ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Εισαγωγή Στο κεφάαιο αυτό παρουσιάζονται οι έννοιες της τυχαίας µεταβητής της συνάρτησης κατανοµής της συνάρτησης πιθανότητας και της συνάρτησης πυκνότητας Μεετώνται οι σηµαντικότερες διακριτές και συνεχείς κατανοµές Εισάγεται η έννοια της ροπής µίας τυχαίας µεταβητής µαζί µε αρκετά παραδείγµατα προτάσεις και εφαρµογές Παρουσιάζονται οι σηµαντικότερες ανισότητες ροπών και πιθανοτήτων και µεετώνται συγκεκριµένες ποσότητες που περιγράφουν συνοπτικά µία τυχαία µεταβητή όπως η µέση τιµή η διασπορά το µέτρο ασυµµετρίας και το µέτρο κύρτωσης Τυχαίες µεταβητές Κατά τη µεέτη ενός πειράµατος τύχης µπορούµε να αντιστοιχίσουµε σε κάθε δειγµατικό σηµείο έναν αριθµό χρησιµοποιώντας έναν προκαθορισµένο κανόνα αντιστοίχησης Υπάρχει δηαδή η δυνατότητα ορισµού µιας συνάρτησης η οποία σε κάθε σηµείο ω του δειγµατικού χώρου Ω να αντιστοιχεί έναν πραγµατικό αριθµό ω Μία τέτοια συνάρτηση καείται τυχαία µεταβητή rdom vril Ο συµβοισµός ω σηµαίνει ότι όταν το αποτέεσµα του πειράµατος τύχης είναι το ω Ω τότε η τιµή που θα πάρει η τυχαία µεταβητή είναι ίση µε ίνουµε τον ακόουθο ορισµό Ορισµός Τυχαία µεταβητή Έστω Ω ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης Μία πραγµατική συνάρτηση : Ω R καείται τυχαία µεταβητή του πειράµατος αν για κάθε διάστηµα I R το σύνοο { ω Ω ω I} είναι ενδεχόµενο του Ω Η πιθανότητα εµφάνισης του ενδεχοµένου θα γράφεται ως I Μία τυχαία µεταβητή : Ω πραγµατικών αριθµών R Το συνόο αυτό είναι το R αντιστοιχεί το δειγµατικό χώρο Ω σε ένα υποσύνοο του συνόου των { R: ω για κάποιο ω Ω} και καείται πεδίο τιµών ή σύνοο τιµών s o vlus της τυχαίας µεταβητής Συµβοίζεται συνήθως µε R ή µε S Παράδειγµα α Έστω το τυχαίο πείραµα της ρίψης δύο ζαριών Ο δειγµατικός χώρος είναι Ω { i j i j K6} Ορίζουµε την τυχαία µεταβητή : Ω R τέτοια ώστε i j i j Η αναπαριστά το άθροισµα των ενδείξεων των δύο ζαριών 54
β Έστω το τυχαίο πείραµα της ρίψης ενός νοµίσµατος φορές Ορίζουµε την τυχαία µεταβητή : αριθµός των εµφανιζοµένων κεφαών στις ρίψεις Ο δειγµατικός χώρος Ω του πειράµατος αποτεείται από είναι µία άδες µε ενδείξεις Κ για τις κεφαές και Γ για τα γράµµατα Αν ένα στοιχείο ω του δειγµατικού χώρου άδα µε πέντε ενδείξεις κεφαής τότε ω 5 γ Έστω η τυχαία µεταβητή : χρόνος ζωής ενός ηεκτρικού αµπτήρα Το πεδίο τιµών της είναι το σύνοο R [ δ Έστω η τυχαία µεταβητή : ενδιάµεσος χρόνος άφιξης τρένων σε ένα συγκεκριµένο σταθµό Αν ο χρόνος µεταξύ των διαδοχικών αφίξεων των τρένων δεν ξεπερνάει τα πέντε επτά τότε η πιθανότητα να περιµένουµε περισσότερο από δύο επτά αν φτάσουµε στο σταθµό τη στιγµή που φεύγει ένα τρένο είναι ίση µε < 5 Παρατήρηση Η : Ω R είναι τυχαία µεταβητή αν και µόνο αν για κάθε πραγµατικό αριθµό το σύνοο { ω Ω ω } I δηαδή είναι ενδεχόµενο ως στοιχείο της συογής I που είναι ένα σ σώµα ενδεχοµένων Αν B είναι ένα υποσύνοο του R τότε η αντίστροφη εικόνα του συνόου B υπό την τυχαία µεταβητή συµβοίζεται ως B και ορίζεται ως B { ω Ω ω B} Ισοδύναµος και απούστερος συµβοισµός της αντίστροφης εικόνας είναι ο B Το σύνοο B µπορεί να έχει τη µορφή αριθµήσιµων ενώσεων ή τοµών ή συµπηρωµάτων ηµι-ευθειών της µορφής ] R Για παράδειγµα το c σύνοο B µπορεί να είναι το σύνοο B 5 [5 Παράδειγµα Σύµφωνα µε την παραπάνω παρατήρηση αν για παράδειγµα ότι: { ω Ω ω } { } I : Ω R είναι µία τυχαία µεταβητή θα ισχύει { ω Ω ω } ] I < { ω Ω ω < } I { ω Ω ω } [ I > { ω Ω ω > } I < { ω Ω < ω } ] I 55
Η συνάρτηση κατανοµής και οι ιδιότητές της Ο υποογισµός πιθανοτήτων που σχετίζονται µε µία τυχαία µεταβητή είναι εφικτός αν βρεθεί µία έκφραση για τις πιθανότητες για όα τα R Η συνάρτηση κατανοµής disriuio ucio F µας δίνει όες τις πηροφορίες που χρειαζόµαστε για την τυχαία µεταβητή ίνουµε τον ακόουθο ορισµό Ορισµός Έστω : Ω R µία τυχαία µεταβητή Η συνάρτηση κατανοµής σκ F της τυχαίας µεταβητής είναι η συνάρτηση F : R [ ] µε τύπο F { ω Ω : ω } R Μία συνάρτηση κατανοµής έχει τις ακόουθες ιδιότητες α Η συνάρτηση κατανοµής Έστω F µιας τυχαίας µεταβητής είναι αύξουσα µη φθίνουσα R τέτοια ώστε < Θα πρέπει να ισχύει ότι F F Όµως { ω Ω ω } { ω Ω ω } { ω Ω ω } { ω Ω ω } F F Άρα η συνάρτηση F είναι αύξουσα µη φθίνουσα β lim F Έστω µία αύξουσα ακοουθία { } τέτοια ώστε lim Αρκεί να δείξουµε ότι lim F Αυτό προκύπτει από το Θεώρηµα Συνέχειας διότι η ακοουθία ενδεχοµένων { A } µε A { } είναι αύξουσα µε lim A U A U{ } { < } Εποµένως lim F lim A lim A < Ω γ lim F Η απόδειξη είναι παρόµοια µε την απόδειξη της ιδιότητας β δ Η συνάρτηση κατανοµής F είναι δεξιά συνεχής H Πρόταση δ µπορεί εναακτικά να διατυπωθεί ως εξής: Για κάθε φθίνουσα ακοουθία πραγµατικών αριθµών } µε lim ισχύει lim F F { Αφού η ακοουθία { } είναι φθίνουσα η αντίστοιχη ακοουθία ενδεχοµένων { A } µε A { } θα είναι φθίνουσα Επίσης ισχύει I I lim A A { } { } εποµένως χρησιµοποιώντας πάι το Θεώρηµα Συνέχειας προκύπτει ότι lim F lim A lim A F 56
Παράδειγµα Να εκφραστούν οι πιθανότητες < και > συναρτήσει της συνάρτησης κατανοµής F για µία τυχαία µεταβητή Λύση Είναι < και τα ενδεχόµενα < και είναι ξένα µεταξύ τους Εποµένως < Συνεπώς < F F c Είναι > [ > ] F ιακριτές και συνεχείς τυχαίες µεταβητές Αν το πεδίο τιµών R µιας τυχαίας µεταβητής είναι πεπερασµένο ή το πού απείρως αριθµήσιµο τότε η καείται διακριτή ή απαριθµητή discr Σε αυτή την περίπτωση το σύνοο τιµών της έχει τη µορφή S R { K} ή τη µορφή S R { K N } Το σύνοο S καείται φορέας της τυχαίας µεταβητής Σε κάθε διακριτή τυχαία µεταβητή µπορούµε να αντιστοιχήσουµε µία πραγµατική συνάρτηση : R R µε τύπο i i i S η οποία καείται συνάρτηση πιθανότητας σπ proili ucio ή συνάρτηση µάζας πιθανότητας σµπ proili mss ucio της Για παράδειγµα κατά τη ρίψη ένος νοµίσµατος φορές η τυχαία µεταβητή που µετράει τον αριθµό των κεφαών είναι µία διακριτή τυχαία µεταβητή µε πεπερασµένο σύνοο τιµών { K } R Μία συνάρτηση πιθανότητας ικανοποιεί τις ακόουθες δύο ιδιότητες: α για κάθε i K i β i i S Επιπέον για µία διακριτή τυχαία µεταβητή ισχύει ότι F U { } Η συνάρτηση πιθανότητας µιας διακριτής τυχαίας µεταβητής παριστάνεται γραφικά µε ένα σύνοο κατακόρυφων γραµµών που συνδέουν τα σηµεία µε τα σηµεία για i K Στο βιβίο του i i i Κούτρα [4] σε και σε 6-9 γίνεται σχετική συζήτηση για την γραφική παράσταση της συνάρτησης πιθανότητας αά και τη σχέση µεταξύ των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων πιθανότητας και κατανοµής µίας διακριτής τυχαίας µεταβητής 57
