Τελευταία ενηµέρωση: 4 Ιανουαρίου 8 Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για τον «Επιστηµονικό Υπολογισµό» Χειµερινό εξάµηνο 6-7 -- Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Αιγαίου Οδηγίες για την 6 η άσκηση της 6 ης εργασίας Μεταπτυχιακό Μάθηµα Αριθµητικής Ανάλυσης Χειµερινό εξάµηνο 7-8 -- Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Αιγαίου Πολυώνυµα Chebyshev Έστω ότι δίνονται τα δεδοµένα ( ), f( ), =,,,..., της άγνωστης συνάρτησης f = f( ) και ότι χρησιµοποιούµε το µοναδικό πολυώνυµο βαθµού για να προσεγγίσουµε την συνάρτηση αυτή. Τα σηµεία, =,,,..., είναι όλα διαφορετικά µεταξύ τους και στην γενική περίπτωση µπορεί να είναι µη-ισαπέχοντα. Όπως έχει ήδη αποδειχτεί, η ακρίβεια της πολυωνυµικής παρεµβολής δίνεται από την παρακάτω σχέση, όπου έχει θεωρηθεί ότι το είναι το ελάχιστο των σηµείων, =,,..., και είναι το µέγιστο σηµείο: f ( ξ ) f ( ) p ( ) =..., < <! ( + ) ξ ( )( ) ( ) ( + ) (α) Η σχέση (α) µπορεί να γραφεί και στην µορφή: όπου έχει θεωρηθεί ότι η ( + f ) ( ) f ( ξ ) f ( ) p ( ) =, < < (β) + ( + ) ( ) ξ! = ( ) είναι συνεχής στο (, ). Επίσης, χωρίς βλάβη της γενικότητας, µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το πολυώνυµο p ( ) προσεγγίζει την άγνωστη συνάρτηση ( ) f στο διάστηµα [, ] +. Αν η ( + f ) ( ) είναι φραγµένη από την ποσότητα M +, δηλαδή αν ισχύει: ( + ) f M+ ( ), [, + ], τότε από την σχέση (β) παίρνουµε: f ( ξ ) M +! + ( + ) ma f ( ) p( ) = ma ma + ( ) + ( ) ( ) ( ) () = = Από την παραπάνω σχέση είναι φανερό ότι το µέγιστο λάθος, ma f ( ) p ( ), κατά την. + = πολυωνυµική παρεµβολή εξαρτάται από την τιµή της ποσότητας: ma ( )
Τελευταία ενηµέρωση: 4 Ιανουαρίου 8 Εποµένως τα σηµεία θα µπορούσαν να επιλεχθούν µε βέλτιστο τρόπο έτσι ώστε η ποσότητα αυτή να έχει ελάχιστη τιµή. Η εφαρµογή αυτής της ιδέας έγινε από τον Ρώσο µαθηµατικό P.L. Chebyshev ο οποίος έκανε χρήση της τριγωνοµετρικής ταυτότητας (Π.ε). Πιο συγκεκριµένα, αν θέσουµε: = ( + ) θ και ( ) Για y = θ στην (Π.ε) παίρνουµε: [ θ ] [ θ] ( θ) ( θ) cos( + ) + cos( ) = cos cos (3) = η (3) καταλήγει σε ταυτότητα: cos( θ ) + cos( θ) = cos( θ) Για = η (3) δίνει: cos( θ) cos( ) cos( θ) cos( θ) Για + = ( θ) ( θ) = η (3) δίνει: cos( 3θ) cos( θ) cos( θ) cos( θ) cos = cos (4α) + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) ) cos 3θ = cos θ cos θ cos θ = cos θ cos θ = cos θ 4 cos θ 3 Για = 3 η (3) δίνει: ( θ ) 3 ( θ) ( θ) cos 3 = 4 cos 3cos (4β) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) ( θ) cos 4 + cos = cos 3 cos cos 4 = cos 3 cos cos ( θ) 4 ( θ) ( θ) cos 4 = 8cos 8cos + (4γ) Από τις (4α,β,γ) είναι