Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ, S. Marcus, Analiză matematică, vol. I (Ediţia a IV-a), Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1984. S. Chiriţă, Probleme de matematici superioare, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1989. B. P. Demidovici, Culegere de probleme şi exerciţii de analiză matematică, Editura Tehnică, Bucureşti, 1956. http://math.etc.tuiasi.ro/alazu/
Curs 1 Şiruri de numere reale
Definiţie Se numeşte şir de numere reale o funcţie f : N R. Pentru fiecare n N, valoarea funcţiei f în punctul n este x n, adică x n = f (n), n N. x 0, x 1, x 2,... se numesc termenii şirului f x n se numeşte termenul general al şirului f Un şir cu termenul general x n se va nota prin (x n ) n 0. Observaţie Dacă primii k termeni, x 0, x 1,..., x k 1, nu sunt definiţi, atunci vom nota şirul prin (x n ) n k.
Cum se poate defini un şir: precizând formula termenului general: (1) x n = n, n 0; (2) x n = 2n, n 0; { 1, n par (3) x n = 0, n impar. (4) x n = n n + 1, n 1.
Cum se poate defini un şir: definit prin intermediul unei recurenţe: (1) Fie a, r R. Şirul (x n ) n 0 definit prin relaţia de recurenţă x n+1 = x n + r, n 0, x 0 = a, se numeşte progresie aritmetică. Prin inducţie matematică se obţine formula termenului general al şirului: x n = a + nr, n 0.
Cum se poate defini un şir: (2) Fie b, q R. Şirul (x n ) n 0 definit prin relaţia de recurenţă x n+1 = x n q, n 0, x 0 = b, se numeşte progresie geometrică. Prin inducţie matematică se obţine formula termenului general al şirului: x n = bq n, n 0.
Şiruri mărginite Definiţie Spunem că un şir de numere reale (x n ) n 0 este: (i) mărginit inferior dacă există α R astfel încât α x n, n N; (ii) mărginit superior dacă există β R astfel încât x n β, n N; (iii) mărginit dacă există α, β R astfel încât α x n β, n N.
Observaţie Un şir (x n ) n 0 este mărginit dacă şi numai dacă există M > 0 astfel încât x n M, n N. Definiţie Spunem că un şir de numere reale este nemărginit dacă nu este mărginit. Exemplu (1) x n = ( 1) n, n N, este mărginit; (2) x n = sin n, n N, este mărginit; (3) x n = n, n N, este nemărginit; (4) x n = n, n N, este nemărginit; (5) x n = ( 1) n n, n N, este nemărginit.
Şiruri monotone Definiţie Spunem că un şir (x n ) n 0 este: (i) crescător dacă x n x n+1, n N; (i ) strict crescător dacă x n < x n+1, n N; (ii) descrescător dacă (ii ) strict descrescător dacă x n x n+1, n N; x n > x n+1, n N.
Şiruri monotone Definiţie Un şir (x n ) n 0 (strict) crescător sau (strict) descrescător se numeşte şir (strict) monoton. Observaţie Orice şir strict monoton este monoton, nu şi reciproc.
Cum studiem monotonia unui şir? fie studiem semnul diferenţei x n+1 x n : (a) dacă x n+1 x n 0 (x n+1 x n > 0), n N, atunci şirul (x n ) n 0 este crescător (respectiv strict crescător); (b) dacă x n+1 x n 0 (x n+1 x n < 0), n N, atunci şirul (x n ) n 0 este descrescător (respectiv strict descrescător).
Cum studiem monotonia unui şir? fie comparăm raportul x n+1 cu termeni strict pozitivi: x n cu 1, dacă (x n ) n 0 este un şir (a) dacă x n+1 1 ( x n+1 > 1), n N, atunci şirul (x n ) x n x n 0 n este crescător (respectiv strict crescător); (b) dacă x n+1 1 ( x n+1 < 1), n N, atunci şirul (x n ) x n x n 0 n este descrescător (respectiv strict descrescător).