Παράδειγµα 4 Ο αριθµός των αυτοκινήτων που πουάει µία έκθεση σε µία εβδοµάδα είναι τυχαία µεταβητή µε συνάρτηση πιθανότητας που δίνεται από τον τύπο: c 4 5 και c 6789 α Να βρεθεί η τιµή της σταθεράς c β Ποια είναι η πιθανότητα να πουηθούν σε µία εβδοµάδα i ιγότερα από 4 αυτοκίνητα; ii περισσότερα από 5 αυτοκίνητα γνωρίζοντας ότι έχουν πουηθεί τουάχιστον ; Λύση α Είναι R { K9} οπότε θα ισχύει ότι ή ισοδύναµα 5 c c 5 β Για τον υποογισµό των πιθανοτήτων έχουµε: 6 i < 4 5 5 > 5 > 5 6 7 8 9 5 ii > 5 5 5 9 Παράδειγµα 5 Οι ηµερήσιες παραγγείες σε -άδες χιιάδες τεµάχια που δέχεται ένα εργοστάσιο το οποίο κατασκευάζει CD περιγράφονται από µία τυχαία µεταβητή µε συνάρτηση κατανοµής F < F < F < F όπου είναι µία πραγµατική σταθερά Υποθέτουµε ότι οι ηµερήσιες παραγγείες είναι ιγότερες από τεµάχια α Να υποογιστεί η τιµή της σταθεράς β Να υποογιστεί η πιθανότητα σε µία ηµέρα να παραγγεθούν περισσότερα από 5 τεµάχια γ Αν κάποια ηµέρα οι παραγγείες έχουν ξεπεράσει τα 5 τεµάχια ποια είναι η πιθανότητα να υπερβούν και τα 75 τεµάχια; Λύση α Υποθέτουµε ότι < Εποµένως < F β > F 4 γ Η ζητούµενη πιθανότητα είναι ίση µε > > > F 4 4 4 4 4 4 > > 4 4 8 > > F 4 4 4 4 Μία τυχαία µεταβητή καείται συνεχής coiuous αν υπάρχει µία µη-αρνητική συνάρτηση : R [ τέτοια ώστε για κάθε υποσύνοο B του συνόου R των πραγµατικών αριθµών το οποίο 58
µπορεί να γραφεί ως ένωση ενός πεπερασµένου ή απείρως αριθµήσιµου πήθους διαστηµάτων ισχύει ότι d B R Η συνάρτηση καείται συνάρτηση πυκνότητας σπ dsi ucio της B Αν B τότε d Αν B [ ] τότε [ ] d Αν d Εποµένως η πιθανότητα η να πάρει οποιαδήποτε συγκεκριµένη τιµή είναι µηδέν Η τιµή δεν εκφράζει την πιθανότητα όπως στις διακριτές κατανοµές αά δίνει το πόσο πιθανό είναι να βρίσκεται η τυχαία µεταβητή πού κοντά στην τιµή Όσο µεγαύτερη είναι η τιµή τόσο περισσότερο πιθανό είναι να πάρει η τυχαία µεταβητή τιµές κοντά στο Στο βιβίο του Κούτρα [4] σε 9-4 γίνεται µία σχετική συζήτηση για το θέµα αυτό από το οποίο ως συνέπεια έπεται ότι σε αντίθεση µε τη συνάρτηση πιθανότητας η οποία παίρνει πάντοτε τιµές µικρότερες ή ίσες της µονάδας για τη συνάρτηση πυκνότητας δεν είναι απαραίτητο κάτι τέτοιο αφού η τεευταία δεν εκφράζει κάποια πιθανότητα Επιπέον ισχύει ότι F < d Αν υποθέσουµε ότι η συνάρτηση πυκνότητας είναι µία συνεχής συνάρτηση τότε όπως γνωρίζουµε από τον Απειροστικό Λογισµό αν παραγωγίσουµε ως προς θα έχουµε F' R Ακόµη και αν η δεν είναι συνεχής παντού η τεευταία σχέση θα ισχύει για κάθε στο οποίο η είναι συνεχής Μία συνάρτηση πυκνότητας χαρακτηρίζεται από τις ακόουθες δύο ιδιότητες α R β d Παράδειγµα 6 Το σφάµα που γίνεται κατά τη µέτρηση µε τη χρήση ενός συγκεκριµένου οργάνου είναι µία συνεχής τυχαία µεταβητή µε συνάρτηση πυκνότητας c4 και διαφορετικά όπου c είναι µία πραγµατική σταθερά α Να υποογιστεί η τιµή της σταθεράς c β Να υποογιστεί η συνάρτηση κατανοµής σφάµα µιας µέτρησης να είναι κατά απόυτη τιµή µικρότερο του Λύση α Θα πρέπει c και d F της τυχαίας µεταβητής γ Να υποογιστεί η πιθανότητα το c4 d c c 59
β Η συνάρτηση κατανοµής της δίνεται από τον τύπο < F d 4 > d 6 Είναι 4 d [ ] Άρα < 6 F > γ < < < F F 6875% 6 4 Παραδείγµατα διακριτών τυχαίων µεταβητών α Οµοιόµορφη διακριτή τυχαία µεταβητή Έστω Ω K } ένας πεπερασµένος δειγµατικός χώρος { N ενός πειράµατος τύχης όπου N φυσικός αριθµός Η συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας µεταβητής ορίζεται ως εξής i i για κάθε i K N Λέµε ότι η είναι µία οµοιόµορφη N διακριτή τυχαία µεταβητή discr uiorm rdom vril Για παράδειγµα θεωρούµε ότι η τυχαία µεταβητή είναι το αποτέεσµα της ρίψης ενός αµερόηπτου ζαριού Στην περίπτωση αυτή το σύνοο τιµών της είναι το διακριτό σύνοο { K 6} και ισχύει ότι i i { K6} 6 β ιωνυµική τυχαία µεταβητή Θεωρούµε ένα πείραµα τύχης το οποίο έχει δύο µόνο δυνατά αποτεέσµατα το ένα εκ των οποίων µπορεί να χαρακτηρισθεί ως «επιτυχία» και το άο µπορεί να χαρακτηρισθεί ως «αποτυχία» Κάθε εκτέεση ενός πειράµατος τύχης µε µόνο δύο δυνατά αποτεέσµατα καείται δοκιµή Επανααµβάνουµε το πείραµα φορές Θεωρούµε ότι η πιθανότητα της «επιτυχίας» είναι ίση µε p και η πιθανότητας της «αποτυχίας» είναι ίση µε q p Έστω η τυχαία µεταβητή που αναπαριστά τον αριθµό των επιτυχιών στις ανεξάρτητες επαναήψεις του πειράµατος Τότε έµε ότι η τυχαία µεταβητή είναι µία διωνυµική τυχαία µεταβητή iomil rdom vril Γράφουµε ~ Bi p και έµε ότι η ακοουθεί τη διωνυµική κατανοµή Οι ποσότητες p καούνται παράµετροι της διωνυµικής κατανοµής Ο δειγµατικός χώρος του πειράµατος είναι Ω { } { } L { } όπου το σύνοο { } εµφανίζεται φορές η ένδειξη συµβοίζει την «αποτυχία» και η ένδειξη συµβοίζει την «επιτυχία» Το πεδίο τιµών της 6
τυχαίας µεταβητής είναι το διακριτό σύνοο { K } Η συνάρτηση πιθανότητας µιας διωνυµικής τυχαίας µεταβητής ~ B p δίνεται από τον τύπο p q K q p * Θα δούµε πως προκύπτει η σχέση * Έστω ότι οι επιτυχίες ενός πειράµατος τύχης εµφανίστηκαν στις πρώτες επαναήψεις του και στις τεευταίες Επιπέον οι επαναήψεις είναι ανεξάρτητες Άρα επιτυχίες αποτυχίες q pl p qlq p επαναήψεις του πειράµατος έχουµε µόνο αποτυχίες Επειδή υπάρχουν τρόποι σύµφωνα µε τους οποίους οι επιτυχίες µπορούν να πραγµατοποιηθούν σε ανεξάρτητες επαναήψεις του πειράµατος προκύπτει ότι p q όπως θέαµε να δείξουµε Η είναι πράγµατι µία συνάρτηση πιθανότητας διότι p p p q και προφανώς K Αν η τυχαία µεταβητή καείται τυχαία µεταβητή Broulli Broulli rdom vril και γράφουµε ~ Broulli p Παράδειγµα 7 Πόσα παιδιά πρέπει να αποκτήσει µία οικογένεια ώστε να έχει µε πιθανότητα µεγαύτερη ή ίση του 9 τουάχιστον ένα αγόρι και τουάχιστον ένα κορίτσι; Υποθέτουµε ότι σε κάθε γέννηση είναι εξίσου πιθανό να γεννηθεί αγόρι ή κορίτσι Λύση Έστω ο ζητούµενος αριθµός παιδιών που πρέπει να αποκτήσει η οικογένεια Έστω η τυχαία µεταβητή που αναπαριστά τον αριθµό των αγοριών που έχει αποκτήσει η οικογένεια στο σύνοο των παιδιών και Y η τυχαία µεταβητή που αναπαριστά τον αριθµό των κοριτσιών που έχει αποκτήσει η οικογένεια στο σύνοο των παιδιών Ισχύει ότι ~ Bi και Y ~ Bi Επιπέον Y Είναι Y l Πρέπει 9 4 l Εποµένως η οικογένεια θα πρέπει να έχει τουάχιστον πέντε παιδιά Παράδειγµα 8 Έστω ότι το 5% από εκείνους που εξετάζονται για την απόκτηση διπώµατος οδηγού αυτοκινήτου αποτυγχάνουν Έστω ότι η τυχαία µεταβητή δίνει τον αριθµό των αποτυχόντων ανάµεσα σε είκοσι πέντε εξεταζόµενους Να υποογιστούν οι πιθανότητες α β γ 5 < 6
