1 ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / 010-11 ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές αικονίσις, Ααγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα 1 Έστω η γραμμική αικόνιση T : μ T ( 1,1) = (, 0) και ( 0,1) ( 1,1) T = (α) Βρίτ τον ίνακα της T, ως ρος την κανονική βάση του, 1 (β) Να αοδίξτ ότι ορίζται η αικόνιση T και να βρίτ τον ίνακά της ως ρος την κανονική βάση του (α) Έχουμ T( 1,1) = T( 1, 0) + T( 0,1) = T( e1) + T( e) και T( 0,1) = T( e ), έται ότι : T( e) = T( 0,1) = ( 1,1) και T( e1) = T( 1,1) T( e) = (, 0) ( 1,1) = (, ) Άρα ίναι: M T =, ως ρος την κανονική βάση του 1 1 (β) Ειδή ο ίνακας M T = ίναι αντιστρέψιμος ( det M T = 0 ), έχουμ: 1 1 = MT = MT, 1 οότ ορίζται η αντίστροφη αικόνιση της T και έχι ίνακα τον M T Θωρούμ την υθία : = t, = t, z = t, t και την αικόνιση T : ου αικονίζι κάθ σημίο του στην ορθή ροβοή του άνω στην υθία (i) Να βρθί ο τύος της T (ii) Να αοδίξτ ότι η T ίναι γραμμική και να βρίτ τον ίνακά της ως ρος την κανονική βάση του (iii) Να βρίτ μία βάση του υρήνα της T Είναι η T 1 1; (iv) Τι αριστάνι γωμτρικά ο υρήνας της T ; Το ίδο Π ου ρνάι αό το σημίο M ( αβγ,, ) και ίναι κάθτο ρος την υθία έχι ξίσωση ( r rm ) n= 0 ( ( z,, ) ( αβγ,, )) ( 1,,) = 0 + + z α β γ= 0 Το σημίο M 0( α0, β0, γ 0) ίναι η τομή του ιέδου Π μ την υθία, οότ για την ύρσή του ιύουμ το σύστημα = t, = t, z = t = t, = t, z = t α + β + γ + + z α β γ = 0 t = 14 Άρα ίναι T α + β + γ α + 4β + 6γ α + 6β + 9γ,, =,, 14 14 14 ( αβγ)
(ii) Η γραμμικότητα της T ροκύτι μ αή φαρμογή του ορισμού Ειέον έχουμ 1 T ( 1, 0, 0 ) =,, 14 14 14, 4 6 T ( 0,1,0 ) =,, 14 14 14 Ο 6 9 T ( 0,0,1 ) =,, 14 14 14, οότ θα έχουμ: M T 1 14 14 14 1 4 6 1 e = = 4 6 14 14 14 14 6 9 6 9 14 14 14 ( ) z Σχήμα 1 M ( α, βγ, ) M 0 (iii) = {( ) ( ) = ( )} = {( z,, ): + + z= 0,+ 4+ 6z= 0,+ 6+ 9z= 0} = {(, z, ) : + + z= 0 } = {( z,, ) : = z} = {( zz,, ): z, } = { (,1,0) + z(,0,1 ) : z, } = (,1,0 ),(,0,1) ker T z,, : T z,, 0,0,0 Ειδή τα διανύσματα (,1,0), (,0,1) ίναι γραμμικώς ανξάρτητα, αυτά αοτούν βάση του kert Άρα ίναι dim kert =, οότ kert {( 0,0,0) } και η T δν ίναι 1-1 (iv) Ο υρήνας της T ίναι το ίδο μ ξίσωση + + z = 0 ου ρνάι αό την αρχή των αξόνων και ίναι κάθτο ρος την υθία Η γραμμική αικόνιση f : αικονίζι κάθ r = ΟΜ = i+ j (, ) στο διάνυσμα f () r = ΟΜ = i+ j (, ), έτσι ώστ να ισχύουν: = k ΟΜ,ΟΜ = θ (σύνθση στροφής ομοιοθσίας) ΟΜ ΟΜ και ( ) (α) Να βρίτ τον ίνακά της ως ρος την κανονική βάση του και τον τύο της (β) Να αοδίξτ ότι η αικόνιση f ίναι σύνθση στροφής και ομοιοθσίας (α) Σύμφωνα μ την υόθση έχουμ: f () i = ( kcos θ, ksin θ), k > 0 και f ( j ) = ( ksin θ, kcos θ ), οότ ίναι: cosθ sinθ M f [ i, j ] = k sinθ cosθ Ο τύος της αικόνισης ίναι: cosθ sinθ kcosθ ksinθ f ( r) = k sinθ cosθ = ksinθ + kcosθ Ισοδύναμα, μορούμ να γράψουμ:
