Vzorové riešenia 1. série letnej časti

Celoslovenský korešpondenčný seinár z fyziky pre žiakov ZŠ a OG Vzorové riešenia 1. série letnej časti Pikofyz, 13. ročník www.p-at.sk/pikofyz šk. rok 2010/2011 Príklad 1 - Na tenko ľade opravoval Ondrej Bogár - Bugẏ Skoro všetci ste zvládli navrhnúť správny spôsob, ako prejsť cez zarznutú rieku. Ale nie všetci ste to vedeli dobre fyzikálne vysvetliť. Ľad praskne vtedy, ak na neho pôsobíe tlako väčší ako je nejaký kritický tlak. Kritický tlak je pre každy ľad iný, ale to ná nevadí. Tlak vypočítae ako: p = F S Beh: Keď beží, tak na ze došľapuje len špičkou jednej nohy. A to, ako sai uznáte, je celko alá plocha, na ktorú sa sustredí celá hostnosť (a teda aj celá tiažová sila). Takže tlak bude vyšší, ako keby so len norálne stál na ľade. Navyše, ked sa chce rozbehnúť, usí sa nejakou silou odraziť. Táto sila sa pripočíta k tiažovej sile. Preto vzratie celková tlaková sila a aj tlak. Vidíe, že čas nikde vo vzorci na tlak nefiguruje. Takže Eilov arguent je zlý. Iný spôsob: Aby sa dalo prejsť bezpečne cez ľad, usíe znížiť tlak. Bud znížie hostnosť, čo znáená, že by se zo seba zhodili batoh alebo oblečenie. Jednoduchšie sa zväčšuje plocha. Stačí, aby se si ľahli a plazili sa. Alebo použili lyže, boby alebo nejake drevené dosky. Takto znížie tlak ktorý pôsobíe na ľad a nehrozí ná, že prekročíe kritický tlak a ľad praskne. Pozor 1: Mnohí z vás hovorili, že ak niekto bude utekať rýchlo, tak dokáže utekať pred puklinai. Vyjadrenie rýchlosti šírenia pukliny sa dá vypočítať veli koplikovane a záleží od veľkého nožstva faktorov. Preto je veľi ťažké toto odhadnúť. Pozor 2: Behanie po vode je o ino ta sa spoliehae na dynaickú viskozitu vody. Ale to je na dlhšie rozprávanie. Bodovanie: Ak ste nevysvetlili, že doležitý je tlak na ľad 0,5 b. Za vyvrátenie teórie o rýchlo behu 3 b a za navrhnutie a zdôvodnenie nejakej dobrej taktiky 2 b. Príklad 2 - Doska opravoval Toáš Jančo - Janči Ahojte! Tento príklad bol poerne ľahký, väčšina z vás zvládla vypočítať správne hodnoty, čo sa ukážu na váhach. Horšie to však bolo s odôvodnení a popiso 1

vašich riešení. Ako to teda alo vyzerať? Najjednoduchšie to vypočítae tak, že si uvedoíe, že vďaka doske sa hotnosť človeka rozloží tak, ako keby sa v ťažisku sústredilo 80 kg. Poer vzdialeností ťažiska od konca dosky je 2 : 3 (na to nepotrebujee ani vedieť dĺžku dosky) a sily sa rozložia práve v takoto poere, ibaže pri hlave bude sila väčšia ako pri nohách (ťažisko je bližšie k hlave). Váha pri nohách ukáže 2 5 80 kg = 32 kg a pri hlave 3 5 80 kg = 48 kg. Výsledok je síce správny, ale iba slabo zdôvodnený. Že sa sily rozložia takto je logické, pretože to vyplýva zo skúsenosti. Vo fyzike však hľadáe exaktné vysvetlenie. To ôže byť takéto: Doska na váhach sa správa ako páka, pretože je to teleso na ktoré pôsobia nejaké sily a je otočné okolo nejakej osi. Pre rovnováhu na páke platí oentová veta: Súčet oentov otáčajúci pákou v kladno zysle sa rovná súčtu oentov otáčajúcich pákou v záporno zysle. (Moent sily je jej otáčavý účinok). Kde sa naša páka otáča? V ťažisku alebo na jednej z váh? Ťažko povedať, našťastie je to úplne jedno (uvidíe prečo). Všetko vzťahujúce sa na váhu pod nohai budee označovať číslo 1, na váhu pod hlavou 2, a všetko vzťahujúce sa k ťiaži a ťažisku človeka píseno g. Sily sú tie čo pôsobia na páku. (Treba si uvedoiť že tak ako doska pôsobí