Λύση Ισχύει ότι ~ B5 5 α 5 5 < 5 5 75 8 999 5 5 β 5 75 γ 5 < < 5 4 7 786 5 Για τον υποογισµό των πιθανοτήτων που σχετίζονται µε τη διωνυµική κατανοµή χρησιµοποιούµε κατάηους πίνακες για παράδειγµα βέπε βιβίο Γ Ρούσσα [] Θεωρία Πιθανοτήτων σε 8-88 γ Τυχαία µεταβητή oisso Έστω η τυχαία µεταβητή που αναπαριστά τον αριθµό των πεατών που φθάνουν σε ένα ταµείο εντός ορισµένου χρονικού διαστήµατος ή τον αριθµό των τροχαίων ατυχηµάτων που συµβαίνουν σε µία περιοχή κατά τη διάρκεια µιας ηµέρας ή τον αριθµό των σωµατιδίων που εκπέµπονται από µία ραδιενεργό πηγή εντός δοθέντος χρονικού διαστήµατος Σε όα τα παραπάνω παραδείγµατα η τυχαία µεταβητή αµβάνει τιµές K και η πιθανότητα µπορεί να προσεγγισθεί ικανοποιητικά από µία κατανοµή πιθανότητας που καείται κατανοµή oisso oisso disriuio H συνάρτηση πιθανότητας της ορίζεται ως εξής : K >! Η ποσότητα καείται παράµετρος της κατανοµής oisso και η παραπάνω συνάρτηση είναι πράγµατι µία σπ διότι! Αν µία τυχαία µεταβητή ακοουθεί την κατανοµή oisso µε παράµετρο > γράφουµε ~ oisso Ισχύει το ακόουθο οριακό θεώρηµα σύµφωνα µε το οποίο η κατανοµή oisso προσεγγίζεται από τη διωνυµική κατανοµή Θεώρηµα Προσέγγιση της κατανοµής oisso από τη διωνυµική κατανοµή Έστω µία ακοουθία τυχαίων µεταβητών { } που ακοουθεί τη διωνυµική κατανοµή µε παραµέτρους και p Έστω ότι καθώς p και p για κάποιο > Τότε p p καθώς για κάθε σταθερό K! Απόδειξη Έχουµε p p!!! 6
L L!! L καθώς διότι καθώς!! Παράδειγµα 9 Μία πόη έχει χίια σπίτια Κατά τη διάρκεια ενός χρόνου η πιθανότητα να παραβιαστεί οποιοδήποτε από αυτά είναι Να υποογιστεί η πιθανότητα κατά τη διάρκεια ενός έτους να γίνουν τουάχιστον δύο διαρρήξεις Λύση Έστω η τυχαία µεταβητή που αναπαριστά τον αριθµό των διαρρήξεων κατά τη διάρκεια ενός έτους Ισχύει ότι ~ B Σύµφωνα µε το Θεώρηµα έχουµε < Παράδειγµα Έστω ότι ο αριθµός των θανάτων σε ένα νοσοκοµείο των Αθηνών σε ένα µήνα ακοουθεί την κατανοµή oisso Αν η πιθανότητα να συµβεί το πού ένας θάνατος σε ένα µήνα είναι τετραπάσια της πιθανότητας να συµβούν δύο ακριβώς θάνατοι σε ένα µήνα να υποογιστεί η πιθανότητα α να µη συµβεί θάνατος σε ένα µήνα β να συµβούν το πού δύο θάνατοι σε ένα µήνα Λύση Έστω ότι η τυχαία µεταβητή αναπαριστά τον αριθµό των θανάτων σε ένα µήνα Τότε ~ oisso Από τα δεδοµένα προκύπτει ότι 4 δηαδή 4 Έπεται ότι ή! µία µη αποδεκτή ύση Άρα ~ oisso α 7 β 5 9! η οποία είναι δ Γεωµετρική τυχαία µεταβητή Έστω ότι η πιθανότητα επιτυχίας ενός πειράµατος τύχης µε δύο µόνο δυνατά αποτεέσµατα «επιτυχία» «αποτυχία» είναι ίση µε p Έστω η τυχαία µεταβητή που αναπαριστά τον αριθµό των δοκιµών µέχρι την εµφάνιση της πρώτης επιτυχίας Το πεδίο τιµών της τυχαίας µεταβητής είναι το διακριτό σύνοο { K } Λέµε ότι η ακοουθεί τη Γεωµετρική κατανοµή Gomric disriuio µε παράµετρο p και γράφουµε ~ G p Η συνάρτηση πιθανότητας της τυχαίας µεταβητής είναι αποτυχία στη η δοκιµή K αποτυχία στη δοκιµή p L p p p p { K} 6 οστή δοκιµή επιτυχία στη οστή
Η είναι πράγµατι µία σπ διότι p p p p p p p p Για τη συνάρτηση κατανοµής της G p έχουµε F < και F q q Όµως p q p q K q p p q Καταήγουµε στον ακόουθο q p τύπο: F < και F q Παράδειγµα Από έρευνες έχει διαπιστωθεί ότι οι µαθητές της ποσοστό 4% Αν αρχίσουµε και ρωτάµε τον ένα µετά τον άον µαθητές της Γ ' τάξης του Γυµνασίου καπνίζουν σε Γ ' τάξης του Γυµνασίου να απαντήσουν στο ερώτηµα αν καπνίζουν ή όχι µέχρις ότου άβουµε την πρώτη θετική απάντηση να υποογιστεί η πιθανότητα να κάνουµε α άρτιο αριθµό ερωτήσεων β περισσότερες από 8 ερωτήσεις και ιγότερες από Λύση Έστω η τυχαία µεταβητή που αναπαριστά τον αριθµό των ερωτήσεων που θα κάνουµε µέχρις ότου άβουµε για πρώτη φορά θετική απάντηση Τότε ~ G p 4 Για 96 4 96 K έχουµε F α Η ζητούµενη πιθανότητα είναι ίση µε 4 K 96 4 β Η ζητούµενη πιθανότητα είναι ίση µε 4 96 96 4 49 8 96 96 8 < < 8 < F F8 Παράδειγµα Έστω ένα µπρεόκ µε 6 κειδιά εκ των οποίων ένα µόνο ανοίγει µια πόρτα οκιµάζουµε τα κειδιά στην πόρτα χωρίς κάποια προτίµηση στη σειρά µέχρι να βρούµε αυτό που την ανοίγει Εξετάζουµε δύο περιπτώσεις α Όταν εέγξουµε ότι ένα κειδί δεν ανοίγει την πόρτα το βάζουµε στην άκρη και δεν το ξαναδοκιµάζουµε β Έστω εναακτικά πως όγω του ότι πάσχουµε από αµνησία όταν εέγξουµε ότι ένα κειδί δεν ανοίγει την πόρτα δεν το βάζουµε στην άκρη αά το επιστρέφουµε στο µπρεόκ και ξαναρχίζουµε την αναζήτηση εντεώς από την αρχή Υποογίστε και για τις δύο περιπτώσεις την πιθανότητα να χρειαστούµε ακριβώς 4 προσπάθειες µέχρι να βρούµε το σωστό κειδί Λύση Έστω το πήθος των φορών που θα δοκιµάσουµε αν ανοίγει την πόρτα ένα κειδί α Σε αυτήν την περίπτωση η τµ είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένη στο σύνοο { 456 } και εποµένως 64
65 6 6 } { K i i Άρα 6 4} { β Στη δεύτερη περίπτωση η τµ ακοουθεί τη γεωµετρική κατανοµή µε πιθανότητα επιτυχίας 6 p εποµένως 6 5 6 6 5 4} { 4 p p ε Υπεργεωµετρική τυχαία µεταβητή Έστω ότι µία κάπη περιέχει ευκές και µαύρες σφαίρες Εξάγουµε διαδοχικά τη µία µετά την άη σφαίρες χωρίς επανατοποθέτηση Έστω η τυχαία µεταβητή που αναπαριστά τον αριθµό των ευκών σφαιρών που περιέχονται στο δείγµα των σφαιρών Η κατανοµή της τυχαίας µεταβητής καείται υπεργεωµετρική κατανοµή hprgomric disriuio µε παραµέτρους και και θα συµβοίζεται µε h Η συνάρτηση πιθανότητας της υπεργεωµετρικής κατανοµής µε παραµέτρους και δίνεται από τον τύπο: Τα αποτεέσµατα του πειράµατος είναι όες οι δυνατές επιογές σφαιρών από τις συνοικά σφαίρες που υπάρχουν στην κάπη Τα ευνοϊκά αποτεέσµατα για το ενδεχόµενο } { προκύπτουν επιέγοντας ευκές σφαίρες από τις που είναι διαθέσιµες και µαύρες από τις που είναι διαθέσιµες Το πήθος των τρόπων επιογής των ευκών σφαιρών είναι και για κάθε τέτοια επιογή υπάρχουν δυνατές επιογές για τις µαύρες σφαίρες που χρειάζονται για να συµπηρωθεί το δείγµα Ο αριθµός των τρόπων επιογής των ευνοϊκών αποτεεσµάτων θα είναι από τη Bασική Aρχή Απαρίθµησης ίσος µε Το πεδίο τιµών της τυχαίας µεταβητής είναι το διακριτό σύνοο } { K όπου } mi{ Αν η τυχαία µεταβητή ακοουθεί την υπεργεωµετρική κατανοµή µε παραµέτρους και γράφουµε ~ h H είναι πράγµατι µία σπ διότι διότι αποδεικνύεται ότι ισχύει η ταυτότητα