( ) = ( cosθ sin θ, sinθ + cos ) f r k k k k θ (β) Αρκί να αρατηρήσουμ ότι: cosθ sinθ k 0 cosθ sinθ M f [ i, j] = k sinθ cosθ = 0 k sinθ cos, θ δηαδή ίναι γινόμνο ίνακα ομοιοθσίας μ τον ίνακα στροφής 4 Η αικόνιση Ρ : αικονίζι κάθ σημίο M(, )του στην ροβοή του άνω στην υθία : r = t, t και = ( 1, ) 0 Αν r = i+ j ίναι το διάνυσμα θέσης του σημίου M (, ), τότ : Μ r (α) Να αοδίξτ ότι Ρ () r = Κ Ν (β) Να ροσδιορίστ, βάσι του ορισμού, τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής Σχήμα αικόνισης Ρ (α) Είναι r= OM = OK+ KM, OK =, οότ r = + KM r = KM, αφού Άρα ίναι r και P () r = r = = (β) P () r = r -r = 0 (1) Αν ίναι r, συγγραμμικά r = μ, μ *, τότ η (1)γίνται: ( μ μ) r=0 = 1, αφού ίναι 0και μ 0 Άρα ο = 1 ίναι ιδιοτιμή και το r= μ ίναι ιδιοδιάνυσμα της P Αν τα r, ίναι μη συγγραμμικά, τότ αό την (1) ροκύτι ότι : r = 0 και = 0 = 0 και r = 0 =0και r 5 Η αικόνιση S : αικονίζι κάθ σημίο M (, ) του στο συμμτρικό του ως ρος την υθία : t, t, 0 Αν r = i+ j ίναι το διάνυσμα θέσης του σημίου M (, ), τότ : r (α) Να αοδίξτ ότι S () r = r+ (β) Να ροσδιορίστ, βάσι του ορισμού, τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής αικόνισης S
4 (α) Έχουμ S () r + r = P () r S () r = r+ (β) S () r = r (1 + ) r+ = 0 () Αν r =μ, μ 0, τότ : () [ (1 + ) μ+ μ] =0 = 0 Άρα ο = 0 ίναι ιδιοτιμή και το r = μ, μ 0 ίναι ιδιοδιάνυσμα της S Αν r, μη συγγραμμικά, τότ () 1+ = 0 r = 0 = 1, r 6 Η αικόνιση Π : αικονίζι κάθ σημίο M ( z,, ) του στην ροβοή του άνω στο ίδο : rn = 0, n 0 Αν r = i+ j+ zk ίναι το διάνυσμα θέσης του σημίου M ( z,, ), τότ : rn (α) Να αοδίξτ ότι Π () r = r n (β) Να ροσδιορίστ, βάσι του ορισμού, τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής αικόνισης Π (α) Π ()+ r KM = r,όου KM = αn, α Άρα Π () r + αn= r, οότ Π (r) n + α n = r n Άρα ίναι α = r n n z n και Π (r) = r n r (β) Κ n Π (r) = r (1 ) r n=0 () Ο Αν r = μn, μ 0, τότ: () [( 1) μ+ μ] n=0 = 0 Αν rn, μη συγγραμμικά, τότ αό την () έται ότι = 1και r n=0 Σχήμα n 7 Να ροσδιορίστ τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματά τους των ινάκων: 1 0 1 1 1 A = 0 1 0, B= 0, Γ= 4 1 1 1 0 1 5 5 6 5 4 Να βρίτ οιοι αό τους ίνακς Α, Β και Γ διαγωνοοιούνται Έχουμ:, Α Ι = 0 (1 )[(1 ) 1] = 0 = 1ή = 0ή =
5 μ αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα = (1,0, 1), = (0,1,0), = (1,0,1) 1 0 ( 1) ( ) 0 1(διή) ή = Β Ι = = =, μ αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα 1 = (1, 0, 1), = (0,1, 1) και = (,1, 5) Γ Ι = 0 ( ) = 0 = (τριή), μ αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα = (0,1,1) Σχτικά μ το ρώτημα, αν διαγωνοοιούνται οι ίνακς Α, Β και Γ, έχουμ τα ξής: Οι ίνακς Α και Β διαγωνοοιούνται, νώ ο Γ όχι Ισχύουν: 1 0 0 0 1 1 P AP= diag(1, 0, ) = 0 0 0, P = 1 0 0 και 0 0 0 1 1 0 0 1 0 P BP= diag(1,1, ) = 0 1 0, μ P = 0 1 1, 0 0 5 νώ ο ίνακας Γ δν διαγωνοοιίται, αφού συνοικά αντιστοιχί σ αυτόν ένα γραμμικώς ανξάρτητο ιδιοδιάνυσμα