1. Konštrukčné úlohy

1. Konštrukčné úlohy 1. Ôsmaci mali na domácu úlohu zostrojiť čo najviac nezhodných trojuholníkov, v ktorých jedna strana meria 3 cm, ďalšia 5 cm a jeden z vnútorných uhlov má veľkosť 30. Janka má v zošite narysované tri takéto trojuholníky, Boris si síce úlohu neurobil, ale tvrdí, že sa dajú zostrojiť štyri takéto trojuholníky. Ktorý z nich má pravdu? 2. Akú vlastnosť majú body A, B, E a F zostrojené v súlade s uvedeným zápisom? 1. AB 2. C; C AB 3. k 1 ; k1 ( A, AC ) 4. k 2 ; k2 ( B, BC ) 5. D; D k1 k2 D C 1 6. k 3 ; k3 ( C, r ), r> CD 2 7. k 4 ; k4 ( D, r ) E, F = k k 8. E, F; { } 3 4 3. Napíšte postup konštrukcie lichobežníka za predpokladu, že poznáte dĺžky všetkých jeho strán. 4. V rovine je daný bod A. a) Čo je množinou všetkých bodov v danej rovine, ktoré sú od A vzdialené 5 cm? b) Čo je množinou stredov všetkých kružníc, ktoré majú polomer 5 cm, prechádzajú bodom A a ležia v jednej rovine? c) Čo je množinou stredov všetkých kružníc, ktoré sa dotýkajú kružnice k (A, 5 cm), majú polomer 3 cm a ležia v rovine danej kružnicou k? 5. Vlado a Mirka mali z daného bodu X zostrojiť dotyčnicu ku kružnici k(s, r), kde XS > r. Mirka priložila ku kružnici pravítko tak, ako vidíte na obrázku, a jednoducho narysovala priamku. S k X Vlado zostrojil úsečku XS a jej prienik s kružnicou k označil M. Potom zostrojil kružnicu l so stredom M a polomerom MS. Jej priesečníky s kružnicou k označil T 1, T 2, hľadané dotyčnice podľa Vlada sú priamky XT1, XT2. k S T 1 M l X Posúďte obe riešenia tejto úlohy. T 2

6. Jaro mal narysovať trojuholník ABC, pre ktorý platí: AB = 5 cm, AC = 3 cm, γ = 60. Navrhol takýto postup konštrukcie: 1. p; p= CM 2. CX ; M, CX = 60 3. A; A CX, AC = 3 cm 4. k; k( A,5 cm) 5. B; B k p 6. ABC Čo si myslíte o tomto postupe? 7. Daná je priamka p, bod M p a úsečka AB. Vymyslite úlohu, ktorej riešenie zodpovedá nasledujúcemu zápisu konštrukcie: 1. k; k( M, AB ) 2. m 1, m 2 ; m1 m2 p d m, p = d m, p = AB m m X m k m k ( ) ( ) 3. X; ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 Koľko riešení môže mať vaša úloha a od čoho závisí ich počet? 8. Zostrojte trojuholník ABC, ak je dané: a) b = 5 cm, c = 7 cm, v a = 4 cm b) γ = 75, v a = 3 cm, v b = 2 cm 9. a) V rovine je daná úsečka XY. Zostrojte množinu všetkých bodov tejto roviny, z ktorých vidieť úsečku XY pod uhlom 30 o. b) Daná je priamka M a bod L M. Fero mal nájsť všetky body polroviny M L, z ktorých vidno úsečku M pod uhlom 130 o. Ako to mohol urobiť? Opíšte postup jeho konštrukcie. *10. Dané sú dve rôznobežné priamky a, b. Nájdite všetky body, ktorých súčet vzdialeností od priamok a, b je 5 cm. Maroš našiel štyri také body, dva na priamke a a dva na priamke b. Lenka tvrdí, že riešením tejto úlohy je viac bodov a všetky ležia na kružnici prechádzajúcej štyrmi Marošovými bodmi. Čo si myslíte o ich riešeniach? *11. a) Zostrojte trojuholník ABC, ak je dané a, b, α β. b) Zostrojte lichobežník ABCD, ak poznáte dĺžky strán BC, CD, DA a veľkosť uhla ω= DAB ABC. *12. Nech V je priesečník výšok trojuholníka ABC. Dokážte, že body V 1, V 2, V 3 súmerné s bodom V podľa strán trojuholníka ležia na kružnici opísanej trojuholníku ABC. Zostrojte trojuholník ABC, ak sú dané body V 1, V 2, V 3 z úlohy a).

