Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων

Εισαγωγή στη Θεωρία Σημάτων και Συστημάτων Ιωάννης Χαρ. Κατσαβουνίδης Τμήμα Μηχ. Η/Υ, Τηλε. Δικτύων Πανειστήμιο Θεσσαλίας ΦΘινοωρινό Εξάμηνο 00/

Άσκηση Να βρείτε αν τα αρακάτω συστήματα είναι γραμμικά, χρονικά αμετάβλητα, αιτιατά και ΦΕΦΕ ευσταθή: α) β) γ) δ) ( ) ( ) y y y ( ) ( ) ( + ) ( ) 3 ( ) + 9 ( ) ( ) y

Λύση α) - Γραμμικό: ΟΧΙ - Χρονικά αμετάβλητο: ΝΑΙ - Αιτιατό: ΝΑΙ (η έξοδος δεν εξαρτάται αό μελλοντικές τιμές της εισόδου) ( ) ( ) y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + y y y y y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 ' y y ʹ

Λύση (συνέχεια) α) (συνέχεια) - ΦΕΦΕ ευσταθές: ΝΑΙ β) - Γραμμικό: ΟΧΙ ( ) ( ) y ( ) ( ) ( ) M y M < < ( ) ( ) ( ) + y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 + + y y y y y

Λύση (συνέχεια) β) (συνέχεια) - Χρονικά αμετάβλητο: ΝΑΙ - Αιτιατό: ΟΧΙ (η έξοδος στο χρόνο εξαρτάται αό την είσοδο τη μελλοντική στιγμή +) ( ) ( ) ( ) + y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' 0 0 0 0 0 0 + ʹ + y y

Λύση (συνέχεια) β) y( ) ( ) ( + ) (συνέχεια) - γ) - - Ευσταθές: ΝΑΙ ( ) < M y( ) ( ) ( + ) M < y ( ) 3 ( ) + 9 Γραμμικό: ΟΧΙ ( ) 0 y( ) 9 0 Χρονικά αμετάβλητο: ΝΑΙ y( 0 ) 3( 0 ) + 9 ' ( ) ( ) yʹ ( ) 3( ) + 9 0 0

Λύση (συνέχεια) γ) y( ) 3 ( ) + 9 (συνέχεια) - - δ) - Αιτιατό: ΝΑΙ (η έξοδος δεν εξαρτάται αό μελλοντικές τιμές της εισόδου) Ευσταθές: ΝΑΙ ( ) < M y( ) 3 ( ) + 9 3M + 9 < 3M + 0 ( ) ( ) y Γραμμικό: ΝΑΙ ( ) α ( ) + β ( ) y( ) a ( ) + β ( ) α y ( ) + y ( ) β

Λύση (συνέχεια) δ) y ( ) ( ) (συνέχεια) - - - Χρονικά αμετάβλητο: ΟΧΙ 0 y( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0( 0 ) ' ( ) ( ) yʹ ( ) ( ) Αιτιατό: ΝΑΙ (η έξοδος δεν εξαρτάται αό μελλοντικές τιμές της εισόδου) Ευσταθές: ΟΧΙ ( ) y( ) ( ) 0 0

Άσκηση Να ανατύξετε σε εκθετική ή τριγωνομετρική σειρά Fourier το αρακάτω εριοδικό σήμα ( + k ) ( ) k ( ), <, Z Να χρησιμοοιήσετε το θεώρημα Parseval για να υολογίσετε το άθροισμα 4

Το σήμα έχει τη μορφή: Λύση () 0 8 6 4 0-40 - 30-0 - 0 0 0 0 30 40 το οοίο είναι άρτια συνάρτηση. Συνεώς, αναμένουμε η τριγωνομετρική της σειρά να εριέχει μόνο όρους συνημιτόνου (a ), δηλαδή b 0,.

