Ερωτήσεις σωστού-λάθους

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Α ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΚΕΦ ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Φυλλάδιο ο Κεφ..: Η Έννοια του Μιγαδικού Αριθμού Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο C των Mιγαδικών Κεφ..: Πράξεις στο Σύνολο C των Mιγαδικών. Αν i ένας μιγαδικός, τότε Im() i. Ερωτήσεις σωστού-λάθους. Αν για τους μιγαδικούς w ισχύει w 3i, τότε Re(w). 3. Αν i Im() Im(). i δύο μιγαδικοί για τους οποίους ισχύει Im( ), τότε 4. Κάθε μιγαδικός με πραγματικό μέρος μηδέν θα είναι φανταστικός. 5. Αν τότε θα ισχύει Re(3 ) 3Re() 6. Αν με, τότε ισχύει Re() Im(). 7. Αν,w με 8. Αν w, τότε w. (x )(x x) i με, τότε x. 9. Υπάρχει τιμή του έτσι ώστε ο μιγαδικός αριθμός i να είναι ίσος με το μηδέν.. Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει Re() Im() σημεία της ευθείας y x.. Αν,, τότε Re( )) Re( ) Re(.. Τα σύνολα είναι ξένα μεταξύ τους. 3. Αν μιγαδικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε Re () =, τότε οι εικόνες των στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται πάνω στην ευθεία x =. είναι 4. Αν ισχύει Im( i) 8, τότε οι εικόνες των μιγαδικών στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στην ευθεία y 8. 5. Όλα τα σημεία της ευθείας y x α αi, α. στο μιγαδικό επίπεδο είναι εικόνες των μιγαδικών αριθμών 6. Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς δύο μιγαδικών είναι η διαφορά των διανυσματικών τους ακτινών. 7. Οι εικόνες των μιγαδικών,,, είναι κορυφές ορθογωνίου παραλληλογράμμου. 8. Οι εικόνες των μιγαδικών 3 4i, 3 4i, 3 3 4i είναι κορυφές ορθογωνίου τριγώνου. 9. Οι εικόνες των, είναι συμμετρικές ως προς τον y y.. Η εικόνα του μιγαδικού 3i ανήκει στην ευθεία : y x 4.. Οι εικόνες των μιγαδικών, αξόνων. βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία που περνάει από την αρχή των Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης -3

. Αν Im(.), τότε θα ισχύει πάντα Im() Im(),όπου, δύο μη μηδενικοί μιγαδικοί. 3. Ισχύει: ( i)( i). 4. Ισχύει: αν μόνο αν. 5. Ισχύει: Im(). 6. Αν, τότε.. 7. Ισχύει 8. Ισχύει: 4 4 ( 3i)(i 3). 9. Αν i v τότε v 4k,k. 3. Αν i w i τότε ισχύει: iw. 3. Για τους μιγαδικούς, w θα ισχύει w w. 3. Αν για το μιγαδικό ισχύει 4, τότε η εικόνα του θα βρίσκεται πάνω στην ευθεία x 4. 33. Αν για τον ισχύει, τότε η εικόνα του βρίσκεται πάνω στον μοναδιαίο κύκλο. 34. Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης,. με 35. Αν η εξίσωση x x έχει για ρίζα το 3i, τότε ισχύουν τότε θα έχει ρίζα το 3 i. i. Να λύσετε την εξίσωση: 3 4i i 6i. Να λύσετε την εξίσωση: 3 4( 5) i i 3. Να λύσετε την εξίσωση: 4. Να λύσετε την εξίσωση: 3i 3i 5 5. Να λύσετε την εξίσωση: 3 λ 6. Αν, λ Im, όπου λ ΘΕΜΑ Β λ, να δείξετε.ότι ο είναι πραγματικός. 7. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ ώστε οι μιγαδικοί α β αβi w γ( γ)i να είναι ίσοι. ΘΕΜΑ Γ 8. Δίνεται ο μιγαδικός ημθ (συνθ ) i, θ [,π]. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες M() ανήκουν σε κύκλο για τον οποίο να βρεθούν το κέντρο η ακτίνα. 9. Αν οι εικόνες των μιγαδικών στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στην ευθεία ε : y x - 3 που βρίσκονται οι εικόνες των μιγαδικών w i( i) 3.. Δίνεται η εξίσωση συνθ, θ [,π). α) Να λύσετε την εξίσωση β) Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης ανήκουν στο μοναδιαίο κύκλο. να βρείτε. Να αναλύσετε το μιγαδικό 5 3i σε άθροισμα δύο μιγαδικών που οι εικόνες τους βρίσκονται στις ευθείες ε : y x, ε : y x - αντίστοιχα. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης -3

