Stereometria 1. K úlohe č.1 v príklade vidíte sklenenú kocku, na ktorej je natiahnutý drôt. Vedľa vidíte 3 pohľady na túto kocku zhora, spredu a z pravého boku. Pre ďalšie kocky nakreslite takéto 3 pohľady. 2. K úlohe č.2 vidíte len drôt na sklenenej kocke (jej hrany nevidno), znovu nakreslite všetky tri pohľady na ňu. Ak si potrebujete hrany kocky dokresliť, urobte tak. 3. Pre fajnšmekrov v príklade vidíte 4 priamky (p, q, r, s), ktoré znázorňujú niektoré hrany kocky pri pohľade zhora. Podobným spôsobom zakreslite do kocky tieto priamky a v ďalších príkladoch. Základné stereometrické pojmy Euklidovská geometria (pomenovaná podľa gréckeho matematika Euklida) - planimetria (rovinná geometria) - stereometria (priestorová geometria) Základné pojmy: body... A, B, X, Y, Z priamky... p, q, AB roviny... α, β, π, ρ, σ, ABC, Ap priestor... E3 Základné vzťahy: (incidencie) bod leží na priamke...a p bod neleží na priamke...a p priamka leží v rovine...p ρ rovina je podmnožinou priestoru E 3 Veta 1: Každými dvoma rôznymi bodmi prechádza práve jedna priamka Def: Body ležiace na jednej priamke nazývame kolineárne. Body ležiace v jednej rovine nazývame komplanárne. Veta 2: Každá rovina je jednoznačne daná: a. troma bodmi neležiacimi na jednej priamke (nekolineárnymi bodmi)... ABC b. priamkou a bodom, ktorý na nej neleží... pa c. dvomi rôznobežnými priamkami... pq d. dvomi rôznymi rovnobežnými priamkami... pq
V technickej praxi sa používa pravouhlé premietanie do troch navzájom kolmých rovín (do pôdorysne, bokorysne a nárysne). Deskriptívna geometria je vedná disciplína, zaoberajúca sa metódami zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny. My budeme využívať tzv. voľné rovnobežné premietanie, ktoré je určené rovinou (priemetňou) π a smerom premietania priamkou s. Priemet X ľubovolného bodu X získame tak, že bodom X vedieme priamku sx rovnobežnú so smerom premietania s. Bod X je priesečník priamky sx s rovinou π. Vlastnosti rovnobežného premietania: - obrazom priamky je priamka alebo bod - obrazom 2 rovnobežných priamok sú 2 rovnobežné priamky, alebo 2 body - zachováva sa pomer dĺžok úsečiek - geometrické útvary ležiace v rovinách rovnobežných s priemetňou sa zobrazia do útvarov s nimi zhodných - útvary neležiace v rovnobežnej rovine s priemetňou sa skresľujú Kocka sa vo voľnom rovnobežnom premietaní zobrazuje takto: steny ABFE, CDHG ako štvorce; hrany BC, FG, AD, EH sú skrátené o polovicu; HEF =45 4. Daná je sklenená kocka a na nej drôt, zakreslite drôt do pôdorysne, nárysne a bokorysne: P N B 5. Je daná kocka K (K stred AE, L stred AB, M stred BC, N stred CG). Zistite, či nasledujúce body a priamky ležia v jednej rovine: a) priamka AB a body C, D b) K, L, M, N c) A, B, E, G
Vzájomná poloha priamok a rovín v priestore 6. z kocky vypíšte niekoľko dvojíc reprezentujúcich dané incidencie priamok: a) v rovine: i) rôznobežky p q = {R}... p q ii) rovnobežky p q = {}...p//q iii) rovnobežky totožné p q = {p}...p//q b) v priestore i) mimobežky p q = {} neležia v jednej rovine...p q priamky a roviny: a) rôznobežné p α = {R}... p α bod R sa nazýva PRIESEČNÍK b) rovnobežné p α = {}...p//α c) rovnobežné (p leží v rovine α) p α = {p}...p//α rovín: a) rovnobežné α β = {}...α//β b) rovnobežné totožné α β = {α}...α//β c) rôznobežné α β = {p}...p PRIESEČNICA rovín... α β Veta 3: Ak 2 rôzne body priamky ležia v rovine, tak celá priamka leží v rovine. Veta 4: Pre každé 2 rôzne rovnobežné priamky existuje práve 1 rovina, ktorá ich obsahuje. 