Sissejuhatus erialasse Loegukospekt 2010 I osa Tõu Laas
Sisukord 1. Sissejuhatus. Füüsika kui teadus...3 1.1 Mida uurib füüsika?...3 1.2. Mõigaid (loodus)teaduses ja füüsikas olulisemaid südmusi....4 1.3. Kuidas füüsikas admeid kogutakse?...7 2. Eksperimedi ülesehitus...8 3. Mõõtmised ja admetöötlus...11 3.1. Mis o mõõtmie?...11 3.2. Mõõtühikud ja mõõtühikute süsteemid...11 3.3. Mõõtevead ja mõõtemääramatus...12 3.4. Keskmie, ruutkeskmie hälve, dispersioo...13 3.5. Mõõtemääramatuse leidmie kaudse mõõtmise korral...16 4. Jaotused...17 4.1. Histogramm ja kumulatiive sagedus. Tihedusfuktsioo ja jaotusfuktsioo...17 4.1.1. Histogramm ja kumulatiive sagedus...17 4.1.2. Tihedusfuktsioo ja jaotusfuktsioo...18 4.2. Jaotused...18 4.2.1. Ühtlae jaotus...18 4.2.2. Bioomjaotus...19 4.2.3. Poissoi jaotus...20 4.2.4. Normaaljaotus ehk Gaussi jaotus...20 4.2.5. Studeti jaotus...21 5. Vähimruutude meetod. Lieaare regressioo...22 5.1. Lieaare regressioo...22 5.2. Admete vahelie korrelatsioo...23 6. Admete lieariseerimie...25 6.1. Logaritmilised ja poollogaritimilised graafikud...25 6.2. Admete lieariseerimie uue muutuja defieerimise teel...29 7. Eksperimedi püstitamie ja läbiviimie arvuti ja programmi DataStudio abil...31 LISA Laboratoorse töö aruae....32
1. Sissejuhatus. Füüsika kui teadus 1.1 Mida uurib füüsika? Füüsika kui teadus. Teadus tegevus(ala), mille eesmärk o uute, tuetuslikult ja praktiliselt oluliste teadmiste saamie ja rakedamie ig juba olemasolevate teadmiste töötlemie, kasutamie ja säilitamie. Teadus tõsikidlate (usaldusväärsete), loogiliselt mittevasturääkivate teadmiste ajalooliselt areev süsteem, mis hõlmab ühiskoa, looduse ja mõtlemise seadused. Mida uurib füüsika? Füüsika loodusteadus, mis uurib kõigi mateeria vormide liikumise ja vastastikuste seoste üldisemaid ja põhilisimaid seaduspärasusi. Füüsika o täppisteadus ii füüsika põhimeetod - teoreetiliselt põhjedatud eksperimet - kui ka teooria rajaeb matemaatilisel alusel. Füüsika uurimisobjektid, uurimisaie tegelikkuse eed küljed, ähtused, mateeria omadused, seaduspärad, mida füüsika o aja jooksul uurima hakaud. Kuidas see uurimisobjekt o kujueud? Füüsikalised kehad kivid, puud, iimesed, õhk, veehulgad, valgus... liiguvad või o üksteise suhtes paigal. Füüsika uurib seaduspärasusi, mis ilmevad sõltumata sellest, kas tegemist o elusa või eluta kehaga. Mehaaika õpetus seaduspärasustest, millele allub füüsikaliste kehade (tahked, vedelad, gaasilised) liikumie ja suhtelie tasakaal. Mehaaika o üks vaemaid füüsika osasid. Täapäeva mõistes sai füüsika teaduseks 17.sajadil. Alusepaijad Galilei, Newto (klassikalise mehaaika alused). Mehaailise liikumise erijuht hääle levimie kui mehaailiste võkumiste levimie seda uurib akustika, millele pai aluse juba Pythagoras Vaa-Kreekas. Raskusähtuste uurimie o samuti saaud alguse atiikajal. Teaduseks kujues 17.sajadil. Alusepaijad Koperik (taevakehade liikumise uurimie), Newto gravitatsiooiseaduse formuleerimie. Valgusähtused. Atiikajal uuriti peegeldumist, 16.sajadil loodi geomeetrilise optika alused (uurib valguse levikut, peegeldumist, murdumist). 17.-19. sajadil aredati välja füüsikalie optika õpetus valguse olemusest (laielie, korpuskulaare olemus). Soojusähtused. Selles osas uuritakse kehade paisumist, ülemiekuid ühest olekust teise. Soojuse olemuse uurimie, temperatuuride mõõtmie, soojuslike protsesside olemuse selgitamie kui uurimisobjekt aredati välja põhiliselt 19.sajadiks. Võib öelda, siis oli loodud termodüaamika õpetus füüsikalistes kehades toimuvatest soojusähtustest (aiesiseseid muutusi ja ähtusi ei uurita). Elektri- ja magetähtused o eelevatest mõeti erievad iimesel puuduvad ede otseseks tajumiseks meeleeludid. Alguse sai ede ähtuste uurimie atiikajal (staatilie elekter, välk). 18.sajadi lõpuks-19.sajadi alguses padi alus elektri- ja magetismi uurimiseks. 1860.datel lõi Maxwell, tugiedes Faraday katsetele, elektromagetismi teooria, mis ühedas eda alla ii elektrikui magetismi-, aga ka valgusähtused. Algaiete olemasolu o üritatud aalüüsida atiikajast alates atomistika loojaks võime lugeda Leukippose ja Demokritose (aatom aie jagamatu algosake). Faraday püstitas idee elektroist kui jagamatust laegust. 19.sajadi keskpaigas loodi ka gaaside molekulaarkieetilie teooria statistilie füüsika.
Seega, umbes 19.sajadi keskpaigaks olid olemas kõik füüsika algosad, see moodustas klassikalise füüsika. Klassikalise füüsika uurimiaie Mis kujues 19.sajadi füüsika uurimisobjektiks üldises mõttes? Füüsikat iseloomustavad uiversaalsus ja fudametaalsus väga üldise kategooria alla käivad kehad (uurimisobjektid). Seega oli 19.sajadiks kujueud välja füüsika kui teadus looduse kõige üldisematest ja põhilisematest omadustest, ähtustest, struktuuridest ja seaduspärasustest. Struktuurid äit. aied, kehad, aatomid. Liikumisvormid mehaailie liikumie, aatomite soojusliikumie, elektromagetismi ilmigud. Vastasmõjud gravitatsioo, elektromagetilie vastasmõju. See moodustas klassikalise füüsika uurimisaie. Uurimisobjektideks o ka ruum ja aeg. Selleks ajaks oli füüsika kõige suurema ja laiema uurimisaiesega. Kaasaegse füüsika uurimisaie 20.sajadi algusest väga suurte kiiruste füüsika erirelatiivsusteooria (1905). Ruumi ja aja uurimie üldrelatiivsusteooria (1916). Erirelatiivsusteooria tõi klassikalisele mehaaikale juurde paradused. 19.sajadi lõpust oli mateeria eriliigiks ka väli kui mõjusid vahedav mateeria (reaalsus). 20.sajadi algus kvatfüüsika teke. Kvadi ehk footoi idee (1905), vähimate osakeste idee. Aatomite ehituse uurimise algus. 1913-1931 kvatmehaaika väljaaredamie. 20.sajadil o avastatud veel kaks välja vastasmõju õrk ja tugev vastasmõju. Teisalt o omaette uurimisvaldkod väga suurte kehade või väga suurte mastaapide valdkod galaktikad, galakitkaparved, Uiversumi struktuur ja algus. Ka atiikajal oli uurimisharu kosmoloogia olemas, mis uuris Uiversumi olemust, kuid täapäevaks o uurimisobjektide arv väga palju kasvaud. Juurde o lisaduud palju piirialasid biofüüsika, keemilie füüsika, materjalide füüsika, plasmafüüsika je. 1.2. Mõigaid (loodus)teaduses ja füüsikas olulisemaid südmusi. NB! Kõik aastaarvud pole täpsed. Mõed südmused jäävad migisse ajavahemikku. 3000 e.m.a. - aasta pikkuse määramie 360 päeva Niiluse üleujutuste ja Siiriuse tõusu järgi (Egiptus) 1100 e.m.a. Maa ekvaatori ja ekliptika vahelise urga 23 o 54 määramie (Hiia, Chu Kog) 600 e.m.a. Päikesevarjutuse eustamie (Vaa-Kreeka, Thales) 550 e.m.a. Maailma lõpmatuse idee (Aaximadros) Maailm kooseb aatomitest (Demokritos) 580-500 e.m.a. Pythagoras (matemaatika) 450 e.m.a. Tähtede aielisuse oletamie; oletus, et Kuu peegeldab Päikese valgust (Aaxagoras) 400 e.m.a. - filosoofia ja formaalloogika areg (ka eg.arv), maailma lõplikkuse idee (Sokrates, Plato, Aristoteles)