2. Analytická geometria II 1. Napíšte aspoň dve rôzne analytické vyjadrenia priamky AB, ak A[ 1;2; 1 ], [ 2; 5;4] 2. Rozhodnite, či body A, B, C, D ležia v rovine alebo na priamke: a) A [ 2; 5; 7 ], B[ 1;1;2 ], C[ 1; 3; 4 ], D[ 3;5;8] b) A[ 1; 2;3 ], B[ 1; 2;4 ], C[ 3; 1;4 ], D[ 2; 1;4] A1; 2;3, B 2;1;8, C 2;1;1, D 2; 11;9 c) [ ] [ ] [ ] [ ] B. 3. Peter a Milan majú nájsť súradnice vektora c kolmého na vektory a( 2; 1;4) b( 6;5; 2). Vedia, že c. a= 0 aj c. b= 0. Zostavili si takúto sústavu rovníc: 2x 1y+ 4z= 0, kde c( x; y; z), 6x+ 5y 2z= 0 ale nevedia ako pokračovať. (Veď sústava má len dve rovnice a tri neznáme.) Ako majú úlohu dokončiť? 4. Napíšte všeobecnú rovnicu roviny ABC, ak A[ 1;2; 1 ], B[ 2; 5;4 ], C[ 6;4;1]. Vypočítajte skalárny súčin normálového vektora n roviny ABC a vektora AB. Vyjde iný výsledok pri počítaní n. AC a n. BC? 5. Napíšte všeobecnú rovnicu roviny rovnobežnej s rovinou α: 2x y+ 2z+ 5= 0 a a) prechádzajúcej bodom A[ 3;7; 5], b) obsahujúcej priamku x= 2, y= 1+ 4 t, z= 2t t R, c) vzdialenej 4 od danej roviny α 6. Napíšte a) parametrické vyjadrenie roviny ABC, pre A[ 4;2; 1 ], B[ 2;2;3 ], C[ 5; 1;2] b) všeobecnú rovnicu roviny danej priamkami p, q, ak p: x = -2 + 3t, y = 1, z = 3 t, t R q: x = 2 + 3s, y = -4s, z = 12s, s R c) analytické vyjadrenie polroviny KLM s hraničnou priamkou KL, pre 2;2; 1, L 2;4;1, M 3;1;2 K[ ] [ ] [ ] 7. Určte o analytické vyjadrenia akých dvoch útvarov sa v každej úlohe jedná (sú oddelené bodkočiarkou) a určte ich vzájomnú polohu. Ak sú rovnobežné, určte ich vzdialenosť, ak sú rôznobežné, určte ich prasečník a) ; a b) ;

c) ; 3;2; 3, uv, Vlado vektorový súčin u v. 8. Vlado a Lucia počítajú obsah rovnobežníka daného dvoma vektormi u = ( ) v = ( 4; 1;8) Dokončite ich postupy.. Lucia si vypočítala najprv cos( )