na váhy, aj váhy pôsobia naňu, ale v opačno sere). Nech v bode M je os otáčania páky. Bod M je niekde edzi váhou 1 a ťažisko. Sila F 2 spôsobuje otáčanie v kladno sere (tj. v protisere hod. ručičiek), teda jej oent bude na jednej strane rovnice. Sila F 1 a sila F g spôsobujú otáčanie v záporno sere, teda ich oenty budú na druhej strane rovnice. Páka je v rovnováhe, preto platí oentová veta v tvare: M 2 = M 1 + M g Nech je os otáčania pod ľavou váhou. Poto rovnicu zapíše takto: F 2 l = F 1 0 + F g l 3 5 Sila F 1 á nulové raeno, takže aj jej oent je nulový. Z rovnice so vykrátil dĺžku dosky l. 2 g = g 3 5 2 = 3 3 = 80 kg = 48 kg 5 5 Na pravej váhe teda odčítae 48 kg a na pravej zvyšok, čo je 80 48 = 32 kg. Prečo je jedno kde si zvolíe os otáčania? (táto časť saozreje nebola v riešení vyžadovaná, je tu len pre ozrejenie probléu) Označe si vzdialenosti l 1, l 2, l g a l M tak, že sa počítajú od ľavej váhy (ta 2

je nula). Vzdialenosť l M je vzdialenosť bodu M od ľavého konca dosky. Teraz si všinee, že dĺžky raien síl sa dajú zapísať takto: Raeno F 1 je dlhé l M, raeno F g je dlhé l g l M a raeno F 2 je dlhé l 2 l M nech je bod M hocikde edzi váhou 1 a T. Celé to zapíše do rovnice: F 2 (l g l M ) = F 1 l M + F g (l 2 l M ) F 2 l g F 2 l M = F 1 l M + F g l 2 F g l M l M (F g F 2 F 1 ) = F g l 2 F 2 l g Nakoniec si už len uvedoíe že F g F 2 F 1 = 0 pretože ak by sa sily nevyrušili, páka by sa predsa začala pohybovať. Dostanee: 0 = F g l 2 F 2 l g Môžee si všinúť, že poloha bodu M z rovnice úplne zizla. Preto je ná jedno, kde si predstavíe os otáčania. (Ak by bola aj edzi T a váhou 2, bolo by to to isté, ôžete si to vyskúšať...) 2 = l 2 l g F g l 2 = F 2 l g gl 2 = 2 gl g = 3 = 48 kg 2 Hotnosť 1 = 2 = 32 kg pretože súčet hotností na váhach usí byť rovný hotnosti = 80 kg človeka na doske (platí uvedená podienka o súčte síl). Ak ste to neali vyriešené takto podrobne, nevadí, stačilo si tú nešťastnú os otáčania zvoliť niekde (výhodne napríklad do ťažiska alebo pod jednu z váh) a poto to podľa toho vypočítať. Bodovanie: Body sa dali získať, ale aj stratiť hlavne na odôvodnení a popísaní riešenia. Za správny popis boli až 3 b. Zvyšné 2 b boli rozdelené za správny výsledok a správnu úvahu, že pod hlavou bude váha ukazovať viac. Príklad 3 - Káble a káble opravoval Martin Svetlík - Panda Ak á eter drôtu odpor R 1 = 2Ω, tak pre etrový zväzok dvoch drôtov zapojených paralelne vypočítae odpor ako: 1 R = 1 R 1 + 1 1 R 1 a teda R = 1 = 1Ω 2Ω + 1 2Ω Takže áe kábel (zväzok dvoch drôtov), ktorého dĺžkový odpor je 1Ω 1. Ak ôže ať kábel odpor najviac 50Ω, a každý jeho eter á odpor 1Ω, ôže ať najviac l = 50. Veď odpory za sebou nasledujúcich (t.j. sériových) úsekov sa jednoducho sčítajú, takže celkový odpor R celk, vypočítae ako R celk, = R l = 1Ω 1 50 = 50Ω. 3

Keď je zapojených 5 drôtov vedľa seba, počítae úplne rovnako - odpor zväzku na jeden eter bude R = 1 = 0, 4Ω a teda axiálna dĺžka je 5 1 2Ω l = 50Ω = 125 0, 4Ω 1 Viacerí z vás sa sa niekde poýlili, a poto i vyšiel odpor päťzväzku väčší ako odpor dvojzväzku. Bohužiaľ ste si to neuvedoili, a tak ste stratili body. Pri paralelno zapojení však platí, že čí viac rezistorov/drôtov zapojíe paralelne, tý je výsledný odpor enší. Je to ako s cestou - po štvorprúdovke ôže ísť viac áut ako po dvojprúdovke - rovnako aj tu ôže ísť cez viac drôtov viac elektrónov, teda väčší celkový prúd. A