προφανές ότι η ποσότητα cos( kθ ) είναι ένα πολυώνυµο βαθµού «k» ως προς cos( θ )! Αν επιπλέον θεωρήσουµε ότι: cos( θ ) = και θ cos ( ) = (5α,β) τότε το τετριµµένο cos() = και οι σχέσεις (5α), (4α), (4β) και (4γ), αντίστοιχα, είναι: T ( ) cos( θ ) = ( θ ) ( θ ) T ( ) cos = cos = ( θ ) ( θ ) T ( ) cos = cos = ( θ ) ( θ ) ( θ ) T 3 3 3 ( ) cos 3 = 4cos 3cos = 4 3 ( θ ) ( θ ) ( θ ) T 4 4 4 ( ) cos 4 = 8cos 8cos + = 8 8 + Οι εκφράσεις T ( ) ονοµάζονται πολυώνυµα Chebyshev. Εύκολα µπορεί να βρεθεί η αναδροµική σχέση που δίνει το (+)-βαθµού πολυώνυµο Chebyshev σαν συνάρτηση των προηγούµενων, βαθµού και -. Αντικαθιστώντας στην σχέση (3) τις εκφράσεις: cos( θ ) + ( ) = [ + ], T ( ) = [ θ ], T ( ) cos( θ ) T cos ( ) θ cos ( ) + =, παίρνουµε: T ( ) = T ( ) T ( ), T ( ) =, T( ) = (6) =,
Τελευταία ενηµέρωση: 4 Ιανουαρίου 8 Όπως άλλωστε είναι φανερό, το κάθε πολυώνυµο Chebyshev µπορεί να γραφεί στην παρακάτω µορφή: T ( ) = a. Είναι εύκολο επίσης να διαπιστωθεί, µε αναγωγή, ότι ο µεγιστοβάθµιος = συντελεστής a είναι ίσος µε: a =. Τα πολυώνυµα Chebyshev, έχουν τις παρακάτω ιδιότητες: () T ( ), + (7) Απόδειξη: Από τον ορισµό έχουµε ότι ( ) ( ( )) ( θ ) ( ) T ( ) = cos = cos cos T ( ) = cos cos () To κάθε πολυώνυµο Chebyshev, T ( ), έχει µηδενικά στο (, + ) τα οποία είναι: ( k + ) π k = cos( θk) = cos, k =,,,..., Απόδειξη: Εχουµε ότι T ( ) ( k ) είναι ακέραιος. Όµως: (8) ( k + ) π π ( ) = cos θ = θ = + θ = όπου το «k» k k k k ( k + ) π ( k + ) θk π π k +. Άρα θα έχουµε ότι k =,,,..., και εποµένως το πλήθος των σηµείων k στα οποία µηδενίζεται το T ( ) είναι και είναι τα εξής: ( k + ) π k = cos( θk) = cos, k =,,,...,. (3) Η ποσότητα T ( ) αποκτά µέγιστη τιµή, το, στο διάστηµα [-,+], συµπεριλαµβανουµένων των ακραίων σηµείων = ±, σε «+» σηµεία και το πολυώνυµο T ( ) παίρνει τις τιµές ± εναλλασσόµενα στα σηµεία αυτά. Απόδειξη: Εφόσον T ( ) ma T ( ) =. Άρα T ( θ ) ( ) = cos = ± k k kπ kπ θ k = kπ θk = όπου το «k» είναι ακέραιος. Όµως: θk π π 3
Τελευταία ενηµέρωση: 4 Ιανουαρίου 8 k k. Εποµένως ο «k» µπορεί να πάρει τις τιµές, k =,,,..., το πλήθος των π = = = = cos =. Για οποίων είναι «+». Για k θ ( θ ) π k = θ = = π = cos( π) =. Επιπλέον: θ ( ) cos kπ kπ = T = k k +, k =,, 4,... T( k) = cos( kπ ) =, k =,3,5,... (9) Στην συνέχεια δίνεται (χωρίς απόδειξη) το παρακάτω πολύ σηµαντικό θεώρηµα: Έστω τα πολυώνυµα ˆ T ( ) ( ) T =, δηλαδή τα βαθµού πολυώνυµα Chebyshev τα οποία έχουν κανονικοποιηθεί και εποµένως ο µεγιστοβάθµιος συντελεστής τους είναι, καθώς και το σύνολο των πολυωνύµων P ˆ µε συντελεστή του µεγιστοβάθµιου όρου ίσο µε την µονάδα (προφανώς Pˆ P ). Τότε: [ ] q Pˆ, q Tˆ, ma Tˆ ( ) < ma q( ), q, Tˆ C, () Εναλλακτικά το παραπάνω θεώρηµα θα µπορούσε να διατυπωθεί ως εξής: Έστω πολυώνυµο q P, της µορφής q ( ) = + a, (δηλαδή ο συντελεστής του = µεγιστοβάθµιου όρου είναι ). Η ποσότητα ma q ( ) T ( ) ελαχιστοποιείται όταν q ( ) =. Eποµένως η ποσότητα ma ( ) + στην σχέση (), η οποία είναι ένα πολυώνυµο βαθµού = «+» µε µεγιστοβάθµιο συντελεστή, θα ελαχιστοποιηθεί αν τα σηµεία είναι τα ίδια µε τις ρίζες του πολυωνύµουt ( ) + (ή φυσικά τις ρίζες του πολυωνύµου Tˆ + ( ) ). Όµως από την (7) έχουµε: ma T ˆ + ( ) = ma T ( ) = ma ˆ T ( ) = () + Εποµένως από την (), για κάθε συνάρτηση f C + [,], παίρνουµε: M M M = =!!! ma f( ) pt, ( ) + ma ( ) + + + + = + + ( ) M! ( + ) ( ) ( ) + ( + ) ma f ( ) pt, ( ), M ma f ( ) + () 4
όπου p, T Τελευταία ενηµέρωση: 4 Ιανουαρίου 8 P και συµβολίζει το πολυώνυµο βαθµού το οποίο παρεµβάλει την συνάρτηση f ( ) στα σηµεία µηδενισµού του T ( ) + πολυωνύµου Chebyshev. Παράδειγµα: η συνάρτηση του Ruge Η συνάρτηση του Ruge, f( ) =, +, εξετάστηκε µε λεπτοµερή τρόπο κατά + 5 την πολυωνυµική παρεµβολή χρησιµοποιώντας ισαπέχοντα σηµεία και διαπιστώθηκε η αποτυχία της παρεµβολής στο διάστηµα.76.... Επίσης διαπιστώθηκε, και αποδείχτηκε παραπάνω, ότι αν αντί για ισαπέχοντα σηµεία χρησιµοποιηθούν τα σηµεία µηδενισµού των πολυωνύµων Chebyshev τότε το µέγιστο λάθος της παρεµβολής ελαχιστοποιείται. Έτσι αν χρησιµοποιηθούν τα σηµεία µηδενισµού του T ( ) +, δηλαδή τα σηµεία: προκύπτουν τα εξής ( k k ) + ζεύγη τιµών: ( ) ( k + ) ( + ) π k = cos, k =,,,..., τότε, f, k =,,...,. Τα ζεύγη αυτά µπορούν να δηµιουργήσουν ένα µοναδικό πολυώνυµο p, ( ) το οποίο µπορούµε να υπολογίσουµε είτε µε την T µέθοδο των διαιρεµένων διαφορών, είτε µε την µέθοδο Lagrage, είτε µε την άµεση µέθοδο υπολογισµού πολυωνύµων, είτε µε την µέθοδο των µη-προσδιοριστέων συντελεστών. Aν εφαρµόσουµε τα παραπάνω για = και υπολογίσουµε το πολυώνυµο p, ( ) µπορούµε να ζωγραφίσουµε την γραφική του παράσταση όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραµµα, Fgure. Στο ίδιο διάγραµµα απεικονίζεται και η συνάρτηση f = f( ) καθώς και το p ( ). Είναι φανερό T ότι τα πολυώνυµα Chebyshev για το συγκεκριµένο «άσχηµο» παράδειγµα δουλεύουν εξαιρετικά καλά. Στο επόµενο διάγραµµα, Fgure, απεικονίζεται η ποσότητα ET( ) = f( ) p, T( ) στο οποίο φαίνεται ότι η µέγιστη τιµή του σφάλµατος είναι: { E } ma ( ).53. T 5
Τελευταία ενηµέρωση: 4 Ιανουαρίου 8 -, -,75 -,5 -,5,,5,5,75,,5,5, f=/(+5 ), f, p,t, p,75,5,5, p f p,t p,75,5,5, -,5 -,5 -, -,75 -,5 -,5,,5,5,75, Fgure -. -.75 -.5 -.5..5.5.75... E T = f - p,t ).5.5.. E T.5.5.. -.5 -.5 -. -.75 -.5 -.5..5.5.75. Fgure k Άσκηση. Υπολογίστε το p, ( ) = a T ( ) για την συνάρτηση του Ruge µε k = 4,, kt = χρησιµοποιώντας ως σηµεία τις ρίζες του πολυωνύµου T ( ) k +. Υπολογίστε το απόλυτο σφάλµα 6