3. Kombinatorika IV 1. Koľko je takých a) päťciferných b) šesťciferných čísel zapísaných len pomocou jednotiek a dvojok, v ktorých sa nevyskytujú dve dvojky vedľa seba? 2. Na cyklistických pretekoch sa zúčastnili štyria pretekári - Andrej, Braňo, Cyril a Dano. Koľko je takých poradí, v ktorých nie je Andrej prvý a Cyril je aspoň o dve miesta lepší ako Dano? 3. Koľko je a) 3-ciferných b) 10-ciferných čísel neobsahujúcich cifru 0? 4. Prirodzené číslo nazývame pestrým, ak v ňom nestoja vedľa seba dve rovnaké cifry. Koľko je pestrých a) 3-ciferných b) 5-ciferných čísel 5. Zámok kufra je ovládaný nastavením troch koliesok. Každé koliesko má 12 polôh, polohy sú označené písmenami A, B, C,..., L. Koľko nastavení musíme vyskúšať, aby sme kufor určite otvorili? 6. Na jednej opakovacej hodine matematiky v 8.C sa stihnú vyriešiť 3 úlohy na úpravy výrazov a 2 konštrukčné úlohy. V zbierke je 15 výrazov a 10 konštrukčných úloh. Koľko možností výberu príkladov zo zbierky má učiteľ, ktorý sa pripravuje na jednu opakovaciu hodinu? 7. V obchode majú 3 druhy kávy v 50 g baleniach. Koľko možností nákupu má zákazník, ktorý si chce kúpiť 200 g kávy? 8. a) Učiteľka chce rozdeliť 14 cukríkov medzi 4 deti tak, aby každé dieťa dostalo aspoň 2 cukríky. Koľkými spôsobmi to môže urobiť? b) Koľkými spôsobmi môže učiteľka rozdeliť 25 cukríkov medzi 3 deti tak, aby každé dieťa dostalo aspoň 2 cukríky? 9. Na karate chodí šesť dievčat a štyria chlapci. Tréner potrebuje pripraviť súpisku súťažiacich na najbližší turnaj. Družstvo má byť šesťčlenné a musia v ňom byť aspoň štyri dievčatá. Koľko rôznych súpisiek môže tréner vytvoriť? *10. Koľkými spôsobmi môžeme vedľa seba do radu posadiť 5 Angličanov, 5 Francúzov a 5 Turkov, ak chceme, aby vedľa seba nesedeli žiadni dvaja krajania? *11. Hovoríme, že postupnosť čísel je vzorná, ak sa v nej vedľa seba nevyskytujú 0 a 1. Koľko rôznych šesťčlenných vzorných postupností zložených z čísel 0, 1 a 2 existuje?

*12. Na večierku bolo 7 manželských dvojíc. Koľkými spôsobmi je ich možné rozdeliť na 7 tanečných párov, ak žiaden z manželov nemá tancovať so svojou ženou? *13. Koľko rôznych pravouholníkov je nakreslených na obrázku? (Pravouholník = obdĺžnik alebo štvorec.)

4. Štatistika II 1. Anežka dostala na domácu úlohu vyriešiť úlohu, kde sa spomína exponenciálne rozdelenie. Nie je jej ale jasné, či keď z celej populácie vyberie prvky, tiež pôjde o exponenciálne rozdelenie, alebo tie prvky musí vyberať tak, aby exponenciálne rozdelenie ostalo zachované. Pokúste sa vysvetliť, ako to s výberom prvkov je. 2. Alojz robil niekoľko simulácii výberu prvkov z celej populácie, tieto potom usporiadal. Najskôr vyberal 200 prvkov s nasledovným výsledkom: Potom vyberal 500 prvkov s nasledovným výsledkom: Viete určiť, aké rozdelenie má populácia? 3. Albert Zručný si kúpil krabicu klincov s deklarovanou dĺžkou 80mm. Rozhodol sa, že zistí, či sú dané klince naozaj 80mm dlhé. Začal teda klince postupne vyberať a zaznamenávať si ich dĺžky. Po desiatom klinci ho to ale prestalo baviť. Keďže nameral hodnoty (v mm): 82, 80, 82, 81, 81, 80, 81, 81, 82, 81 vyhlásil, že klince sú dlhšie ako sa píše na krabici. Má pravdu? Odpoveď zdôvodni. 4. Andrej Rýchly si chce kúpiť nové auto. Rozhoduje sa medzi dvoma typmi. Počas prieskumu u priateľov a známych prišiel k nasledovným hodnotám spotreby oboch typoch áut na 100km: Spotreba 6,8 6,9 7,0 7,2 7,3 7,4 7,5 7,6 7,7 7,9 Typ A 1 0 3 6 14 10 5 2 0 1 Typ B 0 1 2 7 20 14 7 2 1 0 Ktorý typ auta si má kúpiť, ak chce mať čo najnižšiu spotrebu? 5. Alfonz a Aurel spolu neustále súťažia. Aj na hodinách chémie nerobia obaja nikdy to isté. Na poslednej hodine mali analyzovať vzorky z laboratória ľubovoľnou metódou. Alfonz si zvolil polarografickú metódu a nameral hodnoty 38,2; 36,4; 37,7; 36,1; 37,9; 37,8. Aurel si zvolil titračnú metódu a nameral hodnoty 39,5; 38,7; 37,8; 38,6; 39,2; 39,1; 38,9; 39,2. Vyšli im tie isté výsledky, alebo sa zvolené metódy líšia?