Παράδειγµα Οι τύποι οµάδων αίµατος είναι O A B και ΑΒ Έχουµε εκατό άτοµα από τα οποία σαράντα πέντε έχουν τύπο αίµατος Ο Επιέγουµε τυχαία είκοσι άτοµα Ορίζουµε την τυχαία µεταβητή που αναπαριστά τον αριθµό των ατόµων µε οµάδα αίµατος Ο Ζητάµε να βρούµε την πιθανότητα 8 4555 8 Λύση Είναι 8 8 76 διότι ~ h45 55 Παράδειγµα 4 Ακριβώς οι µισές από τις µπαταρίες που κρατάτε στο ντουάπι σας είναι άδειες χωρίς όµως να ξέρετε ποιες είναι αυτές Βιαστικά φεύγετε σε εκδροµή και παίρνετε 4 µπαταρίες από το ντουάπι χωρίς να έχετε χρόνο να εέγξετε αν είναι άδειες ή φορτισµένες Ποια είναι η πιθανότητα καµία από τις 4 µπαταρίες να µην είναι φορτισµένη; Λύση Έστω το πήθος φορτισµένων µπαταρίων που επιέξατε Εφόσον επιέγουµε µπαταρίες χωρίς 55 4 επανατοποθέτηση ~ h455 Άρα { } 8% 4 4 στ Αρνητική διωνυµική τυχαία µεταβητή Έστω µία ακοουθία ανεξάρτητων δοκιµών Broulli µε πιθανότητα επιτυχίας ίση µε p Έστω η τυχαία µεταβητή που δίνει το πήθος των αποτυχιών µέχρι ότου οι πρώτες r r επιτυχίες εµφανιστούν οπότε το πείραµα τύχης τερµατίζεται Για να συµβεί το παραπάνω πρέπει το πείραµα τύχης να επαναηφθεί r φορές συν το πήθος των αποτυχιών πριν την επιτυχία Το πεδίο τιµών της τυχαίας µεταβητής είναι το διακριτό σύνοο { K } r οστή Λέµε ότι η ακοουθεί την αρνητική διωνυµική κατανοµή µε παραµέτρους r p και γράφουµε ~ NgivBiomil r p Στη ειδική περίπτωση κατά την οποία r έχουµε τη Γεωµετρική κατανοµή Η συνάρτηση πιθανότητας της είναι στις πρώτες r δοκιµές έχουµε r επιτυχίες στη r δοκιµή έχω r r r r επιτυχία p p p p p K Η δεύτερη ισότητα είναι συνέπεια της r ταυτότητας Το ενδεχόµενο { } σηµαίνει ότι εµφανίστηκαν r επιτυχίες από τις οποίες µία στην τεευταία θέση και αποτυχίες πριν την τεευταία επιτυχία Λόγω ανεξαρτησίας η πιθανότητα ενός τέτοιου ενδεχοµένου είναι ίση µε r r p p p p p 66 και η πιθανότητα αυτή είναι η
ίδια ανεξάρτητα από τις θέσεις στις οποίες οι πρώτες r επιτυχίες συνέβησαν και φυσικά και οι αποτυχίες Ο αριθµός αυτών των γεγονότων είναι ίσος µε τον αριθµό επιογής θέσεων από r θέσεις για την r τοποθέτηση των πρώτων r επιτυχιών δηαδή Η είναι πράγµατι µία συνάρτηση πιθανότητας διότι είναι µη-αρνητική και επιπέον διαδοχικά έχουµε ότι: r r r r r r p p p p p p p r r r r p [ p ] p p Η τρίτη ισότητα ισχύει διότι r r p r r! r Lr! r!! Η πέµπτη ισότητα ισχύει διότι r r r L r! r Παράδειγµα 5 Για την πρόσηψη του διευθυντή πωήσεων ενός καταστήµατος µία επιτροπή έχει να επιέξει από ένα πήθος υποψηφίων που υπέβααν αίτηση Η επιτροπή αποφασίζει να εξετάσει έναν-έναν που επιέγεται τυχαία προκειµένου να επιέξει τρεις από το σύνοο των υποψηφίων για να καύψει τρεις θέσεις ογιστών Υποτίθεται ότι 4% των υποψηφίων είναι ικανοί να καταάβουν µία από αυτές τις θέσεις Να βρεθεί η πιθανότητα οι θέσεις να καυφθούν µε τον πέµπτο εξεταζόµενο υποψήφιο Λύση Έστω η τυχαία µεταβητή που αναπαριστά τον αριθµό των εξεταζόµενων υποψηφίων που αποτυγχάνουν µέχρι την κάυψη και της τρίτης θέσης ογιστή τότε η ακοουθεί την αρνητική διωνυµική 4 κατανοµή µε p 4 r Ζητάµε την πιθανότητα 4 6 8 5 Παραδείγµατα συνεχών τυχαίων µεταβητών α Οµοιόµορφη συνεχής τυχαία µεταβητή Μία συνέχης τυχαία µεταβητή καείται οµοιόµορφη αν η συνάρτηση πυκνότητας δίνεται από τον τύπο Η είναι πράγµατι µία [ ] συνάρτηση πυκνότητας διότι d Λέµε ότι η τυχαία µεταβητή ακοουθεί τη συνεχής οµοιόµορφη κατανοµή coiuous uiorm disriuio στο διάστηµα [ ] και γράφουµε ~ U Είναι µία κατανοµή η οποία έχει κατασκευαστεί έτσι ώστε σε υποδιαστήµατα του [ ] µε ίσο πάτος εύρος 67
να αντιστοιχεί η ίδια πιθανότητα Επειδή σε µία συνεχή κατανοµή σε ενδεχόµενα της µορφής { } αντιστοιχούν µηδενικές πιθανότητες δεν έχει σηµασία κατά πόσο στον ορισµό της συνάρτησης πυκνότητας της U χρησιµοποιούµε ανισότητες της µορφής ή < κπ Η συνάρτηση κατανοµής F της < δίνεται από τον τύπο F Οι ποσότητες και είναι οι παράµετροι της οµοιόµορφης > κατανοµής Παράδειγµα 6 Ένας αριθµός επιέγεται τυχαία στο διάστηµα [ ] Να υποογιστούν οι πιθανότητες α το πρώτο δεκαδικό ψηφίο του αριθµού να διαιρείται µε το β το πρώτο δεκαδικό ψηφίο της τρίτης ρίζας του να είναι το Λύση Αφού ο αριθµός επιέγεται τυχαία από το διάστηµα [ ] η τυχαία µεταβητή θα ακοουθεί την οµοιόµορφη κατανοµή στο [ ] και η συνάρτηση κατανοµής της θα δίνεται από τον τύπο < F > α Για να διαιρείται µε το το πρώτο δεκαδικό ψηφίο του θα πρέπει να είναι ή ή 6 ή 9 Στην πρώτη περίπτωση έχουµε < ή < ή στην δεύτερη < 4 ή < 4 στην τρίτη 6 < 7 ή 6 < 7 ενώ στην τέταρτη 9 < ή 9 < Όµως οπότε { < } { < } { } < < F F F F Παρόµοια { < 4} { < 4} { 6 < 7} {6 < 7} { 9 < } {9 < } Η ζητούµενη πιθανότητα είναι 4 β Ζητάµε την πιθανότητα { < } { < } Όµως { < } { < } 8 < 7 F7 F8 95 Παρόµοια έχουµε { < } { 78 < } F97 F78 6 68
Εποµένως { < } { < } 95 6 455% Παράδειγµα 7 Έστω ότι η ώρα άφιξης ενός τρένου σε ένα σταθµό είναι µία οµοιόµορφη τυχαία µεταβητή µε παραµέτρους τις πρωινές ώρες 8:45 και 9:5 δηαδή ~ U 8 : 45 9 :5 Αν φτάσετε στο σταθµό ακριβώς στις 9: ποια είναι η πιθανότητα α να χάσετε το τρένο; β να περιµένετε ακριβώς πέντε επτά; γ να περιµένετε το πού πέντε επτά; δ να περιµένετε τουάχιστον πέντε επτά; 9 8 : 45 Λύση α < 9 : 9 : F 9 5 9 :5 8 : 45 β 9 : 5 γ 9 : 9 : 5 F 9 : 5 F 9 : 6 δ 9 : 5 < 9 : 5 F 9 : 5 β Εκθετική τυχαία µεταβητή Λέµε ότι η είναι µία εκθετική τυχαία µεταβητή µε παράµετρο > αν η συνάρτηση πυκνότητας της > δίνεται από τον τύπο Η είναι πράγµατι µία συνάρτηση πυκνότητας διότι d d ' d Η συνάρτηση κατανοµής F της δίνεται από τον τύπο > F d Επιπέον > > Μία σηµαντική ιδιότητα της εκθετικής τυχαίας µεταβητής είναι η αµνήµων ιδιότητα σύµφωνα µε την οποία ισχύει ότι > r > r > r > r > r > r > r Είναι > r > r > r > r > r Μπορούµε να σκεφτούµε την ως το χρονικό διάστηµα που απαιτείται για να παρουσιάσει βάβη ένα µηχάνηµα Η τυχαία µεταβητή µετριέται από τη στιγµή που αρχίζει το µηχάνηµα να ειτουργεί Οι τεευταίες ισότητες µας ένε ότι αν το µηχάνηµα δεν είχε παρουσιάσει βάβη µέχρι τη χρονική στιγµή r η πιθανότητα να µην παρουσιάσει βάβη στις επόµενες χρονικές µονάδες είναι ίση µε τη µη-δεσµευµένη πιθανότητα το µηχάνηµα να µην είχε υποστεί βάβη στις πρώτες χρονικές µονάδες Αυτό σηµαίνει ότι η γήρανση του µηχανήµατος δεν αυξάνει ούτε µειώνει την πιθανότητα να υποστεί βάβη το µηχάνηµα εντός ενός καθορισµένου χρονικού διαστήµατος Η Εκθετική κατανοµή Epoil disriuio αποτεεί µεταξύ 69
