HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

Σχετικά έγγραφα
HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 6: Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 7: Μετασχηματισμός Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων. Διάλεξη 20: Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier (Discrete Fourier Transform DFT)

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER. e ω. Το βασικό πρόβλημα στις σειρές Fourier είναι ο υπολογισμός των συντελεστών c

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. στο χώρο της συχνότητας

x[n] = x[n] = e j(k+rn)ωon = cos(k 2π N n + r2πn) + jsin(k 2π N n + r2πn) = cos(k 2π N n) + jsin( 2π N x[n] e j 2π N n = e j(k r) 2π N n = (2.

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Επεξεργασία Πολυµέσων. Δρ. Μαρία Κοζύρη Π.Μ.Σ. «Εφαρµοσµένη Πληροφορική» Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

Σήματα και Συστήματα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Προφανώς, μια συνάρτηση μπορεί να μην είναι ούτε άρτια ούτε περιττή. Όμως, μπορεί να γραφεί σαν άθροισμα μιας άρτιας fe

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 10: Γραμμικά Φίλτρα. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα.

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

() min. xt δεν έχει μετασχηματισμό LAPLACE () () () Αν Λ= το σήμα ( ) Αν Λ, έστω σ. Το σύνολο μιγαδικών αριθμών. s Q το ολοκλήρωμα (1) υπάρχει.

Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους

2. Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με την μέθοδο Fourier

Συστήματα Επικοινωνιών Ι

x[n] = e u[n 1] 4 x[n] = u[n 1] 4 X(z) = z 1 H(z) = (1 0.5z 1 )(1 + 4z 2 ) z 2 (βʹ) H(z) = H min (z)h lin (z) 4 z 1 1 z 1 (z 1 4 )(z 1) (1)

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών

ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος.

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

2 ο κεφάλαιο: Ανάλυση και Σύνθεση κυματομορφών με τον Μετασχηματισμό Fourier

Εξεταστική Ιανουαρίου 2007 Μάθηµα: «Σήµατα και Συστήµατα»

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι

3-Φεβ-2009 ΗΜΥ Σήματα

2.1 Περιοδικές συναρτήσεις και τριγωνομετρικά αναπτύγματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Περιγραφή Σηµάτων Συνεχούς Χρόνου Συνάρτηση δέλτα Κατανοµές

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

X(e jω ) = x[n]e jωn (1) x[n] = 1. T s

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών

Kεφάλαιο 5 DFT- FFT ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER DISCRETE FOURIER TRANSFORM 1/ 80. ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ DFT-FFT Σ.

. Σήματα και Συστήματα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Δομή της παρουσίασης

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Επικοινωνίες στη Ναυτιλία

ΣΤΗΑ ΨΕΣ /4/2013 2:12 πµ

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Ι

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

3. Κεφάλαιο Μετασχηματισμός Fourier

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΔΙΑΚΡΙΤΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT. (Discrete Time Fourier Transform) ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 1/ 45

6-Μαρτ-2009 ΗΜΥ Μετασχηματισμός z

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT. (Discrete Time Fourier Transform) ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Σ. ΦΩΤΟΠΟΥΛΟΣ ΔΠΜΣ 1 / 55

Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα Ι

ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ. Κεφάλαιο 7-8 : Συστήματα Δειγματοληψία Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων

X k e j2πkf0t = x(t) = x(t)e j2πkf0t dt (6.2)

x(t) = sin 2 (5πt) cos(22πt) = x 2 (t)dt

{ } x[n]e jωn (1.3) x[n] x [ n ]... x[n] e jk 2π N n

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΤΡΙΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

x(t) = 2 + cos(2πt) sin(πt) 3 cos(3πt) cos(θ + π) = cos(θ). (3)

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών. Σήματα. και. Συστήματα

Διάλεξη 2. Συστήματα Εξισώσεων Διαφορών ΔιακριτάΣήματαστοΧώροτης Συχνότητας

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. DTFT και Περιοδική/Κυκλική Συνέλιξη

y[n] ay[n 1] = x[n] + βx[n 1] (6)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο. Μετασχηματισμός FOURIER Διακριτού Χρόνου DTFT

ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: ΣΥΝΕΛΙΞΗ

ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Καθηγητής Τσιριγώτης Γεώργιος