Exemplu (1) Şirul x n = 2n + 1, n 0, este strict crescător. (2) Şirul x n = 1, n 1, este strict descrescător. n (3) Şirul x n = ( 1)n, n 1, nu este monoton. n
Legătura între monotonia şi mărginirea unui şir Există şiruri mărginite, care nu sunt monotone. De exemplu, şirul x n = ( 1) n, n 0. Există şiruri care sunt monotone, dar nu sunt mărginite. De exemplu, şirul x n = 2n + 1, n 0. Totuşi, (a) dacă şirul (x n ) n 0 este crescător, adică x 0 x 1 x 2... x n..., atunci x 0 x n, n N, deci (x n ) n 0 este mărginit inferior x 0 ; (b) dacă şirul (x n ) n 0 este descrescător, adică x 0 x 1 x 2... x n..., atunci x 0 x n, n N, deci (x n ) n 0 este mărginit superior de x.
Limita unui şir numeric Definiţie Fie x R fixat. Se numeşte vecinătate a punctului x orice mulţime V R care conţine un interval deschis centrat în x, adică există ε > 0 astfel încât (x ε, x + ε) V. Notăm V (x) = {V R, V vecinătate pentru x}.
Considerăm mulţimea R = R {, + } cu relaţia de ordine (care prelungeşte relaţia de ordine din R): < +, < x, x < +, pentru orice x R. Definiţie V este vecinătate pentru + dacă există α R astfel încât (α, + ] V. V este vecinătate pentru dacă există β R astfel încât [, b) V.
Definiţie Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale şi x R. Spunem că (x n ) n 0 are limita x dacă orice vecinătate a lui x conţine toţi termenii şirului, exceptând, eventual, un număr finit de termeni. Cu alte cuvinte, x este limita şirului (x n ) n 0 dacă:. V V (x) n V N a.i. x n V, n n V Notăm: lim x n = x sau x n x. n
Definiţie (i) Spunem că şirul (x n ) n 0 este convergent dacă are limită finită. Dacă x R şi lim n x n = x, atunci spunem că şirul (x n ) n 0 este convergent la x. (ii) Şirurile care nu au limită şi cele care au limita + sau se numesc divergente.
Exemple (1) Orice şir constant este convergent. (2) Şirul x n = 1, n 1, este convergent la 0. n (3) Şirul x n = n 2, n 0, este divergent (are limita + ). Observaţie x n x R x n x 0.
Proprietăţi ale şirurilor convergente Teoremă (unicitatea limitei) Dacă un şir de numere reale are limită, atunci aceasta este unică. Teoremă Prin adăugarea sau prin eliminarea unui număr finit de termeni: (i) un şir convergent rămâne convergent la aceeaşi limită; (ii) un şir divergent rămâne divergent.
Subşiruri ale unui şir Definiţie Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale şi (n k ) k 0 un şir strict crescător de numere naturale n 0 < n 1 < n 2 <... < n k <... Şirul (x nk ) k 0 (cu termenii x n0, x n1, x n2,..., x nk,...) se numeşte subşir al şirului (x n ) n 0. Exemplu Luând n k = 2k, k 0, se obţine subşirul (x 2k ) k 0 al termenilor de rang par şi pentru n k = 2k + 1, k 0, se obţine subşirul (x 2k+1 ) k 0 al termenilor de rang impar. Fie şirul x n = ( 1) n n, n 0
Exemplu Fie şirul x n = sin nπ 2, n 0. Determinaţi subşirurile (x 4k ) k 0, (x 4k+1 ) k 0, (x 4k+2 ) k 0, (x 4k+3 ) k 0.
Proprietăţi ale subşirurilor Proprietăţile de monotonie şi mărginire se transmit de la un şir către subşirurile sale. La fel proprietatea unui şir de a avea limită. Teoremă Fie (x n ) n 0 un şir de numere reale. Dacă (x n ) n 0 are limita x R, atunci orice subşir (x nk ) k 0 al său are, de asemenea, limita x. Prin urmare, orice subşir al unui şir convergent este şi el convergent.
Corolar Dacă un şir are două subşiruri convergente la limite diferite, atunci şirul nu are limită. Exemplu Şirul x n = ( 1) n, n 0, nu are limită. Exemplu Şirul x n = sin nπ, n 0, nu are limită. 2