HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #20 Πόλοι και μηδενικά Διάγραμμα πόλων και μηδενικών Ιδιότητες της περιοχής σύγκλισης Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace
Μετασχηματισμός Laplace Αμφίπλευρος μετασχηματισμός Laplace st X () s x() t e dt X( jω ) = X( s) s = j ω X(s)=L(x(t)) x() t X() s L Για να ορίσουμε πλήρως το μετασχηματισμό Laplace χρειάζεται να προσδιορίσουμε και την περιοχή σύγκλισής του (region of convergence) at at xt () = e ut (), a> 0 xt () = e u( t), a> 0 1 1 X() s =,{} s > a X() s =,{} s < a s+ a s+ a
Μετασχηματισμός Laplace st σ t jωt σt X () s x() t e dt [() x t e ] e dt FT{() x t e } = = = H περιοχή σύγκλισης καθορίζεται ρζ από τις τιμές του s για τις οποίες xte () σ t dt < Η περιοχή σύγκλισης εξαρτάται μόνο από το σ (δηλ. το {s}) Αν το s=jω (σ=0) περιλαμβάνεται στην περιοχή σύγκλισης F(x(t))= X s () s = j ω Ορισμένα ρ μ σήματα δεν έχουν Μετασχηματισμό μ Laplace (δηλ. η δεν μπορεί να οριστεί κάποια περιοχή σύγκλισης), πχ t t σt x() t = Ce Ce e dt = jω0t σt σt xt () e xte () dt e dt = = =
Πόλοι και μηδενικά Σε πολλές πρακτικές περιπτώσεις (εκθετικά σήματα, συστήματα που περιγράφονται από ΔΕ) ο μετασχηματισμός Laplace είναι ρητή συνάρτηση (rational function) του s, δηλ είναι λόγος πολυωνύμων του s: X() s = Ns () Ds () Ρίζες του αριθμητή: Μηδενικά (Zeros) Ρίζες του παρονομαστή: Πόλοι (Poles) X() s = 0 X() s Κάθε σήμα x(t) που είναι γραμμικός συνδυασμός μιγαδικών εκθετικών σημάτων για t<0 και t>0 έχει ρητό μετασχηματισμό Laplace
Διάγραμμα πόλων/μηδενικών Η αναπαράσταση του Μετασχηματισμού Laplace μπορεί να γίνει στο μιγαδικό επίπεδο s (s plane) προσδιορίζοντας τη θέση των μηδενικών και πόλων (διάγραμμα πόλων μηδενικών/ pole zero plot) Μηδενικά: ο Πόλοι: x π.χ. x t e u t e u t 3 2 s+ 2 s+ 1 s 1 = ( s + 2)( s + 1) 2 () 3 t t = () 2 () x x ο 1 X () s = = -2-1 Το διάγραμμα αυτό προσδιορίζει πλήρως το Μετασχηματισμό Laplace (πλην μιας σταθεράς) Η περιοχή σύγκλισης καθορίζεται από τους πόλους
Ιδιότητες της περιοχής σύγκλισης Η περιοχή σύγκλισης αποτελείται από λωρίδες παράλληλες στον φανταστικό άξονα (jω) εξαρτάται μόνο από την τιμή του σ x x ο -2-1 1 Ns () Αν X() s =, η περιοχή σύγκλισης Ds () X() s δεν περιέχει πόλους ( ) Αν το σήμα x(t) () είναι πεπερασμένης διάρκειας και απολύτως ολοκληρώσιμο, η περιοχή σύγκλισης είναι ολόκληρο το επίπεδο s st 2 st X () s x () t e dt x () t e dt = = < T 1 T T 2 x () t 1 T <
Ιδιότητες της περιοχής σύγκλισης Αν το σήμα x(t) είναι μηδενικό πριν κάποιο χρόνο Τ 1 (δεξιόπλευρο σήμα) και η γραμμή {s}=σ 0 βρίσκεται στην περιοχή σύγκλισής του, τότε όλα τα s για τα οποία {s}> σ 0 βρίσκονται επίσης στην περιοχή σύγκλισης. Λέμε τότε ότι η περιοχή σύγκλισης είναι ένα δεξί ημιεπίπεδο (right half plane) σ 0 Παρομοίως, αν το x(t) είναι μηδενικό μετά από κάποιο χρόνο Τ 1,(αριστερόπλευρο σήμα) η περιοχή σύγκλισης είναι ένα αριστερό ημιεπίπεδο (left half plane) σ 0
Ιδιότητες της περιοχής σύγκλισης Αν το σήμα x(t) είναι αμφίπλευρο και η γραμμή {s}=σ 0 βρίσκεται στην περιοχή σύγκλισής του, τότε η περιοχή σύγκλισης είναι μια λωρίδα που περιλαμβάνει τη γραμμή {s}=σ 0 σ 0 R Παράδειγμα: bt bt bt x() t = e = e u( t) + e u() t b > 0 1,{ s} s b < b s 1,{ s} > b + b -b b b < 0 : Δεν υπάρχει περιοχή σύγκλισης!
