ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Η ύλη της εργασίας είναι οι ενότητες 5, 6 και 7 από τον Λογισµό µιας Μεταβλητής Η άσκηση αφορά στην έννοια της παραγώγου και τη γεωµετρική ερµηνεία της (παράγραφοι 5 και 5) I) ίνεται η συνάρτηση f ( ) sin(), +, < 0 0 Εξετάστε αν είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 (0 βαθµοί) II) ίνονται οι συναρτήσεις g( ) + 4 και h( ) Βρείτε τα σηµεία τοµής των γραφικών τους παραστάσεων είξτε ότι σε οποιοδήποτε σηµείο τοµής οι εφαπτόµενες ευθείες των δύο γραφικών παραστάσεων είναι µεταξύ τους κάθετες Η άσκηση αναφέρεται στις βασικές ιδιότητες της παραγώγου και τους κανόνες παραγώγισης (παράγραφος 5) Ι) Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων: α) + 7 8 β) y y sin( + cos( ) ) 5 γ) y ( )(7 + ) δ) (Υπόδειξη: Για την I β) χρησιµοποιήστε τον κανόνα της αλυσίδας) II) Εάν 0 να δείξετε ότι η συνάρτηση 4 + y y ικανοποιεί την εξίσωση y + y y 0

III) ίνεται η συνάρτηση y ( ) + + της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σηµείο (, ) Χωρίς να λύσετε τη σχέση αυτή ως προς βρείτε 6 d την παράγωγο της αντίστροφης συνάρτησης στο σηµείο y dy 6 (Υπόδειξη: είτε το παράδειγµα της σελίδας 79 του βιβλίου Λογισµός µιας Μεταβλητής) Το Θεώρηµα Μέσης Τιµής και τα επακόλουθά του (παράγραφοι 6 και 6) είναι τα σηµεία-κλειδιά της επόµενης άσκησης Ι) ίνεται η συνάρτηση f ( ) + Να δείξετε ότι η συνάρτηση f () ικανοποιεί τις συνθήκες του Θεωρήµατος της Μέσης Τιµής (ΘΜΤ) (σελ 88, Λογισµός µιας Μεταβλητής) σε οποιοδήποτε διάστηµα [ a,b] µε a < b Να βρεθούν οι τιµές του ξ για τις οποίες το ΘΜΤ ικανοποιείται στο διάστηµα [, ] ΙΙ) ίνεται η συνάρτηση f ( ) ln( + ) είξτε ότι η συνάρτηση αυτή έχει µια ρίζα στο διάστηµα [0, ] Προσεγγίστε τη ρίζα αυτή µε ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων (Υπόδειξη: είτε το παράδειγµα της σελίδας 94 του βιβλίου Λογισµός µιας Μεταβλητής Χρησιµοποιήστε λογαριθµικούς πίνακες ή υπολογιστή τσέπης που υπολογίζει φυσικούς λογαρίθµους) Στην άσκηση 4 εφαρµόζεται ο κανόνας L Hospital για τον υπολογισµό απροσδιόριστων µορφών 4 Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: α) γ) cos 0 ( + ) π β) [( ) tan ] ( π/) + δ) ( ) 0 sin Η Ενότητα 7 καλύπτει την ύλη στην οποία αναφέρονται οι επόµενες δύο ασκήσεις 5 Ι) Να βρεθούν τα διαστήµατα των τιµών του για τις οποίες η καµπύλη y 6 + 9 +