6. Firma Všetko pre 4 nohých miláčikov si chce overiť účinnosť svojej novej reklamnej kampane v televízii. Náhodným výberom si vybrala 15 predajní, v ktorých sú dostupné ich výrobky a požiadala ich, aby si zaznamenávali mesačné tržby za ich produkty mesiac pred spustením reklamy a tesne po jej ukončení. Získali sa údaje uvedené v tabuľke. Bola reklama účinná? Zdôvodnite. Číslo predajne 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Tržby pred reklamou 465 307 341 221 425 498 471 383 518 554 367 434 615 435 394 Tržby po reklame 586 675 508 617 569 487 552 632 789 464 361 422 528 665 741 7. Uskutočnil sa prieskum, ktorého cieľom bolo porovnať úroveň ovládania anglického jazyka medzi študentmi slovenských a talianskych vysokých škôl. Porovnanie sa uskutočnilo na základe získaných bodov z testu (maximum 500b). Zistite, či je rozdiel v ovládaní angl. jazyka medzi študentmi vysokých škôl. slovenskí študenti talianski študenti 423 405 415 408 438 429 442 430 416 438 394 426 395 454 450 442 437 417 423 432 463 417 421 418 486 440 420 483 454 422 425 431 453 423 427 439 402 440 386 452 409 426 432 400 451 396 385 412 399 485 402 431 378 469 369 *8. Firma, ktorá sa zaoberala výrobou výliskov z plastických hmôt, chce poznať účinok technologického procesu na kmitanie podlahy vo výrobnej hale. Ohrozenie podlahy sa hodnotí pomocou vibrácií, ktorými sa podlaha rozkmitá v dôsledku nárazov pri lisovaní. Pomocou snímačov na podlahe sme urobili 50 meraní maximálnych výchyliek a vypočítali aritmetický priemer (2,25mm) a odhad rozptylu (0,73mm 2 ). Testom sme zistili, že ide o výber z normálneho rozdelenia. Testujte na hladine významnosti α=0,05: a) Či maximálna výchylka sa rovná 2,75 (čo je povolená norma). b) Či technologický proces nespôsobuje výchylky vyššie ako povoľuje norma. c) Či sa rozptyl rovná 0,81 *9. Štatistický úrad si chce overiť, či je rozdiel medzi priemernou mzdou v podnikoch so zahraničnou kapitálovou účasťou a mzdou v čisto slovenských podnikoch. Náhodne sa vybralo 40 podnikov majúcich zahraničné investície a zistilo sa, že priemerná mzda v nich je 680,47EUR a výberová smerodajná odchýlka 92,94EUR, kým v 45 náhodne vybraných podnikoch s čisto domácim kapitálom bola priemerná mzda 614,09EUR s výberovou smerodajnou odchýlkou 116,18EUR. Existuje dôvod tvrdiť, že nie je rozdiel medzi priemernými zárobkami v podnikoch so zahraničným kapitálom a v slovenských podnikoch na hladine významnosti α = 0,05.