άων το κατάηο πιθανοθεωρητικό µοντέο για το χρονικό διάστηµα µεταξύ διαδοχικών κήσεων σε ένα τηεφωνικό κέντρο ή για το χρονικό διάστηµα µεταξύ δύο διαδοχικών ατυχηµάτων σε ένα συγκεκριµένο σηµείο της Εθνικής οδού Παράδειγµα 8 Ο χρόνος ζωής ενός ανθρώπου είναι µία τυχαία µεταβητή που ακοουθεί την Εκθετική κατανοµή µε παράµετρο Βρείτε την πιθανότητα ο άνθρωπος αυτός να ζήσει α το πού εβδοµήντα 75 χρόνια β ακριβώς εβδοµήντα χρόνια γ τουάχιστον εβδοµήντα χρόνια δ πάνω από εβδοµήντα χρόνια αν είναι τριάντα χρονών 7 75 Λύση α 7 F 7 6 β 7 7 75 γ 7 9 4 75 δ > 7 > > 4 59 Η πρώτη ισότητα είναι συνέπεια της ιδιότητας της έειψης µνήµης της Εκθετικής κατανοµής Παράδειγµα 9 Έστω ότι η διάρκεια µιας τηεφωνικής συνδιάεξης ακοουθεί την Εκθετική κατανοµή µε παράµετρο α Αν κάποιος φτάσει σε ένα τηεφωνικό θάαµο ακριβώς πριν απο εµάς ποια είναι η 5 πιθανότητα να χρειαστεί να περιµένουµε περισσότερο από 5 επτά; β Αν τη στιγµή που φτάνουµε στον τηεφωνικό θάαµο το άτοµο που είναι µέσα µιάει ήδη για 5 επτά ποια είναι η πιθανότητα να χρειαστεί να περιµένουµε περισσότερο από 5 επτά; 5 Λύση Η συνάρτηση κατανοµής της δίνεται από τον τύπο F < και F α Έχουµε > 5 5 F5 68% β Με χρήση της ιδιότητας της έειψης µνήµης της Εκθετικής κατανοµής έχουµε: > 5 5 > 5 > 5 F5 68% Παράδειγµα Έστω τυχαία µεταβητή οµοιόµορφα κατανεµηµένη στο [ ] Έστω Y τυχαία µεταβητή εκθετικά κατανεµηµένη µε παράµετρο Έστω τυχαία µεταβητή Z που ορίζεται ως εξής: ρίχνουµε ένα δίκαιο κέρµα και αν έρθει γράµµατα τότε Z Αν έρθει κεφαή Z Y Ποια είναι η πιθανότητα Z < Λύση Έστω T το κέρµα να είναι γράµµατα Από το Θεώρηµα Οικής Πιθανότητας έχουµε 7
7 4 < < < < < Y T T Z T T Z Z c c γ Τυχαία µεταβητή Γάµµα Λέµε ότι η είναι µία τυχαία µεταβητή Γάµµα Gmm µε θετικές παραµέτρους και αν η συνάρτηση πυκνότητάς της είναι > Γ όπου Γ είναι η συνάρτηση Γάµµα Gmm ucio και ορίζεται ως εξής > Γ d Η τυχαία µεταβητή ακοουθεί την κατανοµή Γάµµα Gmm disriuio µε παραµέτρους και και γράφουµε ~ Γάµµα Έστω η διακριτή τυχαία µεταβητή N η οποία µετρά τον αριθµό των γεγονότων που συµβαίνουν στο χρονικό διάστηµα ] [ Έστω οι τυχαίες µεταβητές K που αναπαριστούν τον ενδιάµεσο χρόνο µεταξύ της πραγµατοποίησης του οστού και του οστού γεγονότος Η κατανοµή Γάµµα εκφράζει το συνοικό χρόνο µέχρι την οστή πραγµατοποίηση ενός γεγονότος Εποµένως K Για τον υποογισµό της συνάρτησης κατανοµής της έχουµε i i i i i i i i N N F!! διότι η τυχαία µεταβητή N αποδεικνύεται ότι ακοουθεί την κατανοµή oisso µε παράµετρο Η συνάρτηση Γάµµα αποτεεί γενίκευση της έννοιας του παραγοντικού όπως φαίνεται και από τις ακόουθες ιδιότητές της i Γ Γ όπου > Άµεση συνέπεια της ιδιότητας i είναι η ιδιότητα ii! K Γ διότι! Γ Γ Γ Γ L επειδή Γ d Επιπέον ισχύει ότι π Γ Η είναι πράγµατι µία συνάρτηση πυκνότητας διότι αν θέσουµε διαδοχικά έχουµε Γ d d Γ d Γ Γ
Στην περίπτωση που η είναι µία Εκθετική τυχαία µεταβητή µε παράµετρο > Λέµε ότι η είναι µία Χι-τετράγωνο chi-squrd τυχαία µεταβητή µε r βαθµούς εευθερίας dgrs o rdom και γράφουµε ~ r Kαν ισχύει ότι r r > r ~ Γάµµα r r και η σπ της είναι Γ Παράδειγµα Ο χρόνος επισκευής σε ώρες µιας βάβης ακοουθεί την κατανοµή Γάµµα µε παραµέτρους Ποια είναι η πιθανότητα να χρειαστεί για την επισκευή της βάβης α το πού µία ώρα; β χρόνος από 6 έως 9 επτά; Λύση Η συνάρτηση πυκνότητας του χρόνου επισκευής της βάβης δίνεται από τον τύπο Γ 4 i Η συνάρτηση κατανοµής είναι F i! i α Είναι F 594% β Είναι < 5 F5 F 4 7% δ Κανονική τυχαία µεταβητή Λέµε ότι η είναι µία κανονική τυχαία µεταβητή orml rdom vril µε παραµέτρους µ R σ > και γράφουµε ~ N µ σ αν η συνάρτηση πυκνότητας της είναι µ σ σ π κατανοµή Guss H R Εναακτικά έµε ότι η ακοουθεί την κανονική κατανοµή ή την είναι πράγµατι µία συνάρτηση πυκνότητας για την απόδειξη βέπε βιβίο Μ Κούτρα Εισαγωγή στις Πιθανότητες Μέρος Ι σε 96-97 Το γράφηµα της δηαδή η είναι µία κωδωνοειδής καµπύη και επιπέον ισχύει ότι µ µ R είναι συµµετρική αναφορικά µε την παράµετρο µ Η µεγιστοποιείται σηµείο µ το οποίο είναι το µόνο τοπικό µέγιστο είναι και οικό µέγιστο και τα σηµεία καµπής της είναι τα µ µ µ σ Επιπέον ισχύει ότι ' και '' σ σ σ µ σ και για κάθε R Οι αποδείξεις των παραπάνω αποτεεσµάτων περιαµβάνονται στο βιβίο του Κούτρα σε 4-4 Πρόχειρες γραφικές παραστάσεις για τη συνάρτηση πυκνότητας αά και τη συνάρτηση κατανοµής κανονικών 7
τυχαίων µεταβητών για διάφορες τιµές των παραµέτρων µ και σ παρουσιάζονται στις σε 44-45 του βιβίου του Κούτρα και στη σε 94 του βιβίου του Ρούσσα Αν µ και σ τότε ~ N και η είναι µία τυπική sdrd ui κανονική τυχαία µεταβητή ή µία τυποποιηµένη κανονική τυχαία µεταβητή Εναακτικά έµε ότι η ακοουθεί την τυπική κανονική ή την τυποποιηµένη κανονική κατανοµή Αν ~ N µ σ τότε η συνάρτηση κατανοµής F d της δεν µπορεί να βρεθεί σε κειστή µορφή Για τη τυχαία µεταβητή ~ N οι τιµές της συνάρτησης κατανοµής της Φ δηαδή της συνάρτησης Φ d π φ d R όπου φ είναι η σπ της βρίσκονται σε κατάηους πίνακες τιµών βέπε βιβίο Μ Κούτρα Εισαγωγή στις Πιθανότητες Μέρος Ι σε 98 και βιβίο Ρούσσα σε 9 Η κανονική κατανοµή είναι η πιο σπουδαία κατανοµή στη Θεωρία Πιθανοτήτων και στη Στατιστική Είναι κατάηη για την περιγραφή πηθυσµιακών χαρακτηριστικών πχ ύψος βάρος αά και για την πιθανοθεωρητική περιγραφή των τυχαίων σφαµάτων σε διάφορες πειραµατικές µετρήσεις Για το δεύτερο αυτό όγο µερικές φορές η κανονική κατανοµή καείται και κατανοµή των σφαµάτων disriuio o rrors Ισχύει η ακόουθη σηµαντική πρόταση µ Πρόταση Αν ~ N µ σ τότε Z ~ N σ µ Απόδειξη Έχουµε FZ z Z z z σz µ F σz µ Παραγωγίζουµε ως προς σ ' d z και διαδοχικά έχουµε Z z FZ z F σ z µ σ σz µ Z ~ N dz π z Παράδειγµα Έστω τυχαία µεταβητή ~ N5 Να βρεθεί η πιθανότητα < < Λύση Χρησιµοποιούµε την Πρόταση και έχουµε 5 5 5 5 5 < < < Z < Φ Z Φ Z διότι η τυχαία µεταβητή Z ~ N Πρόταση Αν ~ N τότε Φ Φ Απόδειξη Αν θέσουµε u διαδοχικά έχουµε R 7
Φ Φ d π π d u d du π π d du d π π π u µ Παράδειγµα Αν ~ N µ σ τότε µ σ µ σ Z Φ Z Φ Z σ Φ Z Φ Z Φ Z 84 68 Σύµφωνα µε το παραπάνω παράδειγµα το 68% του χωρίου της κανονικής κωδωνοειδούς καµπύης βρίσκεται ανάµεσα στα όρια µ σ και µ σ Ο αριθµός z για τον οποίον Z > z α <α < καείται α ποσοστιαίο σηµείο ή ποσοστηµόριο της κανονικής κατανοµής και συµβοίζεται µε z α Παράδειγµα 4 Αν Z ~ N να βρεθεί ο z τέτοιος ώστε Z > z α <α < Λύση Είναι Z > z Z z Φ z α Άρα Φ z α Για α Φ z 99 Από τους πίνακες της τυπικής κανονικής κατανοµής z Για α 5 Φ z 95 Από τους πίνακες της τυπικής κανονικής κατανοµής z 64 Για α Φ z 9 Από τους πίνακες της τυπικής κανονικής κατανοµής z 8 Επιπέον αν Z ~ N από τους πίνακες της τυπικής κανονικής κατανοµής έχουµε Z Φ Φ Φ 84 686 68% Z Φ Φ Φ 977 9544 95% Z Φ Φ Φ 9987 9974 997% Επιπέον αν ~ N µ σ τότε από την Πρόταση έχουµε µ σ µ σ µ σ Z Όπως θα δούµε στο επόµενο κεφάαιο η παράµετρος µ είναι η µέση τιµή της κανονικής κατανοµής και η παράµετρος σ είναι η διασπορά της κανονικής κατανοµής Εποµένως περίπου το 68% των τιµών µίας τυχαίας µεταβητής που ακοουθεί την κανονική κατανοµή βρίσκεται σε απόσταση το πού µιας τυπικής απόκισης σ από τη µέση τιµή µ περίπου 95% βρίσκεται σε απόσταση δύο τυπικών αποκίσεων από τη µέση τιµή και περίπου 99% βρίσκεται σε απόσταση τριών τυπικών αποκίσεων από τη µέση τιµή Παράδειγµα 5 Η εσωτερική διάµετρος σε ίντσες των σωήνων από χακό που παράγει ένα εργοστάσιο ακοουθεί την κανονική κατανοµή N σ Σωήνες µε εσωτερική διάµετρο εκτός των ορίων ± ίντσες ανακυκώνονται α Αν σ να βρεθεί η πιθανότητα να ανακυκωθούν ακριβώς τρεις σωήνες σε 74