. Να γράψετε το μιγαδικό 6i ως διαφορά δύο μιγαδικών που οι εικόνες τους βρίσκονται στις ευθείες ε : y x 3, ε : y x αντίστοιχα. 3. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί, για τους οποίους ισχύει 3 3 3. Να αποδείξετε ότι: 3 α) 3 3 β) γ) 3 3 3 3 3 4. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο (γ.τ.) των εικόνων των μιγαδικών αριθμών, αν οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών,i, είναι σημεία συνευθειακά. 5. Έστω μιγαδικός αριθμός x yi. Αν ο αριθμός των εικόνων M(x, y) του στο μιγαδικό επίπεδο. 6. Αν ο αριθμός 3i w 3i w είναι πραγματικός, να βρεθεί ο γ.τ. είναι πραγματικός αριθμός, όπου μιγαδικός αριθμός με, να δείξετε ότι οι εικόνες M(x, y) του ανήκουν στην ευθεία ε : 3x y 6. Ερώτηση Υπάρχει διαφορά στη λύση μίας άσκησης αν ζητάμε να βρούμε τον γεωμετρικό τόπο (C) ενός μιγαδικού που ικανοποιεί μία ιδιότητα (q), από το να ζητάμε να δείξουμε ότι οι εικόνες ενός μιγαδικού, που ικανοποιεί μια ιδιότητα (q), ανήκουν πάνω στην καμπύλη (C); Απάντηση Ναι υπάρχει διαφορά στη λύση. Στην περίπτωση του γεωμετρικού τόπου πρέπει να ισχύει η ισοδυναμία των πράξεων μας. Ενώ στη δεύτερη περίπτωση δεν μας ενδιαφέρει η ισοδυναμία των πράξεων μας. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης -3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Α ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΚΕΦ ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Φυλλάδιο ο ο Σημαντικές παρατηρήσεις.. Αν w w, ενώ το αντίστροφο δεν ισχύει (γενικά). 3. Κεφ..3α: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού Ιδιότητες του Μέτρου Αριθμού 4. i i i i 5., ενώ. 6. λ λ,λ 7. Αν ν ν,ν, τότε άρα. 8. Αν, τότε (γιατί;). Ερωτήσεις Σωστού (Σ) Λάθους (Λ). Για κάθε μιγαδικό ισχύει: α) β) γ). Για κάθε, ισχύει. 3. Αν α, τότε 4. Ισχύει ν i. 5. Αν, τότε α.. 6. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς, ισχύει, τότε ισχύει πάντοτε. 7. Αν Α η εικόνα του, Β η εικόνα του i 8. Για κάθε μιγαδικό αριθμό ισχύει. 9. Για κάθε k ισχύει k k.. Αν w, όπου, τότε w.. Αν τότε ισχύει. O,, τότε το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισοσκελές. Ερωτήσεις Σύντομης Απάντησης. Αν, ποιος είναι ο ;. Για ποιους μιγαδικούς ισχύει: Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης -3 --

α) Im() ; β) Re() ; 3. Υπάρχουν μιγαδικοί που είναι ίσοι με το μέτρο τους; 4. Να βρείτε τους δύο μιγαδικούς για τους οποίους ισχύει 5. Αν 3 yi 5, πόσο είναι το y; 6. Είναι σωστές οι ισότητες:. α) ; β) ; γ) ; δ) ; ε) ; 7. Ποια από τις παρακάτω ισότητες δεν αληθεύει για κάθε ; α) ; β) ; γ) ; δ) i ; 8. Αν για το μιγαδικό αριθμό, ισχύει,, τότε να βρείτε το. Ασκήσεις - Θέμα Β. Να δείξετε ότι για κάθε μιγαδικό αριθμό ισχύουν: α) Re() β) Im() γ) Re() δ) Im(). Δίνεται, όπου x yi,x *. Να δείξετε ότι Re(). 4 3. Αν για τους μιγαδικούς, w με w ισχύει w, να δείξετε ότι ο μιγαδικός είναι φανταστικός. 4. * Αν για το μιγαδικό ισχύει 7 4, να δείξετε ότι 5 5. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς, w ισχύει w w, να δείξετε ότι Re(w). 6. ** Αν,w να δειχθεί ότι w w αν μόνο αν ο αριθμός w πραγματικός. 7. Αν για το μιγαδικό αριθμό ισχύει: - >, δείξτε ότι Re () <. είναι θετικός w u ( w) 8. Αν για το μιγαδικό αριθμό ισχύει: - -, δείξτε ότι Re () < 3. 9. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς,w να δείξετε ότι w w.. Δίνονται οι μιγαδικοί, w με 4 Ασκήσεις - Θέμα Γ 3 w με 6 3. Να βρείτε το 3w. 6 3. Να βρείτε το μέτρο του μιγαδικού, αν ισχύει: i i. Επίσης αν i i, να βρείτε το. 3. Αν για τους μιγαδικούς, w ισχύει: 3w 3w, να δείξετε ότι: 5 w 3 Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης -3 --