5. Finančná matematika II 1. Pán Múdry s rodinou sa rozhodli požičať si od banky 13 300 EUR na rekonštrukciu bytu. Mesačne sú ochotní splácať 35 EUR. Teraz sedia za stolom a počítajú: Otec Múdry uvažuje: 13300 : 35= 380 380 :12=ɺ 31,7 Tak to by sme museli ten úver splácať 32 rokov. Pani Múdra oponuje: Zistila som, že sa musí platiť úrok 5 %. Tak sa musí pripočítať 5 % z 13 300 EUR. To je spolu 13 965 EUR. 13965 : 35= 399 399 :12= 33,25 Splácali by sme ho 34 rokov. Dcéra Irenka má iný názor: Keď je úrok 5 %, musí sa pripočítať každý rok. A keby sme splácali 34 rokov, tak to je spolu za úroky 22 610 EUR. 35910 : 35= 1026 1026 :12= 85,5 Splácali by sme 86 rokov, to snáď nie je možné! Syn Jožko, absolvent kurzu finančnej matematiky, to zhrnul stručne a jasne: Všetko, čo hovoríte je nesprávne. Pri mesačnej splátke 35 EUR nám aj tak žiadna banka 13 300 EUR nepožičia. a) Kto z rodiny Múdrych má pravdu? b) Vypočítajte, aká by bola výška dlhu pri úvere 13 300 EUR, úrokovej miere 5 % a mesačnej anuite 35 EUR na konci prvého, druhého a tretieho mesiaca? 2. Obchodná spoločnosť získala úver vo výške 99 000 EUR na tri roky s úrokovou mierou 13 %. Podľa zmluvy s bankou začne spoločnosť splácať úver o rok po jeho poskytnutí ročnými anuitnými splátkami. Banka úročí raz ročne, prvýkrát po roku od poskytnutia úveru. Koľko eur bude predstavovať anuita? (výsledok zaokrúhlite na centy) 3. Pani Márnivá si chcela požičať od banky 2 500 EUR. Mesačne by však bola ochotná splácať len 20 EUR. Teraz si skúša vypočítať, koľko mesiacov by pri úrokovej miere 12 % musela úver splácať (pani Márnivá ovláda stredoškolskú matematiku stále na jedničku): t Vi s= 360 n t 1 1+ i 360 1 2500 EUR 0,12 20 EUR = 12 n 1 1 1+ 0,12 12

n 1 1,01 = 1,25 n 1,01 = 0,25 n 1,01 = 4 Keď sa pani Márnivá obrátila na banku so žiadosťou o poskytnutie úveru 2 500 EUR s tým, že mesačne nemôže splácať viac ako 20 EUR, banka jej úver odmietla poskytnúť. Prečo? Pokúste sa to objasniť, 4. Pán Kutil chce získať od banky účelový spotrebný úver na nákup nábytku v hodnote 2 500 EUR. Mohol by splácať mesačne maximálne 200 EUR. Banka ponúka úver s úrokovou mierou 12 %. Ako dlho by musel úver splácať? 5. Prečítajte si pozorne nasledujúci inzerát: Zaplatíte len 1/10 z ceny tovaru plus iba desať mesačných splátok po 1/10 z ceny. a) Vypočítajte, koľko eur celkom zaplatí kupujúci pri nákupe na splátky za tovar, ktorého predajná cena je 330 EUR. b) Koľko korún by zaplatil celkovo kupujúci za tovar, ak by si 90 % z predajnej ceny požičal v banke na 10 mesiacov s úrokovou mierou 15 %? Predpokladáme, že by úver splácal mesačnými anuitami? 6. Banka ponúka bezúčelový spotrebný úver vo výške 300 EUR na 48 mesiacov s mesačnou anuitou 8 EUR. Zistite s presnosťou na desatiny percenta príslušnú úrokovú mieru. 7. Mirko Usilovný kúpil byt s výmerou 35 m 2 za 86 300 EUR. Čiastku 40 000 EUR zložil v hotovosti, na zvyšnú čiastku získal hypotekárny úver na 10 rokov. Mesačnú anuitu mu hypotekárna banka vypočítala na 502 EUR. a) Koľko eur celkovo zaplatí Mirko banke v anuitách, ak nedôjde počas 10 rokov ku zmene výšky anuitnej splátky? b) Pri akej vysokej úrokovej miere bol hypotekárny úver Mirkovi poskytnutý? 8. Pani Anna chce kúpiť nehnuteľnosť v hodnote 617 400 EUR. K dispozícii má 250 000 EUR, zvyšnú čiastku získa formou úveru. Banka jej poskytne úver s úrokovou mierou 13,6 % na dobu 5 rokov. Pani Anna bude dlh splácať štvrťročnými anuitami, úrokovacie obdobie banky je štvrťrok. Prvé úročenie a následná prvá splátka sa budú realizovať prvýkrát o 3 mesiace po poskytnutí úveru. a) Vypočítajte výšku jednej splátky (banka zaokrúhľuje na eurá). b) Vypočítajte, koľko eur zaplatí celkom pani Anna banke? c) Koľko eur celkom predstavuje úrok? 9. Klient hypotekárnej banky získal hypotekárny úver na stavbu domu vo výške 49 800 EUR na dobu 15 rokov. Úver bude splácať mesačnými anuitami. Predpokladajme, že počas celej doby splácania úveru bude úroková miera 7,5 %. a) Vypočítajte, koľko eur bude v takomto prípade predstavovať výška anuity. b) Koľko eur celkom splatí klient za 15 rokov hypotekárnej banke mesačnými anuitami? c) Koľko eur z anuity pripadne na úrok z úveru a koľko na úmor dlhu pri prvej, druhej a tretej splátke?

