ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα: f( ) f( ) 0 lim = λ 0 0 f( 0 + ) f( 0) lim 0 = λ, 0 + A Το µοναδικό αυτό όριο (αν υπάρχει), καλείται παράγωγος της f στο σηµείο 0 και συµβολίζεται µε f ( 0 ) Eφόσον η παράγωγος συνάρτησης είναι ένα όριο µπορούµε να ορίσουµε τα πλευρικά όρια και έχουµε: Ορισµός 31 Εστω f : A f( A), A, f( A) και 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη από δεξιά (αντ από αριστερά) του σηµείου 0 εάν υπάρχει λ : f( 0 + ) f( 0) f( 0 + ) f( 0) lim + = λ, αντ lim λ 0 = 0 Τa παραπάνω όριa (αν υπάρχoυν), καλούνται παράγωγος της f εκ δεξιών (αντ εξ αριστερών) f ( ) αντ f ( ) Προφανώς: του σηµείου 0 και συµβολίζονται µε ( ) + 0 0 f παραγωγισιµη στο f ( ) = f ( ) = f ( ) 0 0 + 0 0 Σηµείωση 1 Αν οι παράγωγοι εκ δεξιών και εξ αριστερών της f στο 0 υπάρχουν αλλά είναι διαφορετικές µεταξύ τους, ή αν κάποια από αυτές (ή και οι δύο) δεν υπάρχει (δεν υπάρχουν) τότε θα λέµε ότι η f δεν είναι παραγωγίσιµη στο 0 Είναι δυνατόν µία συνάρτηση να µην είναι παραγωγίσιµη σε κανένα σηµείο του πεδίου ορισµού της Πρόταση 311 Αν η f : A f( A), A, f( A) είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 Α τότε η f είναι συνεχής στο 0 f( ) f( ) f( ) f( ) = f ( ) 0= 0, 0 Απόδ ( ) 0 άρα f ( ) f( ) 0 0 0 0 0 0 41

Σηµείωση Το αντίστροφο της Πρότασης 311 δεν ισχύει Για παράδειγµα η συνάρτηση f() = είναι συνεχής στο αλλά δεν είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 = 0 Πράγµατι: ενώ f(0 + ) f(0) lim + = lim + = 1, 0 0 f(0 + ) f(0) lim = lim + = 1 0 0 Εφόσον τα πλευρικά όρια στο σηµείο 0 = 0 είναι διαφορετικά µεταξύ τους η f() δεν είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 = 0 Ορισµός 313 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω ότι η f είναι παραγωγίσιµη σε κάθε σηµείο του Α Τότε ορίζεται η συνάρτηση g = f : A : g( ) = f ( ), η οποία καλείται παράγωγος συνάρτηση της f Eάν υπάρχει η g, τότε λέµε ότι η f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο Α και γράφουµε g ( ) = f ( ) Γενικά χρησιµοποιούµε το συµβολισµό k ( k ) d f( ) f ( ) = k d για να δηλώσουµε την k-παράγωγο µιας συνάρτησης f Aν η f έχει άπειρες παραγώγους, τότε λέµε ότι είναι απειροδιαφορίσιµη (ή λεία) συνάρτηση 3 Γεωµετρική και φυσική ερµηνεία της παραγώγου Εστω f : A f( A), A, f( A) και η f είναι παραγωγίσιµη σε σηµείο Eστω + Α και P(,f()), Q(+,f(+)) είναι σηµεία της γραφικής παράστασης της f (βλέπε σχήµα 31) Σχήµα 31 Το ευθύγραµµο τµήµα PQ έχει κλίση ίση µε: f ( + ) f( ) εφ( θ ( )) =, 4