350 e.m.a. Maakera pöörlemise idee (Herakleides) 284-212 e.m.a. Archimedes kõrgema matemaatika areg, teoreetilie mehaaika, sõjamasiad, kruvipump, hüdrostaatika seadus 200 e.m.a Hammasülekaet kasutav hobujõul töötav veetõstuk, Eukleides, Ptolemaios, Mehaaika õpik (Phico) 100 e.m.a. Vesiratas ajamia, tuuleajamia hüdraulilie orel, süstal, pump, auruturbii (Hero) 0 Käsikäru Hiias 150 Geotsetrilie maailmasüsteem, valguskiirte murdumise uurimie (Ptolemaios), paberi leiutamie Hiias 300 alkeemikute katsed, vesiveskite levik 500 Roomas suleti viimae filosoofia kool. Puitklotsidega trükkimie Hiias 600 Samarkadis esimee observatoorium 700 Vät, veekell jõudis Euroopasse, staatika areg (kaalumie), erikaal 800 hoburakedi kasutuselevõtt Euroopas 900 rataskellad Kesk-Euroopas, vautusveski 1000 Tõusu-mõõaveski, veejõul töötav sepavasar, laevakompass Hiias 1100 Kompass, paber, klass, vokk, püsttiivikuga veski Euroopas 1200 pedaaliga treipik, paberi- ja saeveskid. Keskmise ja hetkkiiruse mõisted. Empirism Roger Baco 1300 Spidelregulaatoriga mehaailie kell 1400 Esimee trükitud raamat (1409, Korea), vedrukell, Guterbergi piibel 1500 ühedatud aumad 1543 Heliotsetrilise maailmasüsteemi teooria (M. Koperik) 1564-1642 G.Galilei Jupiteri kaaslased, teleskoop, Koperiku ideede levik, kehade lagemise teooria, iertsi uurimie, Veeuse faasid 1600 Mageetikud Maa magetväljas (W. Gilbert) 1609 Kepleri (1571-1630) seadused 1619 Kiirte käik läätses, silma ehitus Elavhõbedabaromeeter (E.Torricelli (1608-1647)) 1620 Valguse murdumise seadus (W.Sellius, R.Descartes) Arutlus meetodist, fatalism, katse sõastade impulsi jäävuse seadust (R.Descartes (1596-1650)), Isohoorilised protsessid PV=cost (Boyle-Mariotte i seadus), Pascal 1660 Valguse difraktsiooi ja iterferetsi avastamie (F.M. Grimaldi) 1666 Valguse dispersiooi avastamie (I.Newto (1642-1727)) 1675 Valguse korpuskulaarteooria (Newto) 1676 Valguse kiiruse arvutamie (O.Römer) 1687 Klassikalise mehaaika põhiseadused, grav.seadus (Newto) 1690 Valguse laieteooria (C. Huyges (1629-1695)) 1728 Tähtede omaliikumise põhjedamie (E.Halley). Mehaaika, tahke keha mehaaika (L.
Euler (1707-1783), J.L. Lagrage (1736-1813)), Soojuse molekulaar-kieetilie teooria (M.Lomoossov (1711-1765)), Piksevarras, välgu uurimie (B.Frakli), Leidei purk, lähi- ja kaugmõju uurimie elektri ja magetismi teooria. Iduktsiooiähtuste avastamie (Epiures) 1755 Hüpotees Päikesesüsteemi tekkimisest gaasipilve kokkutõmbumisel (I.Kat). Erisoojuse mõiste ja uurimie 1784 Uiversaale aurumasi 1785 Elektrostaatika põhiseadus, magetismi alased tööd (C.A. Coulomb (1736-1806)). Laieoptika rajamie, valguse ristlaielisus, kaksikmurdumie (A.Fresel (1788-1827)). Vähima mõju pritsiip (Lagrage) 1800 Galvaaielemet (A.Volta) 1805-1808 Gay-Lussaci seadus. Valguse iterferetsi ja difraktsiooi uurimie laieteooria alusel. Valguse laiepikkuse mõõtmie. (Th. Youg (1773-1829)). Avogadro seadus 1820 Hüpotees, et magetism o tigitud molekulaarvooludest (A.M. Ampere) 1824-26 Elektromagetismi matemaatiliselt põhjedatud teooria (A.M. Ampere (1775-1836)) 1824 Termodüaamika II pritsiip (N.L.S. Carot, R. Clausius, W. Thomso) 1826 Ohmi seadus suletud voolurigi kohta (G.S. Ohm (1727-1867)) 1831 Elektromagetilise iduktsiooi avastamie (M. Faraday (1791-1867)) 1832- Elektromagetilie telegraafiaparaat 1834 Elektrijaam 1839 Fotograafia tekkimie 1842 Eergia jäävuse seadus (I.R. Vo Mayer) 1859 Spektraalaalüüs (R.W. Buse, G.R. Kirchhoff), keemiliste elemetide perioodilisusesüsteem (D.Medelejev (1834-1907)) 1865 Elektrodüaamika põhivõrradid (J.C.Maxwell (1831-1879)). Termodüaamika ja molekulaarfüüsika areg statistika baasil (Gibbs, Boltzma, Maxwell) 1888 Elektromagetlaiete olemasolu tõestus (H.Hertz) 1895 Raadioside, elektroi avastamie. Loodusliku radioaktiivsuse avastamie ja uurimie (A.H. Begquerel, M. Curie), rötgekiirguse avastamie (W.C. Rötge) 1896 Esimee rötgeiaparaat 1900 Eergiakvadi hüpotees, kvatteooria rajamie (M. Plack (1858-1947)) 1905 Erirelatiivsusteooria, footoi mõiste, fotoefekti seletus (A.Eistei (1879-1955)) 1911 Aatomituuma avastamie, plaetaare aatomimudel (E. Rutherford). Metallide ülijuhtivuse avastamie (H. Kamerligh-Oes) 1913 Esimee aatomikvaditeooria (N.Bohr (1885-1962)) 1915 Üldrelatiivsusteooria (A.Eistei) 1916 Schwartzschildi lahed ÜRT-s 1919 Tehislik tuumareaktsioo (E.Rutherford). Tähe massi ja heleduse seose avastamie (E.Hertzprug) 1922 Paisuva Uiversumi mudel (A.Fridma) 1924 Mikroosakeste laieomaduste hüpotees (L.V. de Broglie)
1925 Bose-Eisteii ja Fermi-Diraci statistika 1925-26 Kvatmehaaika (W.Heiseberg, E.Schrödiger) 1926 Tõestus, et galaktikad koosevad tähtedest (E.P. Hubble) 1928 Elektroi liikumise relativistlik teooria 1931 Kosmilise raadiokiirguse avastamie 1931 Neutroi avastamie (J. Chadwick), positroi avastamie (C.D. Aderso) 1933 Tuuma prooto-eutro-mudel, määramatuse pritsiip 1934 Tehisradioaktiivsus (Iree ja Frederic Joliot Curie) 1935 Radarite loomie Suurbritaias 1938 Uraaituumade lõhustumise avastamie (O.Hah, F. Strassma). Teooria termotuumareaktsiooist kui tähtede eergiaallikast (A. Bethe, C.F. vo Weizsäcker 1940 Uraaijärgsete elemetide sütees (G.T. Seaborg, E.M. McMilla) 1941 Heeliumi ülivoolavus Je. 1.3. Kuidas füüsikas admeid kogutakse? Teaduslik vaatlus mõõtmie võrdlemie migi etaloiga so teaduslik, täpe ja objektiivsust taotlev jälgimie ja registreerimie. Vaatlus o passiive toimub looduse poolt etteatud tigimustes, vaadeldavale objektile mõju avaldamata. Mõõtmise eesmärgiks o looduse objektide ja ähtuste mitmesuguste arvuliste tuuste kidlaksmääramie. Katse ehk eksperimet ähtuste või objektide uurimie ede aktiivse mõjutamise kaudu teatavate uute, uurimise eesmärgile vastavate tigimuste loomise teel. (Nähtuste kustlik tekitamie, migi tahu võimedamie või allasurumie). Katses uurime seda, mida tahame. Nähtuste katselise uurimise ülesadeks o eelkõige imet selliste kvatitatiivsete seaduspärasuste avastamie, mis äitavad, kuidas sõltuvad ühed ähtust või objekti iseloomustavad tuudes (füüsikalised suurused) teistest. Kui eed seadused o teada, siis teame, kuidas muuta ähtuste kulgemise tigimusi, et saavutada soovitavaid tulemusi. Katseadmed ja mõõtmistulemused kokku ei aa veel teadust. Katsest saadud materjali põhjal uue teadmise loomiseks o vaja tugevat mõttetööd. S.o. teaduse loogikalise osa ülesae. Nähtuste tudmaõppimiseks o vaja leida seosed ähtuse eri külgede vahel mis o tähtsaim, mis teisejärgulie. Miks o objekt just sellie? Miks ähtus igal kokreetsel juhul kulgeb just ii? Je. See baseerub abstraktsel mõtlemisel, mille kompoetideks o mõisted, otsustused, järeldused, iduktsioo, deduktsioo, aalüüs, sütees, hüpoteesid, teooriad.