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

11 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

20-Φεβ-2009 ΗΜΥ Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier

Σήματα και Συστήματα. Νόκας Γιώργος

x(t)e jωt dt = e 2(t 1) u(t 1)e jωt dt = e 2 t 1 e jωt dt =

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. z x y 2xyi. Re z x y. Θα δείξουμε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει ότι. z z zz. zz zz z z 1 0 z z 1 (1)

Transcript:

Σύγκλιση Σειρών Fourier Ιδιότητες Σειρών Fourier Παραδείγματα HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #10

Σειρές Fourier: Προσέγγιση Οι Σειρές Fourier μπορούν να αναπαραστήσουν μια πολύ μεγάλη κλάση περιοδικών σημάτων Προσέγγιση (approximation) περιοδικού σήματος x(t) με πεπερασμένες σειρές Fourier N j 0t xn() t = ae ω = N Η προσέγγιση αυτή χαρακτηρίζεται από το σφάλμα: N = N j 0 e () = () () = () ω N t xt xn t xt ae Η ακρίβεια της προσέγγισης ποσοτικοποιείται από την ενέργεια του τετραγωνικού σφάλματος σε μια περίοδο Τ: E () N = en t dt Οι συντελεστές α που ελαχιστοποιούν το κριτήριο αυτό είναι: 1 jω0t a = x() t e dt t

Σειρές Fourier

Σειρές Fourier: Σύγκλιση Άρα όταν υπάρχει η αναπαράσταση ενός περιοδικού σήματος x(t) σε σειρές Fourier Η βέλτιστη προσέγγιση για την αποκομμένη σειρά επιτυγχάνεται 1 jω0t για a x() t e dt και μάλιστα: lim E = 0 N = N Ερώτηση: Πότε ένα περιοδικό σήμα μπορεί να αναπαρασταθεί με σειρές Fourier? Το ολοκλήρωμα λή μπορεί να αποκλίνει για κάποιο Ακόμη και αν όλα τα α είναι πεπερασμένα, η (άπειρη) σειρά μπορεί να μη συγκλίνει στο x(t) Ευτυχώς για τη μεγάλη πλειονότητα των περιοδικών σημάτων συνεχούς χρόνου οι σειρές Fourier δεν παρουσιάζουν προβλήματα σύγκλισης

Σειρές Fourier: Σύγκλιση Συνθήκη: Όλα τα συνεχή περιοδικά σήματα μπορούν να αναπαρασταθούν με σειρές Fourier Τι συμβαίνει για ασυνεχή σήματα (πχ τετραγωνικός παλμός)? Συνθήκη: Τα σήματα που έχουν πεπερασμένη ενέργεια σε μια περίοδο) μπορούν να αναπαρασταθούν με σειρές Fourier: xt () dt< Για τα σήματα αυτά, οι συντελεστές α είναι πεπερασμένοι και limn EN = lim N x() t xn() t dt = 0 το οποίο δεν σημαίνει κατ ανάγκη ότι το σήμα x(t) και η αναπαράστασή του σε σειρές Fourier είναι ίσα για κάθε t, αλλά ότι η διαφορά τους έχει μηδενική ενέργεια.

Σύγκλιση: Οι συνθήκες Dirichlet Εναλλακτικό Ε όσύνολο συνθηκών που εξασφαλίζουν την ισότητα xt () = x εκτός από μεμονωμένες τιμές του t στις N (), t N t οποίες το x(t) είναι ασυνεχές Συνθήκη 1: Το σήμα x(t) πρέπει να είναι απολύτως ολοκληρώσιμο σε μια περίοδο: 1 jω0t x() t dt < a = x () t e dt < 1 x() t =,0 t 1 t < Συνθήκη :Σε οποιοδήποτε πεπερασμένο χρονικό διάστημα (ισοδύναμα σε κάθε περίοδο) υπάρχει πεπερασμένος αριθμός ελάχιστων και μέγιστων π x() t = sin( ),0< t 1 t