ένα δείγµα πέντε σωήνων που επιέγεται τυχαία από την παραγωγή του εργοστασίου β Πόση θα πρέπει να γίνει η παράµετρος σ έτσι ώστε η πιθανότητα ανακύκωσης ενός σωήνα να είναι 6; Λύση Έστω η τυχαία µεταβητή που αναπαριστά την εσωτερική διάµετρο των σωήνων Τότε ~ N σ Η πιθανότητα ανακύκωσης των σωήνων είναι p > ή < 9 9 99 < < 99 < < Φ Φ Φ σ σ σ σ σ σ α Η πιθανότητα ανακύκωσης είναι [ Φ ] [ 84] 74 p Έστω Y η τυχαία µεταβητή που αναπαριστά τον αριθµό των σωήνων από το δείγµα των πέντε σωήνων που ανακυκώνονται Ισχύει ότι 5 Y ~ Bi 5 p 74 Τότε Y 74 74 49 β Θα πρέπει p Φ 6 Φ 97 Φ 88 σ σ Άρα 88 σ 5 σ σ 89 ε Τυχαία µεταβητή Cuch Λέµε ότι η είναι µία Cuch τυχαία µεταβητή µε παραµέτρους > και γράφουµε ~ Cuch αν η συνάρτηση πυκνότητας της είναι R R H είναι πράγµατι µία συνάρτηση πυκνότητας διότι π d d d d π π π π [ τοξεφ ] π π π Στην τρίτη ισότητα θέσαµε στ Τυχαία µεταβητή Bήτα Λέµε ότι η είναι µία τυχαία µεταβητή Βήτα B µε θετικές παραµέτρους και γράφουµε ~ B αν η συνάρτηση πυκνότητάς είναι Γ < < και Η είναι πράγµατι µία συνάρτηση Γ Γ πυκνότητας διότι Γ Γ Γ d d επειδή B Γ Γ d Γ και η συνάρτηση B καείται συνάρτηση Βήτα B ucio Αν τότε µία τυχαία µεταβητή 75
τέτοια ώστε ~ B συµπίπτει µε την οµοιόµορφη τυχαία µεταβητή στο διάστηµα Λέµε ότι η ακοουθεί την κατανοµή Βήτα µε παραµέτρους και Η κατανοµή Βήτα παρέχει ένα ικανοποιητικό µοντέο για την περιγραφή τυχαίων µεταβητών που παίρνουν τιµές µεταξύ δύο συγκεκριµένων ορίων όπως για παράδειγµα το ποσοστό ατόµων ενός πηθυσµού που έχουν µία συγκεκριµένη ιδιότητα ζ Τυχαία µεταβητή Sud Λέµε ότι η είναι µία Sud τυχαία µεταβητή µε Kβαθµούς εευθερίας και γράφουµε ~ αν η συνάρτηση πυκνότητάς της είναι Γ Γ π R Ισχύει ότι lim φ R όπου φ είναι η συνάρτηση πυκνότητας της τυπικής κανονικής κατανοµής Η κατανοµή χρησιµοποιείται πού στη Στατιστική Συµπερασµατοογία για την κατασκευή διαστηµάτων εµπιστοσύνης και τη διεξαγωγή εέγχων υποθέσεων 6 Προτάσεις εφαρµογές και προβήµατα Πρόταση Αν είναι µία συνεχής τυχαία µεταβητή µε συνάρτηση πυκνότητας συνάρτηση πυκνότητας Y της Y δίνεται από τη σχέση Y [ ] > Απόδειξη Η συνάρτηση κατανοµής της Y είναι F Y Y > και Y τότε η F F > Παραγωγίζοντας ως προς έχουµε [ ] > ' Y FY Μία εφαρµογή της παραπάνω πρότασης έχουµε στην ακόουθη εφαρµογή Εφαρµογή Αν ~ N τότε Y ~ 76
77 Είναι [ ] Y π π > Γ π Η τεευταία ισότητα δίνει τη συνάρτηση πυκνότητας της Πρόταση 4 Έστω ότι F είναι η συνάρτηση κατανοµής της συνεχούς τυχαίας µεταβητής Τότε η τυχαία µεταβητή ~ : U F Y Απόδειξη Είναι < < < F F F F Y F Y Μία εφαρµογή της παραπάνω πρότασης έχουµε στην περίπτωση κατά την οποία ~ σ µ N Τότε ~ U Φ σ µ όπου Φ είναι η συνάρτηση κατανοµής της τυπικής κανονικής κατανοµής Πρόβηµα Αν ~ N βρείτε την κατανοµή της τυχαίας µεταβητής Y Λύση Είναι log log < F Y F Y Άρα log log log > F d d Y π Η κατανοµή της τυχαίας µεταβητής Y καείται ογαριθµοκανονική logorml Πρόβηµα Επαηθεύσατε ότι οι συναρτήσεις R και g π R είναι συναρτήσεις πυκνότητας Λύση Είναι d d Η πρώτη ισότητα προκύπτει αν θέσουµε Είναι [ ] π π τοξεφ π π π d d d g Η δεύτερη ισότητα προκύπτει αν θέσουµε
Πρόβηµα Αν ~ oisso > δείξτε ότι η πιθανότητα να πάρει η τυχαία µεταβητή άρτια τιµή είναι ίση µε Λύση η παίρνει άρτια τιµή U { } Η! προτεευταία ισότητα προκύπτει από τον τύπο του υπερβοικού συνιµητόνου σύµφωνα µε τον οποίον ισχύει ότι: cosh! 7 Μέση τιµή Στα δύο επόµενα εδάφια θα µεετήσουµε συγκεκριµένες ποσότητες που προκύπτουν από τη συνάρτηση πιθανότητας ή πυκνότητας ή τη συνάρτηση κατανοµής µιας τυχαίας µεταβητής καούνται παράµετροι prmrs και δίνουν µία συνοπτική περιγραφή της συµπεριφοράς της τυχαίας µεταβητής ίνουν κάποιες ενδείξεις για τη θέση και το σχήµα της κατανοµής της τυχαίας µεταβητής Η πρώτη παράµετρος που θα µεετήσουµε είναι η µέση τιµή m η οποία αποτεεί για τη Θεωρία Πιθανοτήτων το ανάογο του µέσου όρου ή του αριθµητικού µέσου µιας ακοουθίας αριθµών ίνει µία ένδειξη για τη θέση γύρω από την οποία είναι τοποθετηµένες οι τιµές της τυχαίας µεταβητής Αντιπροσωπεύει κάτα κάποιο τρόπο όες τις δυνατές τιµές µίας τυχαίας µεταβητής Για το όγο αυτό συχνά καείται µέτρο ή παράµετρος θέσεως ή κεντρικής τάσεως της αντίστοιχης κατανοµής Ορισµός Η µέση τιµή ή µέσος ή µαθηµατική επίδα ή αναµενόµενη τιµή µιας τυχαίας µεταβητής ορίζεται ως εξής: α E αν < και η είναι διακριτή β E d αν d < και η είναι συνεχής Παράδειγµα 6 Έστω ~ oisso Είναι E!!!!! Η πέµπτη ισότητα προκύπτει αν θέσουµε Παράδειγµα 7 Έστω ~ U Είναι d m [ ] < 78
E d Η µέση τιµή µιας τυχαίας µεταβητής δεν υπάρχει πάντα Χαρακτηριστικό παράδειγµα αποτεεί η κατανοµή ro η οποία µεταξύ άων χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για την περιγραφή του εισοδήµατος του µεγέθους ενός πηθυσµού βέπε Παράδειγµα 6 στο βιβίο Μ Κούτρα Εισαγωγή στις Πιθανότητες Μέρος Ι σε 5-54 Η συνάρτηση πυκνότητας της κατανοµής ro δίνεται από τον τύπο: θ θ και < θ όπου θ > είναι οι παράµετροι της κατανοµής Η µέση τιµή της κατανοµής δεν υπάρχει για Ένα άο χαρακτηριστικό παράδειγµα κατανοµής για την οποία δεν υπάρχει η µέση τιµή είναι η κατανοµή Cuch Έστω για παράδειγµα ότι ~ Cuch τότε [ log ] d d π π π Η πρώτη ισότητα προκύπτει διότι η προς οοκήρωση συνάρτηση είναι άρτια Συνεπώς δεν υπάρχει η µέση τιµή της Ισχύει η ακόουθη σηµαντική πρόταση η οποία παρατίθεται χωρίς απόδειξη για την απόδειξη βέπε βιβίο Hol or So [] Μετάφραση: Απόστοος Γιαννόπουος Εισαγωγή στη Θεωρία Πιθανοτήτων σε - Πρόταση 5 Έστω µία τυχαία µεταβητή και µία συνάρτηση g : R R τέτοια ώστε η g να είναι επίσης µία τυχαία µεταβητή Τότε α E g g αν g < και η είναι διακριτή β E g g d αν g d < και η είναι συνεχής Πρόταση 6 Ισχύει ότι E E R Απόδειξη Η απόδειξη θα γίνει στην περίπτωση που η είναι συνεχής τυχαία µεταβητή Είναι E d d d E Πρόταση 7 Αν c τότε E c Απόδειξη Έστω ότι η είναι διακριτή τυχαία µεταβητή Είναι c E c Πρόταση 8 Ισχύει ότι E E 79