2. Eksperimedi ülesehitus 1. Töö pealkiri 2. Töö eesmärk Töö eesmärk võib olla eriev. Näiteks: - Leida atud materjali (migi kokreete materjal) tihedus temperatuuril 20 o C. - Leida atud raua-ikli-sulami paisumistegur. - Leida atud pooljuhi korral pige-voolu karakteristik. - Kotrollida atud (äiteks Newtoi II) seaduse kehtivust. - Kotrollida, kas xyz-meetod mulla happelisuse määramiseks sobib kasutamiseks Eesti rabamuldadel. Seega töö eesmärgiks võib olla migi suuruse leidmie; teooria, valemi või hüpoteesi kotrollimie; migi meetodi kotroll teistel tigimustel; teooria või rakeduspiiri määramie. Töö eesmärk võib, eriti tavaliste, kooli või ülikooli laboratoorsete tööde korral, olla ka ö harjutuslik või didaktilie migi mõõtmisvõtte omadamie, statistilise admetöötluse ja mõõtemääramatuse leidmise harjutamie ja omadamie je. Töö järeldustes vastatakse ka eesmärgile mis o atud katse põhjal tihedus; kas katse kiitas atud hüpoteesi; kas katse põhjal võib seda meetodit eis tigimustes kasutada vms. Siiski, töö järeldustes ei vastata kuagi küsimusele kas atud mõõtemeetod o omadatud või füüsikalise suuruse keskmist osatakse leida. Töö eesmärgist tuleeb see, millist teooriat peaks kasutama. 3. Töö teoreetilie osa (ka töö käik). Selles puktis tuuakse välja eksperimediks ja admetöötluseks vajalikud valemid, seadused ja tähistused. Vajaduse korral tuletatakse kokreetsete, atud katses vajalike suuruste jaoks valemid. Töö teoreetilie osa peab adma vastuse küsimustele, miks kasutatakse just eid kokreetseid vahedeid (millega katsetatakse), kuidas admeid töödeldakse. Selles osas võib ära äidata mõõtmismetoodika millises järjekorras ühedada mõõteriistu ja miks. Mida mõõta ja kui täpselt. 4. Töövahedid See, milliseid töövahedeid kasutatakse, tuleeb teooria osast. 5. Mõõtmisprotokoll Mõõtmisprotokollis peavad sisalduma kõik mõõtetulemused ii teisedamata kui ka SI-ühikutesse teisedatud kujul. Juhul, kui ühte ja sama suurust mõõdetakse korduvalt, o mõistlik admed kada tabelisse. Näide admetabeli kohta:
Tabel 2.1. Voolutugevuse I sõltuvus pigest U. U(V) ±0,05V I 10 3 (A) I (ma) I (A) 2,30 1,20 1,20 0,00120 2,45 1,31 1,31 0,00131 2,65 1,34 1,34 0,00134 2,70 1,45 1,45 0,00145 U pige; I voolutugevus. Tabelil o alati pealkiri, milles o öeldud, mis o tabelis kirjas. Tabelis ja selle all o toodud füüsikaliste suuruste tähised, ühikud kui ka mõõtetäpsus. Pige korral o see äha 0,05V, voolutugevuse korral o see 0,01 10-3 A paistab välja viimasest umbrikohast. Tabeli kolmas ja eljas veerg äitavad voolutugevuse väärtuste kirjutamist eri viisil. Tavaliselt katakse admed tabelisse selliselt agu veergudes 2 ja 3, et mitte vedada kaasa mõtetult palju ulle. Võib tududa mõigase vastuolua teise ja eljada veeru väärtused, kuid tegelikult sii vastuolu pole: agu tabeli teise veeru päis äitab, o arvud tabelis saadud kui voolutugevuse väärtust o korrutatud 1000-ga. 6. Admete aalüüs. Üks olulisemaid kohti, kust saab iformatsiooi migite seoste kehtivuse kohta, o graafikud. Graafikud aab alati ülevaatlikuma pildi kui lihtsalt admetabel. Graafik o esimee asi, mida keegi vaatab sellelt saab lugeda välja suuruste vahelise sõltuvuse, vea hiagud, ja juhul, kui migi mõõtmistest o ebaõestuud, võib ka seda märgata. Graafikud peavad olema esitatud koos tiitlitega, telgede imetustega, mõõtühikutega. Näiteks ülaltoodud tabelis esitatud sõltuvuse graafiku võime esitada järgmiselt: I(mA) 1,50 1,45 1,40 1,35 1,30 1,25 1,20 1,15 1,10 2,20 2,30 2,40 2,50 2,60 2,70 2,80 U(V) I(mA) 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 U(V) Joois 2.1. Voolutugevuse I sõltuvus pigest U. Vasakpoolsel jooisel toodud graafik o tehtud OpeOffice.org 3.2 Calc abil. Parempoolsel jooisel toodud graafikul o atud lisaks puktidele ka veakastid, see joois o tehtud MS Exceli abil. OpeOffice.org Calc-i versioo 3.x lubab jooisele lisada veakasti y-telje jaoks, kuid mitte x-telje jaoks. Admete aalüüsi alla kuuluvad arvutused. Arvutustulemused võib lisada ka mõõtetulemuste tabelisse. Sel juhul peab olema selgelt märgitud, millise seose põhjal o eed leitud. Soovitatavalt peaks vähemalt ühe arvutuse pikalt läbi tegema juhul, kui selles o viga sees, o lihtsam leida
viga otseselt arvutustest kui mõistatama hakata, kas viga o vales liites, valedes ühikutes või mujal. Admete aalüüsi juurde kuuluvad ka veaarvutused (mõõtemääramatuse leidmie), vajadusel ka regressiooiaalüüs. 7. Järeldused Järelduses atakse vastus eesmärgis püstitatud küsimustele.