α) ανέρχεται, β) κατέρχεται, γ) είναι κοίλη προς τα κάτω, δ) είναι κοίλη προς τα πάνω Σχεδιάστε την καµπύλη και δείξτε τα σηµεία καµπής και τα σηµεία όπου η συνάρτηση έχει τοπικά µέγιστα και ελάχιστα e π ΙΙ) είξτε ότι π < e, όπου e,788 η βάση των φυσικών λογαρίθµων και π,459 ο λόγος της περιφέρειας κύκλου προς τη διάµετρό του ln (Υπόδειξη για το ΙΙ: Θεωρήστε τη συνάρτηση f ( ) και ελέγξτε τη µονοτονία της στο διάστηµα [ e, + ) ) 6 Ι) Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης y, > 0, που είναι πιο κοντά στο σηµείο (c, 0), όπου c > ΙΙ) Για να κατασκευαστεί ένα ανοικτό κουτί (δηλ χωρίς καπάκι) από ένα χαρτόνι διαστάσεων 6 cm µε 0 cm κόβουµε ένα µικρό τετράγωνο κοµµάτι από κάθε γωνία του Ποιο θα πρέπει να είναι το µέγεθος του τετραγώνου που θα κόψουµε από κάθε γωνία έτσι ώστε το κουτί που θα φτιάξουµε να έχει όσο το δυνατό µεγαλύτερο όγκο; (0 βαθµοί) Εκτός από τις ασκήσεις αυτοαξιολόγησης σας προτείνουµε να ασχοληθείτε και µε τις επόµενες ασκήσεις: ENOTHTA 5: Ασκήσεις,, 4, 5, 6, 8 και 9 (σελ 8-8) ΕΝΟΤΗΤΑ 6: Ασκήσεις έως 8 (σελ 0-0) ΕΝΟΤΗΤΑ 7: Ασκήσεις,,, 4, 5, 6 και 8 (σελ -4) ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 0 Ι) f ( 0) 0 + 0 0 f ( ) f (0) 0 0 sin() 0 sin() 0 f( ) f(0) + + + + + + 0 0 0 0 + + + + 0 + + 0 ( + + ) 0 + + 0+ +

Άρα υπάρχει η παράγωγος f (0) και f ( 0) 0 ΙΙ) Λύνουµε την εξίσωση + 4 και βρίσκουµε ή g( ) h() g() h() Άρα τα σηµεία τοµής είναι τα (, ) και (, ) Επίσης g ( ) και h ( ) Εποµένως g ( ), h( ), g ( ) και h ( ) Συνεπώς g ( ) h () και g ( ) h () Ι) α) + 7, β) ) y y cos( + cos( ) ) ( + cos( ) ( + cos( )) sin( )cos ( ) ( + cos( ) ) + cos( ) cos, + cos( ) + cos( ) γ) 5 5 y ( ) (7 + ) + ( )(7 + ) 5 4 ( 9 )(7 + ) + 5( ) 5 7 4 5 7 7 6 9 + 0 5 5 6 7 7 5 4 4 6 + 0 (4 + ) ( ) (4 + )( ) 8( ) (4 + ) δ) y ( ) ( ) 4 4 + + 6 ( ) ΙΙ) Έχουµε y και 0 y Άρα y + y y dy ΙΙΙ) + + Εποµένως y ( ) 0 Επειδή d ( ) 6 y () 6 y ( ) έπεται ότι 4

I) H συνάρτηση f ( ) + είναι συνεχής στο διάστηµα [,b ] για κάθε a < b ως πολυωνυµική Επίσης παραγωγίζεται στο ανοικτό a ( a, b) µε παράγωγο f ( ) Άρα ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήµατος µέσης τιµής Στο διάστηµα [, ] έχουµε f ( ) f () 7 f ( ξ) ξ 9 ξ ± Αλλά 7 ξ>0, οπότε ξ ΙΙ) f ( 0) 0 ln < 0 και f ( ) ln ( ln ) > 0 γιατί ln < < e Με βάση το θεώρηµα Βolzanno (ή µε βάση το θεώρηµα της σελ 58 και τα σχόλια που ακολουθούν) η συνάρτηση έχει µια τουλάχιστον ρίζα + στο διάστηµα [0, ] Ακόµη, f ( ) > 0, γιατί το + + τριώνυµο + έχει διακρίνουσα <0 Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεπώς έχει ακριβώς µία ρίζα στο διάστηµα [0, ] Η εξίσωση f ( ) ln( + ) 0 γράφεται ισοδύναµα g(), όπου g ( ) ln( + ) + Παρατηρούµε ότι g ( ) < για κάθε [0, ], γιατί + + ( ) 0 Θέτουµε 0 0, g( 0 ) ln() + 0, 5, g( ) ln((0,5) + ) + + 0,6, g( ) ln((0,6) + ) + 0, 659, 4 g( ) ln((0,659) + ) + 0,680, 5 g( 4) ln((0,680) + ) + 0,690, 5

