ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 1

Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή. Τροποποιημέα μητρώα στιβαρότητας. Τροποποιημένα μητρώα και εσωτερικές ελευθερώσεις. Δράσεις παγίωσης Ισοδύναμες δράσεις. 5. Εφαρμογή Ανάλυση επίπεδου πλαισίου με τη μέθοδο τροποποιημένων μητρώων στιβαρότητας Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα σημεία σύνδεσης δύο γραμμικών στοιχείων είναι οι γνωστοί κόμβοι του φορέα. Στην περίπτωση κατά την οποία η σύνδεση γίνει με μονολιθικό τρόπο (πλήρης σύνδεση), τότε μεταφέρονται όλα τα αναπτυσσόμενα εντατικά μεγέθη. Αν για κάποιο λόγο (κατασκευαστικό, λειτουργικό ή στατικό) δεν είναι επιθυμητή ή δυνατή η μεταφορά συγκεκριμένων εντατικών μεγεθών διατομής, τότε η σύνδεση των στοιχείων παρουσιάζει εσωτερική ελευθέρωση. Ειδικότερα, η αδυναμία μεταφοράς αξονικών δυνάμεων ή τεμνουσών δυνάμεων ή καμπτικών ροπών ή στρεπτικών ροπών σημαίνει ότι τα στοιχεία συνδέονται με αξονική ή διατμητική ή καμπτική ή στρεπτική ελευθέρωση, αντίστοιχα. Η σύνδεση δύο γραμμικών στοιχείων μπορεί να γίνει με τρόπο που να αποκλείεται η μεταφορά όχι μόνο ενός, αλλά περισσότερων εντατικών μεγεθών (πολλαπλή εσωτερική ελεύθερωση). Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Χαρακτηριστικές εσωτερικές ελευθερώσεις N=0 M=0 M=0 Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 5

Η εισαγωγή εσωτερικής ελευθέρωσης σε σημείο φορέα έχει άμεση επίπτωση στα κινηματικά μεγέθη που αναπτύσσονται εκατέρωθεν του σημείου αυτού. Η μονολιθική σύνδεση των άκρων των δύο συνδεόμενων στοιχείων δεν υφίσταται πλέον και τα δύο αυτά άκρα μπορούν να εμφανίσουν διαφορετικές μετακινήσεις (μετατοπίσεις ή/και στροφές). Αυτό σημαίνει ότι στην καμπτική ελευθέρωση (Μ=0) εμφανίζεται γόνατο Δθ 0, στη διατμητική ελευθέρωση (Q=0) άλμα Δu 0 και στην αξονική ελευθέρωση (Ν=0) χάσμα Δu 1 0. Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΕΙΣΑΓΩΓΗ Χαρακτηριστικές εσωτερικές ελευθερώσεις ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 6

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΕΙΣΑΓΩΓΗ Πλήρεις, μονόπλευρες και ελαστικές ελευθερώσεις ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Σε περίπτωση κόμβου φορέα στον οποίο συνδέονται τρία ή περισσότερα μέλη, η εσωτερική ελευθέρωση (π.χ. άρθρωση) μπορεί να είναι μονόπλευρη. Επίσης, μπορεί να θεωρηθεί ότι ναι μεν δεν επιτυγχάνεται μονολιθική σύνδεση, εντούτοις όμως μπορεί να μεταφερθεί ικανό ποσοστό ροπής. Στις περιπτώσεις αυτές ο κόμβος σύνδεσης ονομάζεται ελαστικός κόμβος, η σύνδεση θεωρείται ημιάκαμπτη ή αλλιώς ενδόσιμη. 7

ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΑ ΜΗΤΡΩΑ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 8

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΑ ΜΗΤΡΩΑ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ Η απαλοιφή ακραίων βαθμών ελευθερίας ενός στοιχείου i από την εξίσωση ισορροπίας του στο τοπικό ή στο καθολικό σύστημα αξόνων οδηγεί σε τροποποιημένη εξίσωση ισορροπίας με διαφορετικό μητρώο στιβαρότητας, το οποίο ονομάζεται "τροποποιημένο" μητρώο στιβαρότητας του στοιχείου. Το στοιχείο τύπου Ρ (στοιχείο δοκού στο επίπεδο) μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελεί φορέα με μητρωική εξίσωση ισορροπίας ως προς τοπικό ή καθολικό σύστημα αξόνων. P K{ } ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ (P ) Θεωρώντας ότι οι μετακινήσεις του στοιχείου-φορέα χωρίζονται σε μετακινήσεις προς απαλοιφή Δ e (eliminated) και παραμένουσες μετακινήσεις Δ c (condensed), η μητρωική εξίσωση ισορροπίας που προαναφέρθηκε, μετά τον χωρισμό και την αναδιάταξη των αντίστοιχων γραμμών και στηλών των μητρώων στιβαρότητας και ακραίων δράσεων και μετακινήσεων γράφεται ως 9

