Σύγκλιση Σειρών Fourier Ιδιότητες Σειρών Fourier Παραδείγματα HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #10
Σειρές Fourier: Προσέγγιση Οι Σειρές Fourier μπορούν να αναπαραστήσουν μια πολύ μεγάλη κλάση περιοδικών σημάτων Προσέγγιση (approximation) περιοδικού σήματος x(t) με πεπερασμένες σειρές Fourier N j 0t xn() t = ae ω = N Η προσέγγιση αυτή χαρακτηρίζεται από το σφάλμα: N = N j 0 e () = () () = () ω N t xt xn t xt ae Η ακρίβεια της προσέγγισης ποσοτικοποιείται από την ενέργεια του τετραγωνικού σφάλματος σε μια περίοδο Τ: E () N = en t dt Οι συντελεστές α που ελαχιστοποιούν το κριτήριο αυτό είναι: 1 jω0t a = x() t e dt t
Σειρές Fourier
Σειρές Fourier: Σύγκλιση Άρα όταν υπάρχει η αναπαράσταση ενός περιοδικού σήματος x(t) σε σειρές Fourier Η βέλτιστη προσέγγιση για την αποκομμένη σειρά επιτυγχάνεται 1 jω0t για a x() t e dt και μάλιστα: lim E = 0 N = N Ερώτηση: Πότε ένα περιοδικό σήμα μπορεί να αναπαρασταθεί με σειρές Fourier? Το ολοκλήρωμα λή μπορεί να αποκλίνει για κάποιο Ακόμη και αν όλα τα α είναι πεπερασμένα, η (άπειρη) σειρά μπορεί να μη συγκλίνει στο x(t) Ευτυχώς για τη μεγάλη πλειονότητα των περιοδικών σημάτων συνεχούς χρόνου οι σειρές Fourier δεν παρουσιάζουν προβλήματα σύγκλισης
Σειρές Fourier: Σύγκλιση Συνθήκη: Όλα τα συνεχή περιοδικά σήματα μπορούν να αναπαρασταθούν με σειρές Fourier Τι συμβαίνει για ασυνεχή σήματα (πχ τετραγωνικός παλμός)? Συνθήκη: Τα σήματα που έχουν πεπερασμένη ενέργεια σε μια περίοδο) μπορούν να αναπαρασταθούν με σειρές Fourier: xt () dt< Για τα σήματα αυτά, οι συντελεστές α είναι πεπερασμένοι και limn EN = lim N x() t xn() t dt = 0 το οποίο δεν σημαίνει κατ ανάγκη ότι το σήμα x(t) και η αναπαράστασή του σε σειρές Fourier είναι ίσα για κάθε t, αλλά ότι η διαφορά τους έχει μηδενική ενέργεια.
Σύγκλιση: Οι συνθήκες Dirichlet Εναλλακτικό Ε όσύνολο συνθηκών που εξασφαλίζουν την ισότητα xt () = x εκτός από μεμονωμένες τιμές του t στις N (), t N t οποίες το x(t) είναι ασυνεχές Συνθήκη 1: Το σήμα x(t) πρέπει να είναι απολύτως ολοκληρώσιμο σε μια περίοδο: 1 jω0t x() t dt < a = x () t e dt < 1 x() t =,0 t 1 t < Συνθήκη :Σε οποιοδήποτε πεπερασμένο χρονικό διάστημα (ισοδύναμα σε κάθε περίοδο) υπάρχει πεπερασμένος αριθμός ελάχιστων και μέγιστων π x() t = sin( ),0< t 1 t