3. Mõõtmised ja admetöötlus Soovitatav kirjadus: 1. Voolaid, H. Mõõtevigade hidamie füüsika praktikumis. TRÜ. 1983. 2. Uder, Ü. Metroloogia füüsika praktikumis. TTÜ Kirjastus. 1999. 3. Kirkup, L. Experimetal methods : a itroductio to the aalysis ad presetatio of data. Wiley. 1994. 4. Holmberg, P., Perkkiö, J., Hiltue, E. Satorius. Elusa looduse füüsika. Ilo. 2007 (lk 18-26, 31-44). 5. Tammet, H. Füüsika praktikum. Metroloogia. Valgus. 1971. 3.1. Mis o mõõtmie? Mõõtmie - migi füüsikalise objekti võrdlemie teise samasuguse objektiga. esimese füüsikalise suuruse väärtus Tavaliselt mõõtetulemuseks siiski suhtarv: teise füüsikalise suuruse väärtus =arv. füüsikalise suuruse väärtus Mõõtetulemuse saame järgmiselt: =mõõtarv. mõõtühiku väärtus pikkus Näiteks mõõtes migi eseme pikkust: 1 m =3,5. Seega o selle eseme pikkus l=3,5 1 m=3,5 m. Füüsikaliste suuruste väärtus o esitatud siis, kui o esitatud tema mõõtühik ja füüsikalise suuruse väärtuse suhe mõõtühikuga ehk mõõtarv. Ilma mõõtühikuta ei ole mõõtmise tulemus täielikult esitatud. Sama kehtib ka füüsikaliste probleemide lahedamise kohta kui ülesadel o leitud arvulie vastus, kuid pole juurde lisatud ühikut, siis ei ole vastus täielikult esitatud. (Muidugi o juhtumeid, mil vastuseks ogi suhtarv või dimesiooitu suurus). Täisväärtusliku mõõtetulemuse saamiseks o esitada ka mõõtmise täpsust iseloomustavad karakteristikud. Metroloogia 3 osa: 1. Õpetus mõõtühikutest ja ede süsteemidest. 2. Mõõtmise korraldamise strateegia ja mõõtevahedid. 3. Mõõtmistulemuse täpsuse vigade ja mõõtemääramatuse aalüüs. Mõõtmisel tuleb silmas pidada, et absoluutselt täpe mõõtmie o võimatu! (Eradiks võib olla loedamie). 3.2. Mõõtühikud ja mõõtühikute süsteemid Ajalooliselt o kasutusel olud, ja o praegugi, mitmeid erievaid mõõtühikute süsteeme. Praegu o kiitatud ülemaailmselt stadardsüsteem SI (Eesti Vabariigis kehtestatud seadusega). Siiski kasutatakse ii Eestis kui ka mujal ii teaduses kui ka väljaspool seda SI ühikutest erievaid ühikuid. Näiteks leuduses kasutatakse leuki kõrguse mõõtmiseks jalgasid (1 jalg = 30,5 cm), toidu eergiasisaldust määratakse kcal-tes (1 kcal = 4,184 kj) je. Kõrgete osakeste füüsikas määratakse osakeste eergiat mitte džaulides, vaid elektrovoltides (1 ev = 1,6 10-19 J) je. Viimae juhtum o ühelt poolt ajaloolistest põhjustest lähtuvalt, teisalt o sageli lihtsam iseloomustada
suurusi vedamata kaasa väikesi küme astmeid. SI põhisuurused ja põhiühikud o järgmised: Mehaailised suurused: pikkus (1m), aeg (1s), mass (1kg). Elektrilie suurus: voolutugevus (1A). Soojusõpetusest: temperatuur (1K), aiehulk (1 mol). Optika: valgustugevus (1 cd). Täiedusuurused: tasaurk (1 rad), ruumiurk (1 sr). Ülejääud füüsikalised suurused o tuletatud suurused, ede ühikud saab esitatda põhiühikute kaudu. Toome mõed äited suuruste tuletamise kohta: Kiiredust saab leida seosega a= v t Aaloogiliselt saame. Siis kiireduse ühik o [a]= 1 m/s 1 s =1 m s 2 =1 m s 2. Jõud: valem F =m a. Jõu ühik ja selle seos põhiühikutega: 1 N =1kg m s 2. Võimsus: valem: N = a t = F s = F v, ühik: 1W =1 J s 1 =1 kg m 2 s 3. t Pige: elektrivoolu võimsus o N =U I, siit U = N I, seega ühik 1V =1kg m 2 s 3 A 1. Sageli o füüsikaliste suuruste väärtusi mõistlik esitada küme astmete abil või eesliidete kaudu. Järgevas tabelis o toodud põhilised eesliited. Tabel 3.1. Füüsikaliste suuruste kordsete eesliidete tähised. Eesliide Väärtus Eesliide Väärtus E (eksa) 10 18 d (detsi) 10-1 P (peta) 10 15 c (seti) 10-2 T (tera) 10 12 m (milli) 10-3 G (giga) 10 9 (mikro) 10-6 M (mega) 10 6 (ao) 10-9 k (kilo) 10 3 p (piko) 10-12 h (hekto) 10 2 f (femto) 10-15 da (deka) 10 a (ato) 10-18 3.3. Mõõtevead ja mõõtemääramatus Mõõtesuuruse väärtus mõõtmistulemuse piirväärtus, millele see läheeb mõõtmistehika tõkestamatul areemisel. Olgu s 0 - füüsikalise suuruse tõelie väärtus; s - kokreetses mõõtmisprotsessis saadud tulemus; Siis mõõtmisviga o s=s s 0. Tõelie väärtus ei ole eamasti teada, seetõttu pole teada ka mõõtmisviga. Seega saab mõõtmisviga vaid hiata, määrata mõõtmisvea suurusjärku. Mõõtmisvea hidamiseks o 2 moodust: - Mõõtmise piirivea määramie. Piirviga - vähim vea väärtus, mille puhul võime veel 100% kidel
olla, et tõelie viga seda ei ületa. - Viga määratakse koos vastava usaldatavuse määraga. Tavaliselt suureeb vea arvväärtuse suureemisega ka usaldatavus (ehk usaldusväärsus) ig vastupidi. Eamasti pole vajagi 100%-list usaldatavust, tavaliselt o usaldatavus 95%, harvem 99% või 70% (füüsikas üsagi harva). Vead võib liigitada mitmeti: 1. Juhuslikud vead. 2. Süstemaatilised vead. 3. Mõlemad vead. Teie liigitusviis: 1. Häireviga - mõõtmisprotsessi häirivad migid välismõjutused. 2. Riistaviga - mõõteriista ebatäpsusest tigitud viga. 3. Subjektiive viga - mõõtja meelte ebatäpsus (reaktsiooiaeg, kogeematus je). 4. Lähteviga - arvutustel kasutatavate muude arvude, t kostatide ebatäpsus. 5. Arvutusviga - ei arvutata piisava arvu komakohtadega. 6. Metoodilie viga - mõõtmisviisi põhimõttelie ebatäpsus, arvutusvalemite ligikaudsus. Mõõtmisprotsessil tuleb miimiseerida kõrvalhäired ja subjektiivsed vead, kasutada parimaid mõõteriistu, kõrvaldada lähteviga, arvutusviga, metoodilie viga. Kuid ikkagi ei muutu mõõtmisprotsess absoluutselt täpseks. Mõõtmisprotsessi täpsust kirjeldav suurus ei käitu agu viga, vaid kui põhimõttelie määramatus - mõõtemääramatus, käitub agu juhuslik viga. Seetõttu ei räägita füüsikas mitte mõõtmisveast, vaid mõõtemääramatusest. Suhtelie ehk relatiive viga: mõõtarvu ühiku kohta tulev viga: R s = s s 0 %. s 3.4. Keskmie, ruutkeskmie hälve, dispersioo. Migi suuruse s keskväärtus: s= 1 s i = 1 i=1 s s... s, 1 2 kus mõõtmiste arv. s i i-dal mõõtmisel saadud mõõtetulemus. Mõõtetulemuste hajumise kirjeldamiseks, st kirjeldamaks üksiktulemuste keskmist erievust keskväärtusest (ehk kui laiali o mõõtetulemused keskmise ümber hajuud), kasutatakse mõistet dispersioo. Üksiktulemuse dispersioo: s 2 = 1 1 i =1 s i s 2. s = i =1 s i s 2 1 - üksiktulemuse stadardhälve.