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΑ ΜΗΤΡΩΑ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ Pe Kee K Αναδιατεταγμένη μητρωική εξίσωση ισορροπίας ec e Pcc Kce Kcc c όπου P e, P cc είναι οι συνιστώσες των ακραίων δράσεων που αντιστοιχούν στις συνιστώσες των μετακινήσεων, Αναπτύσοντας τις δύο μητρωικές εξισώσεις της προηγούμενης σχέσης προκύπτει Επιλύοντας την (1) ως προς και αντικαθιστώντας στη () προκύπτει e c Pe Kee e Kec c P K K cc ce e cc c 1 e προκύπτει e Kee Pe Kec c 1 1 P K K P K K K K cc ce ee e cc ce ee ec c δηλαδή τροποποιημένη εξίσωση ισορροπίας τροποποιημένο μητρώο στιβαρότητας τροποποιημένο διάνυσμα ακραίων δράσεων P K c c c όπου 1 P P K K P 1 K K K K K c cc ce ee ec c cc ce ee e 10 (1) ()

ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΑ ΜΗΤΡΩΑ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ (P ) Για παράδειγμα εξετάζεται η απαλοιφή της στροφής του άκρου (Δ 6 ) μέλους τύπου Ρ (στοιχείο δοκού στο επίπεδο). P P e cc K K P / 0 6 / / 0 6 / 6 EI L EI L EI L EI L 0 / 0 0 / 0 P L AE L 1 P 6 EI / L 0 1 EI / L 6 EI / L 0 1 EI / L / 0 6 / / 0 6 / P EI L EI L EI L EI L P 0 AE / L 0 0 / L 0 P Αναδιατεταγμένη μητρωική εξίσωση ισορροπίας ee 5 6 EI / L 0 1 EI / L 6 EI / L 0 1 EI / L K K ce ec cc 6 1 5 e c Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 11

ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΑ ΜΗΤΡΩΑ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ (P ) Για παράδειγμα εξετάζεται η απαλοιφή της στροφής του άκρου (Δ 6 ) μέλους τύπου Ρ (στοιχείο δοκού στο επίπεδο). Μετά τον υπολογισμό του τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας μπορεί να γραφεί η 1 K K K K K c cc ce ee ec Τροποποιημένη μητρωική εξίσωση ισορροπίας P1 / L 0 0 AE / L 0 1 0 / / 0 / P EI L I L EI L P 0 / / 0 / EI L I L EI L P / 0 0 / 0 L AE L P5 0 / / 0 / 5 I L EI L EI L Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 1

ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΑ ΜΗΤΡΩΑ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ Από το τροποποιημένο μητρώο στιβαρότητας προκύπτουν οι Δείκτες στιβαρότητας μονόπακτης δοκού στο επίπεδο με άρθρωση στο άκρο c c 5 c c 1 Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 1

ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΑ ΜΗΤΡΩΑ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ Όμοια εξετάζεται η απαλοιφή της εγκάρσιας μετατόπισης του άκρου (Δ 5 ) μέλους Ρ Δείκτες στιβαρότητας δοκού στο επίπεδο με εγκάρσια ελευθέρωση στο άκρο. L c 0 c 5 0 (Μηδενική στήλη) c 55 EI L c c 1 EI L c 5 EI L c 5 c 5 1 EI L Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 1