4. Αν για τους μιγαδικούς, ισχύει: 3 3, να δείξετε ότι:. 5. Δίνονται οι μιγαδικοί, w με για τους οποίους ισχύουν: υπολογιστεί το w. 6. Αν για το μιγαδικό ισχύει i i, να βρείτε το. 7. Αν για το μιγαδικό ισχύει i i, να βρείτε το 3 5i. 8. Αν για τον ισχύει α) 5 β) 5 7 7 ( i)( ), να δείξετε ότι: 9. Αν για τους μιγαδικούς, ισχύει 3, να δείξετε ότι : α) ο w ( ) 4 4 4 πραγματικός. με ν, είναι φανταστικός. β) ο u ( ) ν ν w. Να με, είναι 3 3. * Δίνονται οι μιγαδικοί,, με Re 3 3. Να δείξετε ότι 3. 3. Αν για τους μιγαδικούς, ισχύει, να δείξετε ότι 9. 3. Αν για τους μιγαδικούς,, 3 ισχύει 3 3, τότε να δείξετε 3 ότι 3 3. 3 3 3 3. Να βρεθεί ο μιγαδικός αριθμός για τον οποίο ισχύει: i. 4. Να βρεθεί ο μιγαδικός αριθμός για τον οποίο ισχύει: i i 3i i. 5. * Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς,w να δείξετε ότι w 6 3 w. 6. Αν για τους μιγαδικούς, w ισχύει w, να δείξετε ότι w w. 7. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς, w ισχύει: 3 3 5 w 3 8. Αν για το μιγαδικό ισχύει η σχέση 7 3, να υπολογίσετε το. 9. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει: = = -.. * Αν για το μιγαδικό ισχύουν οι σχέσεις 8 8 8. * Αν για ισχύει: () 8, να δείξετε ότι., να βρείτε το 5 w., να αποδείξετε ότι. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης -3-3-

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Α ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) ΚΕΦ ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Φυλλάδιο 3 ο ο Κεφ..3β: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ - ΤΡΙΓΩΝΙΚΗ ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΜΕΓΙΣΤΑ - ΕΛΑΧΙΣΤΑ Σημαντικές παρατηρήσεις. Η εξίσωση - = ρ, ρ > παριστάνει στο μιγαδικό επίπεδο κύκλο με κέντρο k() ακτίνα ρ. α) Η ανίσωση - ρ,ρ παριστάνει στο μιγαδικό επίπεδο τα εξωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο k() ακτίνα ρ. β) Η ανίσωση - ρ,ρ παριστάνει στο μιγαδικό επίπεδο τα εσωτερικά σημεία του κύκλου με κέντρο k() ακτίνα ρ. γ) Η ανίσωση ρ - ρ παριστάνει στο μιγαδικό επίπεδο τα εσωτερικά σημεία του δακτυλίου μεταξύ δύο ομόκεντρων κύκλων με κέντρο k() ακτίνα ρ ρ.. Η εξίσωση - = -, C, παριστάνει στο μιγαδικό επίπεδο τη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος που έχει άκρα τα σημεία M(),M(), τις εικόνες των μιγαδικών. α) Αν ισχύει - -, με,, σημαίνει ότι οι εικόνες M() του ανήκουν στον άξονα x x (γιατί;). β) Αν ισχύει - +, με,, σημαίνει ότι οι εικόνες M() του ανήκουν στον άξονα y y (γιατί;). γ) Αν ισχύει - α + α, με ξονα y y (γιατί;). δ) Οι λύσεις της ανίσωσης - - * α, σημαίνει ότι οι εικόνες M() του ανήκουν στον ά- στο μιγαδικό επίπεδο, αποτελούν το ημιεπίπεδο που ορίζεται από την μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος. M()M() προς το μέρος του M(). ε) Οι λύσεις της ανίσωσης - - στο μιγαδικό επίπεδο, αποτελούν το ημιεπίπεδο που ορίζεται από την μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος. M()M() προς το μέρος του M(). στ) Αν σε κάποια από τις παραπάνω ανισώσεις έχουμε ή, τότε στις λύσεις συμπεριλαμβάνονται τα σημεία της μεσοκαθέτου. 3. Η εξίσωση - - α, όπου, μιγαδικοί α με - α εστίες τις εικόνες των μιγαδικών, M(),M() μήκος μεγάλου άξονα α. 4. Η εξίσωση - - α, όπου, μιγαδικοί α με - τμήμα με άκρα τις εικόνες των μιγαδικών, M(),M() 5. Η εξίσωση - - α, όπου, μιγαδικοί α με - α μήκος α (γιατί;). α με εστίες τις εικόνες των μιγαδικών, M(),M() σταθερή διαφορά α. παριστάνει έλλειψη με παριστάνει ευθύγραμμο παριστάνει υπερβολή Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης -3 --