Kui teeme palju seeriaid, milles igaühes o mõõtmist, siis saame aritmeetilise keskmise dispersiooiks: s 2 = 1 s. Dispersioo kirjeldab vaid juhuslikku viga, mitte süstemaatilist viga. Aritmeetilise keskmise dispersiooi parimaks hiaguks imetatakse suurust: s 2 = i=1 s i s 2 1. Üksikmõõtmise stadardhälve s iseloomustab admete hajumist (keskmise ümber), aritmeetilise keskmise stadardhälve s iseloomustab mõõdetava suuruse tegelikku väärtust. Väga suure hulga mõõtmiste korral: - vahemikku [ s s, s s ] mahub 70% admetest; - vahemikku [ s 2 s, s 2 s ] mahub 95% admetest; - vahemikku [ s 3 s, s 3 s ] mahub 99% admetest. Graafilisel o admete jaotust ümber keskväärtuse iseloomustatud jooisel 3.1. Joois 3.1. Väga suure hulga mõõtmiste korral mahub vahemikku [ s s, s s ] umbes 70% admetest, vahemikku [ s 2 s, s 2 s ] mahub umbes 90% admetest. Atud juhul o s=10, s =1. f(s) iseloomustab tõeäosust, et atud suurus ilmeks mõõtmisel. Näiteks keskväärtus s=10 ilmemiseks o tõeäosus umbes 0,4 ehk 40%, s=8 korral o see umbes 0,053 je. Aritmeetilise keskmise stadardviga iseloomustab mõõdetava suuruse tegelikku väärtust järgmiselt (väga) suure hulga mõõtmiste korral: - vahemikus [ s s, s s ] o tegelik mõõdetav väärtus ligikaudu 70%-lise usaldusväärsusega (tõeäosusega), (täpsemalt 68,3%);
- vahemikus [ s 2 s, s 2 s ] o tegelik mõõdetav väärtus ligikaudu 70%-lise usaldusväärsusega (tõeäosusega), (täpsemalt 95,4%); - vahemikus [ s 3 s, s 3 s ] o tegelik mõõdetav väärtus ligikaudu 99%-lise usaldusväärsusega (tõeäosusega), (täpsemalt 99,7%). Suurust s (aritmeetilise keskmise stadardhälve) kasutatakse ka mõõtemääramatuse hidamiseks. Juhul, kui tegemist o lõpliku arvu (agu alati) mõõtmistega, kusjuures mõõtmiste arv ei ole väga suur, allub mõõtmiste jaguemie aritmeetilise keskmise ümber, Studeti jaotusele. Mõõtemääramatus leitakse järgmiselt: s i=1 i s 2 s=t,, p 1 kus t, p o Studeti tegur, mis leitakse tabelist. -mõõtmiste arv, p usaldusväärsus (füüsikas tavaliselt 95%). Tabel 3.2. Studeti koefitsedid erievate mõõtmiste arvude ig usaldusväärtuste p korral. p 90% 95% 99% 2 6,31 12,7 63,7 3 2,92 4,30 9,92 4 2,35 3,18 5,84 5 2,13 2,78 4,60 6 1,02 2,57 4,03 7 1,94 2,45 3,71 8 1,89 2,36 3,50 10 1,83 2,26 3,25 15 1,76 2,14 2,98 50 1,68 2,01 2,68 100 1,66 1,98 2,63 MS Excelis ja OpeOffice.org-s vajamievad fuktsiooid: AVERAGE( ) aritmeetilie keskmie SUM(r1;r2; ) SUM(B4:B7) summa STDEV(r1;r2; ) STDEV(B4:B7) üksikmõõtmise stadardhälve DEVSQ(r1;r2; ) DEVSQ(B4:B7) summa üle üksikmõõtmiste hälve keskmisest. Ülesae 1. Vee keemistemperatuuri mõõdeti termomeetri abil. Saadi järgmised tulemused. Temperatuur t (ºC) ±0,5ºC t t i t t i 2 101,0 100,5 99,0 99,5 100,5 102,0 101,0 100,5 t = t t i = t t i 2 =
Leida atud admetele tugiedes keskmie temperatuur, aritmeetilise keskmise stadardhälve, mõõtemääramatus ja suhtelie viga. Atud ülesade korral kooseb mõõtemääramatus summast üks osa, mis o saadud täu admete hajumisele ig leitakse alapuktis 3.4 toodud valemi kohaselt, teie liidetav tuleeb mõõtmisvahedi ebatäpsusest (mõõteriista viga korrutatud sama Studeti teguriga). Ülesae 2. Leida kaldu asetatud relsil liikuva vakrikese kiiredus kahel erieval viisil: 1) mõõtes kahe fotovärava vahel liikumise aega; 2) mõõtes ühe fotovärava ja vakrikesel asuva triipriba abil otseselt vakrikese kiiredust. Kummagil juhul soovitav teha vähemalt 6 katset. Leida keskmie kiiredus, keskmise stadardhälve ig mõõtemääramatus 95% usaldusväärsuse korral. Milliste valemite järgi peaks arvutama kiireduse esimesel juhul? Kui palju erievad erievatel meetoditel leitud kiiredused? Ülesae 3. Katses mõõdeti keha kukkumist 25 m kõrguselt ig saadi järgmised tulemused: Kukkumise aeg t(s) 2,2 2,0 2,3 1,9 2,1 2,3 2,0 2,2 Leida kukkumise keskmie aeg ig mõõtemääramatus. Leida atud tulemuste põhjal vaba lagemise kiireduse g väärtus. 3.5. Mõõtemääramatuse leidmie kaudse mõõtmise korral Atud alapuktis vaatleme, kuidas leida mõõtemääramatust füüsikalise suuruse korral, mida ei mõõdeta otse, vaid leitakse teiste suuruste abil (mis o otse mõõdetud). Olgu meil selliseks suuruseks f, mis saadakse migi kolme teise füüsikalise suuruse x,y,z abil, kusjuures viimased o saadud otsese mõõtmise tulemusea ig ede korral o teada ka mõõtmise viga. Olgu meil suuruste x,y,z mõõtevead vastavalt x, y, z. Siis võime f - mõõtemääramatuse leida järgmise valemi abil: f = f x x f z z, kus f x - tähistab osatuletist f-st x järgi ja ii o tähistatud ka teised osatuletised. Näide. Risttahuka tihedus o leitud järgmiselt: o mõõdetud tema küljed a,b,h ja mass m. Seega tihedus = m. Mõõtemääramatus o arvutatav seega järgmiselt: a b h = m m a a b b h h= 1 abh m m a 2 bh a m ab 2 h b m abh h. 2 y y f Ülesae 4. Leida risttahuka tihedus ig tiheduse mõõtemääramatus.
