11. Vaja: BODEJEV DIAGRAM

Σχετικά έγγραφα
IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,

Tretja vaja iz matematike 1

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12

Kotne in krožne funkcije

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center

Matematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev

Matematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda

Vaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim

vezani ekstremi funkcij

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke

Kotni funkciji sinus in kosinus

Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič

Analiza 2 Rešitve 14. sklopa nalog

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST

Matematika. Funkcije in enačbe

Napisat demo program koji generira funkciju prijenosa G(s)=(2s+4)/(s2+4s+3) s=tf('s'); Br=2*s+4;Naz=s^2+4*s+3; G=Br/Naz

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge

Iterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa

Kaskadna kompenzacija SAU

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik

8. Diskretni LTI sistemi

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu

IZVODI ZADACI (I deo)

Funkcije več spremenljivk

cot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1

Spoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.

NEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.

Matematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.

PROCESIRANJE SIGNALOV

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

Osnove matematične analize 2016/17

Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

1. Trikotniki hitrosti

Vaja: Odbojnostni senzor z optičnimi vlakni. Namen vaje

Tema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE)

( , 2. kolokvij)

Splošno o interpolaciji

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK

Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

1.4 Tangenta i normala

Reševanje sistema linearnih

Računski del izpita pri predmetu MATEMATIKA I

Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni izrek.

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko. DISKRETNI REGULACIJSKI SISTEMI Zbirka rešenih problemov

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Kvantni delec na potencialnem skoku

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

DISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA

FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

Matematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2010/2011

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

VEKTORJI. Operacije z vektorji

UVOD V LINEARNE KONTROLNE SISTEME. Bor Plestenjak

Poglavje 7. Poglavje 7. Poglavje 7. Regulacijski sistemi. Regulacijski sistemi. Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM

Kvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti

Afina in projektivna geometrija

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA. MATEMATIKA 1 2. del. EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo. Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

Funkcije dveh in več spremenljivk

diferencialne enačbe - nadaljevanje

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Transcript:

. Vaja: BODEJEV DIAGRAM. Bodejev diagram sestavljata dva grafa: a) amplitudno frekvenčni diagram in b) fazno frekvenčni diagram Decibel je enota za razmerje dveh veličin. Definicija: B B 0log0 A A db Bodejeve diagrame pogosto rišemo na karo papir. Za konstantne razdalje na abscisi (frekvenčni osi) uporabljamo standardne vrste: R5: člen 5 0 in zaporedje,0;,6;,5; 4,0; 6,; 0,0 5 0 log0 0, const. 5 R0: člen 0 0 in zaporedje,0;,5;,6;,0;,5;,5; 4,0; 5,0; 6,; 8,0; 0,0 Do frekvenčne vsebine Prenosne funkcije pridemo tudi na drug način, s pretvorbo s v j: G(D) G(s) G( j) zacetni pogoji s σ + j Velja: G(j)Re(j)+Im(j) G(j) e jφ(j) Tu je G(j) amplitudni in Φ(j) fazni del prenosne funkcije, ki ju narišemo v ustrezna dela Bodejevega diagrama. G(j) Re + Im, Φtan - (Im/Re) Včasih lahko zapišemo delne funkcije: G(j) e j e ( Φ ( j) + Φ ( j) + Φ ( j) ) jφ ( j) jφ ( j) jφ ( j) e e Jasno je, da se fazne karakteristike posameznih gradnikov seštevajo oz. odštevajo. er je amplitudna skala logaritmirana, se seštevajo (ali odštevajo) tudi amplitudni prispevki posameznih členov: 0 log G(j) 0log G (j) + 0log G (j) + 0log G(j)

Tabela gradnikov I II gradnika. reda III gradnika. reda. integracijski gradnik. 5. j + jt jξ +. j diferencialni gradnik 4.+ jt 6. + jξ Pri členu. reda je lomna frekvenca T Pri členu. reda je lastna frekvenca tudi lomna. Dušenje ξ določa obnašanje amplitudne in fazne karakteristike v okolici

Vpliv dušenja pri gradniku. reda

NAOGA : Nariši Bodejev diagram in izračunaj elemente amplitudne in fazne karakteristike za gradnik G( j)! + jt Rešitev: Amplitudni del G( j) + T Enačba amplitudne karakteristike: 0 log G(j) 0 log 0 log + T 0 log 0 log( + T ) Asimptoti: Nizkofrekvenčna asimptota: << ( 0): 0 log 0 log( + T 0 )0 log Visokofrekvenčna asimptota: >> ( ): 0 log 0 log( T )0 log 0 logt 0log Nagib visokofrekvenčne asimptote: y 0 log - 0 logt - 0log d dy 0 log - 0 logt - 0log ( log) d( log) 0 log - 0 logt - 0log - 0log + 0logT + 0log0-0(log - log0o 0dB/dek ( log - log0) ( log - log0) Sečišče asimptot: 0 log 0 log 0 logt 0log log(t) 0 Antilogaritmiramo: /T Vrednost krivulje v : 0 log G(j) 0 log 0 log( + T )0 log 0 log0log,0 db T Fazni del ( j) + jt ( jt) G Enačba fazne karakteristike Im T Φ tan tan tan Re ( )( ) ( ) ( - jt) + jt jt + T Nizkofrekvenčni del: (T) << ( 0): Φ( j) tan ( T) tan (0) 0 Visokofrekvenčni del: >> ( ): Φ( j) tan T tan ( ) 90