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΑ ΜΗΤΡΩΑ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ Όμοια εξετάζεται η απαλοιφή της εγκάρσιας μετατόπισης του άκρου (Δ 5 ) μέλους Ρ Δείκτες στιβαρότητας δοκού στο επίπεδο με εγκάρσια ελευθέρωση στο άκρο. Έχει διατυπωθεί ότι τα διαγώνια στοιχεία μητρώου στιβαρότητας είναι πάντα θετικά, δηλαδή 0 mm Παρ όλα αυτά είναι δυνατόν το τροποποιημένο μητρώο στιβαρότητας να έχει μηδενική γραμμή και στήλη Αυτό συμβαίνει, για παράδειγμα, κατά την απαλοιφή της συνιστώσας Δ 5 στοιχείου Ρ όπου οι δείκτες στιβαρότητας ( Kci ( i 1,,...,5) ) είναι μηδέν λόγω μηδενικής αντίστασης κατά την εγκάρσια μετατόπιση του τροποποιημένου στοιχείου. Πράγματι, οι βαθμοί ελευθερίας που μπορούν να απαλοιφούν καθορίζονται από την απαιτούμενη ευστάθεια του τροποποιημένου στοιχείου. Εάν το τροποποιημένο στοιχείο, μετά την απαλοιφή των βαθμών ελευθερίας είναι ευσταθές με τη δέσμευση των ενεργών βαθμών ελευθερίας, τότε μπορεί να πραγματοποιηθεί και αλγεβρικά η τροποποίηση της εξίσωσης. Στην περίπτωση κατά την οποία το τροποποιημένο στοιχείο είναι μηχανισμός, τότε η απαλοιφή δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί διότι η ορίζουσα του μητρώου γίνεται μηδενική. K ee ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 15

ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΑ ΜΗΤΡΩΑ ΚΑΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 16

ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΑ ΜΗΤΡΩΑ ΚΑΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ i Ε.Ι. Σαπουντζάκης M=0 m Η αντιμετώπιση της άρθρωσης μπορεί να γίνει με τρεις εναλλακτικές τροποποιήσεις ανάλογα με το που θεωρείται ότι εφαρμόζεται η άρθρωση. 1. Αν θεωρηθεί ότι εφαρμόζεται στο άκρο του στοιχείου (i), τότε απαλοίφεται ο στροφικός βαθμός ελευθερίας Δ 6 του στοιχείου (i) και οι ενεργοί βαθμοί ελευθερίας του κόμβου (n) περιορίζονται στους Δ Ν+1, Δ Ν+, Δ Ν+.. Αν θεωρηθεί ότι εφαρμόζεται στο άκρο του στοιχείου (m), τότε απαλοίφεται ο στροφικός βαθμός ελευθερίας Δ του στοιχείου (m) με παραμένοντες ενεργούς βαθμούς ελευθερίας του κόμβου (n) τους Δ Ν+1, Δ Ν+, Δ Ν+.. Αν τέλος θεωρηθεί ότι η άρθρωση επιδρά στα άκρα και των δύο στοιχείων (i), (m), κάτι που δεν αλλοιώνει τη στατική συμπεριφορά του φορέα, τότε τροποποιούνται και τα δύο στοιχεία κατά τους αντίστοιχους βαθμούς ελευθερίας και οι ενεργοί βαθμοί ελευθερίας του κόμβου (n) περιορίζονται στους Δ Ν+1, Δ Ν+. Ακολουθεί η μόρφωση του μητρώου στιβαρότητας του φορέα με τη βοήθεια των τροποποιημένων μητρώων στιβαρότητας των μελών. ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 17

ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΑ ΜΗΤΡΩΑ ΚΑΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ Από την άποψη της ευκολίας στον προγραμματισμό, η θεώρηση των τροποποιημένων μητρώων στιβαρότητας προσφέρεται διότι η επέμβαση γίνεται κατά τον υπολογισμό του μητρώου στιβαρότητας του στοιχείου και όχι στους καθολικούς βαθμούς ελευθερίας του μητρώου στιβαρότητας του φορέα. Η θεώρηση των συνδυασμένων κόμβων είναι υπολογιστικά πολυπλοκότερη διότι απαιτεί πιο σύνθετο αλγόριθμο για την τοποθέτηση των δεικτών στιβαρότητας των στοιχείων στις αντίστοιχες θέσεις του ολικού μητρώου στιβαρότητας του φορέα. Μια πρόσθετη επιβάρυνση στον αλγόριθμο διαχείρισης του μητρώου στιβαρότητας στην περίπτωση αυτή είναι οι διαφορετικοί βαθμοί ελευθερίας που προκύπτουν κατά τη θεώρηση των συνδυασμένων κόμβων. Με τα τροποποιημένα μητρώα δίνεται η δυνατότητα απαλοιφής των κατάλληλων βαθμών ελευθερίας έτσι ώστε οι τελικοί ενεργοί βαθμοί ελευθερίας ανά κόμβο να παραμένουν σταθεροί. Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 18