Οι γεωμετρικοί τόποι (γ.τ.) που προκύπτουν συνήθως είναι Μιγαδική σχέση όπου x y i x y i σταθεροί μιγαδικοί αριθμοί, όπου x y i x y i σταθεροί μιγαδικοί αριθμοί [ανάλογα ] ρ, όπου ρ> x y i σταθερός μιγαδικός αριθμός. [ειδικά ρ αν ] ρ, όπου ρ> x y i σταθερός μιγαδικός αριθμός. [ανάλογα ρ ρ ρ ] [ειδικά ρ αν ] ΜΑ ΜΒ Γεωμετρική σχέση ή ΜΑ ΜΒ Όπου M Μ,, Α Α Β Β Η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού ισαπέχει από τα σταθερά σημεία Αx,y Βx,y. Άρα ο γ.τ. των εικόνων του είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. ή ΜΑ ΜΒ ΜΑ ΜΒ Όπου M Μ,, Α Α Β Β Η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού απέχει από το σταθερό σημείο Αx,y απόσταση μικρότερη ή ίση από την απόσταση που απέχει από το σημείο Βx,y. Άρα ο γ.τ. των εικόνων του είναι το ημιεπίπεδο (ε, Α), όπου ε η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. ΜΚ Όπου ρ M ή ΜΚ ρ Μ Κ Κ Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού απέχει από το σταθερό σημείο Κ, σταθερή απόσταση ρ. Άρα ο γ.τ. των εικόνων του είναι ο κύκλος Γεωμετρικός τόπος Εξίσωση με κέντρο Κ ακτίνα ρ. ΜΚ Όπου ρ M ή ΜΚ ρ Μ Κ Κ Παρατηρούμε ότι η εικόνα Μ του μιγαδικού αριθμού απέχει από το σταθερό σημείο Κ, απόσταση μικρότερη ή ίση του ρ. Άρα ο γ.τ. των εικόνων του είναι ο κυκλικός δίσκος με κέντρο Κ ακτίνα ρ. x x y y ρ [ Ειδικά x y ρ ] x x y y ρ [ Ειδικά x y ρ ] Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης -3 --

α Όπου γ i γ i α,γ θετικοί πραγματικοί αριθμοί με α>γ α Όπου γi γi α,γ θετικοί πραγματικοί αριθμοί με α>γ α Όπου γ i γ i α, γ θετικοί πραγματικοί αριθμοί με γ>α ΜΕ ΜΕ α Όπου M ή ΜΕ ΜΕ α Μ, E Ε E Ε Το άθροισμα των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού από τα σταθερά σημεία E ( γ,) E(γ, ) είναι σταθερό μεγαλύτερο του Ε Ε. Άρα ο γ.τ. των εικόνων του είναι η έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε, Ε μήκος μεγάλου άξονα α. ΜΕ ΜΕ α ΜΕ ΜΕ α Όπου M ή Μ, E Ε E Ε Το άθροισμα των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού από τα σταθερά σημεία E (,-γ) E(,γ) είναι σταθερό μεγαλύτερο του Ε Ε. Άρα ο γ.τ. των εικόνων του είναι η έλλειψη με εστίες τα σημεία Ε, Ε μήκος μεγάλου άξονα α. ΜΕ ΜΕ α ΜΕ ΜΕ α Όπου M ή Μ, E Ε E Ε Η διαφορά των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού από τα σταθερά σημεία Ε ( γ, ) Ε(γ, ) είναι σταθερή, μικρότερη του Ε Ε ΜΕ ΜΕ. x α x β y β y α [Ομοίως προκύπτει ο α- ριστερός κλάδος αν α ] α Όπου γ i γ i α,γ θετικοί πραγματικοί αριθμοί με γ>α Άρα ο γ.τ. των εικόνων του είναι ο δεξιός κλάδος της υπερβολής με εστίες τα σημεία Ε, Ε. ΜΕ ΜΕ α Όπου M ή ΜΕ ΜΕ α Μ, E Ε E Ε Η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού α- ριθμού από τα σταθερά σημεία Ε ( γ,) Ε(γ,) είναι σταθερή, μικρότερη του Ε Ε. Άρα ο γ.τ. των εικόνων του είναι η υπερβολή με εστίες τα σημεία Ε, Ε. x α y, x β x α y β Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης -3-3-