Pri lomni frekvenci, : T j0, : Φ( j ) tan T tan () 45 Eno dekado pred, 0, : Φ( ) tan (0,) 5, 7 Eno dekado za, 0 : Φ( j0 ) tan (0) 84, DOMAČA NAOGA: Nariši Bodejev diagram in izračunaj elemente amplitudne in fazne karakteristike za gradnik G ( j )! + jξ NAOGA : Nariši Bodejev diagram za gradnik G( j) 00 + 0,05j 00 db 40dB T0,05 0 s -

STABINOST Prenosna funkcija je: ( j) G ( j) ( j) G ( j) H( j) G(s)G (s) G G(s), + G (s)g (s)h(s) + G kar pomeni, da je karakteristična enačba: F ( j) + G ( j) G ( j) H( j) + G ( j) 0 Iz tega dobimo pogoj stabilnosti ( j) G p. p G p (j) je prenosna funkcija odprte zanke (prerezane zanke), najbolj enostavno jo lahko dobimo, če množimo vse gradnike od primerjalne točke in po povratni veji nazaj do primerjalne točke. G p (j) je funkcija v kompleksni ravnini in točka - je na realni osi te ravnine. V osnovi ugotavljamo koliko amplitudne in fazne rezerve imamo do točke - na realni osi. Iz tega dobimo stabilitetni meji za amplitudo (0dB) in za fazo -80 o. Ugotavljamo torej, koliko nam še manjka do teh dveh mej. Temu rečemo fazna in amplitudna rezerva. Φ R in A R narisana na spodnji sliki sta pozitivna in kažeta stabilen sistem. Φ R razumemo kot zalogo faze, ki jo ima sistem do meje stabilnosti in podobno A R kot zalogo amplitude do meje stabilnosti. Torej pri ugotavljanju stabilnosti uporabljamo G p (j), ki jo je tudi mnogo lažje skonstruirati, kakor prenosno funkcijo sklenjenega sistema.

onstruiranje Bodejevega diagrama Normiranje členov prenosne funkcije ( ) ( a + j)( a + j )...( a m + j) G j j( b + j )...( c + dj )...( bn + j) j Ojačanje dobimo, če izpostavimo vse a i in b j in c k : ( + T j)( + T j )...( + T j) b aa...a m b...b c ( + T j )... + jξ... ( + T j) n m bn Tabela vrednosti V stolpce razvrstimo člene oz. gradnike prenosne funkcije. V prvem stolpcu je ojačanje ali ojačanje z integracijskim členom. Integracijski člen nima lomne frekvence in ima stalno fazo -90 (I člen). V zadnji člen (Σ) zapišemo vsote nizkofrekvenčnih in visokofrekvenčnih delov tako amplitudne kot fazne karakteristike. Vsote amplitud razumemo kot padce amplitude pred prvo lomno frekvenco in za zadnjo lomno frekvenco v prenosni funkciji. Podobno razumemo vsote faz kot začetno in končno fazo sistema. db G ( 0) G ( ) Φ( 0) Φ( ) Φ( ) 4 5 Σ Ugotavljanje oz. začetne lege amplitudne karakteristike Pri členih z integracijo moramo začetno amplitudno krivuljo ekstrapolirati do frekvence, če so lomne frekvence že pred tem. onstruiranje amplitudnega in faznega dela o ugotovimo začetno lego (višino) amplitudne karakteristike, ostale člene prištevamo ali odštevamo glede na to ali so v števcu ali pa v imenovalcu. Pomemben je vrstni red lomnih frekvenc od najnižje do najvišje. Na fazni del ojačanje nima vpliva in prav tako seštevamo ali odštevamo fazne prispevke členov po naraščajoči lomni frekvenci. Fazni vpliv posameznih členov zajemamo dve dekadi eno pred in eno po lomni frekvenci.

Ugotavljanje stabilnosti Stabilnost ugotavljamo po prej definiranem kriteriju. Φ R nam pove stopnjo stabilnosti sistema. NAOGA: S pomočjo Bodejevega diagrama ugotovi ali je narisan sistem stabilen. Označi fazno in amplitudno rezervo! Rešitev: G p 4 ( j) 0 ( j + 0) 0 4 j + 0 0 0 00 j + j + 00 ( + ( j )/0) ( + j) ( + ( j )/0)( + ( j )/00) 00 ( + ( j )/0) ( + j) ( + ( j )/0)( + ( j )/00) 4 5 Σ 00 (+j/0) /(+j) /(+j/0) /(+j/00) db 40 0 0 00 G ( 0) 0 0 0 0 0 G ( ) +0-0 -0-0 -40 Φ( 0) 0 0 0 0 0 Φ( ) +90-90 -90-90 -80 Φ( ) +45-45 -45-45 V tem primeru imamo proporcionalni krmilni sistem in začetni nagib amplitudnega dela je 0, prav tako je fazni del pri malih frekvencah 0. DOMAČA NAOGA Za dani sistem določi tako ojačanje, a) da bo sistem na meji stabilnosti, b) da bo fazna rezerva 45 stopinj. G () ( + 0,07s) s p s + 0,05s + 0,005s + 0,00s ( )( )( )