ΔΡΑΣΕΙΣ ΠΑΓΙΩΣΗΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 19

ΔΡΑΣΕΙΣ ΠΑΓΙΩΣΗΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ P P (α) P P (β) P P (γ) Υπολογισμός δράσεων παγίωσης τροποποιημένων στοιχείων (α) τροποποίηση της στροφής του άκρου του στοιχείου (i), (β) τροποποίηση της στροφής του άκρου του στοιχείου (m), (γ) τροποποίηση της στροφής των άκρων, των στοιχείων (i), (m). Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 0

ΔΡΑΣΕΙΣ ΠΑΓΙΩΣΗΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ Βασική αρχή στη θεώρηση των τροποποιημένων μητρώων στιβαρότητας είναι ότι στον παγιωμένο φορέα δεσμεύονται μόνο οι ενεργοί επικόμβιοι βαθμοί ελευθερίας και όχι οι εσωτερικοί βαθμοί ελευθερίας των άκρων των στοιχείων που αντιστοιχούν σε ελευθέρωση. Έτσι, το στοιχείο (i) θεωρείται τροποποιημένο ως προς τη στροφή στο άκρο και κατά συνέπεια η στροφή στο άκρο αυτό δεν δεσμεύεται κατά τη θεώρηση του παγιωμένου φορέα. Αντίστοιχη είναι και η περίπτωση (β), όπου η τροποποίηση έχει γίνει στο άκρο του στοιχείου (m). Τέλος, στην περίπτωση (γ) θεωρείται ότι και τα δύο στοιχεία έχουν υποστεί τροποποίηση των αντίστοιχων στροφικών βαθμών ελευθερίας, με αποτέλεσμα να δεσμεύονται μόνο οι μεταφορικοί βαθμοί ελευθερίας του κόμβου (n). Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 1

ΔΡΑΣΕΙΣ ΠΑΓΙΩΣΗΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ Αρχικός = Παγιωμένος + i Ισοδύναμος i Δράσεις Παγίωσης Ισοδύναμες Δράσεις λόγω ενδιάμεσης φόρτισης τροποποιημένου στοιχείου Η τροποποίηση μητρώου στιβαρότητας για την αντιμετώπιση εσωτερικών ελευθερώσεων δυσχεραίνει τον υπολογισμό των δράσεων παγίωσης λόγω ενδιάμεσης φόρτισης. Για λόγους συστηματοποίησης (υπολογιστικοί λόγοι) είναι προτιμότερο, αντί να επιλύεται ως φορέας το τροποποιημένο στοιχείο, οι δράσεις παγίωσης να προκύπτουν από τις δράσεις παγίωσης του αρχικού μη τροποποιημένου στοιχείου με την ίδια ενδιάμεση φόρτιση. Επιδιώκεται ο υπολογισμός των δράσεων παγίωσης S c της δοκού (i), υποβαλλόμενης σε τυχούσα ενδιάμεση φόρτιση, η οποία έχει μια στροφική ελευθέρωση στο άκρο. Για τον υπολογισμό των δράσεων παγίωσης θεωρείται η παγιωμένη δοκός ως φορέας-στοιχείο με έναν ενεργό βαθμό ελευθερίας (τη στροφή στο άκρο ). Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΔΡΑΣΕΙΣ ΠΑΓΙΩΣΗΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ Αρχικός = Παγιωμένος i i + Ισοδύναμος επαλληλία π.φ.+ι.φ. Δράσεις Παγίωσης Ισοδύναμες Δράσεις λόγω ενδιάμεσης φόρτισης τροποποιημένου στοιχείου Επιδιώκεται ο υπολογισμός των (5) δράσεων παγίωσης S c της δοκού (i), υποβαλλόμενης σε τυχούσα ενδιάμεση φόρτιση, η οποία έχει μια στροφική ελευθέρωση στο άκρο 5 αντιδρ. Επίλυση παγιωμένου φορέα-στοιχείου 1 αντιδρ. Επίλυση ισοδύναμου φορέα-στοιχείου έχει 1 ελεύθερο (f) και 5 δεσμευμένους (s) β.ε. υποβάλλεται αποκλειστικά στην επικόμβια φόρτιση Pe Se Kee Kec e επίλυση ι.φ. Pcc Kce Kcc c 0 1 ελεύθερη στροφή ι.φ. 5 αντιδράσεις ι.φ. 1 K S P K K 1 S επίλυση ι.φ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ e ee e δράσεις παγίωσης S c S cc S e S cc ce ee e S S K K 1 S c cc ce ee e e