όπου θ είναι η γωνία που σχηµατίζει το ευθύγραµµο τµήµα PQ µε τον άξονα H εξίσωση της ευθείας γραµµής που ορίζουν τα σηµεία P,Q είναι η ακόλουθη: y f( ) = εφ( θ( )) ( ) 0 0 H oριακή θέση του ευθυγράµµου τµήµατος PQ όταν Q P κατά µήκος της καµπύλης που ορίζει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f() καλείται εφαπτόµενη της γραφικής παράστασης της f() στο σηµείο Όταν όµως Q P κατά µήκος αυτής της καµπύλης τότε 0, συνεπώς αν ω είναι η γωνία που σχηµατίζει η εφαπτόµενη ευθεία στη γραφική παράσταση της f() στο σηµείο µε τον άξονα, έχουµε: f( + ) f( ) lim 0 = lim 0εφ( θ( )) = εφ( lim 0θ( ) ) = εφω, δηλαδή: f ( ) = εφω 0 Κατ επέκταση, η εξίσωση της εφαπτόµενης ευθείας στη γραφική παράσταση της f() στο σηµείο 0 γίνεται: y f( ) = f ( ) ( ) (31) 0 0 0 ιαφορικό συνάρτησης Από τον ορισµό της παραγώγου έχουµε: f( + ) f( ) = f ( ) + ε ( ), οπου ε ( ) 0 οταν 0 Aν θέσουµε y = f(), ==(+)- και y=f(+) f(), τότε η παραπάνω γίνεται: y = f ( ) + ε ( ), οπου ε ( ) 0 οταν 0 O όρος f ( ) καλείται διαφορικό της y ως προς και συµβολίζεται µε dy ηλαδή: dy = df ( ) = f ( ) Aν µάλιστα θεωρήσουµε τη συνάρτηση f() =, τότε f () = 1, άρα dy = d =, oπότε: dy = df ( ) = f ( ) d, απ όπου δικαιολογείται και ο συµβολισµός της παραγώγου έχουµε: f ( ) = dy Τελικά λοιπόν d y = dy+ ε ( ), οπου ε ( ) 0 οταν 0, 43

δηλαδή το διαφορικό dy είναι µία προσέγγιση της µεταβολής y µε την έννοια ότι η διαφορά τους γίνεται όσο µικρή θέλουµε για αρκετά µικρό Μία συνάρτηση f() για την οποία ορίζεται το διαφορικό της σ ένα σηµείο λέµε ότι είναι διαφορίσιµη στο και αυτό είναι ισοδύναµο µε το να είναι η f παραγωγίσιµη στο µε πεπερασµένη παράγωγο Αν υπάρχει η f ( ) (και θεωρήσουµε ότι η ποσότητα d είναι σταθερή συνεπώς ανεξάρτητη του ), τότε ( ) ( ) ( ) ( ) d f( ) d df( ) d f ( ) d d f ( ) d f ( ) d d f ( ) d = = = = = Η ποσότητα d f( ) καλείται διαφορικό ης τάξης της συνάρτησης f Εάν ορίσουµε d ( d) =, τότε από η παραπάνω ισότητα γίνεται Γενικεύοντας παίρνουµε 33 Iδιότητες της παραγώγου d f( ) ( ) = ( ) ( ) = d d f f d f k ( k ) d f( ) f ( ) = k d Πρόταση 331 Εστω f, g: A f( A), A, f( A) είναι παραγωγίσιµες συναρτήσεις στο σηµείο 0 Α, και α, τότε oι συναρτήσεις αf, f+g, fg, f/g (g( 0 ) 0) είναι παραγωγίσιµες στο σηµείο 0 Α και ( af ) ( 0) = af ( 0) ( f ± g) ( 0) = f ( 0) ± g ( 0) ( fg) ( 0) = f ( 0) g( 0) + f( 0) g ( 0) f f ( ) g( ) f( ) g ( ) ( ) = g 0 0 0 0 0 ( g ( 0) ) Απόδ Εφαρµογή του ορισµού Ενδεικτικά θα αποδείξουµε την ισότητα για την παράγωγο γινοµένου ( fg) ( ) ( ) fg ( 0 + ) fg ( 0) f ( 0 + ) g( 0 + ) f( 0) g( 0) ( 0) = lim 0 = lim 0 44