7. Daná je kocka ABCDEFGH = K. Určte vzájomnú polohu roviny ABC a priamok AG, HG, CD. Veta 5: a) Ak 2 rovnobežné priamky majú spoločný bod, tak splynú. b) Ak 2 rovnobežné roviny majú spoločný bod, tak splynú. c) Ak je priamka rovnobežná s rovinou a má s ňou spoločný bod, tak celá priamka leží v rovine. Kritéria rovnobežnosti priamok a rovín Veta 6: a) Ak sú 2 priamky rovnobežné s tou istou priamkou, tak sú rovnobežné. b) Ak jedna z dvoch rovnobežných priamok je rovnobežná s rovinou, tak aj druhá priamka je rovnobežná s touto rovinou. pozn: Ak sú 2 priamky rovnobežné s danou rovinou, ešte nemusia byť rovnobežné!!!! c) Ak je priamka rovnobežná s jednou z dvoch rovnobežných rovín, tak je rovnobežná aj s druhou rovinou. Pre určovanie rovnobežnosti priamky s rovinou sa využíva dôsledky vety 6b: 1. p, q, π E³: (p//q q leží v π) potom p//π. 2. p,π, α E³: (p leží v π π // α) potom p//α 8. Daná je kocka K. Dokážte, že a) FB// HD b) FG// ABC 9. Hugo vyslovil tieto tvrdenia. Rozhodnite, či hovorí pravdu: a) Ak je priamka rovnobežná s rovinou, tak je rovnobežná s niektorou priamkou roviny. b) Ak je priamka rôznobežná s rovinou, tak je rôznobežná s niektorou priamkou roviny. c) ak je priamka rovnobežná s rovinou, tak je rovnobežná s každou priamkou roviny. d) Ak je priamka rôznobežná s rovinou, tak je rôznobežná s každou priamkou roviny.
Veta 7: AK rovina obsahuje 2 rôznobežné priamky, ktoré sú rovnobežné s druhou rovinou, tak tieto roviny sú rovnobežné. a) b) c) d) 10.Daná je kocka K a body K stred EF, L stred BF, M stred FG. Zistite vzájomnú polohu útvarov a dokážte, že máte pravdu. KL, EM e) ML, AH KL, LM f) ML, ADH KLM, DBF g) KLM, ACH CK, ADH Medzi často používané pravidelné telesá patrí hranol. Označujeme ho všeobecne A1,A2...An,B1,B2,...Bn = H. Je to teleso, ktoré má dve význačné podstavy (mnohouholníky), navzájom rovnobežné. Jeho bočné steny sú rovnobežníky. Druhy hranolov: kolmý (bočné steny sú kolmé na podstavy), pravidelný(podstavy sú pravidelné n- uholníky), rovnobežnosten, kváder (je 4boký), kocka... Rezy kocky a kvádra Rez telesa je prienik telesa a nejakej roviny. Je ním plošný útvar (pri kocke je to vždy mnohouholník). Pri určovaní rezu telesa danou rovinou, určujeme hranice rezu tak, že robíme prienik roviny so stenami telesa. Pri konštrukcii rezov využívame nasledovné vety: Veta 8: Ak je rovina rôznobežná s dvomi rovnobežnými rovinami, tak ich pretína v dvoch navzájom rovnobežných priamkach. Veta 9: Ak je priamka rovnobežná s dvoma rôznobežnými rovinami, tak je rovnobežná aj s ich priesečnicou. Veta 10: Nech každé 2 z troch rovín sú rôznobežné, potom platí: a) Ak 2 z ich priesečníc sú rôznobežné, tak aj tretia priesečnica je s nimi rôznobežná a prechádza priesečníkom prvých dvoch priesečníc. b) Ak dve z priesečníc sú rovnobežné, tak je s nimi rovnobežná aj tretia priesečnica. 11.Daná je kocka K s dĺžkou strany 3 cm. Zostrojte rez kocky rovinou: a) FGP, kde P stred AB Aký útvar vznikol rezom? Narysujte tento útvar v skutočnej veľkosti, vypočítajte jeho obsah. b) HPQ, kde P stred CG, Q je bod prednej steny. Aký útvar vznikol rezom? c) AHK, K stred CG. Aký útvar vznikol rezom? d) BNM, M stred AE, EN:NH = 3:1. Aký útvar vznikol rezom? e) RTS, ER:RF = 1:3, FT:TG = 1:2, S bod dolnej podstavy. Aký útvar vznikol rezom? f) KLM, K stred HG, BL:LF = 1:2, M stred EH. Aký útvar vznikol rezom? g) π, kde π prechádza bodom U a je rovnobežná s rovinou ACH, HU:UG = 3:1. Aký útvar vznikol rezom? 12.Je daný kváder ABCDEFGH so štvorcovou podstavou, AB = 3 cm, AE = 5 cm. Určte rez rovinou, ktorá obsahuje stredy stien FE, BC a je rovnobežná s hranou DH. Narysujte vzniknutý rez v skutočnej veľkosti. Zistite obsah rezu. Rezy iných telies Ihlan - teleso, ktoré má 1 významnú podstavu n uholník, a 1 významný vrchol hlavný vrchol. Jeho bočné steny sú trojuholníky, pričom jeden vrchol je hlavný a ostatné dva sú vrcholy podstavy. Špeciálne prípady ihlanov pravidelný n-boký ihlan (podstava je pravidelný n-uholník), trojboký ihlan (štvorsten), pravidelný trojboký ihlan (pravidelný štvorsten steny sú zhodné trojuholníky).