α Όπου γi γi α,γ θετικοί πραγματικοί αριθμοί με γ>α [Ομοίως προκύπτει ο κάτω κλάδος αν α ] α Όπου γi γi α,γ θετικοί πραγματικοί αριθμοί με γ>α ΜΕ ΜΕ α Όπου M ή ΜΕ ΜΕ α Μ, E Ε E Ε Η διαφορά των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού αριθμού από τα σταθερά σημεία Ε (, -γ) Ε(, γ) είναι σταθερή, μικρότερη του Ε Ε ΜΕ ΜΕ. Άρα ο γ.τ. των εικόνων του είναι ο πάνω κλάδος της υπερβολής με εστίες τα σημεία Ε, Ε. y x, y α β ΜΕ ΜΕ α Όπου M ή ΜΕ ΜΕ α Μ, E Ε E Ε Η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων της εικόνας Μ του μιγαδικού α- ριθμού από τα σταθερά σημεία Ε (,-γ) Ε(,γ) είναι σταθερή, μικρότερη του Ε Ε. Άρα ο γ.τ. των εικόνων του είναι η υπερβολή με εστίες τα σημεία Ε, Ε. y x α β Άλλες παρατηρήσεις. Ισχύει, με,, αφού οι αντίθετοι μιγαδικοί έχουν ίσα μέτρα.. Αν ισχύει Α, Β, Γ οι εικόνες των 3 3,, 3 με 3 αντίστοιχα, τότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο (γιατί;). 3. Αν ισχύει Ο(,) η αρχή των αξόνων, καθώς M(),M() οι εικόνες των μιγαδικών αντίστοιχα, τότε το τρίγωνο OM M είναι ισόπλευρο (γιατί;). 4. Αν ισχύει με,, Α, Β, Γ οι εικόνες των 3 3 3,, 3 αντίστοιχα, τότε οι εικόνες του είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τρίγωνο ΑΒΓ (γιατί;). 5. Αν ισχύει, τότε οι εικόνες των 3 3,, 3 με 3 σχηματίζουν ορθογώνιο τρίγωνο (γιατί;). Ερωτήσεις Σωστού (Σ) Λάθους (Λ). Για κάθε, ισχύει.. Για κάθε, ισχύει. 3. Για κάθε, ισχύει. 4. Για κάθε, ισχύει. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης -3-4-

5. Για κάθε θ ισχύει i. 6. Αν, 3 θ, τότε ισχύει i 4. 7. Αν,, τότε ισχύει 5i 3. 8. Αν, τότε ισχύει 4i. 9. Η εξίσωση παριστάνει κύκλο με ακτίνα ρ 4.. Το σύστημα έχει πάντα μία λύση. 3. Η ανίσωση παριστάνει ημιεπίπεδο.. Αν Μ, Μ είναι οι εικόνες των μιγαδικών αντιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο ο άξονας x x είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΜΜ, τότε είναι =. 3. Η εξίσωση - = - τμήματος που έχει άκρα τα σημεία Α () B ()., C, παριστάνει στο μιγαδικό επίπεδο τη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου 4. Η εξίσωση i παριστάνει την μεσοκάθετο του τμήματος με άκρα (,) (,). 5. Η εξίσωση - = - με άγνωστο το C, C έχει μόνο μια λύση. 6. Η εξίσωση - = ρ, ρ > παριστάνει στο μιγαδικό επίπεδο κύκλο με κέντρο Κ () ακτίνα ρ. 7. Στο μιγαδικό επίπεδο η εικόνα του μιγαδικού αριθμού 3i είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου 4. 8. Στο μιγαδικό επίπεδο του διπλανού σχήματος η εξίσωση του κύκλου είναι -. Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής. Αν οι εικόνες δύο μη μηδενικών μιγαδικών αριθμών στο μιγαδικό επίπεδο είναι στο ίδιο τεταρτημόριο, ποια από τις παρακάτω σχέσεις μπορεί να ισχύει; Α. = - B. = Γ. = - Δ. Ιm () + Im () = E. κανένα από τα παραπάνω. Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού αριθμού στο μιγαδικό επίπεδο για τον οποίο ι- σχύει - = - i είναι: Α. ο άξονας y y B. η ευθεία y = x Γ. ο άξονας x x Δ. η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα σημεία (, ) (, ) E. η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος με άκρα τα σημεία (, ) (, ) 3. Στο μιγαδικό επίπεδο ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ (, ) ακτίνα 3 είναι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγαδικού για τον οποίο ισχύει Α. - ( - i) = 3 B. - ( i) = 3 Γ. - ( i) = 9 Δ. - ( i) = 3 E. ( i) = 3 Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης -3-5-

