88. Oova vova aplaceove afomace XX. PREDAVANJE Defca edoae aplaceove afomace. Poam kompleke fekvece. zbo doe goe gace defckog egala. Oova vova aplaceove afomace. Pme ešavaa dfeecale edadžbe pvog eda. Raav odzva a lobod odzv pl odzv. zbo kao doe gace defckog egala. Nužo zboa za luča loše defae meže. Poam acoale fukce. Fakoza oblk acoale fukce. Polov ule. Raav pklade acoale fukce a pacale azlomke. Odeđvae ezduuma pola : koe poloma u edouk, koe poloma u všeuk. Pme aava. Veza zmeđu aplaceove afomace fazoke afomace.. OSNOVNA SVOJSTVA APAEOVE TRANSFORMAJE. DEFNJA JEDNOSTRANE APAEOVE TRANSFORMAJE (P.S.aplace, 779. Jedoaa aplaceova afomaca omogućue da e ego-dfeecale edadžbe meže pevoe u algebake edadžbe, dopuša u aalz aze ve pocaa omogućue dobvae popuog odzva. Pod edoaom aplaceovom afomacom ( - afomacom maamo opeao kom e eka fukca f(, defaa u vemekom poduču, afoma u fukcu kompleke vaable σ ω pema fomul Dmeza kompleke vaable e [ek - pa e oa čeo azva kompleka fekveca. Pmeom aplaceove afomace zadaća aalze u vemekom poduču pevod e u zadaću aalze u fekveckom poduču. a Doa gaca egala e. Sve šo e za aalzu važo poče m eukom. Oblk fukce f( u evalu < e važa. Tako e pmece aplaceova afomaca u fukca a lc. edaka. f (e k F [ f ( ( f ( e d f (e k f (e k S( ( zboom obuhvaće u pod poče uve meže. Da e kao doa gaca uzeo, moalo b e vod ačua o zakoma komuace (poglavle 6. b Goa gaca egala e. egal ( za moa kovega. Za fukce f( koe u be u elekoehc, a uve e uvek zadovole. To u zv. fukce ekpoecalog eda,. o u oe fukce za koe e uvek može ać eala koaa a akva da e a lm f ( e Tako e pmece fukca eda, dok fukca k e ekpoecalog f ( e o e!. OSNOVNA SVOJSTVA APAEOVE TRANSFORMAJE Nave će e amo oa vova aplaceove afomace koa u ba za aalzu leah vemek epomelvh meža, o bez dokaza. a Jedozačo. Ovo zač da ako e za eku zadau fukcu kompleke vaable, ecmo, za da e aplaceova afomaca eke vemeke fukce, ecmo f(, ako eka duga vemeka fukca g( ma akođe fukcu kao vou aplaceovu afomacu, oda e azlka zmeđu fukca f( g( vala. klučvš vale lučaeve, edozačo amč da e eka vemeka fukca edozačo pecfcaa voom aplaceovom afomacom. Ako e [f ( oda e f( - [,. fukca f( e veza aplaceova afomaca od. b eao [af (bf (a [f (b [f ( ; a b u koae Sl.. T azlče vemeke fukce om aplaceovom afomacom. c Devae d f ( d (... f ( f ( f ( (
V. eae vemek epomelve meže 89 d egae e Vemek pomak f Fekveck pomak g Peodčka fukca f ( x dx a [ f ( a S( a e ( ( [ e ( a f a [ f ( f ( T F ( T f ( e F ( e d T h Pomea vemekog fekveckog mela (kalae Možee a ovoluca [ ( a F ; a > ; (5 (6 f (7 a a d ( (8 d [ f [ f * f ( F ( F ( ( ( * f ( f( x f ( x dx f( x f ( x f k Počea vedo l oača vedo (9 dx f ( lmf ( ( f ( lm ( dok e a deo a fukca edčog koka, aplaceovu afomacu koe odeđuemo pema zazu (,. [ S( S( e d S( e d e dobvamo da e [ S e e d ( ( Zadaa dfeecala edadžba afomaa e u algebaku ( X ( odoo X ( ( Opažamo da e odzv X( u fekveckom poduču ao od dve kompoee o ede /[( aale zbog delovaa pocaa (pl odzv duge /( aale zbog delovaa počeog uvea (lobod odzv. Ved X ( ( šo e koeć (5 lako vaća u vemeko poduče,. odoo [ X ( x( S( e S( e S( x( ( e S(. ZBOR AO DONJE GRANE DEFNJSOG NTEGRAA Pokažmo a edom edoavom pmeu kako zbo doe gace defckog egala aplaceove afomace ueče a aalzu. Neka e zadaa meža heme poa pema lc.. U euku euo klop klopka S. Odede val oblk ue ( za, ako e do euka u kugu vladalo ualeo ae. Pme : Reše dfeecalu edadžbu dx x S( d ; x (. Rešee: Ako ozačmo da e [ x ( X (, o će u kladu a ( leva aa dfeecale edadžbe b edaka E S R Sl.. Zadaa hema poa. R X ( x( X (. ( X (