Λύση (συνέχεια) Η βασική ερίοδος της () είναι, συνεώς η τριγωνομετρική σειρά έχει θεμελιώδη συχνότητα Ω0 T 0 και οι όροι της τριγωνομετρικής σειράς υολογίζονται αό τις σχέσεις: a 0 cos ( ) d, a ( ) ( ) d

Λύση (συνέχεια) a 0 d ( ) ( ) cos d cos( ) d si si ( ) ( ) ( ) si si d( ) ( ) cos d ( ) ( ) ( ) cos cos( ) si d d d

a a 0 Λύση (συνέχεια)! cos! ( )!!! ( )cos!! ( )!! +! cos(! )!!! 4! (!! )! si( ) 3! ( ) d d!!! " cos( )d!!! # si( ) " d% ( $ '!!!!! 4 (!)! 0 4 (!) 3 3 3 3 + 6 3

Το θεώρημα Parseval λέει ότι Και, αντικαθιστώντας τα αραάνω, αίρνουμε: Λύση (συνέχεια) ( ) ( ) + + d b a a 0 5 0 5 6 9 4 5 5 4 4 4 + d.083 90 45 4 9 5 6 4 4 4 4 4 4

Άσκηση 3 Δίνεται σήμα διακριτού χρόνου () με μετασχηματισμό Z, X(z), και εριοχή σύγκλισης r 0 < z <r. Να βρείτε το μετασχηματισμό Z (μαζί με την εριοχή σύγκλισης) του σήματος διακριτού χρόνου y () 3 [()+u()] συναρτήσει του X(z).

Z Λύση 3 Αό την ιδιότητα της γραμμικότητας του μετασχηματισμού Z, { } { ( )} ( ) ( ) Y z Z 3 + Z 3 u Χρησιμοοιώντας τον ορισμό, αίρνουμε ( ) z z 3 z 3 3 { 3 } ( ) ( ) ( ) για να συγκλίνει το άθροισμα αυτό, ρέει το (z/3) να ανήκει στην Π.Σ. του μετασχηματισμού Z, δηλαδή r 0 < z 3 < r

Συνεώς, { } Z 3 ( ) Είσης, Z 3 u Συνεώς, Με Π.Σ. Λύση 3 (συνέχεια) (! z # $ ' ) " 3% ( ) *! # z $ " 3 % '( { ( )} z Y z z! 3 ( ) Z 3 ( ) για z > 3 { }+ Z 3 u ma 3r 0,3 { } < z < 3r { ( ) }! z # 3 για " $ % ' + z z ( 3 3r 0 < z < 3r

Άσκηση 4 Έστω το αρακάτω σύστημα, ου αοτελείται αό ειμέρους υοσυστήματα z() () y() τα οοία χαρακτηρίζονται αό τις εξής εξισώσεις εισόδου- εξόδου: z " ( )d! y ( )!!3 "!3 ( ) z! ( )d!

Άσκηση 4 (συνέχεια) a) Υολογίστε και σχεδιάστε την κρουστική αόκριση του συνολικού συστήματος και την συνάρτηση μεταφοράς, H(Ω). b) Αοφανθείτε αν το σύστημα είναι αιτιατό ή/ και ΦΕΦΕ ευσταθές. c) Έστω ότι η είσοδος του συστήματος είναι " # k!" ( )! (! k6) Να υολογίσετε ή να δώσετε γραφικά την έξοδο του συστήματος.

Λύση 4 a) Αό τη σχέση εισόδου εξόδου, αρατηρούμε ότι τα δύο συστήματα είναι ανομοιότυα (δηλαδή έχουν την ίδια συνάρτηση μεταφοράς, h ()). Ειλέον, αρατηρούμε ότι η σχέση εισόδου- εξόδου μορεί να γραφτεί ως: z " ( )d! " (! )d!! (! )d! ( )!!3 #!#!3 "!# " (! )u(!! )d!! (! )u(! 3!! )d!!# # "!#

! z Λύση 4 Η αραάνω είναι η γνωστή σχέση της συνέλιξης της συνάρτησης () με τη συνάρτηση h # $ "# ( )d! ( ) (! ) u( "! ) " u( " 3"! ) ( ) u( )! u (! 3 ) P $! 3 3 # Συνεώς, η συνάρτηση μεταφοράς του καθένα αό τα δύο υοσυστήματα είναι ο μοναδιαίος αλμός στο διάστημα [0,3]. " % '

Λύση 4 (συνέχεια) Άρα, η συνολική συνάρτηση μεταφοράς είναι η h()h ()*h (), δηλαδή η συνέλιξη δύο αλμών με εύρος 3, η οοία δίνει ένα τριγωνικό αλμό με βάση 6 και ύψος 3, ως εξής: $ 3 h () h()h ()*h () h ( ) % ' 0, < 0, 0! < 3 6 ", 3 < < 6 0, # 6 0 3 6