10. Predajná cena obývacej steny pri platení v hotovosti je 497 EUR. Túto stenu je možné kúpiť i na splátky. Akontácia je 30 % z predajnej ceny; ďalej sa zaplatí 12 mesačných splátok po 32,90 EUR, prvá na konci prvého mesiaca po realizácii predaja. c) Vypočítajte, koľko eur stojí obývacia stena pri predaji na splátky. d) Vypočítajte, koľko by sme za stenu zaplatili celkom, keby sme získali na 70 % z jej predajnej ceny spotrebný úver na 12 mesiacov s úrokovou mierou 12,5 %. e) Vypočítajte úrokovú mieru úveru na 70 % z čiastky 497 EUR s dobou splatnosti 1 rok a s mesačnými anuitami 32,90 EUR. f) Vypočítajte, koľko by nás stála obývacia stena celkom, keby sme získali spotrebný úver na 12 mesiacov s úrokovou mierou 12,5 % na celú čiastku, t.j. na 497 EUR. *11. Pán Sporivý si požičal od pani Lakomej 120 EUR (3 615,12 SKK). Dohodli sa, že pán Sporivý zaplatí na konci prvého mesiaca po poskytnutí pôžičky 3 EUR (90,38 SKK) a na konci každého ďalšieho mesiaca čiastku o 0,80 EUR (24,10 SKK) vyššiu ako na konci predchádzajúceho mesiaca. Pri poslednej splátke dá pani Lakomej naviac 6,50 EUR (195,82 SKK) ako úrok. Koľko mesiacov bude pán Sporivý splácať pôžičku? *12. Dokážte, že pri anuitných splátkach tvoria úmory geometrickú postupnosť t s koeficientom 1+ i. 360

6. Stereometria III 1. Daná je kocka FILOME A, X je stred hrany MA. a) Zostrojte rovinu kolmú na hranu M cez bod E. b) Zostrojte rovinu kolmú na úsečku X cez bod E. 2. Daná je kocka HERMIO A. a) Zostrojte kolmicu z bodu O na rovinu HRA. b) Určte vzdialenosť bodu O od roviny HRA. 3. Daná je kocka JOZEFI A, bod Q je stred hrany EA. Zostrojte rovinu kolmú na IQ cez bod F. 4. Určte uhol priamok KR a OA, pričom body K, R, O a A sú vrcholy kocky KOR ELIA. 5. Daná je kocka VERO IKA. Určte uhol priamky IE s rovinou KE. 6. Ferdinand, Samuel a Krištof mali zobraziť skutočnú veľkosť uhla rovín KLM a BCG. Ferdinand tvrdí, že uhol daných dvoch rovín vidí na obrázku ako uhol α a musí len zistiť jeho skutočnú veľkosť. Samuel je presvedčený, že to nemusí robiť, lebo uhol daných dvoch rovín vidí neskreslene v stene ABFE ako uhol β. Krištof nato nič nepovedal, len nakreslil nasledujúci obrázok. E 1 2 2 Kto z nich má pravdu a prečo? 1 7. Určte uhol rovín BHA a BHI v kocke BOHUMILA.