( ( + ) ( )) ( + ) + ( )( ( + ) ( )) f f g f g g = lim 0 0 0 0 0 0 0 ( f( + ) f( )) ( g( + ) g( )) 0 0 0 0 = lim 0 g( 0 + ) + lim 0 f ( 0) = f ( )lim g( + ) + g ( ) f ( ) = f ( ) g( ) + g ( ) f ( ), 0 0 0 0 0 0 0 0 0 λόγω συνεχείας της συνάρτησης g() Oµοια αποδεικνύονται και οι υπόλοιπες ιδιότητες Σηµείωση 3 H Πρόταση 331 ισχύει και για το διαφορικό συναρτήσεων Πόρισµα 331 (Leibnitz) Eστω f, g: A f( A), A, f( A) είναι n-φορές παραγωγίσιµες συναρτήσεις στο σηµείο 0 Α, τότε: Aπόδ Επαγωγικά n n n n! fg ( 0) = f ( 0) g ( 0), οπου = k = 0 k k k!( n k)! ( ) ( n ) ( n k) ( k) Πρόταση 33 (Κανόνας αλυσίδας) Εστω f : I J είναι συνάρτηση παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 Ι και g: J είναι συνάρτηση παραγωγίσιµη στο σηµείο f( 0 ) J, όπου I, J Τότε και η σύνθετη συνάρτηση ( g f )( ) είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 Ι και ισχύει: g f ( ) g f( ) f ( ) ( ) = ( ) 0 0 0 Πρόταση 333 (Παραγώγιση αντίστροφης συνάρτησης) Εστω f : I είναι συνεχής και γνησίως µονότονη συνάρτηση σε διάστηµα Ι, 0 I, υπάρχει η f ( 0 ) και ισχύει f ( 0 ) 0 1 Τότε η αντίστροφη συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο y0 = f( 0) και ισχύει: 1 ( f ) 1 ( y0) = f ( ) Παράδειγµα 1 Να δειχθεί ότι για το πρωτεύων τόξο ηµιτόνου ισχύει 1 τοξηµ =, ( 1,1) 1 ( ) Εχουµε: y = τοξηµ = ηµ y, y (-π/,π/), άρα: 0 ( τοξηµ ) 1 1 1 1 = = = = συν y 1 ηµ y 1 ( ηµ y), 45

εφόσον συνy > 0 όταν y (-π/,π/) Πίνακας παραγώγων βασικών συναρτήσεων f() f () f() = c, c=σταθερά f () = 0 f() = a, a f () = a a-1, a f() = e f () = e f() = ln, > 0 f () = 1/ f() = a, a>0 f () = a lna f() = ηµ f () = συν f() = συν f () = -ηµ f() = εφ f () = 1/συν f() = σφ f () = -1/ηµ f() = sin f () = cos f() = cos f () = sin f() = τοξηµ, (-1,1) f () = 1/ 1 f() =τοξσυν, (-1,1) f () = -1/ 1 f() =τοξεφ f () = 1/ ( 1+ ) Πρόταση 334 (Κανόνας L Hospital) Εστω ότι οι συναρτήσεις f, g: I είναι συνεχείς στο ανοικτό διάστηµα Ι, ο πραγµατικός αριθµός α είναι ένα άκρο του Ι και έστω ή lim f( ) = lim g( ) = 0, a a lim f( ) = lim g( ) =± a a Αν οι f ( ), g ( ) υπάρχουν σε όλα τα σηµεία του Ι, g ( ) 0, g ( ) 0 σε κάθε σηµείο του Ι f ( ) και αν το όριο lim a είναι πραγµατικός αριθµός ή το ±, τότε: g ( ) lim f ( ) ( ) lim f = g ( ) g ( ) a a Σηµείωση 4 Αν ή lim f ( ) = lim g ( ) = 0, a a lim f ( ) = lim g ( ) =±, a a και όλες οι υπόλοιπες προϋποθέσεις του κανόνα L Hospital ικανοποιούνται, τότε αν f ( ) υπάρχουν οι f ( ), g ( ) και επιπλέον αν το lim a είναι πραγµατικός αριθµός ή το g ( ) ±, τότε: 46