4. Οι μιγαδικοί αριθμοί που οι εικόνες τους στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στο γραμμοσκιασμένο τμήμα του σχήματος είναι αυτοί για τους οποίους ισχύει Α. < i < B. < i < Γ. > i > Δ. < i < Ε. < i < 5. Οι μιγαδικοί αριθμοί που οι εικόνες τους στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκονται στο γραμμοσκιασμένο τμήμα του σχήματος είναι αυτοί για τους οποίους ισχύει Α. < 3 < B. < 3 > Γ. < 3 > Δ. < 3 > Ε. > 3 < 6. Αν η εξίσωση = κi επαληθεύεται από τους μιγαδικούς αριθμούς που η εικόνα τους στο μιγαδικό επίπεδο βρίσκεται στην ευθεία y = x, ο πραγματικός αριθμός κ ισούται με Α. B. - Γ. Δ. - E. 4 7. Αν οι εικόνες των μιγαδικών,, 3 στο μιγαδικό επίπεδο δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία, τότε το πλήθος των λύσεων του συστήματος = = 3 Α. B. 3 Γ. Δ. 4 Ε. με άγνωστο τον είναι Ερωτήσεις Σύντομης Απάντησης. Τι παριστάνει η ανίσωση: α) ; β) ; γ) ;. Τι παριστάνει το σύστημα & i ; 3. Να παραστήσετε στο μιγαδικό επίπεδο τα σύνολα που εκφράζουν οι σχέσεις: α), Im() & Re(). β) & Re(). γ) & Im(). δ) & Re(). 4. Αν 3 4 3i, ποια είναι η μεγαλύτερη τιμή του ; 5. Αν 5, ποια είναι η ελάχιστη τιμή του ; 6. Ποιο είναι το ελάχιστο ποιο το μέγιστο μέτρο του μιγαδικού που η εικόνα του ανήκει στον διπλανό κύκλο; 7. Ποια ευθεία έχουν ως άξονα συμμετρίας οι εικόνες των μιγαδικών + 3i 3 + i στο μιγαδικό επίπεδο; 8. Αν η διανυσματική ακτίνα του μιγαδικού αριθμού στο μιγαδικό επίπεδο έχει φορέα τη διχοτόμο της ης 4ης γωνίας των αξόνων του μιγαδικού επιπέδου, τότε ο θα είναι της μορφής Ασκήσεις - Θέμα Β Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης -3-6-

. Να βρεθεί στο μιγαδικό επίπεδο ο γεωμετρικός τόπος (Γ.Τ.) των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει: α) i 3 ; β) i 4 ; γ) i ;. Να βρεθεί Γ.Τ. των εικόνων των για τους οποίους ισχύει: 4. 3. Να βρεθεί Γ.Τ. των εικόνων των για τους οποίους ισχύει: 3i 4. α) Να βρεθεί Γ.Τ. των εικόνων των για τους οποίους ισχύει: 3 3. β) Αν είναι μιγαδικός η εικόνα του οποίου ανήκει στον προηγούμενο Γ.Τ., να βρείτε το μέγιστο το ελάχιστο μέτρο του. γ) Αν οι εικόνες δύο μιγαδικών 3, 4 είναι σημεία του προηγούμενου Γ.Τ., να βρείτε το μέγιστο το ελάχιστο του 3 4 τις εικόνες τους. 5. Να βρεθεί Γ.Τ. των εικόνων των για τους οποίους ισχύει: α) 5 5 8 ; β) 5 5 8 ; γ) 5 5 8 6. Να βρείτε το σύνολο των σημείων του μιγαδικού επιπέδου που είναι εικόνες των μιγαδικών οι ο- ποίοι έχουν την ιδιότητα: «ο λόγος των αποστάσεών τους από τα σταθερά σημεία 3 3, να είναι σταθερός ίσος με. 7. Αν για το μιγαδικό ισχύει i, α) να βρείτε το Γ.Τ. των εικόνων του β) να βρείτε τη μέγιστη την ελάχιστη τιμή του. 8. Να βρείτε το Γ.Τ. των εικόνων Μ των μιγαδικών, για τους οποίους ισχύει: 4i. Από τους μιγαδικούς που ανήκουν στον προηγούμενο Γ.Τ., να βρεθεί εκείνος με το ελάχιστο μέτρο. 9. α) Να βρεθεί Γ.Τ. των εικόνων των για τους οποίους ισχύει: i 3 i. β) Αν για τους μιγαδικούς, i ισχύει i i i i 3, να βρεθεί η μέγιστη τιμή του.. Έστω x yi w. Να βρεθεί ο Γ.Τ. των εικόνων Μ του w.. Να δείξετε ότι αν, τότε Re() 3.. Να δείξετε ότι αν i i, τότε Im(). 3. Για τον ισχύει:. Αν Μ είναι η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο, να δείξετε ότι ο Γ.Τ. του Μ είναι παραβολή. 4. Αν η εικόνα του μιγαδικού ανήκει στον κύκλο κέντρου Ο(,) ακτίνας ρ =, να δείξετε το ίδιο ισχύει για την εικόνα του μιγαδικού i w i. 5. Αν x, να βρείτε το Γ.Τ. της εικόνας του μιγαδικού, όπου xi x i. 6. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,w με 5 w 9i. Να αποδείξετε ότι: α) w Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης -3-7-