Λύση 4 (συνέχεια) Αό τις ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier και τους μετασχηματισμούς Fourier βασικών σημάτων, έχουμε P 3 ( )! 3 si # % 3" $ 3" ( ' # ) P 3 * 3 % (! e * $ ' Και αό την ιδιότητα της συνέλιξης, h " ( ) P $! 3 3 # % '* P "! 3 % $ 3 # '( H ) # % 3si 3" $ 3" j3" ( ) e! j3) 9 ( ' " si 3) % $ ' # 9) 4

Λύση 4 (συνέχεια) Το λάτος του μετασχηματισμού Fourier υολογίζεται και δίνεται γραφικά αρακάτω H (!) e " j3! 9 9 # si 3! % ( $ ' 9! 4 # si 3! % ( $ ' 9! 4 j3! " e 9 # si 3! % ( $ ' 9! 0 9 8 7 6 5 4 3 0-5 - 0-5 0 5 0 5 4 H(Ω)

Λύση 4 (συνέχεια) b) Εφόσον η κρουστική αόκριση του συστήματος είναι αιτιατό σήμα (h()0, για <0), συνεώς το σύστημα είναι αιτιατό. Εφόσον η κρουστική αόκριση είναι αολύτως ολοκληρώσιμη (εριορισμένου λάτους και εύρους), συνεώς είναι ΦΕΦΕ ευσταθές. Κάτι τέτοιο είναι αναμενόμενο, αφού κάθε ένα αό τα ειμέρους υοσυστήματα είναι αιτιατό και ΦΕΦΕ ευσταθές.

Λύση 4 (συνέχεια) c) Το σήμα εισόδου είναι το αρακάτω και με αλή συνέλιξη με τον τριγωνικό αλμό, έχουμε το αρακάτω σήμα εξόδου (εριοδικός τριγωνικός αλμός) 3 y()... ()... - -6 0 3 6

Άσκηση 5 Θεωρήστε το αρακάτω ηλεκτρικό κύκλωμα + + - + - - a) Να βρείτε τη διαφορική εξίσωση ανάμεσα στην είσοδο (τάση ()) και την έξοδο (τάση y())

Άσκηση 5 (συνέχεια) b) Για RkΩ, C0-5 F, να βρείτε τη συνάρτηση μεταφοράς, H(s) c) Να βρείτε την έξοδο y() για είσοδο ()e - u() και αρχικές συνθήκες v c (0) V, v c/ (0) V

Λύση 5 Ξεκινάμε αό τις εξισώσεις του κυκλώματος: y( ) i R ( ) C i! #!" ( ) R C i C! # ( )d! + y!" i( ) i ( ) + i ( ) R C ( )d! ( ) Και στη συνέχεια ααλοίφουμε τα 3 ρεύματα $ % '

y( ) i R ( ) C y( ) i R ( ) Λύση 5 (συνέχεια) #!" ( ) R C i C! ( )d! # ( i (! ) + i (! ))d! + y R C!" #!" ( ) R C i C! ( )d! ( ) $ % ( ' # RC i (! ) Rd! + # R C i (! )d! + y C!"!" ( ) $ % ( '

( ) ( ) d( ) d Λύση 5 (συνέχεια) # RC y (! )d! + y!" # RC y (! )d! + 3y!" RC y ( ) + 3 dy ( ) ( ) + y( ) $ ( ) $ Εφαρμόζοντας μετασχηματισμό Laplace στην αραάνω διαφορική εξίσωση, αίρνουμε d sx s ( )! 0! ( ) RC Y s ( ) + 3sY s ( )! 3y 0! ( )

Λύση 5 (συνέχεια) b) Για να υολογίσουμε τη συνάρτηση μεταφοράς, θεωρούμε ότι όλες οι αρχικές συνθήκες είναι μηδέν, και έτσι η τελευταία εξίσωση γίνεται sx ( s) RC Y ( s ) + 3sY ( s)! srcx s ( ) + 3RCs ( )Y s ( )! RC 0 3!0 "5 0.0sec ( ) Y ( s ) X ( s) src! s + 3RCs "! s ( ) 0.0s + 0.03s

Λύση 5 (συνέχεια) c) Για να βρούμε την έξοδο του συστήματος με είσοδο την ()e - u() και αρχικές συνθήκες v c (0) V, v c/ (0) V, ξεκινάμε και άλι αό τη διαφορική εξίσωση του κυκλώματος και αρατηρούμε ότι, (0 - )v c (0)+v c/ (0)V+V3V. Είσης, y(0 - )v c (0)V. ( ) e! u ( ) " X s ( ) s +, Re s ( ) >! sx ( s)! ( 0! ) RC Y ( s ) + 3sY ( s)! 3y( 0! )

