HMY : Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ # Μετασχηματισμοί Σημάτων Ενέργεια και Ισχύς Σήματος Βασικές κατηγορίες σημάτων Περιοδικά σήματα Άρτια και περιττά σήματα Εκθετικά σήματα
Μετασχηματισμοί σημάτων (signal ransformaions/ operaions) Σήμα συνεχούς χρόνου Σήμα διακριτού χρόνου x ( ), x: xn [ ], n x: Χρονική αντιστροφή (ime reversal) y() = x( ) Παράδειγμα sin( π) - < x () = sin( π ) - < x( ) = = sin( π) < - Παράδειγμα x () = e x( ) = e
Μετασχηματισμοί σημάτων (signal ransformaions/ operaions) Σε διακριτό χρόνο y[ n] = x[ n]
Μετασχηματισμοί μ σημάτων Χρονική κλιμάκωση (ime scaling) y ( ) = x( α) α Παράδειγμα sin( π) - < x () = sin( π) - < x( ) = sin( π) - < = Γενικά:
Χρονική μετατόπιση (ime shif) y ( ) = x ( ) Μετασχηματισμοί σημάτων Παράδειγμα sin( π) - < x () = sin( π π) - < x ( ) = sin( π) < = Γενικά:
Σε διακριτό χρόνο yn [ ] = xn [ n] n Μετασχηματισμοί σημάτων
Μετασχηματισμοί σημάτων Γενικός μετασχηματισμός χρόνου y ( ) = x( α+ β) α, β Παράδειγμα -< < x () = - < 4 -< < x( ) = < 4 - < < = 3 - < < Γενικά: Ξεκινάμε από τη ηχρονική μετατόπιση και μετά περνάμε στην κλιμάκωση
Μετασχηματισμοί σημάτων Γενικός μετασχηματισμός πλάτους (ampliude ransformaion) y ( ) = α x ( ) + β α, β Παράδειγμα -< < x () = - < 4 y () = x( ) = - < < 3 = 4 - < - αλλού
Ενέργεια και ισχύς σήματος Ορισμός: Η ενέργεια ενός σήματος συνεχούς χρόνου x() στο χρονικό διάστημα μεταξύ και ορίζεται ως: E = x () d Ορισμός: Η μέση ισχύς του σήματος στο ίδιο χρονικό διάστημα ορίζεται ως: P = x () d Όταν το χρονικό διάστημα τείνει στο άπειρο, οι ορισμοί γράφονται ως: T E lim x ( ) d = x ( ) d T P lim T x( ) d T T Σε διακριτό χρόνο: T T E P= n = n= n x[ n] E N = lim N x[ n] n= N x[ n] P = lim N x[ n] + N n n n= N n n n = N +
Βασικές κατηγορίες σημάτων Άρτια και περιττά σήματα Ορισμός: Ένα σήμα συνεχούς χρόνου x() λέγεται άρτιο (even) ή άρτιας συμμετρίας (even symmery) αν για κάθε τιμή του ισχύει: x( ) = x( ) Για σήματα διακριτού χρόνου: x[ n] = x[ n] n Ορισμός: Ένα σήμα συνεχούς χρόνου x() λέγεται περιττό (odd) ή περιττής συμμετρίας (odd symmery) αν για κάθε τιμή του ισχύει: x( ) = x( ) Για σήματα διακριτού χρόνου: Παράδειγμα x[ n] = x[ n] n Άρτια Περιττά
Άρτια και περιττά σήματα Κάθε σήμα συνεχούς (διακριτού) χρόνου μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα ενός άρτιου και ενός περιττού σήματος x () = x () + x () x [ n ] = x [ n ] + x [ n ] e o xe ( ) = Ev{ x( )} = [ x( ) + x( )] xe[ n] = [ x[ n] + x[ n]] xo ( ) = Od{ x( )} = [ x( ) x( )] xo[ n] = [ x[ n] x[ n]] Παραδείγματα: x () = e x () = [ e e + e ] xo () = [ e e ] e o