β) 4 3w 5 γ) 5 w 5. 7. Αν μιγαδικός 3 i 7, να αποδειχθεί ότι i. 8. Αν μιγαδικός 7 4i 3, να αποδειχθεί ότι 7 i 3. 9. ** Αν Α, Β οι εικόνες των των αξόνων) είναι ισόπλευρο. *,w w, να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΟΑΒ (όπου Ο η αρχή w Ασκήσεις - Θέμα Γ. Έστω ο μιγαδικός (x 3)(y )i,x, y. Να αποδείξετε ότι στο μιγαδικό επίπεδο ο Γ.Τ. των σημείων M(x,y) που είναι τέτοια ώστε 3i 3, είναι κύκλος του οποίου να βρείτε το κέντρο την ακτίνα.. Οι μιγαδικοί αριθμοί w συνδέονται με τη σχέση w. Να βρεθεί Γ.Τ. των εικόνων των, i όταν ο Γ.Τ. των εικόνων των w είναι: α) ο πραγματικός άξονας β) ο φανταστικός άξονας γ) ο κύκλος w. 3. Οι μιγαδικοί αριθμοί w συνδέονται με τη σχέση α w, όπου α ένας σταθερός θετικός πραγματικός αριθμός. Αν η εικόνα M() του στο μιγαδικό επίπεδο κινείται στον κύκλο α, να δείξετε ότι η εικόνα του w M(w) κινείται σε κωνική της οποίας να βρείτε την εξίσωση την εκκεντρότητα. 4. Αν,, 3 μιγαδικοί με 3, να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο που σχηματί- 3 ζουν οι εικόνες των μιγαδικών στο μιγαδικό επίπεδο είναι ισόπλευρο. 5. α) Να βρεθεί ο Γ.Τ. των εικόνων των για τους οποίους ισχύει: ( i). β) Να βρεθεί ο Γ.Τ. των εικόνων των w για τους οποίους ισχύει: w i w 4i γ) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του w. (Υπόδειξη: κύκλος ευθεία) 6. Έστω,w. Να βρείτε: α) το Γ.Τ. των εικόνων των ώστε ο αριθμός να είναι πραγματικός. i β) το Γ.Τ. των εικόνων των w για τους οποίους ισχύει: w w i. γ) την ελάχιστη τιμή του w. (Υπόδειξη: ευθείες) 7. Αν για το μιγαδικό ισχύει 3 4i, τότε: α) Να βρεθεί ο Γ.Τ. των εικόνων των. β) Να αποδείξετε ότι 3 7. γ) Ποιος μιγαδικός αριθμός έχει το ελάχιστο ποιος το μέγιστο μέτρο; δ) Αν, είναι δύο μιγαδικοί του προηγούμενου Γ.Τ., να αποδείξετε ότι 4.. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης -3-8-