Τελευταία ενηµέρωση: 4 Ιανουαρίου 8 της προσέγγισης, ET( ) = f( ) pk, T( ) στα σηµεία = +.5, =,,...,4. Συγκρίνετε το σφάλµα αυτό µε το αντίστοιχο σφάλµα της πολυωνυµικής παρεµβολής για ισαπέχοντα σηµεία (άσκηση 9), δηλαδή µε την ποσότητα E ( ) = f( ) p( ) και σχολιάστε τα αποτελέσµατα. k 7
Τελευταία ενηµέρωση: 4 Ιανουαρίου 8 Παράρτηµα Χρήσιµες τριγωνοµετρικές ταυτότητες : s ( ) cos ( ) + = s( ) = s( )cos( ) cos( ) cos ( ) s ( ) = + y y s( ) + s( y) = s cos + y y cos( ) + cos( y) = cos cos (Π.α,β,γ,δ,ε) Τα έξι πρώτα πολυώνυµα Chebyshev δίνονται αναλυτικά παρακάτω: T ( ) = (Π.α) T( ) T = (Π.β) = (Π.γ) ( ) T = (Π.δ) ( ) 4 3 3 3 T = + (Π.ε) ( ) 8 4 8 4 T = + (Π.στ) 5 3 5 ( ) 6 5 T = + (Π.ζ) 6 4 6 ( ) 3 48 8 Οι γραφικές παραστάσεις των T( ), T3( ), T4( ) φαίνονται στο τρίτο διάγραµµα, Fgure 3, ενώ οι αντίστοιχες παραστάσεις των T5( ), T6( ) στο τέταρτο διάγραµµα, Fgure 4. Οι γραφικές παραστάσεις των T( ), T( ) είναι τετριµµένες. Στο πέµπτο διάγραµµα, Fgure 5, έχουν συµπεριληφθεί όλες οι γραφικές παραστάσεις των T ( ), = 3,4,5,6 κοντά στην περιοχή του ενός άκρου, =, ώστε να γίνει φανερό το γεγονός ότι η πρώτη ρίζα των Chebyshev πολυωνύµων πλησιάζει προς το σηµείο = καθώς ο βαθµός του πολυωνύµου αυξάνει. Aντίστροφα, οι συναρτήσεις, =,,...,6 δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις: = T (Π.3α) = T (Π.3β) = ( + ) (Π.3γ) T T 8
Τελευταία ενηµέρωση: 4 Ιανουαρίου 8 = ( 3 + ) (Π.3δ) 4 3 T T3 = ( 3 + 4 + ) (Π.3ε) 8 4 T T T4 = ( + 5 + ) (Π.3στ) 6 5 T T3 T5 = ( + 5 + 6 + ) (Π.3ζ) 3 6 T T T4 T6 -, -,5,,5,, T 4,,5 T 3,5 T,, -,5 T -,5 -, -, -, -,5,,5, Fgure 3. T, T 3 ad T 4 9
Τελευταία ενηµέρωση: 4 Ιανουαρίου 8 -. -.5..5...5 T 6..5 T.. -.5 T 5 -.5 -. -. -. -.5..5. Fgure 4. T 5 ad T 6,7,75,8,85,9,95,, T,,5 T 3,5 T, T 4, -,5 -,5 T 5 T 6 -, -,,7,75,8,85,9,95, Fgure 5. Frst zero of T =, =,3,4,5,6 close to =
Οδηγίες για την 6 η άσκηση της 6 ης εργασίας Τελευταία ενηµέρωση: 4 Ιανουαρίου 8 Θεωρούµε ότι η άγνωστη συνάρτηση, u = u( ), προσεγγίζεται ως το άθροισµα: όπου T T ( ) u ( ) = ut ˆ ( ) (Α) = = είναι τα πολυώνυµα Chebyshev, τα οποία ορίζονται στο διάστηµα [,] και u ˆ είναι οι φασµατικοί συντελεστές των πολυωνύµων. Τόσο η πρώτη όσο και η δεύτερη παράγωγος της u προκύπτουν από την παραγώγιση της (Α): (Α,3) ' '' '( ) = ˆ ( ), ''( ) ˆ = ( ) u u T u u T = = Όµως είναι δυνατόν, οι (Α) και (Α3) να εκφραστούν πιο απλά ως συνάρτηση των