Scc ΔΡΑΣΕΙΣ ΠΑΓΙΩΣΗΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ Αρχικός = Παγιωμένος + 0 Ισοδύναμος i i επαλληλία π.φ.+ι.φ. Δράσεις Παγίωσης Ισοδύναμες Δράσεις λόγω φόρτισης σε εσωτερική ελευθέρωση Επιδιώκεται ο υπολογισμός των (5) δράσεων παγίωσης S c της δοκού (i), υποβαλλόμενης σε φόρτιση σε εσωτερική (στροφική) ελευθέρωση στο άκρο S 0 Επίλυση παγιωμένου φορέα-στοιχείου cc 5 αντιδρ. Se 0 1 αντιδρ. Επίλυση ισοδύναμου φορέα-στοιχείου έχει 1 ελεύθερο (f) και 5 δεσμευμένους (s) β.ε. υποβάλλεται αποκλειστικά στην επικόμβια φόρτιση Kee Kec K K Pe e επίλυση ι.φ. Pcc ce cc c 0 1 ελεύθερη στροφή ι.φ. 5 αντιδράσεις ι.φ. 1 K P P K K 1 P επίλυση ι.φ. e ee e δράσεις παγίωσης S c Pe cc ce ee e S K K 1 P c ce ee e Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΔΡΑΣΕΙΣ ΠΑΓΙΩΣΗΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ Αρχικός = Παγιωμένος i + Ισοδύναμος i i επαλληλία π.φ.+ι.φ. Δράσεις Παγίωσης Ισοδύναμες Δράσεις λόγω μετακίνησης στήριξης τροποποιημένου στοιχείου Επιδιώκεται ο υπολογισμός των (5) δράσεων παγίωσης S c της δοκού (i), η οποία έχει μια στροφική ελευθέρωση στο άκρο, υποβαλλόμενης σε μετακίνηση στήριξης. 5 αντιδρ. Επίλυση παγιωμένου φορέα-στοιχείου 1 αντιδρ. Επίλυση ισοδύναμου φορέα-στοιχείου έχει 1 ελεύθερο (f) και 5 δεσμευμένους (s) β.ε. υποβάλλεται αποκλειστικά στην επικόμβια φόρτιση Pe Se Kee Kec e επίλυση ι.φ. Pcc Kce Kcc c 0 1 ελεύθερη στροφή ι.φ. 5 αντιδράσεις ι.φ. 1 K S P K K 1 S επίλυση ι.φ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ e ee e δράσεις παγίωσης S c S cc S e S cc ce ee e S S K K 1 S c cc ce ee e e 5

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 6

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ EI EI.0 1 1 7 E.110 N / m A0.0 0.60m EI 5.0 5.0.0 Εξεταζόμενο πλαίσιο Στοιχεία γεωμετρίας και υλικού μελών Αρίθμηση κόμβων, μελών, καθολικό και τοπικά συστήματα αξόνων, βαθμοί ελευθερίας Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 7

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ 1 1 1 7 5 8 6.667 0 0 6.667 0 0 1 0 0.096 0.0 0 0.096 0.0 1 0 0.0 0.800 0 0.0 0.00 EI 6.667 0 0 6.667 0 0 7 0 0.096 0.0 0 0.096 0.05 0 0.0 0.00 0 0.0 0.800 8 5 6 9 10 11 6.667 0 0 6.667 0 0 0 0.096 0.0 0 0.096 0.0 5 0 0.0 0.800 0 0.0 0.00 6 EI 6.667 0 0 6.667 0 0 9 5 6 1 1 1 0 0.096 0.0 0 0.096 0.010 6.667 0 0 6.667 0 0 0 0.0 0.00 0 0.0 0.800 11 0 0.096 0.0 0 0.096 0.0 5 0 0.0 0.800 0 0.0 0.00 6 EI 6.667 0 0 6.667 0 0 1 Τοπικά μητρώα στιβαρότητας 0 0.096 0.0 0 0.096 0.01 μελών 0 0.0 0.00 0 0.0 0.800 1 Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 8

