ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση του πίνακα Α; Γιατί; Εάν ο πίνακας διαγωνιοποιείται, να υπολογιστεί αντιστρέψιµος πίνακας P (καθώς και ο P ) έτσι ώστε ο P AP να είναι διαγώνιος. 0 (γ) Να υπολογιστεί ο A. λi A 0 λ 0 λ 0 λ λ λ 0 0 0 λ 0 0 λ ( λ)( λ λ+ ) ( λ) ( λ ) 0. Άρα οι ιδιοτιµές είναι λ,, Για να βρεθούν τα ιδιοδιανύσµατα λύνουµε το σύστηµα ( λi Α ) 0 για κάθε µια από τις ιδιοτιµές. λ, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. Άρα 0 0 0 0 0 0 Εποµένως τα ιδιοδιανύσµατα είναι a 0 0 και b, a, b R { 0}.. 0 λ, 0 0 0 0 0 Γ Γ +Γ 0. Άρα 0 0 0 0 0 0 Εποµένως τα ιδιοδιανύσµατα είναι a, όπου a R {0}.
(β) Η διαγωνοποίηση του πίνακα A είναι δυνατή αφού έχουµε τρία () γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα. 0 0 (γ) P 0, P και 0 0 0 0 D 0 0 0 0 P AP (δ) 0 0 A PDP A PD P 0 0 0 0 0 0 + 0 + A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. (5 µον.) ίνεται το σύστηµα a a + a a + + + b b Να βρεθούν τα a και b για τα οποία το παραπάνω σύστηµα έχει: (i) µοναδική λύση, (ii) άπειρες λύσεις και (iii) καµία λύση. a 0 b a 0 b a a 0 a b Γ Γ Γ Γ ΓΓ 0 a b 0 a b a 0 b 0 a b. 0 0 b b Από τον τελευταίο πίνακα συµπεραίνουµε τα εξής. (i) Το σύστηµα έχει µοναδική λύση όταν b και a 0. (ii) Το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις όταν b και a 0 ή b και a 0. (iii) Το σύστηµα δεν έχει καµία λύση όταν b και a 0.
. (0 µον.) Εστω φ: R R γραµµική απεικόνιση της οποίας ο αντίστοιχος πίνακας ως προς την συνήθη βάση του R είναι. 0 (α) Βρείτε µια βάση και τη διάσταση του διανυσµατικού χώρου Κerφ. (β) Βρείτε µια βάση και τη διάσταση του διανυσµατικού χώρου φ(r ). (γ) Ποιο (ά) από τα διανύσµατα (,,-), (,,) ανήκει(ουν) στο φ(r ); (α) Έστω Α ο δεδοµένος πίνακας. Λύνοντας το σύστηµα AX 0 βλέπουµε ότι ker φ { a(,,) a R}. Μια βάση αυτού είναι το σύνολο {(-,-,) }και η διάστασή του είναι. (β) Από τη σχέση dim kerφ + dim φ( R ) και το ερώτηµα (α) έπεται ότι dim φ ( R ). Ξέρουµε ότι ο χώρος φ( R ) παράγεται από τις στήλες του πίνακα Α. ύο γραµµικά ανεξάρτητες στήλες του Α είναι, για παράδειγµα, οι πρώτες δύο. Άρα µια βάση του χώρου αυτού είναι το σύνολο {(,, ),(,,0) }. (γ) Εξετάζουµε ποιό (ά) από τα συστήµατα AX (,, ), AX (,,) έχει λύση. Με γραµµοπράξεις εύκολα επαληθεύεται ότι το πρώτο σύστηµα έχει λύση ενώ το δεύτερο δεν έχει λύση. Άρα (,,-) φ(r ) και (,,-) φ(r ). (Σηµείωση: Εναλλακτικά, θα µπορούσαµε να εξετάσουµε ποιά από τα (,,-), (,,) συνδυασµός των στοιχείων της βάσης που βρήκαµε στο (β)). είναι γραµµικός. (0 µον.) α) Έστω Π ο διανυσµατικός χώρος των πολυωνύµων που έχουν βαθµό το πολύ. Αποδείξτε ότι µια βάση του Π είναι το σύνολο {,, ( ) } και βρείτε την παράσταση του 5 + + ως γραµµικό συνδυασµό των στοιχείων της παραπάνω βάσης. β) Ποιές είναι οι δυνατές τιµές για τη διάσταση της τοµής δύο υποχώρων του R που έχουν διάσταση. ώστε παραδείγµατα σε κάθε περίπτωση. (α) Επειδή η διάσταση του Π είναι, αρκεί να αποδείξουµε ότι το σύνολο {,, ( ) } είναι γραµµικά ανεξάρτητο. Έχουµε ( ) ( ) 0 ( ) ( ) a + b + c c + b c + a b+ c 0 0. c b c a b+ c a b c Για το δεύτερο ερώτηµα του (α), λύνουµε την εξίσωση a + b( ) + c( ) + + 5 δηλαδή την c + ( b c) + ( a b + c ) 5 + +. Αυτή ισοδυναµεί µε το σύστηµα c 5, b c, a b+ c. Άρα a 0, b, c 5. Σηµείωση. Οι ζητούµενοι συντελεστές θα µπορούσαν να βρεθούν και µε το ανάπτυγµα Taylor γύρω από σηµείο.