Συνεώς, έχουμε Λύση 5 (συνέχεια) s s +! 3 0.0 Y ( s ) + 3sY ( s)! 3 " s s + 00Y ( s ) + 3sY ( s)! Y ( s) s ( s +) ( 3s + 00) Το οοίο με ανάλυση σε αλά κλάσματα μας δίνει Y s ( ) 3 s ( s +) ( s + 00 3) 3! # " A s + + B $ s + 00 3%

Λύση 5 (συνέχεια) A!00 3!00 3+!00 3!97 3 00 97! B!+ 00 3!3!3+ 00!3 Y ( s) 00 59 s +! 3 59 Αντιστρέφοντας τους αραάνω μετασχηματισμούς Laplace, αίρνουμε " y( ) 00 59 e!! 3 00 59 e! 3 $ # 97 s + 00 3 % 'u( )

Λύση 5 (συνέχεια) Οι γραφικές αραστάσεις των () y() είναι οι εξής: 3.5 3.5.5 0.5 () y() 0-0 3 4 5 6 7 8 9 Αξίζει να ροσέξουμε την ασυνέχεια, τόσο στην () (3- >) όσο και στην y() (- >/3) στο 0, το οοίο είναι αοτέλεσμα του βρόγχου υκνωτών

Άσκηση 6 Η συνάρτηση μεταφοράς ενός αιτιατού συστήματος διακριτού χρόνου είναι η αρακάτω H z ( ) z + 4 z z! z + 4 Να υολογίσετε την κρουστική αόκριση του συστήματος. Είναι το σύστημα ΦΕΦΕ- ευσταθές?

Άσκηση 6 (συνέχεια) Να υολογίσετε την έξοδο του συστήματος όταν η είσοδος είναι το σήμα e j! 4! cos #! " 4 $ % + jsi! #! " 4 $ %

Λύση 6 Εφόσον μας δίνεται ότι το σύστημα είναι αιτιατό, γνωρίζουμε ότι η Π.Σ. του μετασχηματισμού Z είναι το εξωτερικό ενός κύκλου. Υολογίζουμε ρώτα τους όλους της συνάρτησης μεταφοράς H z ( ) z + 4 z z! z + 4 z z + 4 " z! % $ ' #

Λύση 6 (συνέχεια) Δηλαδή, το σύστημα έχει ένα διλό όλο στο z/ και η Π.Σ. είναι z >0.5. Για να αντιστρέψουμε τη συνάρτηση μεταφοράς, ροχωρούμε σε ανάτυξη σε αλά κλάσματα H ( z) z z + ( * 4 z * A % * ' z! * ) " $ z! # B + " z! % $ ' # + - - - -,

Λύση 6 (συνέχεια) Όου τα A και B υολογίζονται κατά τα γνωστά: A! d# z + " 4 dz $ %, B z + 4 z 3 4 z! H ( z) z ) + + + z " + * + 3 4 # z " % ( $ ',.. z. z ". - + 3 z # z " % ( $ '

Λύση 6 (συνέχεια) Αντιστρέφοντας τους όρους, αίρνουμε:! h( ) # " $ % u( ) + 3! # "! # + 3 " $! # %" $ % Εφόσον η Π.Σ. εριέχει το μοναδιαίο κύκλο, το σύστημα είναι ΦΕΦΕ ευσταθές. $ % u( ) u( )

Λύση 6 (συνέχεια) Εφόσον το σύστημα είναι ΦΕΦΕ ευσταθές, ο μετασχηματισμός Fourier, H(e jω ), της κρουστικής αόκρισης υάρχει και δίνεται αό την: H ( e j! ) e j! + 4 e j! e j!! e j! + 4 e j! + e j! 4 " e j!! % $ ' #

Λύση 6 (συνέχεια) Το σήμα εισόδου ου δίνεται είναι εκθετικό μιγαδικό, της μορφής e j! cos! ( ) + jsi (! ) για ω/4. Συνεώς, η έξοδος του συστήματος θα είναι y ( ) ( ) e j! H e j! y( ) e j! 4 H! e j! # 4 " για ω/4, δηλαδή $ e j! 4 % e j! + 4 e j! 4 e j! ' e j! 4 + 4 " $$$$$$$ # $$$$$$$ % 4! + j 8!9 ".9#! 65.9! ( ) 66! 40