8. Αν για το μιγαδικό ισχύει 4 4, τότε: α) Να βρεθεί ο Γ.Τ. των εικόνων των. β) Να αποδείξετε ότι 3 5. γ) Αν, είναι δύο μιγαδικοί του προηγούμενου Γ.Τ., που οι εικόνες τους είναι σημεία συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων Ο(,), τότε να αποδείξετε ότι 6. δ) Να αποδείξετε ότι 4 5. 9. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί λ 3(5λ )i,λ w ( i). α) Να βρείτε τους Γ.Τ. των εικόνων των καθώς τη σχέση που τους συνδέει. β) Να βρείτε τον μιγαδικό που έχει την πλησιέστερη εικόνα στην αρχή των αξόνων Ο(,). γ) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση των εικόνων των μιγαδικών, w για κάθε λ.. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς, w w τέτοιους ώστε w i α) Να δείξετε ότι: αν ο α μεταβάλλεται στο μιγαδικό επίπεδο κινείται πάνω σε μια υπερβολή. β) Να βρείτε το ελάχιστο μέτρο του μιγαδικού αριθμού.. Έστω i 6i 5 3i (). *, ισχύει η σχέση w w α) Να βρείτε τον Γ.Τ. των εικόνων του για τον οποίο ισχύει η σχέση (). β) Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του. w α α,α *., τότε η εικόνα Ρ του στο. Θεωρούμε τους μη μηδενικούς διαφορετικούς ανά δύο μιγαδικούς αριθμούς,, 3 με γεωμετρικές εικόνες Α, Β, Γ, αντίστοιχα. Αν Ο η αρχή των αξόνων, να αποδείξετε: α) Αν, τότε τα σημεία Ο, Α, Β είναι συνευθειακά. β) Αν 3 3 3 3, τότε τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. 3. Έστω α) *,w. Να αποδειχθεί ότι: w w w w I I. β) Αν w I, τότε οι διανυσματικές ακτίνες των, w είναι κάθετες αντίστροφα. 4. Δίνονται οι *,w ώστε w. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των,w η αρχή των αξόνων σχηματίζουν ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο. 5. Από όλους τους μιγαδικούς με την ιδιότητα λιγότερο από την αρχή των αξόνων του μιγαδικού επιπέδου. 6. Από όλους τους μιγαδικούς με την ιδιότητα περισσότερο από την αρχή των αξόνων του μιγαδικού επιπέδου. α) Να βρεθεί η μέγιστη τιμή της παράστασης 3, όταν 4i. 3, να βρεθεί αυτός του οποίου η εικόνα απέχει 3, να βρεθεί αυτός του οποίου η εικόνα απέχει β) Να βρεθεί ο Γ.Τ. των εικόνων του, όταν το 3 είναι ίσο με το μέγιστό του. Ασκήσεις - Θέμα Δ. Αν για το μιγαδικό ισχύει 3i 3i, τότε: α) Να βρεθεί ο Γ.Τ. των εικόνων των. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης -3-9-

β) Να αποδείξετε ότι 7 6 5i 3. γ) Να βρεθούν οι μιγαδικοί για τους οποίους ισχύουν οι ισότητες του ερωτήματος β). δ) Αν, είναι δύο μιγαδικοί του προηγούμενου Γ.Τ., να αποδείξετε ότι 6. ε) Αν, είναι δύο μιγαδικοί του προηγούμενου Γ.Τ. τέτοιοι, ώστε 6, να αποδείξετε ότι 6.. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί w τέτοιοι, ώστε ( 5) ( 5)i 6 5 iw 5i 4 α) Να βρεθεί ο Γ.Τ. των εικόνων των. β) Να βρεθεί ο Γ.Τ. των εικόνων των w. γ) Να αποδείξετε ότι οι παραπάνω Γ.Τ. έχουν μοναδικό σημείο τομής, το οποίο να βρείτε. δ) Να αποδείξετε ότι w. ε) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν μοναδικοί μιγαδικοί αριθμοί w, τους οποίους να προσδιορίσετε, τέτοιοι ώστε w. 3. Έστω,w με w α) w w. 3 3 β) w w. w w (). Να αποδείξετε ότι: γ) Η γωνία που σχηματίζουν οι διανυσματικές ακτίνες των μιγαδικών w ισούται με. δ) w w. 4. Α. Να βρεθεί ο Γ.Τ. των μιγαδικών αριθμών με την ιδιότητα 5i. Β. Απ όλους τους μιγαδικούς που ανήκουν στον προηγούμενο Γ.Τ., να βρεθεί αυτός: α) του οποίου η διανυσματική ακτίνα σχηματίζει τη μικρότερη γωνία με τον άξονα x x, β) που απέχει λιγότερο από τον άξονα x x, γ)* του οποίου η διανυσματική ακτίνα σχηματίζει τη μεγαλύτερη γωνία με τον άξονα x x Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης 3 ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης -3 --