(β) Έστω U, Vδύο υπόχωροι του R διάστασης. Από τις σχέσεις dim( U + V) και dim( U + V) + dimu V dimu + dimv + συµπεραίνουµε ότι dimu V ή. Αν U V, τότε βέβαια dimu V. Αν U {(, y,0), y R} και V {(0, y, z) y, z R} τότε dimu V. 5. Σωστό ή Λάθος ( ικαιολογήστε την απάντησή σας) (8 µον.).. Υπάρχει γραµµική απεικόνιση f: R R µε Kerf 0. a b. Kάθε µη αντιστρέψιµος πίνακας A ικανοποιεί την εξίσωση c d ( a + d).. Για κάθε τετραγωνικούς πίνακες Α, Β που ικανοποιούν Α+Β 0, ισχύει ότι dea -deb.. Κάθε πίνακας διαγωνοποιείται.. Λάθος, αφού dim ker f + dim f( R ) και dim f ( R ).. Σωστό, αφού από το Θεώρηµα Cayley-Hamilo έχουµε A ( a+ d) A+ (de A) I 0και από την υπόθεση de A 0.. Λάθος. Έστω Α ένας αντιστρέψιµος τετραγωνικός πίνακας αρτίου µεγέθους, πχ 0 A. Τότε de A de B de B. 0. Λάθος, αφού ο δεν διαγωνιοποιείται. 0 6. (0 µον.) Εξετάστε ως προς τη σύγκλιση: (α) Τις ακολουθίες : i) u ( ) +, 0,,,,... ii) u ( ) +,,,,... si( ) iii) u,,,,... iv) u +, 0,,,... (β) Τις σειρές: i) k 0 k! k ii) k k k + k iii) + iv) 0 + 5 0 +
α) i) Έχουµε lim( ) + 0 για περιττό και lim( ) + για άρτιο. Άρα η ακολουθία δεν συγκλίνει. ii) Έχουµε lim( ( ) + ) 0 +. si iii) Έχουµε l im lim( si ) 0, ως γινόµενο φραγµένης ακολουθίας (si ) και µηδενικής ( ). iv) Είναι: + + lim( + ) lim(( + ) ) lim 0 + + + + β) i) Εφαρµόζουµε το κριτήριο λόγου: k+ 0 a r k+ k + ( k + )! 0 k! 0 lim lim lim lim 0 < k k k k a 0 k ( )!0 k k k+ k+ k! Άρα η σειρά συγκλίνει. ii) Eφαρµόζουµε το κριτήριο ρίζας. k k k k + + + lim k lim lim k > k k k k k k k άρα η σειρά δεν συγκλίνει. iii) Για κάθε,,... έχουµε + και +. Άρα + + + και αφού η σειρά δεν συγκλίνει, η επίσης δεν συγκλίνει. + 0 5
iv) Γνωρίζουµε ότι η σειρά συγκλίνει. Επειδή έχουµε 0 5 συµπεραίνουµε ότι η δοσµένη σειρά επίσης συγκλίνει. < 5 + 5 5 7. ( µον.) (α) Να προσδιοριστούν οι σταθερές α και β ώστε η συνάρτηση π π a( ), αν < < 0 f( ) π a + β, αν 0 < να είναι παραγωγίσιµη στο 0. Υπόδειξη: Χρησιµοποιείστε την ταυτότητα: cos( π ) si. (β) Να προσδιορισθεί το πεδίο ορισµού τους και να παραγωγισθούν σε ένα τυχόν σηµείο αυτού,, οι συναρτήσεις: (i) f ( ) a e, (ii) e f( ) l, (iii) e + f( ) (+ si ) / (α) Το πρόβληµα ισοδυµαµεί µε το να βρούµε τα ab, R τέτοια ώστε f( ) f(0) f( ) f(0) lim lim + 0 0 0 0 π a( ) b lim a + b b lim + 0 0 π a( ) b lim a. 0 Έχουµε 6
π a( ) b lim 0 π si( ) lim b lim 0 π 0 cos( ) π si( ) lim b lim 0 si 0 π b lim lim si( ) lim 0 si 0 0 b lim. 0 Παρατηρούµε ότι im b l a αν και µόνο αν b 0, a. 0 (β) i) πεδίο ορισµού { R c os 0} { R (k+ ) π, k Z} / / a a f( ) (a ) e e. cos e ii) πεδίο ορισµού : { R > 0} θετικοί πραγµατικοί. e + / / e + e e f( ). e e + ( e )( e + ) iii) πεδίο ορισµού { R + si> 0} { R ( k+ ) π, k Z} / f ( ) (+ si ) cos. 8. (0 µον.) (α) ίνεται η συνάρτηση f ( ) + (i) Να βρεθούν τα σηµεία όπου η συνάρτηση τέµνει τους άξονες X, Y. (ii). Να βρεθούν και χαρακτηρισθούν τα ακρότατα και τα σηµεία καµπής και να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης. β) Σύρµα µήκους Λ πρόκειται να κοπεί σε δύο κοµµάτια, έτσι ώστε το ένα να το λυγίσουµε και να σχηµατίσουµε έναν κύκλο, το δε άλλο να σχηµατίσουµε ένα τετράγωνο. Πως θα πρέπει να κόψουµε το σύρµα έτσι 7