f ( ) f ( ) f ( ) lim lim lim = a ( ) = g a g( ) a g ( ) Σηµείωση 5 Μπορεί να µην υπάρχει το όριο f ( ) lim a g ( ) lim a f ( ) g ( ) αλλά να υπάρχει το όριο 34 Εφαρµογές της παραγώγου Ορισµός 341 Εστω A και f : A f( A) Θα λέµε ότι η f έχει τοπικό µέγιστο (αντ τοπικό ελάχιστο) στο σηµείο ξ Α, εάν υπάρχει ε>0 έτσι ώστε να ισχύει f ( ) f( ξ ) (αντ f ( ) f( ξ ) ) για κάθε π ( ξ ) A O αριθµός ξ καλείται τοπικό ακρότατο της f ε Θεώρηµα 341 (Fermat) Αν η f :( a, b) έχει τοπικό ακρότατο στο σηµείο ( ab, ) είναι παραγωγίσιµη στο ξ τότε f ( ξ ) = 0 ξ και Απόδ Ισχύει f ( ξ ) = f + ( ξ) = f ( ξ) Χωρίς περιορισµό της γενικότητας υποθέτουµε ότι το σηµείο ξ Α είναι τοπικό µέγιστο της f Τότε σε µία περιοχή του σηµείου ξ, ενώ f( ξ + ) f( ξ ) f + ( ξ ) = lim + 0 0 f( ξ + ) f( ξ ) f ( ξ ) = lim 0 0 σε µία περιοχή του σηµείου ξ, δηλαδή f ( ξ ) = f ( ξ) = f ( ξ) = 0 + Το Θεώρηµα Fermat υπονοεί ότι όταν αναζητούµε τοπικά ακρότατα µιας παραγωγίσιµης συνάρτησης σε ανοικτό διάστηµα τότε τα πιθανά σηµεία είναι εκείνα στα οποία µηδενίζεται η 1 η παράγωγος Τα σηµεία όπου δεν υπάρχει η παράγωγος Σηµείωση 6 Το αντίστροφο του Θεωρήµατος 341 δεν ισχύει Για παράδειγµα η συνάρτηση 3 f :( 1,1), f( ) = ικανοποιεί την f (0) = 0, αλλά δεν έχει τοπικό ακρότατο στο σηµείο ξ = 0 Θεώρηµα 34 (Rolle) Eστω α,b, α<b και f :[ a, b] Αν (i) η f είναι συνεχής στο [α,b], 47

(ii) η f είναι παραγωγίσιµη στο (α,b) και (iii) f (α) = f (b), τότε υπάρχει ξ (α,b) έτσι ώστε f ( ξ ) = 0 Απόδ Αν η f είναι σταθερά τότε κάθε ξ (α,b) ικανοποιεί την f ( ξ ) = 0 Χωρίς περιορισµό της γενικότητας υποθέτουµε ότι f ( 0 ) > f( a) για κάποιο 0 [ ab, ] Λόγω συνεχείας της f υπάρχει ξ [α,b] τέτοιο ώστε f ( ) f( ξ ) για κάθε [ ab, ] Τότε f ( ξ ) f( 0 ) > f( a) = f( b), όπου ξ (α,b) Αφού η f έχει τοπικό ακρότατο στο (α,b) από το Θεώρηµα του Fermat προκύπτει ότι f ( ξ ) = 0 Θεώρηµα 343 (Γενικευµένο Θεώρηµα µέσης Τιµής του Caucy) Eστω f, g:[ a, b] είναι συνεχείς στο [α,b] και παραγωγίσιµες στο (α,b) Τότε υπάρχει ξ (α,b) έτσι ώστε ( ) ξ ( ) Aπόδ Η συνάρτηση F:[ a, b] µε τύπο ικανοποιεί το Θεώρηµα του Rolle f( b) f( a) g ( ) = g( b) g( a) f ( ξ ) ( ) ( ) F( ) = f( b) f( a) g( ) g( b) g( a) f( ) Πόρισµα 34 (Θεώρηµα µέσης Τιµής) Eστω f :[ a, b] συνεχής στο [α,b] και παραγωγίσιµη στο (α,b) Τότε υπάρχει ξ (α,b) έτσι ώστε f ( b) f( a) = f ( ξ ) ( b a) Aπόδ Παίρνουµε g() = και εφαρµόζουµε το γενικευµένο Θεώρηµα µέσης τιµής του Caucy Πόρισµα 343 (i) Αν f ( ) = 0 ( a, b) τότε f ( ) = c [ a, b] (ii) Αν f ( ) 0 ( a, b) τότε η f είναι αύξουσα στο [ ab, ] (iii) Αν f ( ) 0 ( a, b) τότε η f είναι φθίνουσα στο [ ab, ] (iv) Αν f ( ) > 0 ( a, b) τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο [ ab, ] (iii) Αν f ( ) < 0 ( a, b) τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [ ab, ] Aπόδ Εστω a 1 < b, τότε εφαρµόζουµε το Θεώρηµα µέσης τιµής στον περιορισµό της f στο διάστηµα [ 1, ] Θεώρηµα 344 (Ενδιαµέσων τιµών) Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο κλειστό διάστηµα [α,b], α<b µε f (α) f (b), τότε η f ( ) παίρνει οποιαδήποτε τιµή µεταξύ των τιµών f ( a), f ( b) Πόρισµα 344 Eστω f :[ a, b] παραγωγίσιµη στο [α,b] µε f ( ) 0 για κάθε [ ab, ], τότε η f είναι γνησίως µονότονη 48