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ 1 1 5 6 1 1 1.61.15 0.19.61.15 0.19.15.01 0.1.15.01 0.1 5 0.19 0.1 0.8 0.19 0.1 0. 6 EI.61.15 0.19.61.15 0.191.15.01 0.1.15.01 0.11 0.19 0.1 0. 0.19 0.1 0.81 1 1 o o,1 Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 9 o 1,1 0 i PF 1 7 5 8 Μητρώα μετασχηματισμού μελών.01.15 0.1.01.15 0.1 1.15.61 0.19.15.61 0.19 0.1 0.19 0.800 0.1 0.19 0. EI.01.15 0.1.01.15 0.17.15.61 0.19.15.61 0.195 0.1 0.19 0. 0.1 0.19 0.8 8 5 6 9 10 11 6.667 0 0 6.667 0 0 0 0.096 0.0 0 0.096 0.0 5 0 0.0 0.800 0 0.0 0.00 6 EI 6.667 0 0 6.667 0 0 9 0 0.096 0. 0 0.096 0.010 0 0.0 0.0 0 0.0 0.80011 Καθολικά μητρώα στιβαρότητας μελών

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ 1 1 Η αντιμετώπιση της εσωτερικής κύλισης θα γίνει με απαλοιφή των καθολικών βαθμών ελευθερίας 7 (μετατόπιση), 8 (στροφή), έτσι ώστε οι ενεργοί βαθμοί ελευθερίας του κόμβου () να περιοριστούν στους, δηλαδή τους (μετατόπιση), 5 (μετατόπιση) και 6 (στροφή). Προκειμένου να επιτευχθεί η απαλοιφή των ακραίων βαθμών ελευθερίας 7, 8 του στοιχείου 1 από την εξίσωση ισορροπίας του στο καθολικό σύστημα αξόνων προηγείται η αναδιάταξη της εξίσωσης αυτής έτσι ώστε να προηγούνται οι μετακινήσεις προς απαλοιφή e και να έπονται οι παραμένουσες μετακινήσεις c. Έτσι, η αναδιατεταγμένη εξίσωση ισορροπίας του μέλους 1 στο καθολικό σύστημα αξόνων γράφεται ως Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 0

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ 1 1 Αναδιατεταγμένη εξίσωση ισορροπίας του μέλους 1 στο καθολικό σύστημα αξόνων K K ee ec 7 8 1 5 P P e cc P P P P P P 7 8 1 5 EI.01 0.1.01.15 0.1.157 0.1 0.8 0.1 0.19 0. 0.19 8.01 0.1.01.15 0.1.15 1.15 0.19.15.61 0.19.61 0.1 0. 0.1 0.19 0.8 0.19.15 0.19.15.61 0.19.61 5 K K ce cc 7 8 1 5 e c Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 1

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ 1 1 το τροποποιημένο μητρώο στιβαρότητας του μέλους 1 προκύπτει ως Υπολογισμός τροποποιημένου μητρώου στιβαρότητας μέλους 1, λόγω απαλοιφής των καθολικών βαθμών ελευθερίας 7, 8 Αντικαθιστώντας τα υπομητρώα της προηγούμενης σχέσης στη σχέση 1 K K K K K c cc ce ee ec 1 5 0 0 0 0 1 1 0 0.0679 0.19701 0.0670 c EI 0 0.19701 0.598787 0.19700 0 0.0670 0.19700 0.0679 5 (παρατηρούνται τα μηδενικά στοιχεία της πρώτης γραμμής και στήλης, τα οποία αντίστοιχούν σε κίνηση στερεού σώματος) Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ 1 1 Μόρφωση καθολικού μητρώου στιβαρότητας πλαισίου Στο εξεταζόμενο πλαίσιο, λόγω της παρουσίας της εσωτερικής ελευθέρωσης στον κόμβο, η σύνθεση των υπομητρώων των καθολικών μητρώων στιβαρότητας των μελών για τον προσδιορισμό του καθολικού μητρώου στιβαρότητας του φορέα καθίσταται δυσχερής και η σύνθεση αυτή θα γίνει στοιχείο στοιχείο. Έτσι, λαμβάνοντας υπόψη τους καθολικούς βαθμούς ελευθερίας στους οποίους αντιστοιχούν τα στοιχεία των καθολικών μητρώων στιβαρότητας των μελών, το καθολικό μητρώο στιβαρότητας του πλαισίου προκύπτει ως Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ 1 1 #1 # # # 1 5 6 9 10 11 Μόρφωση καθολικού μητρώου στιβαρότητας πλαισίου 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0.07 0.150 0 0.07 0 0 0 0 0 0 0 #1 0.599 0 0.150 0 0 0 0 0 0 0 9.18.15 0.19 6.667 0 0.61.15 0.19. 0.096 0 0.096 0.0.15.01 0.1 5 1.600 0 0.0 0.00 0.19 0.1 0. 6 K EI 6.667 0 0 0 0 0 9 0.096 0.0 0 0 010 # Καθολικό μητρώο 0.800 0 0 0 11 στιβαρότητας.61.15 0.19 1.01 0.1 πλαισίου 1 # 0.81 1 # Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ 1 1 ύ ί ( free ) Μητρώο αναδιάταξης [V] έ ί (sup ported ) K ff K fs T K m V K V Ksf K ss Τροποποίηση καθολικού μητρώου στιβαρότητας πλαισίου λόγω αναδιάταξης 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 9 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 9 10 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 10 11 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 11 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 5