4. Jaotused 4.1. Histogramm ja kumulatiive sagedus. Tihedusfuktsioo ja jaotusfuktsioo 4.1.1. Histogramm ja kumulatiive sagedus Toome ühe äite histogrammi koostamise kohta. Radioaktiivse elemedi laguemist o uuritud Geiger-Mülleri loeduriga järgmiselt. Loedur mõõdab impulsside arvu ühes sekudis. Kuivõrd radioaktiivse aie laguemie o tõeäosuslik, siis igas ajaühikus o lagueud tuumade ig loeduri poolt registreeritud ioiseerivate osakeste arv ehk suurus, mis iseloomustab aie laguemise itesiivsust, eriev. Tulemused o toodud tabelis 4.1. Tabel 4.1. Aie radioaktiivsel laguemisel registreeritud mõõtmiste tulemuste jaotus itesiivsuste järgi (Holmberg, Perkkiö jt. Satorius. 2007). Itesiivsus x i (impulssi sekudis 1/s) Kordumiste arv mõõtmistulemustes f i ehk esiemissagedus Kumulatiive esiemissagedus 0 47 47 1 152 199 2 221 420 3 233 653 4 160 5 105 6 51 7 17 8 10 996 9 5 1001 10 3 1004 11 1 1005 12 0 1005 Histogrammi koostamiseks admed plokki, siis Graph, selle alt Next, siis 'First Colum as Label' 250 Esiemissagedus 200 150 100 50 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Impulsside arv (1/s) ulsside suhtelie esiemissaged 0,250 0,200 0,150 0,100 0,050 0,000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 impulsside arv (1/s) Joois 4.1. Aie radioaktiivsel laguemisel registreeritud mõõtmiste tulemuste jaotus itesiivsuste
järgi. Histogrammid a) Mõõtmiste arvu; b) mõõtmiste suhtelise arvu e tõeäosuse jaoks. 1200 1,2 1000 800 1 0,8 600 0,6 400 0,4 200 0,2 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 a b Joois 4.2. Kiirguse itesiivsuse kumulatiive sagedus. a) Kumulatiive sagedus impulsside arvu järgi; b) impulsside suhtelise esiemissageduse järgi. 0 0 2 4 6 8 10 12 14 impulsside arv (1/s) Juhul, kui o admed o jagueud küll diskreetselt, kuid klasside arv o väga suur, siis saab klasside arvu vähedada. Aaloogiliselt tuleb ka pideva admete jaotuse puhul admed jagada teataval viisil klassidesse. Üks võimalikke (ja eamleviumaid) jaotusi klasside arvu k valikuks o k= N, kus N o mõõtmiste koguarv. Siis võib võtta kõikide klasside laiuse ühesuguse: klassi laius x= x max x mi k. 4.1.2. Tihedusfuktsioo ja jaotusfuktsioo Migi suuruse tihedusfuktsioo f(x) kirjeldab seda, millie o tõeäosus atud suuruse kokreetse arvulise väärtuse leidmiseks. Ülaltoodud äite korral kirjeldab seda jooisel 4.1. b toodud graafik (tõsi, eeldusel, et igal mõõtmiste seerial saame tõesti samasuguse jaotuse). Tihedusfuktsioo aab võimaluse arvutada tõeäosust, et atud suurus omaks kokreetset arvulist väärtust. Jaotusfuktsioo F(x) kirjeldab tõeäosuse kumulatiivset kasvu. Jaotusfuktsioo kasvab alati 0-st kui 1-i, kusjuures väärtus 0 o juhul, kui x x mi ja F(x) kui x x max. 4.2. Jaotused 4.2.1. Ühtlae jaotus Diskreete ühtlae jaotus ilmeb äiteks tärigute viskamisel. Tärigu viskamisel o kõigi umbrite ilmemise tõeäosus W() ühesugue ehk 1/6. Keskväärtuse saame järgmiselt: 6 = =1 W =1 1 6 2 1 6 3 1 6 4 1 6 5 1 6 6 1 6 =3,5. (4.1) Dispersiooi saame järgmiselt: 6 2 = =1 2 W = 1 6 [ 1 3,5 2 2 3,5 2 3 3,5 2 4 3,5 2 5 3,5 2 6 3,5 2 ]=2,92. Üksiktulemuse stadardhälve, mis kirjeldab admete (mõõtetulemuste) hajumist keskväärtuse
ümber saame = = 2,92=1,71. Pidevat ühtlast jaotust imetatakse ka ristkülikjaotuseks. Sellisel juhul o tihedusfuktsiooi kujuks ristkülik kõrgusega W(x) = 1/(x max -x mi ). a b Joois 4.3. Ühtlase jaotuse a) tihedusfuktsiooi graafik ja b) jaotusfuktsiooi graafik. 4.2.2. Bioomjaotus O palju südmusi, mille N-kordsel korduskatsel võib jagada kaheks alamhulgaks A ja B. Tõeäosus, et katse sooritamisel ilmeks südmus A o p, tõeäosus, et ilmeks B, o siis q=(1-p). Tähistame W() tõeäosuse, et südmus A esieb katseseerias N korda. Siis bioomtõeäosus saadakse valemist N! W = N!! p q N N! = N!! p 1 p N. Olgu katseks äiteks müdi viskamie. Tõeäosused, et ilmeks kas kull (p) või kiri (q), o võrdsed 0,5. Olgu katsete arv N=5. W(5) =0,03125 tõeäosus, et kull tuleks =5 katsel. Aaloogiliselt teistega. W(4) = 0,15625, W(3) = 0,3125, W(2) = 0,3125, W(1) = 0,15625, W(0) = 0,03125. W() 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 F() 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,05 0,2 0 0 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 a b Joois 4.4. Bioomjaotuse a) tihedusfuktsiooi ja b) jaotusfuktsiooi graafikud.
Bioomjaotuse tõelie keskväärtus leitakse järgmiselt: N = =0 W =p N Dispersioo o siis 2 = p N 1 p = 1 p ig stadardhälve = x 1 p. 4.2.3. Poissoi jaotus Poissoi jaotus o bioomjaotuse teatav piirjuhtum, kui korduste arv läheb väga suureks (ehk lõpmatusele), kuid mõõdetav või aalüüsitav suurus saab omadada vaid täisarvulisi väärtusi. Sel juhul saab arvutada migi suuruse tõeäosust järgmise tihedusfuktsiooi järgi: W =e a a!, kus a o matemaatilie ootus ehk Poissoi jaotuse keskväärtus x=a ig stadardhälve a. 0,14000 0,12000 0,10000 W() 0,08000 0,06000 0,04000 0,02000 0,00000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Joois 4.5. Poissoi jaotuse graafik juhul, kui a=10,5. 4.2.4. Normaaljaotus ehk Gaussi jaotus Nii bioomjaotus kui ka Poissoi jaotus oli äided diskreetsete jaotuste kohta. Juhul, kui aalüüsitava suuruse väärtused võivad muutuda pidevalt, kirjeldavad suuruse väärtuse ilmemise tõeäosust pidevad jaotused, millest olulisim o ormaaljaotus ehk Gaussi jaotus. Gaussi jaotuse tihedusfuktsioo o järgmie: f x = 1 x x 2 2 e 2 2, kus x o suuruse x keskväärtus ja o stadardhälve.
Joois 4.6. Gaussi jaotus a) x=10,5 ja =2,5 - siie joo; b) x=15 ja =4. 4.2.5. Studeti jaotus Studeti jaotuse valemit siikohal tooma ei hakka. Gaussi jaotus o Studeti jaotuse piirjuhtumiks juhul, kui mõõtmiste arv läheeb lõpmatusele.