Ιδιότητες της περιοχής σύγκλισης Αν Χ(s) είναιρητήσυνάρτησητουs του s τότε η περιοχή σύγκλισης είναι είτε φραγμένη από τους πόλους (D(s)=0) ή εκτείνεται στο άπειρο Αν Χ(s) ρητή συνάρτηση τότε Αν x(t) δεξιόπλευρο, η περιοχή σύγκλισης είναι δεξιά του πιο δεξιά τοποθετημένου πόλου Αν x(t) αριστερόπλευρο, η περιοχή σύγκλισης είναι αριστερά του πιο αριστερά τοποθετημένου πόλου x x ο x x ο Αν η περιοχή σύγκλισης περιλαμβάνει το φανταστικό άξονα, υπάρχει ο Μετασχηματισμός Fourier του σήματος x(t)
X () s = s + 3 ( s+ 1)( s 2) Παράδειγμα Τρεις πιθανές περιοχές σύγκλισης, ανάλογα με το είδος του x(t): x(t) αριστερόπλευρο > > ΠΣ Ι άρα δεν υπάρχει ο ΜF x(t) δεξιόπλευρο > ΠΣ ΙΙ άρα δεν υπάρχει ο MF x(t) αμφίπλευρο > ΠΣ ΙΙΙ άρα υπάρχει ο MF Ι ΙII ΙI ο x x
O αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace st X () s x() t e dt, s= σ + jω ROC X(s)=F{x(t)e( ) { ( ) -σt } Άρα, για σταθερό σ ROC παίρνοντας τον αντίστροφο ΜF 1 1 σt jωt ( σ+ jω) t xte () = Χ σ + ω e dω x t = Χ σ + ω e dω ( j ) () ( j ) 2π 2π Αλλαγή μεταβλητής: ω s ds = jdω 1 σ + j st x() t = Χ() s e ds 2π j j σ Μιγαδικό ολοκλήρωμα κατά μήκος της γραμμής {s}=σ {} στο επίπεδο s (παράλληλης στον άξονα jω) Δε θα υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα αυτό αναλυτικά, αλλά θα χρησιμοποιούμε γνωστά ζεύγη Μετασχηματισμών Laplace και ανάλυση σε μερικά κλάσματα.
Παράδειγμα s + 3 A B X() s = = + ( s+ 1)( s 2) ( s+ 1) ( s 2) 2 5 A =, B = ΠΣ Ι >x(t) () αριστερόπλευρο 3 3 ΠΣ ΙΙ >x(t) δεξιόπλευρο ΠΣ ΙΙΙ >x(t) αμφίπλευρο at 1 e u() t,{} s > a Ι ΙII ΙI s+ a at 1 e u( t),{ s} < a s+ a x x 2 t 5 2t ΠΣ Ι x ( t ) = e u ( t ) e u ( t ) 3 3 2 t 5 2t ΠΣ ΙΙ x() t = e u() t + e u() t 3 3 2 t 5 2t ΠΣ ΙΙΙ x() t = e u() t e u( t) 3 3 ο