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ 1 1 EI Αναδιατεταγμένο καθολικό μητρώο στιβαρότητας πλαισίου (1 η τροποποίηση) K ff K fs T K m V K V Ksf K ss 5 6 1 9 10 11 1 1 1 9.18.15 0.19 0 0 0 6.667 0 0.61.15 0.19. 0.096 0 0.07 0.150 0 0.096 0.0.15.01 0.1 1.600 0 0 0 0 0.0 0.00 0.19 0.1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.07 0.150 0 0 0 0 0 0 0.599 0 0 0 0 0 0 0. 6.667 0 0 0 0 0 0.096 0.0 0 0 0 0.800 0 0 0.61.15 0.19.01 0.1 0.8 5 6 1 9 10 11 1 1 1 Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 6

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ Ανάλυση παγιωμένου φορέα Τοπικές ακραίες δράσεις μελών 15 q=60n/m 15 1 1 Μέλος 1 : 150 150 Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 7 A 0 150 15 0 150 15 1 M 1 F1 1 F 1 A r 1 1 M r 1 1 Ar F1 1 F

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ 1 1 Ανάλυση παγιωμένου φορέα Τοπικές ακραίες δράσεις μελών q y =q cos (a)=8.n/m q=60n/m q x =q sin(α) cos(α) =8.8N/m α=6.87 o F 1 7 F 96 80 7 96 A r M 80 Ar 7 Ar F1 96 Μέλος : F 80 M Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 8 7 96 80

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 9 1 1 Ανάλυση παγιωμένου φορέα Τοπικές ακραίες δράσεις μελών Μέλος : αφόρτιστο 1 1 0 0 0 0 0 0 r r r F F A M A F A F M ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ Ανάλυση παγιωμένου φορέα Καθολικές ακραίες δράσεις μελών 90 1 10 1 1 1 1 T 1 15 Μέλος 1 : Ar PF Ar 90 7 10 5 158 7 0 Μέλος : 96 5 Μέλος : αφόρτιστο 0 5 1 T 80 6 Ar PF Ar 1 T 0 6 r 7 9 A PF Ar 01 96 10 01 8011 01 Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 0

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ Υπολογισμός τροποποιημένου μητρώου καθολικών ακραίων δράσεων μέλους 1, λόγω απαλοιφής των καθολικών βαθμών ελευθερίας 7, 8 1 1 Η προαναφερθείσα απαλοιφή των καθολικών βαθμών ελευθερίας 7,8, όπως είναι φυσικό επηρεάζει το καθολικό μητρώο των ακραίων δράσεων του μέλους 1 του πλαισίου. Έτσι, προκειμένου να επιτευχθεί η απαλοιφή των ακραίων βαθμών ελευθερίας 7, 8 του στοιχείου 1 από την εξίσωση ισορροπίας του στο καθολικό σύστημα αξόνων προηγείται η αναδιάταξη της εξίσωσης αυτής έτσι ώστε να προηγούνται οι μετακινήσεις προς απαλοιφή {Δ e } και να έπονται οι παραμένουσες μετακινήσεις {Δ c }. Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 1