8. Rozhodni, ktoré výroky sú pravdivé. Svoje tvrdenie zdôvodni (a, b sú priamky; α, β sú roviny; K je stred EH a L je stred CG v kocke ABCDEFGH). c) a b α; ( a α b α) d) α β a, b; ( a α b β a b) e) ( a= EH b= BF) a b a= KF b= BL a ( ) b

7. Výpočtové úlohy zo stereometrie 1. Určte vzdialenosť bodov T a S v kocke BOHUMILA s dĺžkou hrany 4 cm, keď bod S je stred úsečky OL a pre bod T platí: 4MT = MB. 2. Určte vzdialenosť bodu E od priamky AF v kocke FILOME A. 3. Určte vzdialenosť bodu O od roviny HRK v kocke HERMIO A, kde K je stred hrany MA. 4. Určte vzdialenosť protiľahlých hrán pravidelného štvorstena RIŠO s dĺžkou hrany 2 a=. 5. Určte veľkosť uhla priamok UF a IQ v kocke JOZEFI A, kde U je stred hrany OJ a Q je stred hrany A. 6. Určte veľkosť uhla priamky OL s rovinou MOP v kocke KOR ELIA, kde M je stred hrany KE a P je stred hrany IR. 7. Určte veľkosť uhla rovín VAR a VIR v kocke SVETOZAR, kde I je stred hrany OS

8. Číselné sústavy 1. Nájdite prislúchajúce dvojice čísel: a) MCMLXIII 1) 1944 b) MMCCXXXI 2) 2329 c) LIX 3) 178 d) CLXXCIII 4) 96 e) ICVI 5) 59 f) MCMXLIC 6) 1963 g) MMCCCXXIX 7) 2231 2. Demonštrujte rozdiel medzi pozičnou a nepozičnou číselnou sústavou. 3. Ľuboslavus a Jaroslavus si robili úlohu z matematiky. Obaja sú presvedčení o svojej pravde. Komu by ste uznali domácu úlohu za plný počet bodov? Ľuboslavus: CCXII + LI = CCXLIII MMCCCL CCCCL = MCM Jaroslavus: CCXII + LI = CCLXIII MMCCCL CCCCL = MMC 4. Preveďte nasledujúce čísla do dvojkovej, osmičkovej a šestnástkovej sústavy: a) 132 b) 179 c) 1 231 d) 806 e) 512 f) 1 024 5. Preveďte do desiatkovej sústavy a) 111011101 2 b) 572536 8 c) 1AB3 16 d) 120201211 3 e) 213242 5 f) 25641 7 6. Bez toho, aby ste previedli nasledovné čísla do 10-ovej sústavy, vykonajte príslušné aritmetické operácie: a) 1101101 2 + 1011 2 b) 10763 8 + 721 8 c) ABCD 16 + EFAB 16 d) 1101 2 11 2 e) 232 4 13 4 f) ABC 16 EF 16 7. Bez toho, aby ste dané čísla najskôr previedli do desiatkovej číselnej sústavy, urobte nasledovné prevody: a) 10111101 2 =? 8 b) DADA 16 =? 2 c) ABBA 16 =? 4 d) 123321 4 =? 16 e) 121221 3 =? 9 e) 4835 9 =? 3 8. Zistite, či číslo 9A12 12 je deliteľné číslom 4 (bez prevodu do 10-ovej sústavy).