13.Je daný pravidelný 4-boký ihlan I (ABCDV). Zostrojte rez rovinou ihlana KLM, pričom K stred AB, L stred BV, M CM:MV = 1:3. 14.Je daný prav. 4-boký ihlan I, bod M stred VC, a priamka p leží v ABC a je rôznobežná so všetkými hranami podstavy. Určte rez ihlana rovinou určenou p a M. 15.Daný je prav. 4-boký ihlan, K stred AB, L stred BC. Rez má prechádzať K, L, a je rovnobežná s VB. 16.Je daný pravidelný 6-boký ihlan ABCDEFV. M stred FV. Určte rez BCM. 17.Daný je 4-boký zrezaný ihlan KLMNOPQR. Zostrojte rez rovinou ABC. (obrázok 1) 18.Daný je pravidelný štvorsten ABCD, zostrojte rez rovinou KLM. Bod L leží v stene ABD. (obrázok 2) Obrázok 1 Obrázok 2 19.Nájdite priesečnicu rovín ACF a BEG v kvádri so štvorcovou podstavou ABCDEFGH, AB = 3 cm, AE = 5 cm. Priesečník priamky a roviny Postup pre hľadanie spoločného priesečníka priamky p s rovinou α: 1. priamkou p preložíme ľubovolnú vhodnú rovinu β, ktorá je rôznobežná s rovinou α...p leží v β 2. zostrojíme priesečnicu rovín α a β...α β= q 3. nájdeme priesečník priamky p a q...p q = {P} p α ={P} 20.Daná je kocka K. Určte prienik priamky DF s rovinou BEG. Graficky zistite vzdialenosť tohto prieniku od vrcholu F. 21.Daná je kocka K, určte prienik DBF a KL, K stred EF, L stred BC. 22.Zbierka 2/4, str. 50/16 a-c: Bod P je vnútorný bod hrany DV pravidelného 4-bokého ihlana ABCDV, Q je vnútorný bod polpriamky opačnej k polpriamke BA. Zostrojte priesečník a) priamky BP s rovinou ACV b) priamky QP s rovinou ACV, c) priamky PQ s rovinou BCV. Uhol priamok: 2 rôznobežné priamky rozdelia rovinu na 4 konvexné uhly. Uhol 2 rôznobežných priamok je definovaný ako veľkosť ostrého, nanajvýš pravého uhla, ktorého ramená ležia na daných priamkach. p//q, potom veľkosť uhla p,q je 0 alebo 0 rad p kolmá na q, potom veľkosť uhla p,q je 90 alebo π/2 rad.