viee, že prúd a odpor sú závislé nepriao úerne, takže väčší prúd znaená, že to á enší odpor... Preto sú napríklad drôty elektrického vedenia také hrubé, aby neali veľký odpor a dobre viedli prúd. Bodovanie: Ak ste používali správne vzorce a vysvetlili ste, prečo ich používate, boli za to 3 b. Za dorátanie oboch výsledkov bolo po 1 b. Príklad 4 - Valcová loď opravoval Martin Lauko - Logik Nájsť ťažisko lode vôbec nie je jednoduché; povedze si teda, ako to alo byť správne. Ťažisko je bod, pod ktorý usíe podoprieť teleso, aby sa neprevrátilo. Stačí, že bude na oboch stranách ťažiska rovnaká hotnosť? Nestačí! Predstave si hojdačku s rovnako ťažkýi deťi na oboch stranách: jedno vo vzdialenosti 1 a druhé 2. Keď ju podopriee v strede, zostane stáť? Saozreje, že nie, raená neajú rovnaký oent sily. To využijee aj pri hľadaní ťažiska. Rovnorodý valec á ťažisko v strede - teda na osi a v strede výšky. Situácia sa skoplikuje, keď áe dva valce z rôznych ateriálov. Označe si valce, z ktorých je zložená loď, spredu písenai A (6 etrový), B (9 etrový), C (4 etrový). Nájdie najskôr spoločné ťažisko valcov A, B. A T AB T A T B 3 10,5 4,5 x (10,5 - x) B Zreje bude niekde vo valci B. Označe jeho vzdialenosť od začiatku lode x a vypočítaje oent sily na oboch stranách. Moent sily M i vypočítae ako súčin raena a sily (teraz gravitačnej), teda M i = i g a i. V našo prípade bude na ľavej strane (valec A) hotnosť 1 = 5 t, vo vzdialenosti a 1 = x 3 od ťažiska (ľavý koniec valca B je vo vzdialenosti T ABC x, pravý x 6). Na pravej strane 2 = 11 t, a 2 = 10,5 x. Dosadení: A+B x y T AB (17 - y) T C C 2 M 1 = M 2 1 a 1 = 2 a 2 4

A T A T B 3 10,5 4,5 x 5(x 3) = 11(10,5 x) 5x 15 = 115,5 11x x = 130,5 16 = 8,15625 Čo je vzdialenosť ťažiska valcov A, B od začiatku lode. AB (10,5 - x) B A+B T AB T ABC T C C 2 (17 - y) x y Rovnako vypočítae aj polohu ťažiska celej lode: dvojvalca A+B (už viee, kde á ťažisko) a valca C. Označe polohu tohto ťažiska od začiatku lode y. Poto z rovnováhy oentov platí: 16(y 8,15625) = 3(17 y) 16y 130,5 = 51 3y y = 181,5 9,553 19 Ale pozor, kedže nás zaujíala poloha ťažiska od stredu lode (19 /2 = 9,5 ), usíe vypočítať tento rozdiel. Takže odpoveď znie: ťažisko lode je vzdialené 5, 3 c od jej stredu. Ak sa Vá zdalo veľa výpočtov, tak vedzte, že sa to dá vypočítať aj v jedno kroku, výsledok dostanee rovnaký. Bodovanie: 5 b za správne riešenie, polovicu, ak ste počítali stred hotnosti lode, ostatné neúplné riešenia individuálne. Príklad 5 - Strela ze vzduch opravovala Eília Rigdová - Milka Na začiatku si treba vybrať správnu pružinu (takú, čo sa veľi nedeforuje). Ak nenájde z pera, ôže byť aj z hocičoho, čo doa á. Túto pružinu si pripevní o stôl, aby i neskákala. Najlepšie na nejaký alý kolík, aby pri vystrelení serovala predety priao nahor. Ďalší problé je presné eranie. Môže si napríklad nalepiť tesne za iesto, z ktorého predety vystreluje pravítko. Nechtai stlačí pružinu a pustí, sleduje, ka najvyššie dokázal predet vyletieť. Problé ale je, že sa na letiaci predet pozerá z uhla, a tak nevidí správnu výšku. Preto je vhodné buď požiadať niekoho iného, aby na experient pozeral z väčšej diaľky, alebo využije jednoduchú fintu s doskou. Vždy, keď vystreľuje nejaký predet, si uiestni vodorovne v určitej výške dosku. Ak sa i predet pri výstrele dosky dotkne, dokáže vyskočiť aj vyššie. Posúva dosku nahor až dovtedy, ký sa jej letiaci predet 5