9. Dirichletov princíp 1. Máme 3 rovnaké misky a 16 rovnakých jabĺk. Na jednu misku sa zmestí najviac 7 jabĺk. a) Koľkými spôsobmi môžeme jablká rozdeliť do misiek? b) Môže sa stať, že po rozdelení všetkých jabĺk bude nejaká miska prázdna? c) Môže byť po rozdelení všetkých jabĺk v každej miske menej ako 6 jabĺk? 2. a) V súťaži o najťažšieho muža súperili traja účastníci. Spolu vážili 622 kg. Minimálne koľko vážil absolútny víťaz? b) V súťaži o najľahšiu ženu súperili tri účastníčky. Spolu vážili 122 kg. Maximálne koľko vážila najľahšia z nich? (Predpokladáme, že súťažiacich vážili s presnosťou na kg.) 3. a) Stará mama mala 7 sliepok. Jej najlepšia nosnica znesie za týždeň 5 vajec. Dokážte, že aspoň dve sliepky starej mamy znesú týždenne rovnaký počet vajec. b) Stará mama rozšírila chov teraz už má 13 sliepok. Ani teraz jej však žiadna sliepka neznesie viac ako 5 vajec týždenne. Dokážte, že aspoň 3 sliepky starej mamy znesú za týždeň rovnaký počet vajec. c) Koľko sliepok by musela stará mama chovať, aby si mohla byť istá, že aspoň 4 z jej sliepok znesú týždenne rovnaký počet vajec? (Stále platí, že žiadna sliepka neznesie viac ako 5 vajec týždenne.) 4. Monika rozlúskla 19 hrachových luskov a vylúpla z nich 161 hrachových guľôčok. Čo môžeme bez obáv tvrdiť? a) Aspoň v 1 lusku bolo (presne) 8 guľôčok. b) V niektorom z luskov muselo byť (presne) 9 guľôčok. c) V každom lusku bolo najviac 10 guľôčok. d) Vo väčšine luskov bolo 8 guľôčok. e) Aspoň v jednom lusku bolo menej ako 9 guľôčok. 5. 20 študentov písalo zápočtovú písomku. Najúspešnejší z nich ju napísal na 19 bodov, najmenej úspešný na 11. Dokážte, že v krúžku musia byť aspoň traja študenti, ktorí napísali písomku na rovnaký počet bodov (predpokladáme, že sa udeľovali iba celé body). 6. Ukážte, že sa tabuľka 5 5 nedá vyplniť číslami 1,0 a 1 tak, aby súčet čísel v každom riadku, stĺpci a diagonále bol iný. 7. a) Vnútri rovnostranného trojuholníka so stranou dĺžky 2 cm je daných 5 rôznych bodov. Dokážte, že vzdialenosť medzi niektorými dvoma z nich je najviac 1 cm. b) Vnútri rovnostranného trojuholníka so stranou dĺžky 2 cm sú dané 4 rôzne body. Dokážte, že vzdialenosť medzi niektorými dvoma z nich je najviac 12 mm. 8. V rovine je daných 6 bodov, žiadne tri z nich neležia na jednej priamke. Každé dva dané body sú spojené modrou, alebo červenou úsečkou. Dokážte, že existuje jednofarebný trojuholník. 9. V rovine je daných 5 priamok. Žiadne dve z nich nie sú navzájom rovnobežné. Dokážte, že niektoré dve z nich zvierajú uhol menší ako 45 o.

10. Dokážte, že v a) Prahe b) Bratislave žijú aspoň dvaja ľudia, ktorí majú na hlave rovnaký počet vlasov. *11. Pozrite si dobre dôkaz nasledujúceho tvrdenia a zistite, v ktorom kroku bol využitý Dirichletov princíp. Každé prirodzené číslo má nenulový násobok, ktorého dekadický zápis obsahuje len cifry 0 a 9. Uvažujme čísla 10 0, 10 1,, 10 n. Aspoň dve z nich musia dávať po delení číslom n k j rovnaký zvyšok. To znamená, že n /(10 10 ) pre nejaké k, j 0 k < j n. Teda /10 j.( 10 k n j 1). Ale 10 j.( 10 k j 1) dokázané. je číslo tvaru 99 9000, tvrdenie je *12. Daná je množina n+ 1 prirodzených čísel, žiadne z nich nie je väčšie ako 2n. Dokážte, že v tejto množine existujú dve také čísla, z ktorých jedno je deliteľom druhého. *13. Dokážte, že každá desaťprvková množina prirodzených čísel má neprázdnu podmnožinu, ktorej súčet prvkov je deliteľný 10. *14. V rovine je daných 17 bodov, žiadne tri z nich neležia na jednej priamke. Každé dva dané body sú spojené modrou, červenou alebo zelenou úsečkou. Dokážte, že existuje jednofarebný trojuholník. *15. Dokážte, že z každej 11-prvkovej množiny dvojciferných prirodzených čísel možno vybrať dve neprázdne disjunktné podmnožiny tak, aby tieto mali rovnaký počet i súčet prvkov.