άρα... f(χ)... ι παρατηρείτε για τις γραφικές παραστάσεις C και C που βρίσκονται εκατέρωθεν της C ; g h f ι παρατηρείτε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(χ) χ ημ χ Πράγματι lim(...) lim(...)... οπότε και lim(χ ημ )... χ
ΑΣΚΗΣΗ 6 3 ίνεται η συνάρτηση f : με f (χ) 26f(χ) 27 χ, χ Να εξεταστεί αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο σημείο χ 27 3 Για χ 27 έχουμε f (27) 26 f(27) 27 27... f(27)... Προσπαθούμε να εγκλωβίσουμε τη συνάρτηση f ανάμεσα σε δύο συναρτήσεις με κοινό όριο 3 Για κάθε χ έχουμε f (χ) 26 f(χ) 27 χ... χ 27... f(χ) 2 f(χ) 26 χ 27 Όμως f(χ)... γιατί..., χ 2 f(χ) 26 άρα... f(χ)... και αφού lim... lim...... τότε και lim f(χ)... 27 27 27 πειδή lim f(χ) f(27)... τότε η f είναι συνεχής στο χ 27 27
f () g(), lim f ( ) κοντά στο lim g( ) lim f(χ) οπότε f(χ) κοντά στο χ άρα < f(χ) g(χ ) κοντά στο χ οπότε και < και αφού lim g(χ) f(χ ) f(χ) τότε lim και επειδή g( χ) κοντά στο χ τότε lim g(χ) g(χ) f () g(), lim g( ) κοντά στο lim f ( ) lim g(χ) οπότε g(χ) κοντά στο χ άρα f(χ) g(χ )< κοντά στο χ οπότε και < και αφού lim g(χ) f(χ ) g(χ) τότε lim και επειδή f(χ) f(χ) κοντά στο χ τότε lim f(χ)
ίνεται συνάρτηση f : (,+ ) με f(χ) >, ενώ ισχύουν ΑΣΚΗΣΗ 7 χ f(χ) >, χ (,) και χ f(χ) <, χ (,+ ) Να εξετάσετε αν στα άκρα του D =(,+ ) η συνάρτηση συγκλίνει ; f Επειδή για κάθε χ (,) ισχύει χ f(χ) > f(χ) >... και... < <... f(χ) και αφού lim...... τότε και lim... f(χ) οπότε με f(χ) είναι lim f(χ)... ( Η ευθεία χ... λέγεται... ασύμπτωτη της C f ) Ομοίως για κάθε χ (,+ ) ισχύει χ f(χ) < f(χ) <... και... < f(χ) <... και αφού lim...... τότε χ και lim f( χ)... χ ( Η ευθεία ψ... λέγεται... ασύμπτωτη της C στο + ) f
Να κατασκευάσετε 5 ερωτήσεις Σωστού - Λάθους 2 κοντά στο Σ Λ / lim f () f (), 2/ 3/ 4/ 5/