Απόδειξη Είναι και Εποµένως E { } και E { } Άρα d και d d d και d d E E και E E Άρα E E E και συνεπώς E E 8 Ροπές τυχαίων µεταβητών Οι ροπές moms µιας τυχαίας µεταβητής που θα ορίσουµε στο παρόν εδάφιο παρέχουν επιπρόσθετες χρήσιµες πηροφορίες για τη συµπεριφορά µιας τυχαίας µεταβητής Ορισµός Ροπή τάξεως Έστω µία τυχαία µεταβητή Η ροπή τάξεως K της ή της κατανοµής της είναι η ποσότητα µ : E ή ισοδύναµα µ αν η είναι διακριτή µ d αν η είναι συνεχής Παρατηρούµε ότι για µ E δηαδή η ροπή πρώτης τάξεως συµπίπτει µε τη µέση τιµή της Ορισµός Κεντρική ροπή τάξεως Έστω µία τυχαία µεταβητή Η κεντρική ροπή crl mom ' τάξεως K της ή της κατανοµής της είναι η ποσότητα µ : E E ή ισοδύναµα ' ' µ E αν η είναι διακριτή µ E d αν η είναι συνεχής Για η κεντρική ροπή δευτέρας τάξεως της καείται διασπορά ή διακύµανση vric της ' και γράφουµε µ : Vr Η διασπορά δίνει ένα µέτρο της διάχυσης της κατανοµής της γύρω από σ τη µέση τιµή της Όσο περισσότερο αποκίνει η από τη µέση τιµή της τόσο µεγαύτερη είναι η διαφορά E άρα και η διασπορά Η θετική τετραγωνική ρίζα της διασποράς καείται τυπική απόκιση sdrd dviio της και γράφουµε σ Vr Η διασπορά ή η τυπική απόκιση αποτεεί ένα µέτρο του κατά πόσο διασπαρµένες είναι οι τιµές µίας τυχαίας µεταβητής περί τη µέση τιµή της Εάν οι διάφορες δυνατές τιµές της τυχαίας µεταβητής είναι συγκεντρωµένες κοντά στη µέση τιµή η διασπορά είναι µικρή ενώ εάν είναι αρκετά διασπαρµένες η διασπορά είναι µεγάη 8
Συχνά µία κατανοµή δεν είναι συµµετρική δηαδή δεν υπάρχει τιµή της τυχαίας µεταβητής ως προς την οποία η συνάρτηση πιθανότητας ή η συνάρτηση πυκνότητας να είναι συµµετρική Σε τέτοιες περιπτώσεις η κατανοµή παρουσιάζει συχνά µία «ουρά» είτε προς τα δεξιά οπότε προκύπτει µία κατανοµή ασύµµετρη προς τα ' µ δεξιά είτε προς τα αριστερά οπότε προκύπτει µία κατανοµή ασύµµετρη προς τα αριστερά Η ποσότητα α σ είναι γνωστή ως µέτρο ασυµµετρίας της διότι δείχνει πόσο συµµετρική α ή ασύµµετρη α > ή α < είναι η συνάρτηση πιθανότητας ή η συνάρτηση πυκνότητας της Αν α > η κατανοµή είναι ασύµµετρη προς τα δεξιά και αν α < η κατανοµή είναι ασύµµετρη προς τα αριστερά Στη σείδα 8 στο Σχήµα 49 του βιβίου των Κουνιά & Μωυσιάδη [6] παρουσιάζονται γραφικά και οι τρεις περιπτώσεις συµµετρίας ή ασυµµετρίας µίας κατανοµής Μία κατανοµή µπορεί να είναι «συγκεντρωµένη» κοντά στη µέση τιµή οπότε η καµπύη που την αναπαριστά παρουσιάζει µία έντονη κύρτωση «καµπούριασµα» Μπορεί όµως µία κατανοµή να µην είναι συγκεντρωµένη κάτα αυτό τον τρόπο οπότε η καµπύη που την αναπαριστά δεν παρουσιάζει σαφή κύρτωση Η ποσότητα ' µ 4 β είναι γνωστή ως µέτρο κύρτωσης διότι δείχνει πόσο επίπεδη ή µη είναι η συνάρτηση πυκνότητας της 4 σ Όταν η είναι µία κανονική τυχαία µεταβητή τότε β Σ αυτή την περίπτωση η κατανοµή καείται µεσόκυρτη Για β > η σπ έχει πιο οξεία µορφή από την κανονική κατανοµή και καείται επτόκυρτη ενώ για β < είναι πιο επίπεδη από την κανονική κατανοµή και καείται πατύκυρτη Στη σείδα 9 στο Σχήµα 4 του βιβίου των Κουνιά & Μωυσιάδη [6] παρουσιάζονται γραφικά και οι τρεις περιπτώσεις κυρτότητας µίας κατανοµής Παράδειγµα 8 Έστω η τυχαία µεταβητή που αναπαριστά το αποτέεσµα της ρίψης ενός αµερόηπτου µ 6 6 6 6 ζαριού Η ροπή τρίτης τάξεως της είναι E Πρόταση 9 Ισχύει ότι Vr E E ' Απόδειξη Είναι Vr E E[ ] E E µ µ µ µ µ µ µ Άρα µ µ ' µ µ ή ισοδύναµα Vr E E Ο τύπος της Πρότασης 9 είναι ιδιαίτερα χρήσιµος για τον υποογισµό της διασποράς τυχαίων µεταβητών Παράδειγµα 9 Έστω ~ Broulli p p [ ] Να υποογιστούν η µέση τιµή και η διασπορά της 8
8 Λύση Είναι p p p E p p p E Άρα p p p p E E Vr Παράδειγµα Έστω ~ Εκθετική > Να υποογιστούν η µέση τιµή και η διασπορά της Λύση Είναι [ ] ' d d d E ' d [ ] ' d d d E Άρα E E Vr Παράδειγµα Έστω ~ oisso > Να υποογιστούν η µέση τιµή και η διασπορά της Λύση Είναι!!!!! E Η πέµπτη ισότητα προκύπτει αν θέσουµε [ ]!! E E E!! Η πέµπτη ισότητα προκύπτει αν θέσουµε Άρα Vr E E Παράδειγµα Έστω ~ N Η σπ της δίνεται από τον τύπο π R είξτε ότι µ αν περιττός Λύση Είναι d d E µ Εφαρµόζουµε το µετασχηµατισµό u στο πρώτο οοκήρωµα Θα έχουµε d du u u d du u u µ Η δεύτερη ισότητα προκύπτει διότι περιττός και άρτια συνάρτηση
Θεωρούµε µία τυχαία µεταβητή και τις πραγµατικές σταθερές Ισχύει η ακόουθη σηµαντική πρόταση Πρόταση ιασπορά γραµµικού συνδυασµού Vr Vr Απόδειξη Είναι [ ] Vr E E E E E E E E [ E E ] Vr 9 Ανισότητες ροπών και πιθανοτήτων Όταν υπάρχουν δυσκοίες στον υποογισµό πιθανοτήτων ή ροπών κάποιων τυχαίων µεταβητών µπορούµε να υποογίσουµε κάποια φράγµατα αυτών των τιµών µε τη βοήθεια κατάηων ανισοτήτων Πρόταση Ανισότητα του Mrov Έστω µία µη-αρνητική τυχαία µεταβητή και µία σταθερά E[ ] c > Για οποιαδήποτε τιµή του c ισχύει ότι [ c] c Απόδειξη Αποδεικνύουµε την ανισότητα για την περίπτωση κατά την οποία η είναι µία συνεχής τυχαία µεταβητή µε σπ Ισχύει ότι E[ ] d d d d c d c c c c c c d c[ c] Πρόταση Ανισότητα του Chshv Έστω µία τυχαία µεταβητή µε µέση τιµή µ και πεπερασµένη διασπορά σ Τότε για κάθε πραγµατικό αριθµό > σ c c ισχύει ότι µ c Απόδειξη Εφαρµόζουµε την ανισότητα του Mrov για τη µη-αρνητική τυχαία µεταβητή µ και τον αριθµό E µ σ c Επειδή η ανισότητα c c c Έχουµε ότι µ ισοδύναµη µε την c σ µ ισχύει c µ έπεται ότι η ανισότητα c c µ είναι Οι ανισότητες των Mrov και Chshv παρέχουν κάποια φράγµατα για την κατανοµή της όταν είναι γνωστή η µέση τιµή και η διασπορά της Η ανισότητα του Chshv δίνει ένα φράγµα συναρτήσει της διασποράς της και της σταθεράς c για την πιθανότητα η να αποκίνει από τη µέση τιµή της 8
περισσότερο από c εν υποθέτει τίποτε άο για την κατανοµή της παρά µόνο το ότι έχει πεπερασµένη διασπορά Παράδειγµα Υποθέτουµε ότι ο αριθµός των ηεκτρικών αµπτήρων που παράγονται από ένα εργοστάσιο κατά τη διάρκεια µιας εβδοµάδας είναι µία τυχαία µεταβητή µε µέση τιµή µ 5 α Κάντε µία εκτίµηση για την πιθανότητα η παραγωγή των ηεκτρικών αµπτήρων κατά τη διάρκεια αυτής της εβδοµάδας να ξεπεράσει τον αριθµό 75 β Αν η διασπορά της εβδοµαδιαίας παραγωγής των ηεκτρικών αµπτήρων βρέθηκε ίση µε 5 κάντε µία εκτίµηση για την πιθανότητα η εβδοµαδιαία παραγωγή των αµπτήρων να είναι µεταξύ των αριθµών 4 και 6 Λύση Έστω η τυχαία µεταβητή που αναπαριστά τον αριθµό των ηεκτρικών αµπτήρων που παράγονται κατά τη διάρκεια µιας εβδοµάδας E[ ] α Από την ανισότητα του Mrov έχουµε { 75} 75 σ 5 β Από την ανισότητα του Chshv έχουµε { 5 } Εποµένως 4 { 5 < } Συνεπώς η πιθανότητα η εβδοµαδιαία παραγωγή των ηεκτρικών αµπτήρων να 4 4 είναι µεταξύ των αριθµών 4 και 6 είναι τουάχιστον ίση µε 75 Είναι σαφές ότι αν είναι γνωστή η κατανοµή της τυχαίας µεταβητής οι πιθανότητες του παραπάνω παραδείγµατος θα µπορούσαν να υποογιστούν µε ακρίβεια και δεν θα ήταν απαραίτητη η χρήση των ανισοτήτων Mrov και Chshv Παράδειγµα 4 Έστω µία διακριτή τυχαία µεταβητή > και > Αν υπάρχει η µέση τιµή E να δειχτεί ότι ισχύει η ανισότητα < l E E Απόδειξη Χρησιµοποιούµε την ανισότητα του Mrov και έχουµε > Συνεπώς E < > Εφαρµόζουµε την παραπάνω ανισότητα για την τυχαία µεταβητή > που είναι πάντα µη-αρνητική για οποιαδήποτε διακριτή τυχαία µεταβητή και έχουµε 84