Σύγκλιση: Οι συνθήκες Dirichlet Συνθήκη Σ 3: Σε κάθε περίοδο, υπάρχει πεπερασμένος αριθμός ασυνεχειών και επίσης αυτές οι ασυνέχειες είναι πεπερασμένου πλάτους Σχεδόν όλα τα σήματα που συναντούμε στην πράξη ικανοποιούν αυτές τις συνθήκες. Άρα στο όριο: Για συνεχή σήματα οι σειρές Fourier = x(t) Για ασυνεχή σήματα οι σειρές Fourier = μέση τιμή στα σημεία 1 ασυνέχειας, δηλ. αν έχουμε ασυνέχεια στο [ ( + ) ( t x t + x t )] 0 0 0 Από την άποψη των ΓΧΑ συστημάτων το σήμα x(t) και η αναπαράστασή του με σειρές Fourier είναι πανομοιότυπα
Το φαινόμενο Gibbs Κυμάτωση (ripples) κοντά στο σημείο ασυνέχειας Υπέρβαση (overshoot) με σταθερό πλάτος (1.09) στοθετικόόριο όριο της ασυνέχειας, αντίστοιχο undershoot στο αρνητικό όριο Όταν Ν άπειρο, η ενέργεια των κυματώσεων 0
Ιδιότητες Σειρών Fourier FS.. Συμβολισμός: xt () a Γραμμικότητα: x(t), y(t) με περίοδο Τ x () t a, y() t b αx() t + β y() t αa + βb Χρονική αντιστροφή (ime reversal): xt () a x ( t ) a j 0t jmω0t m m= a = a a = a ω x( t) = a e = a e = Άρτια σήματα: Περιττά: Χρονική ήμετατόπιση η( (ime Shifting): Μετατόπιση φάσης στο πεδίο της συχνότητας
Ιδιότητες Σειρών Fourier Συζυγής συμμετρία (Conjugate Symmetry): xt () a x() t a * * a * = a Πραγματικά σήματα: * Άρτια πραγματικά σήματα: a = a = a πραγματικοί και άρτιοι συντελεστές Περιττά πραγματικά σήματα: φανταστικοί και περιττοί συντελεστές Χρονική κλιμάκωση (time scaling): x(t) περιοδικό με περίοδο Τ x(β) περιοδικό με περίοδο Τ/β j 0 x( βt) = ae βω = t Ίδιοι συντελεστές, θεμελιώδης συχνότητα βω 0 Πολλαπλασιασμός (multiplication) xt () a xt () yt () h = ab l l Διακριτή συνέλιξη yt () b l=
Ιδιότητες Σειρών Fourier Θεώρημα Parseval για σήματα συνεχούς χρόνου: 1 xt () dt= a = Μέση ισχύς ενός περιοδικού σήματος σε μια περίοδο = άθροισμα της ισχύος των αρμονικών συνιστωσών του Περιοδική συνέλιξη (Periodic convolution) Συνέλιξη στο πεδίο του χρόνου Πολλαπλασιασμός στο πεδίο της συχνότητας και αντίστροφα
Παράδειγμα H Συνάρτηση δειγματοληψίας (sampling function) / / j ω t j ω t 1 1 1 0 0 a = x() t e dt = δ () t e dt =, / / yt () = xt ( /) Χρονική μετατόπιση: Τ jω 0 jπ x() t a x( t /) e a = e a = ( 1) a
Παράδειγμα Τετραγωνικός παλμός xt () ω 0 ω 10 1,0 < t < 1 = 1,1 < t < =? a 0 =? 1 1 1 a = x t e dt = e dt e dt j 0t j t j t () ω [ π π ] 0 1 1 j t 1 1 j t 1 j j j e π + e π [ e π 1 e π + e π ] 0 1 = + = + = jπ jπ jπ j 1 1 = j π j j π, = ν + [e ] [ e 1] π jπ = π = 0, = ν
Φάσμα συχνοτήτων Παράδειγμα Τετραγωνικός παλμός a /π a j, = ν + 1 = π = 0, = ν = a a a /3π /5π
a Εναλλακτικά: 1, 0 Παράδειγμα Τετραγωνικός παλμός = = π 1 sin( i ( 1), = 0 1, 0 1 =, = x( t) a = π sin( π / ), 0 ππ 1 zt () = xt ( ) 1 1, = 0 1, = 0 j 1 j, = ν + 1 xt b = π e sin( π /) = = ν + zt c = π, 0 π π 0, = ν 0, = νν ( 0) ( ) b j /, 1 ( )