Σύγκλιση: Οι συνθήκες Dirichlet Συνθήκη Σ 3: Σε κάθε περίοδο, υπάρχει πεπερασμένος αριθμός ασυνεχειών και επίσης αυτές οι ασυνέχειες είναι πεπερασμένου πλάτους Σχεδόν όλα τα σήματα που συναντούμε στην πράξη ικανοποιούν αυτές τις συνθήκες. Άρα στο όριο: Για συνεχή σήματα οι σειρές Fourier = x(t) Για ασυνεχή σήματα οι σειρές Fourier = μέση τιμή στα σημεία 1 ασυνέχειας, δηλ. αν έχουμε ασυνέχεια στο [ ( + ) ( t x t + x t )] 0 0 0 Από την άποψη των ΓΧΑ συστημάτων το σήμα x(t) και η αναπαράστασή του με σειρές Fourier είναι πανομοιότυπα

Το φαινόμενο Gibbs Κυμάτωση (ripples) κοντά στο σημείο ασυνέχειας Υπέρβαση (overshoot) με σταθερό πλάτος (1.09) στοθετικόόριο όριο της ασυνέχειας, αντίστοιχο undershoot στο αρνητικό όριο Όταν Ν άπειρο, η ενέργεια των κυματώσεων 0

Ιδιότητες Σειρών Fourier FS.. Συμβολισμός: xt () a Γραμμικότητα: x(t), y(t) με περίοδο Τ x () t a, y() t b αx() t + β y() t αa + βb Χρονική αντιστροφή (ime reversal): xt () a x ( t ) a j 0t jmω0t m m= a = a a = a ω x( t) = a e = a e = Άρτια σήματα: Περιττά: Χρονική ήμετατόπιση η( (ime Shifting): Μετατόπιση φάσης στο πεδίο της συχνότητας

Ιδιότητες Σειρών Fourier Συζυγής συμμετρία (Conjugate Symmetry): xt () a x() t a * * a * = a Πραγματικά σήματα: * Άρτια πραγματικά σήματα: a = a = a πραγματικοί και άρτιοι συντελεστές Περιττά πραγματικά σήματα: φανταστικοί και περιττοί συντελεστές Χρονική κλιμάκωση (time scaling): x(t) περιοδικό με περίοδο Τ x(β) περιοδικό με περίοδο Τ/β j 0 x( βt) = ae βω = t Ίδιοι συντελεστές, θεμελιώδης συχνότητα βω 0 Πολλαπλασιασμός (multiplication) xt () a xt () yt () h = ab l l Διακριτή συνέλιξη yt () b l=

Ιδιότητες Σειρών Fourier Θεώρημα Parseval για σήματα συνεχούς χρόνου: 1 xt () dt= a = Μέση ισχύς ενός περιοδικού σήματος σε μια περίοδο = άθροισμα της ισχύος των αρμονικών συνιστωσών του Περιοδική συνέλιξη (Periodic convolution) Συνέλιξη στο πεδίο του χρόνου Πολλαπλασιασμός στο πεδίο της συχνότητας και αντίστροφα

Παράδειγμα H Συνάρτηση δειγματοληψίας (sampling function) / / j ω t j ω t 1 1 1 0 0 a = x() t e dt = δ () t e dt =, / / yt () = xt ( /) Χρονική μετατόπιση: Τ jω 0 jπ x() t a x( t /) e a = e a = ( 1) a

Παράδειγμα Τετραγωνικός παλμός xt () ω 0 ω 10 1,0 < t < 1 = 1,1 < t < =? a 0 =? 1 1 1 a = x t e dt = e dt e dt j 0t j t j t () ω [ π π ] 0 1 1 j t 1 1 j t 1 j j j e π + e π [ e π 1 e π + e π ] 0 1 = + = + = jπ jπ jπ j 1 1 = j π j j π, = ν + [e ] [ e 1] π jπ = π = 0, = ν

Φάσμα συχνοτήτων Παράδειγμα Τετραγωνικός παλμός a /π a j, = ν + 1 = π = 0, = ν = a a a /3π /5π

a Εναλλακτικά: 1, 0 Παράδειγμα Τετραγωνικός παλμός = = π 1 sin( i ( 1), = 0 1, 0 1 =, = x( t) a = π sin( π / ), 0 ππ 1 zt () = xt ( ) 1 1, = 0 1, = 0 j 1 j, = ν + 1 xt b = π e sin( π /) = = ν + zt c = π, 0 π π 0, = ν 0, = νν ( 0) ( ) b j /, 1 ( )