9. Oova vova aplaceove afomace Jedadžbe meže u d d E R us M d d (a d d R M d d (b a poče uve u E ( ; ( R Buduć da klopka S euo klop u euku, očgledo e ( ; a Doa gaca defckog egala. Ozačmo da e [ (, [ (, e uzevš u obz (, dfeecala edadžba (b pelaz u algebaku R ( ( ( M( M ( Zbog ( za b će (, e uz ( pozlaz da e odoo R ( ( M ( M ( ( ; R odakle e lako dobva ešee M( M E ( e e ; R b Doa gaca defckog egala Sada ved da e ( R ( ( ( M( M ( odoo uzevš u obz da e ( ( ( R ( ( ( ( ( e ; šo zač da poavleu zadaću oš mo ešl buduć da e zamo (! Zadaa meža e loše defaa za odeđvae ( vala pme zakoe komuace zložee u poglavlu 6.. Zaklučak : Ako e aalzaa meža loše defaa amo zbo kao doe gace defckog egala omogućava da dobemo ešee. Ako e meža dobo defaa, e e poo dkoue počeh uvea, veedo e e l kao doa gaca defckog egala odabao l.. RASTAV RAONANE FUNJE NA PARJANE RAZOME (O.Heavde, 89. U fekveckom poduču ešee meže čeo e dobva u oblku acoale fukce b a m b a m... b... a m b a gde u polom vaable, a koefce a, a,..., a e b, b,..., bm u eal boev. Racoala fukca e uvek može pkaza u fakozaom oblku ( z( z...( zm ( ( p ( p...( p gde e v koe poloma boka z (,,, m azvau ulama acoale fukce, a v koe poloma azvka p (,,, polovma acoale fukce. Polov u edouk ako u v međuobo azlč. J- pol e eda ako e -pua poavlue u fakozaom oblku poloma,. kao ( p. Racoala fukca e pklada ako e m. Ako o e luča, deleem boka azvkom dobva e R( F ( gde e oakom delea guo dobvea acoala fukca R( /. U aavku maa ćemo da e vaka pomaaa acoala fukca pklada. m. ( (.. oe poloma u edouk U ovom u lučau polov acoale fukce v međuobo azlč e ved da e Vaćaem u vemeko poduče dobvamo da e (5 p
V. eae vemek epomelve meže 9 gde e zaza azva ezduumom pola p odeđue z Zaa, ako e zaz (5 pomož a p, o e dobva da e ( p ( p p ( odakle očgledo pozlaz (6, ako e av da e ; p! Pme : Raave a pacale azlomke acoalu fukcu F ( ( ( Rešee: Zadaa acoala fukca apše e u oblku F ( a u kladu a (6 dobvamo da e ( ( ( šo zač da e ( ( ( ( F ( ( (.. oe poloma u všeuk Pepoavmo da e koe poloma -uk, dakle da e gde e F R( ( ( R ( ( Ako e zaz (7 pomož a ( p (6 ( (7 (, o dobvamo da e p R ( ( (... (8 Ako e u ova zaz av da e, eau v člaov om. U dućem koaku deva e zaz (8 po. Čla eae, a čla e može oded ako e u deva zaz av da e. Da b e odedo - čla, dakle av da e, eba zaz (8 deva (--pua. Dakle : Pme: Raave a pacale azlomke acoalu fukcu Rešee: Rešee e až u oblku F ( ( F ( ( ( Možeem ovog zaza a ( dobvamo da e ( ( ( R odakle odmah pozlaz ( 5 U dućem koaku deva e R( e dobvamo odoo za da e ( ( Poovm devaem dobvamo odoo da e d R( (! d d (! d, e e koač ezula F ( ( ( ( 5 ( (9
9. Oova vova aplaceove afomace Pme : Raave a pacale azlomke acoalu fukcu F ( ( ( Rešee: U ovom lučau vala komba pavla za odeđvae koefceaa aava dah zazma (6 (9. Pozlaz F ( ( U kladu zazom (6 b će ( ( ( ( Ako e zaz za pomož a (, dobvamo da e d u d du α ωu ωu( d a Fazoka afomaca. Pepoavmo da e u ( U&, u ( U&. S pomoću pavla fazoke afomace (odečak. zadaa dfeecala edadžba pelaz u algebaku edadžbu [ U& ( ω ω αω ω U& ( uz pepoavku da e poca u( edohamok fekvece ω. b aplaceova afomaca. Pepoavmo da e [ u ( U (, [ u( U (. S pomoću pavla aplaceove afomace (odečak., uzmauć u obz da u v poče uve edak ul,. du u ( ; u& d ( ( ( ( zadaa dfeecala edadžba pelaz u algebaku edadžbu Sav l e u edadžbu ( da e, pozlaz da e, dok e koefce dobva ako da e edadžba ( pvo deva, dakle ( ( ( ( ( ( ( oda u a zaz uv da e. Dobvamo da e, odoo F ( ( ( ( (.5 VEZA ZMEĐU APAEOVE TRANSFORMAJE FAZORSE TRANSFORMAJE ( Ako u v poče uve u euku edak ul, pavla aplaceove afomace deča u pavlma fazoke afomace m da e vaabla zame a ω. [ α ω U ( ω U ( ( Opažamo da u edadžbe ( ( popuo og oblka ako e av da e ω. Obe edadžbe, uaoč om oblku, mau pove azlča začea. Fazoka edadžba ( povezue dva fazoa U& U& u mež u koo e upoavleo uodalo ualeo ae. S duge ae, edadžba ( odeđue u fekveckom poduču pl odzv e meže a blo ko poca. (Jedo e ogačee da poo aplaceova afomaca pocaa!. Pepoavmo l da poče uve u edak ul pmeom aplaceove afomace a zadau dfeecalu edadžbu dobl b algebaku edadžbu U ( u ( u& ω U ( ω U ( ( α [ U ( u ( odoo u odzvu b pooale dve kompoee ω & ( α u ( u ( U ( U ( α ω α ω pl odzv lobod odzv fomala lčo zmeđu dvu afomaca e gub. Pokažmo o a pmeu ekog R kuga, opaog dfeecalom edadžbom