Uhol dvoch mimobežiek definujeme takto: nech p.q sú mimobežky, veďme dve rovnobežky p a q, tak že p//p a q//q, tak aby mali spoločný bod. Potom uhol p, q, je uhol p a q. 23.Daná je kocka K. Určte graficky aj výpočtom uhol priamok DC a EM. 24.Je daný prav. 4-boký ihlan. Určte graficky aj výpočtom uhol priamok DC a VM, pričom M stred BC. 25.Daný je trojboký hranol A1A2A3B1B2B3. A1B1 = 6 cm, A1A2 = 3 cm. Určte graficky aj výpočtom uhol priamok A1B2 a A1B3. Priamka kolmá na rovinu: Def: Priamka je kolmá na rovinu práve vtedy, keď je kolmá na všetky priamky danej roviny. Pri dôkazoch, alebo zisťovaní kolmosti priamky na rovinu sa využíva Veta 11: Ak je priamka kolmá na 2 rôznobežné priamky roviny, tak je kolmá na túto rovinu. Niekedy hovoríme o kolmosti úsečky na rovinu a vtedy platí, že úsečka je kolmá na danú rovinu, ak priamka na ktorej leží je kolmá na rovinu. Veta 12: Všetky priamky kolmé na jednu rovinu sú navzájom rovnobežné. Veta 13: Ak je priamka rovnobežná s priamkou kolmou na rovinu, tak je kolmá na túto rovinu. Veta 14: Ak je rovina kolmá na jednu z dvoch rovnobežných priamok, tak je kolmá aj na druhú z nich. 26.Daný je pravidelný 4-boký ihlan I. Zistite, či: a) AC je kolmá na BVD b) AD je kolmá na CDV Veta 15: Všetky roviny kolmé na tú istú priamku sú navzájom rovnobežné. Veta 16: Ak je rovina rovnobežná s rovinou kolmou na priamku, tak je kolmá na tú priamku. Veta 17: Ak je priamka kolmá na jednu z dvoch rovnobežných rovín, tak je kolmá aj na druhú z nich. 27. c Daný je prav. štvorsten. M stred CD, N stred AB. Zistite, či MN je kolmá na CD. d -,, Zistite, či AB je kolmá na CD. e Daný je prav. 4-boký ihlan. Zistite, či AC je kolmá na BV. f -,,, M stred CV. Zistite, či AM je kolmá na BVD. Kolmé premietanie: Def: Kolmým priemetom bodu X do roviny α je päta kolmice vedenej bodom X na rovinu α. Kolmým priemetom priamky do roviny je priamka, ak priamka nie je kolmá na rovinu. Ak je kolmá na rovinu, kolmým priemetom je bod. Napr. hlavný vrchol prav. n-bokého ihlana sa kolmým premietaním zobrazí do roviny podstavy ako stred podstavy. Vzdialenosť bodu od priamky: Def: Vzdialenosť bodu od priamky je vzdialenosť bodu od jeho kolmého priemetu do tejto priamky. Je to najmenšia vzdialenosť bodu A od priamky p zo vzdialeností všetkých bodov X, ležiacich na priamke p, a bodu A.
28.Ja daná kocka K, a = 4. Vypočítajte vzdialenosť daných bodov: a) A, G SEG d) B, SAH e) SAC, SCG f) SBG, SAF b) A, SGH c) A, Postup hľadania vzdialenosti bodu X od priamky p: Priamkou p preložíme rovinu, obsahujúcu bod A. Pre grafické znázornenie útvar vzniknutý rezom nakreslíme v skutočnej veľkosti. 29.Je daná kocka K, a = 4. Vypočítajte vzdialenosť bodov od daných priamok: a) F, AC AD c) F, AH d) E, BH. b) F, 30.Je daný 4-boký ihlan. Určte graficky a výpočtom vzdialenosť bodu A od priamky VC, pričom AB = a, AV = b. Vzdialenosť bodu od roviny: Def: Vzdialenosť bodu od roviny je vzdialenosť tohto bodu od jeho kolmého priemetu do tejto roviny. Veta 18: Ak priamka k leží v rovine α kolmej na rovinu π a zároveň k je kolmá na priesečnicu rovín α a π, tak je kolmá na rovinu π. (Túto vetu využívame na tzv. prekladanie pomocnej roviny nejakou priamkou.) 31.Daný je prav. 4-boký ihlan I (AB = 3 cm, v = 4 cm), graficky aj výpočtom určte vzdialenosť bodu M od roviny ABC, pričom M stred VC. 32.Daný je kváder AB..GH, AB = BC = 3 cm, AE = 5 cm. Určte graficky aj výpočtom vzdialenosť bodu B od ACF. Vzdialenosť rovín a priamok: Def: Vzdialenosť dvoch rovnobežných priamok je vzdialenosť ľubovolného bodu jednej z nich od druhej priamky. 33.Je daná kocka K, a = 4, K je stred AB, L stred BC, M stred EH, N stred GH. Vypočítajte vzdialenosť priamok: a) AE, CG b) KL, MN Def: Vzdialenosť dvoch rovnobežných rovín je vzdialenosť ľubovolného bodu jednej roviny od druhej roviny. Ak roviny splývajú, vzdialenosť je nulová. 34.Daná je kocka K, určte vzdialenosť rovín (graficky aj výpočtom) ACH a BGE. Uhol priamky s rovinou: Def: Uhol priamky s rovinou je uhol priamky s jej kolmým priemetom do roviny, ak priamka nie je kolmá na rovinu. Priamka kolmá na rovinu zviera s rovinou pravý uhol. 35.Daná je kocka K. Určte uhol priamky BH s rovinou a) ABC b) BCG. Graficky aj výpočtom. 36.Daný je kolmý hranol AB..GH, AB = a = 3 cm, BC = b = 4 cm, AE = c = 5 cm. Určte graf. aj výp. uhol priamky BG a roviny BCH.