prestane dotýkať (saozreje, ak neletí šiko :)). Posledná výška, v ktorej sa i ešte dotkol dosky je hľadaná výška. Takto i vyjde jeden veľi presný výsledok. Tento postup zopakuje poto pre každý predet viackrát. Veľi dôležité bolo v toto príklade popísať aparatúru a jej chyby. Meranie ohlo ovplyvniť rôzne stlačenie pružinky, jej deforácia, poloha pozorovateľa, v prvo spôsobe erania aj reflexy pozorovateľa, ser, v ktoro so pružinu vystreľovala... Saotnú výšku dostrelu ohla silne ovplyvniť hotnosť telesa, na čo veľa z Vás prišlo. Málokto si ale uvedoil aj dôležitosť tvaru telesa. Ak z pružinky vystrelí pierko, vyletí len veľi álo aj napriek tou, že je onoho ľahšie ako napríklad gua na guovanie. Bodovanie: 1 b za popísanie aparatúry a jej fungovania, 2 b za podrobný popis postupu, 1 b za naerané hodnoty, 1 b za zhodnotenie chýb svojho spôsobu erania. Príklad 6 - Blubík opravoval Matej Večerík - Maťo Poďe postupne, ako sa veci diali za sebou. Najprv vybuchol granát a Blubík ho uvidel. Niekoľko z vás spoínalo rýchlosť svetla, čo je veľi zaujíavý postreh. Ak by ale granát vybuchol aj 100 k od nory, tak by to svetlu trvalo len zhruba 0,00033 s, čo bez probléov zanedbáe. Po zazretí výbuchu sa u Blubík rozbehol naproti. Viee, že celkovo bol io nory 20 s a že bežal stále rovnako rýchlo. To znaená, že od nory bežal 10 s, a teda stihol prebehnúť 9 s 10 s = 90 ký začul výbuch. Za tento čas k neu stihol dôjst zvuk. Kedže poznáe rýchlosť zvuku, tak viee povedať, ako ďaleko výbuch nastal. Bolo to 340 s 10 s = 3400. Kedže už vie, koľko prešiel Blubík a koľko zvuk k ich spoločnéu iestu stretnutia, tak už i stačí tieto vzdialenosti sčítať, keďže išli k sebe. Tak dostane, že vzdialenosť od nory k výbuchu je 90 + 3400 = 3490. Bodovanie: Za správny postup a výsledok 5 b. Príklad 7 - Ponorený v jede opravoval Ján Boogie Bogár Ahojte ľudkovia. Zadanie príkladu hovorí, že treba oderať ponorený obje telesa v závislosti od hustoty kvapaliny pre tri rôzne kvapaliny (vodu, slanú vodu a olej). To znaená, že treba ku každej hustote kvapaliny priradiť obje ponorenej časti telesa. Potrebujee na to váhy, oderný valec a skúšobné teleso. Ja so si zvolil za skúšobné teleso uelohotnú valcovú krabičku do ktorej so vhodil olovené závažie. Najprv oderia hustotu kvapalín. Položí prázdny oderný valec na váhy a odváži ho. Poto doňho naleje kvapalinu a odváži ho aj s ňou. Rozdiel hotností prázdneho a plného oderného valca je hotnosť kvapaliny. Obje kvapaliny pozná tiež, keďže je naliata v oderno valci. Hustotu kvapaliny vypočíta ako podiel hotnosti a objeu kvapaliny, podľa vzorca ρ = V. Hustoty kvapalín boli: 6

voda: ρ voda = 1000 kg slaná voda: ρ sl.voda = 1020 kg olej: ρ olej = 920 kg Oveľa krajšie riešenie je zerať obje, o ktorý stúpne hladina vody v oderno valci. Tento obje je rovný objeu ponorenej časti telesa (aj keď pozor, nedajte sa ziasť, ak sa voda nevylieva z nádoby, nie je rovný objeu vytlačenej kvapaliny). Najprv pozrie na oderný valec a zaznačí si, na ako objee je hladina vody. Poto vhodí teleso a opäť zaznačí na ako objee je hladina vody. Rozdiel edzi týito dvoa objeai je obje ponorenej časti telesa. Ja so použil tento spôsob. Zobral so teda svoje teleso a ponoril ho postupne do vody, slanej vody a oleja. Každé eranie so opakoval tri krát. Prieerné objey ponorenej časti telesa so zapísal do tabuľky: kvapalina olej voda slaná