5. Vähimruutude meetod. Lieaare regressioo 5.1. Lieaare regressioo. Vaatame kahe füüsikalise suuruse vahelist sõltuvust. Kõige lihtsamal juhul võib selleks olla sirge. Olgu eed suurused y = f(x). Ehk y =k x + b, kus m ja b o kostadid, atud juhul eksperimedi tulemustest määratavad suurused. Üldkujulise lieaarse fuktsiooi y=kx b korral kasutatakse vähimruutude meetodid suuruste k ja b leidmiseks. St. paljude mõõtmiste korral peab suurus SS= y 1 2 y 2 2... y 2 olema miimaale. Atud suuruse miimaalsuse õudest tuleevad kostadide k ja b leidmiseks järgmised avaldised. b= kus o mõõtmiste arv. k= i =1 i =1 x i y i i =1 x i 2 i=1 x i 2 y i i =1 i=1 i=1 i=1 x i 2 i=1 x i i =1 y i x i 2, x i x i y i i =1, x i 2 Mõlema suuruse k ja b jaoks saame samuti stadardhälbed, eed o leitavad järgmistest seostest: k = b = i=1 i =1 x 2 i x i 2, i=1 i=1 x i 2, x 2 i x i 2 i=1 kus = 1 2 y i k x i b 2. i=1 Selliste arvutuste lihtsustamiseks võib teha järgmised tabeli. 2 i x i y i xi 1 0 2 7 x y i i
m x i i = 1 m = i = 1 y i = m m 2 x i = x y i i i = 1 i = 1 = Tabelarvutusprogrammi MS Exceli abil võib kasutada ka järgmist võimalust admete järgi graafiku jooistamisel Chart Wizard XY-Scatter. Kui puktid olemas, siis klikk graafikul mõe pukti peal, maüüst Chart Add Tredlie (või hiire parema upuga Add Tredlie). Optios: Display Equatio o Chart kuvab graafikule ka vastava regressiooijooe võrradi; Display R-squared o Chart kuvab graafikule R 2 väärtuse, mis iseloomustab, kui hästi admed selle võrradiga kokku sobivad. Ideaaljuhul o R 2 =1. 0<R 2 <1. R o Pearsoi korrelatsiooikordaja (vt 5.2). MS Exceli ja OpeOffice.org Calc-i fuktsiooid: INTERCEPT(y_i d; x_i d) Itercept(B7:B15;A7:A15) leiab lõikepukti y-teljega. ehk b väärtuse SLOPE(y_i d;x_i d) Slope(B7:B15;A7:A15) leiab graafiku tõusu m väärtuse.(ka LINEST(y_i d;x_i d) Vt. ka Tred. 5.2. Admete vahelie korrelatsioo. Admete vahelise korrelatsiooi uurimiseks võib kasutada erievaid meetodeid. Juhul, kui sõltumatu muutuja (x) ig sõltuva muutuja (y) vahel o lieaare seos, mida võib üldiselt kirjeldada seosega y=kx+b, kus k ja b o kostadid, kasutatakse seose headuse määramiseks Pearsoi korrelatsiooikordajat r xy =r, mis võib omadada väärtusi 1 kui 1. Mida suurem o Pearsoi korrelatsiooikordaja absoluutväärtus r, st mida lähedasem ühele, seda suurem o kidlus, et suuruste x ja y vahel o tõepoolest lieaare seos. Seega Pearsoi korrelatsiooikordaja äitab, kas katsest saadud suuruste x ja y kogumid vastavad teooriast poolt eustatavale hüpoteesile, et ede vahel o lieaare seos. Täpsemalt et see seos võiks kehtida. Kui admeid o liiga vähe või mõõtmised ebatäpsed, võib r olla ligikaudu 1 ka juhul, kui x ja y vahel o äiteks ruutsõltuvus või ekspoetsiaale seos (iga graafiku jaoks võib väga väikeses piirkoas lähedada sirgega). Pearsoi korrelatsiooikordaja võib leida järgmiselt: r xy = i= 1 x 2 i i= i ( x y i= 1 i i i x ) 2 i= 1 x i= 1 i i= 1 y 2 i y i ( i= 1 y ) i 2. Selle jaoks võib teha järgmise tabeli, mille abil o arvutusi lihtsam teha. x y xy x 2 y 2 x i = y i = x i y i = x 2 i = y 2 i = i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 Kasutada võib ka mõda tabelarvutusprogrammi, äiteks MS Excelis ja OpeOffice.orc Calc-s o
selle jaoks fuktsioo Pearso( ; ) (vt MS Excel help i). Ülesae 5. Juhi takistus R sõltub temperatuurist järgmiselt: R= R 0 1 T, kus R 0 o juhti takistus temperatuuril 0 o C, T = T T 0, T 0 =273K ja α o takistuse sõltuvust temperatuurist iseloomustav kordaja. Mõõtmistel saadud tulemused o esitatud järgmises tabelis: Tabel. Vaskjuhtme sõltuvus temperatuurist. Temperatuur ( o C) Kostatse pikkusega vaskjuhtme takistus R(Ω)±0,001Ω 8,0 0,208 16,5 0,213 23,5 0,222 32,0 0,229 40,4 0,232 54,5 0,243 Jooistada atud admetele tugiedes graafik R=f(T) ig leida vähimruutude meetodi abil R o ja α. Ülesae 6. Metalllati kuumutamisel latt pikeeb vastavalt seosele l=l 0 1 T, kus l o lati pikkus; l 0 o lati pikkus 0 o C korral. Mõõdeti ii lati pikkust kui ka temperatuuri. Leida tuleb soojuspaisumistegur α ig mõõtemääramatus. Kuivõrd mõõtemääramatuse leidmist MS Exceli fuktsiooides pole, o mõistlik teha järgmie tabel; leida esmalt regressiooiparameetrid k ja b (vt alapukt 5.1) ig seejärel täita tabeli viimae veerg. Selle järgi o võimalik leida ka mõõtemääramatus. Tabel. Abitabel soojuspaisumisteguri stadardhälbe ja mõõtemääramatuse leidmiseks. Temperatuur t( o C) Lati pikkus l(m) x i y i x i y i 2 x i (y i -kx i -b) 2 25 1,1164 50 1,1170 75 1,1172 100 1,1180 125 1,1190 150 1,1199 175 1,1210 200 1,1213 225 1,1223 250 1,1225 Ülesae 7. Leida vaba lagemise kiiredus g arvutiprogammi Sciece Workshop abil. Töö P06.sws.
6. Admete lieariseerimie. Lieaare sõltuvus kahe suuruse vahel o kõige lihtsam matemaatilie sõltuvus. Selle graafikuks o teatavasti sirge. Juhul, kui eksperimedis uuritakse sõltuvust, mis peaks adma tulemuseks sirge, o graafikult lihte vaadata, kas puktid paikevad eam-vähemgi sirge peal. Ruutsõltuvuse, logaritmilise, ekspoetsiaalse, astmelise või muu mittelieaarse sõltuvuse korral o silma järgi raske öelda, kas mõõtetulemused vastavad oodatavale sõltuvusele või ei. Samuti lieaarse sõltuvuse y=kx+b korral o lihte leida kostate k ja b. Sii võib kasutada erievaid võtteid. Lähemalt tutvume eist kahega. 6.1. Logaritmilised ja poollogaritimilised graafikud Vaatame sõltuvust y=f(x), kus võrduse paremal poolel seiseb korrutis. Näiteks: I=Ar, kus A ja o kostadid ig I ja r o muutuvad suurused; N=Be bx, kus e=2,72...; B ja b o kostadid, N ja x o muutujad. Võime üle mia uutele muutujatele logaritmides võrradit. Vaatame seda kahel äitel. Olgu meil seos kujul R=c I a, kus a ja c o kostadid. Võtame seose mõlemast poolest (kümed)logaritmi, saame log R=log c I a =log c a log I. Võttes uuteks muutujateks y=log R, x=log I ig kuivõrd c o kostat, siis b=log c o samuti kostat. Seega olema saaud uute muutujatega seose kujul y=b+a x, mis o uute muutujate vahel lieaare seos. Ülesades 8 o toodud sellie juhtum, jooistel 6.1 o atud tabelis toodud admed graafikul. Jooistel 6.2a ja 6.2b o toodud samad admed a) uute muutujate korral, st telgedel o log I ig log R; b) logaritmilises skaalas telgedel o tähised I ig R, kuid teljestiku tähised muutuvad logaritmiliselt. Ühesuguste vahedega o toodud 10 astmed: 10-3, 10-2 vahe o sama suur kui arvudel 10 1 ig 10 2. Käsitsi o logaritmilisele skaalale arvude märkimie keerulie, kuid teisalt võimaldab logaritmilie skaala äidata samaaegselt ii väga väikesi kui ka väga suuri arvulisi väärtusi. Ülesae 8. Pooljuhi takistus o läbi pooljuhi mieva voolu tugevuse fuktsioo R=f(I). Eeldame, et see seos o järgmie: R = k I. Jooistada graafik, logaritmilie graafik. Leida kostadid k ja. Tabel 6.1. Pooljuhi takistuse R sõltuvus voolutugevusest I. I(A) R(Ω) 0,001 0,0006 0,002 0,0022 0,004 0,0063 0,008 0,02 0,016 0,042 0,032 0,12 0,064 0,34 0,130 1,1 0,260 3,2 0,520 9,5 Esmalt lieariseerime võrduse R = k I. Selleks võtame mõlemalt poolelt (kümed)logaritmi: log R = log( k I ) = logk + log I.