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ 1 1 Υπολογισμός τροποποιημένου μητρώου καθολικών ακραίων δράσεων μέλους 1, λόγω απαλοιφής των καθολικών βαθμών ελευθερίας 7, 8 Αναδιατεταγμένο μητρώο καθολικών ακραίων δράσεων μέλους 1 έτσι ώστε να προηγούνται οι μετακινήσεις προς απαλοιφή {Δ e } και να έπονται οι παραμένουσες μετακινήσεις {Δ c }. 90.07 15.0 8 1 90.01 Ar m 10.0 15.0 10.05 Τροποποιημένο μητρώο καθολικών ακραίων δράσεων 1 180.001 μέλους 1, λόγω απαλοιφής των καθολικών βαθμών Ar 1 99.655 c ελευθερίας 7, 8 Ar 1 c Pc Pcc Kce Kee Pe 1 188.67 Ar c 10.5 5 Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ P P e cc

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ 1 1 Κόμβος : 7 9 96 10 80 11 () S A r Κόμβος : Ανάλυση παγιωμένου φορέα Υπολογισμός δράσεων παγίωσης Κόμβος 1 : Κόμβος : (1) 1 S A r 0.01 0.01 0.0 1 () S A r 180.00 1 99.655 188.67 7.00 6.55 c 80.00 6 () 1 S Ar Ar Ar Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ 1 1 7.00 6.5 5 80.00 6 5 5 (1) R1 180 1 6 6 (1) R 99.655 0 1 (1) P R 188.67 f 0 f () m R P 1 7.00 0 9 s s () 0 9 R 96.00 10 0 10 () R 80.00 11 0 11 () R 0 1 1 1 0 1 () R 1 0 1 () R 1 nodal Pm Pm Sm Αναδιατεταγμένα μητρώα επικόμβιων δράσεων και μετακινήσεων πλαισίου Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ 1 1 1.07 f 5 5.5910 6. Επίλυση Επικόμβιες μετακινήσεις κατά τους ελεύθερους και επικόμβιες δράσεις (αντιδράσεις) κατά τους δεσμευμένους β.ε. P s (1) R 1 (1) 180.00 R (1) 101.99 R 198.05 () R1 6.8 () R 11.55 () 11.8 R () 170.8 R1 16.7 () R1 7. () R 1 Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 5

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ 1 1 P P e cc Υπολογισμός μετακινήσεων κατά τους καθολικούς βαθμούς ελευθερίας 7,8 που απαλείφθηκαν σε προηγούμενο βήμα Με τη βοήθεια της σχέσης 1 K P K Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 6 e ee e ec c της μετακίνησης κατά τον β.ε. 5 που υπολογίστηκε προηγουμένως και των υπομητρώων των σχέσεων που αναφέρθηκαν σε προηγούμενο βήμα K K ee P7.01 0.1.01.15 0.1.157 7 P8 0.1 0.8 0.1 0.19 0. 0.19 8 8 P1.01 0.1.01.15 0.1.15 1 1 EI P.15 0.19.15.61 0.19.61 P 0.1 0. 0.1 0.19 0.8 0.19 P.15 0.19.15.61 0.19.61 5 5 5 ec 7 8 1 5 K K προκύπτουν οι μετακινήσεις κατά τους καθολικούς βαθμούς ελευθερίας 7,8 ως ce cc e c 5.5 e 10 8 11.56 7 90.07 15.0 8 1 90.01 Ar m 10.0 15.0 10.05 P P e cc

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ 1 1 Μέλος 1 : Εσωτερικά εντατικά μεγέθη μελών πλαισίου 1 1 1 1 1 A A r PF D 1 F 1 0 0 8.79 1 150 0 189.61 F M 15 0 198.0 0 5.5 8.79 150 5.5 110.9 15 11.6 0.00 1 1 I 10 1 F1 1 F 1 M Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 7

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ 1 1 Μέλος : Εσωτερικά εντατικά μεγέθη μελών πλαισίου A A r PF D F 1 7 0 170.79 96 0 F 78.5 M 80 0 6.5 7 1.07 6.79 96 5.57 11.55 80. 11.7 I 10 F1 F M Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 8

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ 1 1 Μέλος : Εσωτερικά εντατικά μεγέθη μελών πλαισίου A A r PF D F 1 0 1.07 75.6 0 5.57 F 6.77 M 0. 6.5 0 0 75.6 0 0 6.77 0 0 7. I 10 F1 F M Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 9

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΜΗΤΡΩΩΝ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ [Ν] -6.79N Διαγράμματα εσωτερικών εντατικών μεγεθών μελών πλαισίου -8.79N -8.79N -170.79N -75N -11.7Nm 189.61N 78.5N -11.55N -75N -198.0Nm [Μ] 0.0Nm -110.9N -6.77N -6.5Nm -6.5Nm [Q] -6.77N 7.N Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 50