Περιοδικά σήματα Ένα σήμα συνεχούς (διακριτού) χρόνου λέγεται περιοδικό (periodic) με + + περίοδο T εάν υπάρχει T ( N ) έτσι ώστε: x () = x ( + T ) x [ n ] = x [ n+ N ] n Επίσης αν το Τ είναι περίοδος: x ( ) = x ( + mt) m Τ : θεμελιώδης περίοδος (fundamenal period) η μικρότερη θετική τιμή για την οποία ισχύει η παραπάνω σχέση. Μονάδες χρόνου [sec] f = : θεμελιώδης συχνότητα (fundamenal frequency) y)[ [Hz] T ω : θεμελιώδης γωνιακή συχνότητα (angular frequency) [rad/sec] = π f = π T Παραδείγματα:cos, sin
Εκθετικά σήματα (exponenial signals) a x() = Ce Στη γενική περίπτωση: Ca, Η λύση της γραμμικής διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης με πραγμ. συντ/στες: dx () d = ax(), a είναι το πραγματικό εκθετικό σήμα π.χ. για ένα κύκλωμα RL di() di() R L + Ri () = = i () d d L R i () = i () e L = i () e τ τ: χρονική σταθερά (ime consan), για =τ: i()=.368i() x() = x() e a, a> a<
Εκθετικά σήματα (exponenial signals) Μιγαδικά εκθετικά σήματα Αν ο εκθέτης είναι φανταστικός αριθμός, δηλ. x() = j e ω τότε, από την εξίσωση Euler: a= jω, ω jω e = cos( ω) + jsin( ω) Το σήμα αυτό είναι περιοδικό με περίοδο Τ =π/ω. Επίσης: jω Re{ e } = cos( ω) jω ω Im{ e } = sin( ) jω e = ω j ω Άρα: cos( ω ) = sin( ω ) = Επίσης: cos( ) sin( ) ω e + e ω e e j e ω = j jω j jω jkω Ορισμός: Τα σήματα x λέγονται αρμονικά k( ) = Ake k =±, ±,... σχετιζόμενα με θεμελιώδη συχνότητα ω
Εκθετικά σήματα (exponenial signals) Μιγαδικά εκθετικά σήματα Αν ο εκθέτης είναι μιγαδικός αριθμός, δηλ. j και C = C e ϕ ϕ jϕ ( σ+ jω) x () = Ce e = cos( ω ϕ) sin( ω ϕ) σ σ = Ce + + jce + a= σ + jω σ, ω σ > Ce σ περιβάλλουσα (envelope) Ce σ σ < αποσβενόμενο ημιτονοειδές σήμα (damped sinusoid)
Σε διακριτό χρόνο: Ισοδύναμα: Εκθετικά σήματα (exponenial signals) n xn [ ] = Ca Ca, x[ n] = Ce β n Γενικά για σήματα/συστήματα / ή διακριτού χρόνου η πρώτη μορφή είναι πιο βολική Για Ca, a > < a < < a < a <
Φανταστικός εκθέτης: Εκθετικά σήματα (exponenial signals) x n e n j n jωn [ ] = = cos( ω ) + sin( ω ) Ημιτονοειδές σήμα σε διακριτό χρόνο: xn [ ] = Acos( ωn+ ϕ) Γενικά: Ca, jϕ C = C e a jω = a e ω, ϕ n n x[ n] = Ca = C a cos( ω n+ ϕ)+ j C a sin( ω n+ ϕ) n a > a <
Εκθετικά σήματα (exponenial signals) j Το εκθετικό σήμα συνεχούς χρόνου με φανταστικό εκθέτη x() = e ω είναι περιοδικό για κάθε τιμή του ω και η συχνότητά του αυξάνεται όσο αυξάνεται το ω j n Αντίθετα, το αντίστοιχο σήμα διακριτού χρόνου x[ n] = e ω : για ω +π (ή και γενικά ω ±nπ) είναι ακριβώς το ίδιο με αυτό που έχει συχνότητα ω. Η μέγιστη συχνότητα ταλάντωσης προκύπτει για ω =π είναι περιοδικό με περίοδο Ν μόνο για τιμές του ω για τις οποίες ω N = π m jω ( n + N ) j ωn j ωn καθώς πρέπει: e = e e = Με άλλα λόγια πρέπει το ω να είναι τέτοιο ώστε ο λόγος ω /π να είναι ρητός αριθμός