voda hustota kvapaliny v kg 920 1000 1020 3 obje ponorenej časti v c 6,50 7,10 7,25 Z takejto tabuľky je poto ožné ľahko vyrobiť aj graf spoínanej závislosti, a to tak, že na x-ovú os dáe hustotu kvapaliny a na y-ovú os zas ponorený obje (nie naopak). Vyrobiť graf ale nebolo v zadaní, takže to nebolo povinné. Každopádne z grafu ešte lepšie ako len z tabuľky vidno, že čí je väčšia hustota kvapaliny, tý je enší obje ponorenej časti. Po krátko zayslení prídee na to, že to isté vyplýva z Archiedovho zákona. Tak, to by bolo všetko. Mnohí z vás urobili tú chybu, že neoderali alebo neuviedli hustoty kvapalín. Keďže sa ale pýtae na závislosť na hustote kvapaliny, treba poznať aj hustoty. Tak, hotovo. Majte sa a želá veľa zdaru. Bodovanie: 2 b boli za dobrý opis experientu a toho, ako ste postupovali. 1,5 b bolo za dobre oderanú hustotu kvapalín a 1,5 b za oderanie ponorenej časti telesa. Okre toho ale bolo ožné získať 0,5 b ako bonus za opakovanie eraní (čo by ala byť saozrejosť pri každo experiente) a za uvedenie výsledkov vo fore grafu (čo je ideálne, ak eriae závislosť dvoch veličín). Príklad 8 - Pirátsky problé opravoval Peter Dupej - Peťo Túto úlohu ste zvládli celko dobre, čo a veľi potešilo, tak sa pusťe do jej rozboru. Archiedov zákon F g = F vz by ste už ali všetci hravo ovládať. Tiažová sila lode je F g1 = 1 g = 70000 kg 10 N kg = 700000 N. Vztlaková sila je rovná súčinu hotnosti vytlačenej vody a gravitačného zrýchlenia, a hotnosť je obje krát hustota kvapaliny, takže F vz = V ρg. Najdôležitejšie bolo uvedoeniť si, že piráti chceli, aby výtlak (obje vytlačenej vody) ostal rovnaký V 1 = V 2. Ten vyrátae úpravou 1 g = V 1 ρ 1 g na V 1 = 1 70000 kg 1000 kg = 70 (g sa vykrátilo). 7 ρ 1 =

Keďže hustota orskej vody je väčšia ako hustota sladkej vody, vztlaková sila spôsobená rovnaký výtlako bude na ori väčšia ako v rieke. Morská voda s rovnaká objeo vytlačí F g2 = F vz2 = V 2 ρ 2 g = 70 1030 kg 10 N 3 kg = 721000 N. Rozdiel je F = F g1 F g2 = 21000 N, a teda piráti usia lod zaťažiť hotnosťou = 21000 N = 2100 kg. 10 N kg Teraz potrebujee hotnosť jedného suda. Sá prádzny váži s = 15 kg, ale bolo by hlúpe nakladať prádzne sudy, keď v nich ôže byť ešte V s = 80 l sladkej vody. Hotnosť tejto vody je v = V s ρ 1 = 0, 08 1000 kg = 80 kg. Plný sud 3 tak váži s = s + v = 15 kg + 80 kg = 95 kg. 2100 kg Takže počet sudov, ktorýi piráti useli zaťažiť loď je 95 kg = 22, 105 =. 22 (tých 10 kg hore dole ;-), ale uznával so aj všetky správne transforácie na 22 plných sudov, jeden prázdny sud a podobne). Úloha sa dala vyriešit aj jednoduchšie, ak sa pozriee na Archiedov zákon takto: Ak vztlakovú aj tiažovú silu podelíe g, dostanee, že hotnosť lode sa rovná hotnosti vytlačenej vody. Keďže obje tejto vody sa nezenil, zenila sa len hustota, tak na ori bude hotnosť vytlačenej vody väčšia práve v tako poere, v ako sa zväčšila jej hustota a v tako poere treba zvačšiť aj hotnosť lode 1030 kg ρ 2 = 2 1 ρ 1 = 70000 kg = 72100 kg. 1000 kg Celé sa to dalo vyjadriť jedný vzorco: n = 1( ρ2 ρ 1 1) s + V s ρ 1 = kg 1030 70000 kg( 3 1) 1000 kg 15 kg + 0, 08 1000 kg. = 22 Bodovanie: Za uvedoenie si V 1 = V 2 bol 1 b, ak ste sa dopracovali k správnej zene hotnosti 1 b, za správne zrátanie hotnosti plného suda 1 b, za správny počet sudov 1 b a posledný 1 b bol za popis úlohy. Ak ste ali chyby v preene jednotiek alebo výpočtoch, strhol so 0, 5 1 b. 8