E < > Όµως για R και > ισχύει < l < l < l και συνεπώς για > παίρνουµε < < l < l E Εποµένως έχουµε ότι < l > Πρόταση Η ανισότητα του Schwrz Υποθέτουµε ότι οι τυχαίες µεταβητές και Y έχουν πεπερασµένες ροπές δεύτερης τάξεως Τότε ισχύει ότι [ Y ] [ E ][ E Y ] E Επιπέον η ανισότητα ισχύει ως ισότητα αν και µόνο αν είτε Y ή cy για κάποια σταθερά c Απόδειξη Αν Y τότε Y εποµένως E Y και E Y Σε αυτή την περίπτωση η ανισότητα του Schwrz ισχύει ως ισότητα Επίσης αν cy τότε και τα δύο µέη της ανισότητας είναι ίσα µε c [ E Y ] Συνεπώς και σε αυτή την περίπτωση η ανισότητα του Schwrz ισχύει ως ισότητα Για το υπόοιπο της απόδειξης υποθέτουµε ότι Y < Εποµένως E Y > Για κάθε πραγµατικό αριθµό ισχύει ότι E Y E Y E Y E Η τεευταία ισότητα είναι µία τετραγωνική συνάρτηση του Αφού E Y > η εάχιστη τιµή της συνάρτησης επιτυγχάνεται για κάποια τιµή του που υποογίζεται αν θέσουµε την παράγωγο ίση µε µηδέν και επιύσουµε Μετά από απές πράξεις καταήγουµε ότι η τιµή του που µηδενίζει την παράγωγο είναι ίση µε * [ E Y ][ E Y ] Για την τιµή του * µετά [ E Y ] από πράξεις καταήγουµε ότι η αντίστοιχη τιµή της συνάρτησης είναι E * Y E E Y Επειδή E * Y η απόδειξη οοκηρώθηκε Ασκήσεις Άσκηση Αν οι συναρτήσεις g : R [ είναι συναρτήσεις πυκνότητας αποδείξτε ότι και η συνάρτηση h : g όπου είναι επίσης συνάρτηση πυκνότητας Λύση Είναι g [ ] και συνεπώς η συνάρτηση h : g είναι µη-αρνητική Επίσης έχουµε ότι d d h g d διότι οι και g είναι συναρτήσεις πυκνότητας Άρα η h είναι µία συνάρτηση πυκνότητας 85
Άσκηση Υποθέτουµε ότι η είναι µία συνεχής τυχαία µεταβητή της οποίας η συνάρτηση πυκνότητας c4 δίνεται από τον τύπο: α Ποια είναι η τιµή της σταθεράς c ; β Βρείτε την πιθανότητα > Λύση Αφού η είναι συνάρτηση πυκνότητας πρέπει d που συνεπάγεται ότι c 4 d Η τεευταία σχέση έχει ως συνέπεια ότι c Επίσης έχουµε ότι 8 > d 4 d 8 Άσκηση Έστω : Ω R µε ω c για όα τα ω Ω όπου c είναι κάποια πραγµατική σταθερά είξτε ότι η είναι µία τυχαία µεταβητή και βρείτε τη συνάρτηση κατανοµής της Εξηγείστε γιατί η είναι διακριτή και βρείτε τη συνάρτηση πιθανότητάς της Λύση Για R έχουµε: { ω Ω : ω } Ω αν c και { ω Ω : ω } αν < c Αφού τα σύνοα Ω και είναι ενδεχόµενα συµπεραίνουµε ότι η είναι µία τυχαία µεταβητή Η συνάρτηση < c κατανοµής της είναι F Παρατηρούµε ότι c { c} Ω c Άρα το µονοσύνοο {c} είναι φορέας της Συνεπώς η είναι διακριτή τυχαία µεταβητή Η συνάρτηση c πιθανότητάς της είναι c Άσκηση 4 Έστω µία συνεχής τυχαία µεταβητή µε συνάρτηση πυκνότητας Ορίζουµε > Y : Ω R µε Y ω [ ω] όπου [ ] m{ : ακέραιος } είξτε ότι η Y είναι µία τυχαία µεταβητή και βρείτε τη συνάρτηση πυκνότητάς της Λύση Για R ισχύει ότι { ω Ω :[ ω] } { ω Ω : ω < [ ] } Αφού η είναι τυχαία µεταβητή το δεύτερο µέος της παραπάνω ισότητας είναι ενδεχόµενο Συνεπώς και το πρώτο µέος το οποίο από τον ορισµό της Y είναι το σύνοο { ω Ω : Y ω } είναι ενδεχόµενο Άρα η Y είναι τυχαία µεταβητή Για i η τιµή της συνάρτησης πυκνότητας της Y βρίσκεται ως εξής: 86
Y i i Y i [ ] i i < i Προφανώς Y i για κάθε R { K} i d i Άσκηση 5 Έστω µία τυχαία µεταβητή είξατε ότι η συνάρτηση Y mi είναι επίσης τυχαία µεταβητή Λύση Για { ω Ω : Y ω } { ω Ω : mi ω } Ω I Για < { ω Ω : Y ω } { ω Ω : mi ω } { ω Ω : ω } I Συνεπώς η Y είναι τυχαία µεταβητή Άσκηση 6 Για να καταδικαστεί ένας κατηγορούµενος από ένα δικαστήριο που αποτεείται από δώδεκα ενόρκους πρέπει να κριθεί ένοχος από τουάχιστον οκτώ ενόρκους Υποθέτουµε ότι η πιθανότητα να είναι ένοχος ο κατηγορούµενος είναι ίση µε και ότι ο κάθε ένορκος ανεξάρτητα από τους άους παίρνει τη σωστή απόφαση µε πιθανότητα θ Ποια είναι η πιθανότητα να είναι σωστή η απόφαση του δικαστηρίου; Λύση Θεωρούµε το ενδεχόµενο A : η απόφαση του δικαστηρίου είναι σωστή και B : ο κατηγορούµενος είναι c c ένοχος Από το Θεώρηµα Οικής Πιθανότητας θα έχουµε: A A B B A B B Όµως A B B και B c i i Επίσης A B θ θ και i 8 i c i 5 i i θ θ i Άσκηση 7 Υποθέτουµε ότι στην τσέπη σας υπάρχουν N νοµίσµατα όπου N είναι ένας τυχαίος αριθµός που ακοουθεί την κατανοµή oisso µε παράµετρο > Έστω ότι βγάζετε ένα-ένα τα νοµίσµατα από την τσέπη σας και τα ρίχνετε στο πάτωµα Η πιθανότητα να εµφανιστούν γράµµατα σε κάθε ρίψη είναι ίση µε p < p < είξτε ότι ο συνοικός αριθµός των εµφανιζόµενων γραµµάτων ακοουθεί την κατανοµή oisso µε παράµετρο p Λύση Έστω H ο συνοικός αριθµός των εµφανιζόµενων γραµµάτων Από το Θεώρηµα Οικής Πιθανότητας δεσµευόµαστε ως προς τον αριθµό των νοµισµάτων που υπάρχουν στην τσέπη µας και έχουµε διαδοχικά: H H N N p p 87! p! p { p}! p Το άθροισµα της τεευταίας ισότητας ισούται µε τη µονάδα αφού είναι το άθροισµα των τιµών της συνάρτησης µάζας πιθανότητας που αντιστοιχεί στην κατανοµή oisso µε παράµετρο p
Άσκηση 8 Η πιθανότητα να είναι φου ένα χέρι του πόκερ είναι ίση µε 44 Ποια είναι κατά προσέγγιση η πιθανότητα τουάχιστον δύο από τα χέρια του πόκερ να είναι φου; Λύση Έστω : αριθµός φου από τα χέρια του πόκερ Προφανώς ~ Bi 44 Προσεγγίζουµε τη διωνυµική κατανοµή µε τη oisso κατανοµή µε παράµετρο 44 44 Άρα 44 κατά προσέγγιση έχουµε 44 Άσκηση 9 Αν ~ Οµοιόµορφη τότε Y log ~ Εκθετική Λύση Για > έχουµε F Y log log log F Για έχουµε F Συνεπώς Y ~ Εκθετική Y Άσκηση Ένας ηεκτροόγος αγοράζει κουτιά το καθένα από τα οποία περιέχει δέκα ηεκτρικούς αµπτήρες Η ποιτική του είναι να διαέγει κατά τυχαίο τρόπο τρεις αµπτήρες από κάθε κουτί να τους εξετάζει και να αγοράζει το κουτί εφόσον και οι τρεις αµπτήρες δεν είναι εαττωµατικοί Αν % των κουτιών περιέχουν τέσσερις εαττωµατικούς αµπτήρες και 7% περιέχουν µόνον έναν εαττωµατικό αµπτήρα ποιο είναι το ποσοστό των κουτιών που ο ηεκτροόγος απορρίπτει; Λύση Θεωρούµε το ενδεχόµενο A : ο ηεκτροόγος δέχεται να αγοράσει ένα κουτί Από το Θεώρηµα Οικής Πιθανότητας έχουµε A A το κουτί περιέχει 4 εαττωµατικούς αµπτήρες A το κουτί περιέχει έναν εαττωµατικό αµπτήρα 7 Για τον υποογισµό των δεσµευµένων πιθανοτήτων παρατηρούµε ότι έχουµε υπεργεωµετρικές κατανοµές 46 Συνεπώς A το κουτί περιέχει 4 εαττωµατικούς αµπτήρες 9 A το κουτί περιέχει εαττωµατικό αµπτήρα 54 Μετά από πράξεις βρίσκουµε ότι A Εποµένως ο ηεκτροόγος απορρίπτει το 46% των κουτιών 88