Πρόταση 341 Eστω f :[ a, b] συνεχής στο [α,b] και παραγωγίσιµη στο (α,b) Αν f ( ξ ) = 0 και αν υπάρχει η f ( ξ ) στο (α,b), τότε (i) αν f ( ξ ) > 0 τότε η f εχει τοπικο ελαχιστο στο σηµειο ξ, (ii) αν f ( ξ ) < 0 τότε η f εχει τοπικο µεγιστο στο σηµειο ξ Aπόδ Χωρίς περιορισµό της γενικότητας υποθέτουµε ότι f ( ξ ) > 0, τότε: f ( ξ + ) f ( ξ) f ( ξ + ) f ( ξ ) > 0 lim 0 > 0 lim 0 > 0, άρα υπάρχει δ>0 έτσι ώστε f ( ξ + ) > 0, ( ξ δξ, + δ) Εστω < δ, τότε ( ξ, ξ + δ) θα ισχύει f ( ξ + ) > 0 για > 0, ενώ για ( ξ δξ, ) θα ισχύει f ( ξ + ) < 0 για < 0, άρα το ξ είναι τοπικό ελάχιστο Οµοίως αποδεικνύεται και η (ii) Σηµείωση 7 Για το αντίστροφο της Πρότασης 341 ισχύει: (i) (ii) Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο σηµείο ξ και έχει τοπικό ελάχιστο στο ξ τότε f ( ξ ) 0 Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο σηµείο ξ και έχει τοπικό µέγιστο στο ξ τότε f ( ξ ) 0 Γενικότερα ισχύει η ακόλουθη: Πρόταση 34 Eστω f :[ a, b] είναι n-φορές παραγωγίσιµη στο σηµείο ξ (α,b) Αν ( n 1) ( n) f( ξ) = f ( ξ) = = f ( ξ) = 0, f ( ξ) 0, τότε ( n) (i) αν n = άρτιος τότε η f εχει τοπικο ελαχιστο στο σηµειο ξ αν f ( ξ ) > 0, ενώ η f έχει ( n τοπικό µέγιστο στο σηµείο ξ αν f ) ( ξ ) < 0 (ii) αν n = περιττός τότε η f δεν εχει τοπικο ακροτατο στο σηµειο ξ Ορισµός 343 Εστω Ι είναι ένα διάστηµα της πραγµατικής ευθείας Μία συνάρτηση f : Ι καλείται κυρτή στο Ι αν 1, I και για κάθε t [0,1] ισχύει Aν ισχύει (( ) ) ( ) f 1 t + t 1 t f( ) + tf( ) 1 1 (( ) ) ( ) f 1 t + t 1 t f( ) + tf( ), 1 1 49