T, δηλαδή (Α4,5) () () '( ) = ˆ ( ), ''( ) ˆ = ( ) u u T u u T = = όπου () u ˆ και () u ˆ είναι οι αντίστοιχοι φασµατικοί συντελεστές Chebyshev για την πρώτη και δεύτερη παράγωγος της συνάρτησης u. Όµως λόγω της σχέσης (3) και της αναδροµικής σχέσης από την οποία προκύπτουν τα πολυώνυµα Chebychev, σχέση (6), προκύπτει: ' ' ' ' T ( ) = T ( ) ( ), ( ), ( ), + T T T = = + (Α6) Συνδυάζοντας τις (Α4) και (Α6) προκύπτει: () (), = uˆ ˆ ˆ = c u u+,, c =, (Α7) είτε ισοδύναµα: ( ) cuˆ = uˆ + + uˆ, (Α8) () () + + Η σχέση (Α8) µπορεί να γραφεί και στην µορφή: u pu (Α9) () ˆ = c p= + ˆ p, p+ odd Με όµοιο τρόπο οι φασµατικοί συντελεστές για την δεύτερη παράγωγο της συνάρτησης δίνεται από την σχέση: ( ) p (Α) () uˆ ˆ = p p u, c p= + p+ eve
Τελευταία ενηµέρωση: 4 Ιανουαρίου 8 Εποµένως οι σχέσεις (Α) και (Α4), (Α5) µπορούν να χρησιµοποιηθούν (µε την βοήθεια των (Α9) και (Α)) για να υπολογιστούν οι uu, ', u '' σε οποιοδήποτε σηµείο [, + ]. Μία επιλογή είναι τα «Ν+» Chebyshev Gauss-Lobatto σηµεία (Εq.(.4.4), CQHZ, p. 86): kπ k = cos, k =,,,..., (Α) Έτσι προκύπτει το διακριτό πρόβληµα: ( ) ( ) ( ) ( ) ( π ) Rk = u k u' k u'' k u k s k, k =,,,..., (Α) Εποµένως, το σύστηµα των «Ν+» αλγεβρικών εξισώσεων που πρέπει να λυθεί έχει ως εξής: R ( ) u ( ) ( ) ( ) ( ) ( π ) = (Α3) Rk = u k u' k u'' k u k s k, k =,,..., (Α4) ( ) R = u' (Α5) Προσοχή: το πρόβληµα (Π3) είναι ορισµένο στο διάστηµα [,] εποµένως θα πρέπει πρώτα να κάνετε αλλαγή της ανεξάρτητης µεταβλητής ώστε αυτό να είναι ορισµένο στο διάστηµα [-,+] (η διαδικασία περιγράφηκε στην τάξη). Για τον λόγο αυτό οι εξισώσεις (Α3,4,5) θα είναι ελαφρά διαφορετικές. Επιπλέον, µπορείτε εύκολα να διαπιστώσετε ότι + ( ) ( ), ( ) ( ) T =± = ± T =± = ±. Οι δύο τελευταίες σχέσεις απαιτούνται για να ' εκφράσετε κατάλληλα τις συνοριακές συνθήκες του προβλήµατος, δηλαδή: u ˆ ˆ p up = (Α6) p= p= p eve p odd puˆ p = (Α7) p= Τέλος, αξίζει να σηµειωθεί ότι η σχέση (Α8) µπορεί να γενικευτεί ως εξής: ( ) c uˆ = uˆ + + uˆ, q (Α8) ( q) ( q) ( q ) + +
Τελευταία ενηµέρωση: 4 Ιανουαρίου 8 H fucto που δίνει τους φασµατικούς συντελεστές της ης παραγώγου της συνάρτησης δίνεται παρακάτω. Χρησιµοποιώντας (καλώντας) δύο φορές την fucto αυτή υπολογίζετε τους αντίστοιχους φασµατικούς συντελεστές της η παραγώγου της συνάρτησης. REAL(8) FUCTIO FIRST_DER_OF_CHEBYSHEV_COEFF_R8( F, P ) RESULT ( DF ) IMPLICIT OE ITEGER, ITET(I) :: P REAL(8), ITET(I), DIMESIO (:P) :: F DIMESIO DF(:P) ITEGER :: IY DF(P) =.D DF(P-) =.D*DBLE(P-)*F(P) DO IY = P-,, - DF(IY) = DF(IY+) + DBLE(*IY)*F(IY+) EDDO DF() =.5D*DF(3) + F() ED FUCTIO FIRST_DER_OF_CHEBYSHEV_COEFF_R8 3