ώστε το άθροισµά των περικλειοµένων περιοχών να έχει ελάχιστο εµβαδόν? Πότε γίνεται αυτό το εµβαδόν µέγιστο; α) Η συνάρτηση τέµνει τον άξονα των y στο σηµείο (0,f(0)) (0,-) Επειδή f( ) ( + ) ( ) η συνάρτηση τέµνει τον άξονα των στα σηµεία (-,0), (,0). f( ) + 0,. / f( ) 6+ f( ) < 0, f( ) > 0. Άρα στο - έχουµε τοπικά µέγιστο και στο / τοπικό ελάχιστο. Σηµείο καµπής υπάρχει στο /. // // β) Έστω η ακτίνα του κύκλου r και η πλευρά του τετραγώνου. r πr Άρα το µήκος Λ θα είναι : Λ πr+ () Το άθροισµα των εµβαδών είναι: A r π + () dλ d dλ Από την () π +. Το 0 (Λ σταθερά). dr dr dr Εποµένως 8
d dr π () da d da Από την () π r+. Άρα π ( r ) 0. Εποµένως dr dr dr Αντικαθιστώντας την () στην () έχουµε r () Λ π r+ 8r, άρα Λ r ( π + ) ή Λ π +. da Άρα 0 dr όταν Λ π + και Λ r. ( π + ) d A d π Τώρα π( ) π( + ) > 0.Έπεται λοιπόν ότι η συνάρτησή µας έχει dr dr ελάχιστο για τις παραπάνω τιµές του και r. Για µέγιστο εµβαδόν 0 π r Λ. Είναι φανερό ότι το πεδίο ορισµού της Λ συνάρτησης A(r) είναι 0, π. Άρα το µέγιστο θα είναι σε ένα από τα δύο άκρα. r 0, Λ και A Λ 6 r Λ π, 0 και A π Λ. Εποµένως η µέγιστη τιµή το εµβαδού επιτυγχάνεται όταν r Λ π, 0. Αυτό σηµαίνει ότι το σύρµα δεν θα κοπεί καθόλου αλλά θα χρησιµοποιηθεί για το σχηµατισµό ενός κύκλου. Σηµείωση. Βλ. Σελίδα 09 του Λογισµού µιας Μεταβλητής, όπου υπάρχει λύση. 9. (5 µον.) (α) Να υπολογιστούν τα ολοκληρώµατα: + i) d ii) cos( )si ( ) + 8 d iii) l( ) d (β) Να υπολογιστεί το εµβαδόν της περιοχής που βρίσκεται κάτω από τη καµπύλη y και πάνω από τη καµπύλη y ( ) ; (γ) Αφού υπολογισθεί η παράγωγος της συνάρτησης, να υπολογισθεί si 9
το ολοκλήρωµα π π 6 si cos d si + (α) i) d + 8 + + A B + + 8 ( + )( ) + + A( ) + B( + ) Για, 6B B και για -, 6A A + d + d l( + ) + l( ) C + 8 ( + ) ( ) + ii) cos( )si ( d ) Έστω u si( ) udu cos( ) d d u si + C ( ) +C du du cos( ) dv iii) l( ) d Έστω u l( ) l( ). d v l( ) + C (l( ) ) + C d du. d (β) y και y ( ) 0
+ 5 + 0 ( )( ) 0. Άρα ( ( ) ) d ( + 5) d + 5 6 5 + 0 6 +.5 0. (5 µον.) Aναπτύσσοντας σε σειρά Taylor γύρω από το 0 τη συνάρτηση f ( ) + υπολογίστε µε ακρίβεια 6 ψηφίων την ποσότητα. 0. f(0) 0 +, f '( ) f '(0) + ' ' f ''( ) ( + ) ( )( + ) f ''(0) + ' 5 f '''( ) ( + ) ( )( + ) f '''(0) 8 Η σειρά Taylor στο 0 ειναι
f '(0) f ''(0) f '''(0) + f(0) + ( 0) + ( 0) + ( 0) +...!!! 0,0 8 8 + + + +... 0,0+ + 0,0 0,0 + 0,0 +...!!!!!!,0,00987 -------------------------------------