τότε η f καλείται κοίλη Ο παραπάνω ορισµός υπονοεί ότι αν η συνάρτηση f είναι κυρτή (αντ κοίλη), τότε η χορδή που ενώνει δύο οποιαδήποτε σηµεία P( 1,f( 1 )), Q(,f( )) της γραφικής παράστασης της f βρίσκεται πάνω (αντ κάτω) από το γράφηµα της f Πρόταση 343 Μία συνάρτηση f : Ι είναι κυρτή στο διάστηµα Ι αν και µόνον αν 1,, 3 I µε 1 < < 3 ισχύει f( ) f( 1) f ( 3) f( ) 1 3 3 1 Απόδ Εφαρµογή του ορισµού κυρτότητας για = + 1 3 3 1 3 1 Πρόταση 344 Εστω f : Ι είναι κυρτή στο ανοικτό διάστηµα Ι, τότε: (i) υπάρχουν οι πλευρικές παράγωγοι f ( ), f + ( ) για κάθε I, (ii) η f είναι συνεχής στο Ι Πρόταση 345 Εστω f : Ι παραγωγίσιµη στο ανοικτό διάστηµα Ι, τότε: (i) f κυρτη στο Ι f ( ) ειναι αυξουσα στο Ι, (ii) f κοιλη στο Ι f ( ) ειναι φθινουσα στο Ι Θα λέµε ότι το ξ είναι σηµείο καµπής της f εάν υπάρχει δ > 0 έτσι ώστε η f να είναι κυρτή (ή κοίλη) στο ανοικτό διάστηµα ( ξ δξ, ) και κοίλη (ή κυρτή) στο ανοικτό διάστηµα ( ξ, ξ + δ) Ορισµός 344 Εστω f :( a, b) και ξ ( ab, ) Πρόταση 346 Aν η f είναι ορισµένη σε διάστηµα ( ab, ), το σηµείο ξ ( ab, ) είναι σηµείο καµπής της f και η f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο σηµείο ξ τότε f ( ξ ) = 0 Απόδ Όπως στο θεώρηµα του Fermat H Πρόταση 346 µας λέει ότι όταν αναζητούµε σηµεία καµπής µιας φορές παραγωγίσιµης συνάρτησης σε ανοικτό διάστηµα, τότε τα πιθανά σηµεία είναι εκείνα στα οποία µηδενίζεται η η παράγωγος Σηµείωση 8 Το αντίστροφο της Πρότασης 346 δεν ισχύει Για παράδειγµα η συνάρτηση 4 f ( ) = ικανοποιεί την f (0) = 0, αλλά το σηµείο ξ = 0 δεν είναι σηµείο καµπής της f Γενικότερα ισχύει η ακόλουθη: Πρόταση 347 Eστω f :[ a, b] R n-φορές παραγωγίσιµη στο σηµείο ξ (α,b) Αν ( n 1) ( n) f ( ξ) = = f ( ξ) = 0, f ( ξ) 0, τότε 50