) ln((0,690) + ) + 6 g( 5 από το y 0 Έχουµε y g( y 0 ) ln() + 0, 847, 0,695 Οι τιµές λοιπόν συγκεντρώνονται γύρω από το 0,69 Την ίδια προσέγγιση µπορούµε να επιτύχουµε αν ξεκινήσουµε y g( y) ln((0,847) + ) + 0,770, y g( y) ln((0,770) + ) + 0,7, y 4 g( y) ln((0,7) + ) + 0,75, y 5 g( y4) ln((0,75) + ) + 0,706, y 6 g( y5) ln((0,706) + ) + 0,70, y 7 g( y6) ln((0,70) + ) + 0,700, y 8 g( y7) ln((0,700) + ) + 0,699 κλπ cos (cos ) sin (sin ) 4 (α) 0 0 ( ) 0 0 ( ) cos 0 π π ( ) π (β) [( ) tan ] ( π/) ( π/) ( π/) ( ) tan tan ( π/) ( π/) (tan ) tan sin ( π/) cos tan ( π/) (cos ( + ) + ( ( + ) + ) (γ) ( ) tan ) 6

+ 4 + 4 sin ( sin ) cos (δ) ( ) sin sin ( sin ) sin + cos 0 0 0 0 0 ( cos ) (sin + cos ) 0 sin cos sin 0 0 0 5 I) Έχουµε y + 9 ( )( ) Άρα y > 0 αν < ή > και y < 0 για < < Εποµένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήµατα (, ] και [, + ) και γνησίως φθίνουσα στο [, ] Στο παρουσιάζει τοπικό µέγιστο y ( ) 5 και στο τοπικό ελάχιστο y( ) Επίσης y 6 6( ) Άρα η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω στο διάστηµα (, ] και προς τα άνω στο διάστηµα [, + ) Το σηµείο (, ) είναι σηµείο καµπής Τα παραπάνω περιγράφονται στον ακόλουθο πίνακα: H γραφική παράσταση της συνάρτησης είναι η ακόλουθη: 7

II) Θεωρούµε τη συνάρτηση µε τύπο Παρατηρούµε ότι γνησίως φθίνουσα Άρα ln f ( ) στο διάστηµα [ e, + ) ln f ( ) < 0 για κάθε [ e, + ) Εποµένως η f είναι lne ln π π e ln π e f ( e) > f ( π) > π > eln π e < e π e π 6 Ι) Το τετράγωνο της απόστασης του σηµείου (c, 0) από το σηµείο (, ) είναι f ( ) ( c ) + ( ) + ( c) + c Έχουµε f ( ) c + και f ( ) >0 f ( ) c + 0 c Επειδή f ( ) > 0 η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο στο c Το ζητούµενο σηµείο είναι το ( c, c ) και η ελάχιστη απόσταση είναι 4 c ΙΙ) Αφού κόβουµε ένα µικρό τετράγωνο κοµµάτι πλευράς από κάθε γωνία του παραλληλογράµµου η κάθε πλευρά του θα είναι 0 και 6 αντίστοιχα Ο όγκος του κουτιού λοιπόν θα είναι 8

V ( 6 )(0 ) 480 9 + 4 Η µεταβλητή όµως έχει κάποιους περιορισµούς ηλαδή: εν µπορεί να είναι αρνητική Επειδή το πλάτος του χαρτονιού είναι 6cm δεν µπορεί να ξεπερνά τα 8cm Έτσι, 0 8 dv d 480 84 + 4( )( 0) 0 Άρα ή Η σωστή τιµή του είναι η Άρα ο όγκος του κουτιού είναι 0 0 αφού βρίσκεται στο διάστηµα [0,8] 9600 V cm 76cm 7 9