Oleme saaud lieaarse sõltuvuse log R ja log I vahel. Log-log-graafiku x-teljele läheb log I ja y- teljele log R. Lieaarse regressiooaalüüsi abil kostatide k ja b leidmiseks o mõistlik teha järgmie tabel: I(A) R(Ω) log I x log R y x 2 x y 0,001 0,0006-3 -3,222 9 9,666 0,002 0,0022-2,699-2,658 7,285 7,174.................. Edasi tuleks kasutada alapuktis 5 toodud valemeid või tabeladmetöötlusprogrammi võimalusi. 10 9 8 7 6 R(Om) 5 4 3 2 1 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 I(A) Joois 6.1. Tabelis 6.1 toodud admete kohaselt jooistatud graafik. Kuivõrd palju pukte o koos skaala alguses, ei ole võimalik eid täpselt eristada. 2 10 1 0 1 log R -1 R 0,1-2 0,01-3 -4-3,5-3 -2,5-2 -1,5-1 -0,5 0 log I 0 0 0,01 0,1 1 a b Joois 6.2. Tabelis 6.1 toodud admed lieaarses esituses: a) skaalad tavalised, admed logaritmilised; b) logaritmilises skaalas. Graafikud o mõlemal juhul samasugused, kuid tähised ja arvud telgedel erievad. Kui tegemist o kahe suuruse vale seosega kujul y=a 10 kx, y=a e kx või üldisemalt y=ac kx, kus a, k ja c o kostadid, siis saab seost ig admeid lieariseerida taas logaritmimise teel. Atud juhul saadakse admed või graafikud poollogaritmilises skaalas ühel teljel o tavalised arvud, teisel logaritmid. Olgu meil seos äiteks z=a 10 kx. Võtame seose mõlemalt poolt kümedlogaritmi (kui astme aluseks o e, siis peaks võtma aturaallogaritmi). Saame I
log y=log a10 k x =log a k xlog 10=log a k x. Võttes uued muutujad y=log z,b=log a, saame uue muutuja y ig vaa muutuja x vahel lieaarse seose y=kx b. Atud juhu jaoks esitatud tabelis 6.2. Jooisel 6.3 o toodud admed tavalises skaalas, jooisel 6.4a ja 6.4b o esitatud poollogaritmilises skaalas ig uue ja vaa muutuja abil. Nagu jooistelt äha, o mõlemad graafikud oma kujult samasugused. Tabel 6.2. Admed seose z=a10 kx jaoks. x 0,1 2,4 0,2 2,75 0,4 3,0 0,6 3,4 1,0 4,1 1,5 5,7 1,8 6,8 2,0 7,5 2,2 8,8 2,5 10,1 3,2 15,0 4,0 24,0 z
25 20 15 z 10 5 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 x Joois 6.3. Tabelis 6.2 esitatud admed tavalises skaalas. log z 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 x z 100 10 1 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 x Joois 6.4. Tabelis 6.2 toodud admed lieaarses esituses: a) skaalad tavalised, admed logaritmilised; b) poollogaritmilises skaalas. Graafikud o mõlemal juhul samasugused, kuid tähised ja arvud telgedel erievad. Ülesae 9. Radioaktiivse elemedi Po210 aktiivsus lages aja jooksul järgmiselt: Aeg t 0 4 8 11 15 18 21 25 29 32 (päev) Aktiivsus A 19520 18620 19180 16920 18620 16500 17527 16562 17210 16030 Radioaktiivse elemedi aktiivsus kahaeb aja jooksul vastavalt radioaktiivse laguemise seadusele: λ t A = A0 e, kus A 0 o kostat (aktiivsus ajahetkel 0) ja λ o radioaktiivse laguemise kostat. Elemedi poolestusaeg τ = l 2 0,692 =. Leida tabelis toodud admete põhjal polooiumi isotoobi λ λ radioaktiivse laguemise kostat ja poolestusaeg. Logaritmime fuktsiooi, atud juhul võtame mõlemalt poolt aturaallogaritmi: λ t l A = l( A0e ) = l A0 λ t. Võrreldes seda lieaarse sõltuvusega y=kx+b, äeme, et võime võtta
y=la, x=t ig leida kostadi λ=- k. 6.2. Admete lieariseerimie uue muutuja defieerimise teel B. Juhul, kui sõltuvuses y=f(x) võrduse paremal poolel o summa või ei ole tegemist astedamisega, võib lihtsalt defieerida uue muutuja. Olgu meil seos kahe suuruse s ja t vahel esitatud järgmiselt: s=b t a t 2, kus a ja b o kostadid. Nede suuruste vahelie sõltuvus o atud tabelis 6.3. Tabel 6.3. Vahemaa s muutumie suuruse t (aeg) muutudes. t (s) 0 0 s (m) 0,5-0,7 1,0-1,2 1,5-1,2 2,0-0,8 2,5 0,1 3,0 1,4 3,5 2,9 4,0 6,0 4,5 7,1 5,0 10,1 6,0 16,7 10,0 59,1 15,0 147,0 Esitades tabelis 6.3 toodud admed jooisel, siis äeme, et s-teljel o väga tihedalt pukte just graafiku alguses, graafiku lõpus väga hõredalt. Kui soovime atud admete järgi hiata, kas eed vastavad seosele s=b t a t 2 ig leida selle järgi kostate a ja b, siis ei ole see väga lihte. Kuivõrd võrduse paremal poolel o summa, mitte korrutis, siis ei ole seost võimalik lieariseerida logaritmimise teel. Teisalt o võimalik leida teistsuguseid lahedusi. Atud juhul saab talitada s järgmiselt: jagame seose mõlemat poolt t-ga, siis saame: t =b a t. Võttes uueks muutujaks y= s t, saame lieaarse seose uue muutuja y ig vaa muutuja t vahel y=b at. Ülesae 10. Puktvalgusallika poolt kiiratud valgus tekitab valguskiirtega risti oleval pial valgustatuse I E = 2. ( 1 ) r Valgustatust mõõdetakse luksides (lx), valgustugevust I luumeites. Nagu valemist (1) äha, kahaeb pia valgustatus pöörvõrdeliselt kaugusega valgusallikast. Juhul, kui meil lisaks uuritavale lambile o olemas ka taustvalgustus, võime valemi ( 1 ) kirjutada rigi järgmiselt: I E = + E 2 0, ( 2 ) r
kus E o o pia valgustatus ilma uuritava valgusallikata. Tähistades oleme saaud valemi (2) kujul y=kx+b. 1 y = E, x = 2, k=i, b=e 0, r Töö käik. Lambi valgustugevuse mõõtmiseks tuleb teha vähemalt viis katset mõõta pia valgustatus luksmeetriga lambist erievatel kaugustel. Admed tuleb kada tabelisse: r (m) 1 y=e (lx) x = 2 r Kasutades üüd lieaarregressiooi valemit: xi yi xi yi k = 2 2 xi ( xi ) võimegi leida lambi valgustugevuse I.
7. Eksperimedi püstitamie ja läbiviimie arvuti ja programmi DataStudio abil Järgmistes ülesaetes tuleb iseseisvalt leida, milliste seoste, füüsikaseaduste abil saab leida otsitavad suurused, mida ja kuidas tuleks mõõta, sooritada mitu katset, leida otsitav suurus, mõõtemääramatus ja ada ülesades püstitatud küsimusele vastus (järeldus). Ülesae 11. Leida vakrikese ja põradapia vahelie hõõrdetegur. Ülesae 12. Leida puuklotsi ja relsi vahelie hõõrdetegur. Ülesae 13. Kasutades eelmises ülesades saadud tulemust puuklotsi ja relsi vahelise hõõrdeteguri jaoks, kotrollida jõuvektorite liitmise seadust kaldpial libiseva keha korral.
LISA Laboratoorse töö aruae. Füüsika laboratoore töö Rühm Üliõpilase imi Kuupäev Nr. Töö pealkiri Töö eesmärk: Töövahedid: Teooria osa. Sisaldab kõik arvutusvalemid, tähiste selgitused ja mõõtühikud. Katsevahedi skeem või joois koos selgitusega. Mõõtmisprotokoll. Kui o tegemist rohkem, kui ühe mõõtmisega, katakse admed tabelisse, mis pealkirjastatakse. Admetöötlus. Pärast katset tehtud arvutused, veaarvutus. Tulemuste aalüüs. Graafikud, tulemused, järeldused.