( n) (i) αν n = άρτιος, η f ειναι κυρτη σε µια περιοχη του σηµειου ξ αν f ( ξ ) > 0, ενώ ( n) η f ειναι κοιλη σε µια περιοχη του σηµειου ξ αν f ( ξ ) < 0, (ii) αν n = περιττός, τότε το ξ είναι σηµείο καµπής 35 Μελέτη και γραφική παράσταση συνάρτησης Ορισµός 351 Εστω f : Α, Α Μία ευθεία L µε εξίσωση y = a + b καλείται ασύµπτωτη στη γραφική παράσταση της καµπύλης µε εξίσωση z = f() στο σηµείο 0, αν η απόσταση µεταξύ των σηµείων της ευθείας και των αντιστοίχων σηµείων της καµπύλης τείνει στο µηδέν όταν το 0, δηλαδή: f ( ) ( a+ b) 0, 0 Eστω 0 = + Tότε f( ) b f( ) ( a + b) 0, + a 0, + +, δηλαδή: συνεπώς Εχουµε λοιπόν: f( ) lim + = a, ( ) lim + f ( ) a = b Πρόταση 351 Η ευθεία µε εξίσωση y = a + b είναι ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της καµπύλης µε εξίσωση z = f() στο + αν και µόνον αν f( ) lim + = a και lim + ( f ( ) a) = b Εάν α 0, τότε η ασύµπτωτη καλείται πλάγια ασύµπτωτη Εάν α=0, τότε η ασύµπτωτη καλείται οριζόντια ασύµπτωτη Η ευθεία = 0 καλείται κατακόρυφη ασύµπτωτη της καµπύλης Γ, αν υπάρχει µία τουλάχιστον από τις οριακές τιµές f+ ( 0), f ( 0) και είναι + ή - Οι κατακόρυφες ασύµπτωτες πρέπει να αναζητηθούν σε σηµεία όπου η f δεν είναι συνεχής και σε σηµεία συσσώρευσης που δεν ανήκουν στο πεδίο ορισµού Οµοίως εργαζόµαστε για τις ασύµπτωτες όταν Για τη µελέτη και τη γραφική παράσταση συνάρτησης τα βήµατα που συνήθως ακολουθούµε είναι: 51

(i) εύρεση πεδίου ορισµού της συνάρτησης f, (ii) (iii) (iv) (v) εύρεση συµµετριών της συνάρτησής µας (αν υπάρχουν), δηλαδή αν είναι άρτια, ή περιττή, ή περιοδική, καθορίζουµε τα σηµεία ασυνέχειας της συνάρτησής µας και τα σηµεία όπου η συνάρτησή µας δεν είναι παραγωγίσιµη, διαχωρίζοντας εκείνα τα σηµεία όπου η παράγωγος απειρίζεται, από εκείνα τα σηµεία στα οποία υπάρχουν οι πλευρικές παράγωγοι και είναι πεπερασµένες και διαφορετικές Μελετούµε τη συµπεριφορά της συνάρτησης στα άκρα του πεδίου ορισµού Καθορίζουµε τις ασύµπτωτες, αν υπάρχουν (vi) Προσδιορίζουµε το πρόσηµο της 1 ης παραγώγου για να εντοπίσουµε τα διαστήµατα µονοτονίας της συνάρτησης και τα πιθανά ακρότατα (vii) Προσδιορίζουµε το πρόσηµο της ης παραγώγου για να εντοπίσουµε τα διαστήµατα όπου η συνάρτησή µας είναι κυρτή ή κοίλη καθώς επίσης και τα πιθανά σηµεία καµπής (viii) Σχεδιάζουµε 5

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ e 1 Να υπολογισθεί η παράγωγος της συνάρτησης f ( ) = e e e e e e e e e e e e f ( ) = e = e e = e e e = e e e Λύση ( ) ( ) ( ) e ηµ 1, 0 είξτε ότι η συνάρτηση f( ) = 0 = 0 f ( ) δεν είναι συνεχής στο είναι παραγωγίσιµη στο, αλλά η Λύση Για 0 έχουµε: Eπίσης: 1 1 f ( ) = ηµ συν 1 ηµ 1 f (0) = lim 0 = lim 0 ηµ 0 = Aρα: 1 1 ηµ συν, 0 f( ) = 0 = 0 Tώρα: 1 lim 0 ηµ 0 = (κριτήριο παρεµβολής) αλλά lim 1 0 συν δεν υπάρχει (βλέπε Κεφ όρια συναρτήσεων) Eποµένως το lim 0 f ( ) δεν υπάρχει, άρα η f ( ) δεν είναι συνεχής στο = 0 Προφανώς για κάθε 0 η f ( ) είναι συνεχής 53

54

55

56

57

58

19 Υπολογίστε το όριο a 1 a lim + +, a> 0 Λύση a a a 1 a 1+ lim + + = lim + 1 1 + 59

a a 1 1 1 1 a + + = lim = lim = lim 1 + a 0 + + a 0 1+ 1+ 0 είξτε ότι αν p > 1 τότε ( ) p + a > =, a = 0 0< a < p + 1 > + 1, 0 Λύση Θεωρούµε τη συνάρτηση ( ) p p f( ) = + 1 1, 0 Τότε: p 1 p 1 (( ) ) f ( ) = p + 1 > 0 για κάθε 0 (διότι p > 1) Αρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0,+ ) και συνεχής στο [0,+ ) Εποµένως για κάθε 0 έχουµε: p p ( ) ( ) p 0 = f(0) < f( ) = 1+ 1 1+ > + 1 p 1 Να γίνει η µελέτη και η γραφική παράσταση της συνάρτησης: f( ) =, > 0 Λύση: Eχουµε f() > 0 για κάθε > 0 Συµµετρίες: εν υπάρχουν Ασύµπτωτες: lim + f( ) = 1, lim ( ), 0 + f = + άρα δεν υπάρχουν ασύµπτωτες < 0 0< < 1/ e f ( ) = 1+ ln = = 0, = 1/ e > 0 > 1/ e 1 η παράγωγος: ( ) f ( ) 1 = + 1+ ln > 0 η παράγωγος: ( ) 60

Πίνακας (0,1/e) (1/e,+ ) f() + + f () - + f γνησίως φθίνουσα f γνησίως αύξουσα f () + + f κυρτή f κυρτή Γραφική παράσταση y'y fhl= 5 4 3 1 05 1 15 5 3 ' Υπολογίστε τη η παράγωγο της συνάρτησης y = f() που δίνεται σε παραµετρική µορφή 3 = a() t = t + t, y = b() t = t, t t [0,1] Σχεδιάστε την καµπύλη Λύση Παρατηρούµε ότι a () t = t+ 3t 0για κάθε t [0,1], άρα η = a(t) είναι γνησίως αύξουσα, άρα υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση t=a -1 () και συνεπώς η καµπύλη σε παραµετρική µορφή ορίζει µία συνάρτηση y=f() Eφόσον η y=f() µπορεί να γραφεί ως b(t) =f(a(t)) παραγωγίζοντας ως προς t παίρνουµε b () t = f ( a() t ) a () t b () t = f ( ) a () t b t f ( ) = a t Επίσης: ( ) ( ) ( )( ) ( ) b () t = f a() t a () t a () t + f a() t a () t b () t = f a () t + f a () t () () b t b () t a () t b () t a () t b () t = f ( )( a () t ) + a () t f ( ) = 3 a t οπότε µε αντικατάσταση παίρνουµε: (t+ 3 t ) (t )( + 6 t) 4 + 1t 6t f ( ) = = 3 3 3 t ( + 3 t) ( t+ 3t ) ( a() t ) () () 61

Προφανώς όταν t [0,1] [0,], άρα το πεδίο ορισµού της f είναι το [0,] Εφόσον t t f ( ) = 0για κάθε t (0,1] και lim + =, άρα η f είναι γν φθίνουσα t 0 t+ 3t t+ 3t στο [0,) και η ευθεία y = 0 είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη στη γραφική παράσταση της f στο σηµείο (0) = 0 4 1t 6t Επίσης f ( ) = και lim 3 3 + f ( ( t)) = + και εφόσον f ( ) = 0 t 0 t ( + 3 t) t = 090994 η t = 9099, η f είναι κυρτή στο διάστηµα [0,1], άρα αφού y(0)=0, y(1) = -1, έχουµε: -0 y'y 05 1 15 ' -04-06 -08-1 3 Yπολογίστε την παράγωγο των πεπλεγµένων συναρτήσεων: 3 3 y y + 3 = 0 + =, > 0 y a a Λύση (α) ιαφορίζουµε και τα δύο µέλη και έχουµε: d y y d d d y d y 3 3 3 3 ( + 3 ) = (0) ( ) + ( ) + ( 3 ) = 0 + + = 3 d 3y dy 3( yd dy) 0 dy dy + + = d d 3 3y 3 y 0 dy 3y 3 y = = d 3y 3 (β) dy d( + y ) = d( a ) d( ) + d( y ) = 0 d + ydy = 0 y = = d y 6

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 63

64

65

66

67

είξτε ότι: 68