Cusul n. CINEMATICA Cinematica este capitolul mecanicii clasice cae studiaza miscaea copuilo faa a tine cont de cauzele cae stau la baza miscaii. Temenului cinematica vine de la cuvantul gecesc kinematmiscae. 1. Notiuni fundamentale ale cinematicii 1.1 Punctul mateial Pentu a descie miscaea in spatiu a unui cop este necesa sa se utilizeze notiuni din geometie, cum a fi: punctul, pozitia unui punct in spatiu, cuba, distanta dinte doua puncte, etc. Deoaece geometia opeeaza cu concepte abstacte, faa coespondent in lumea fizica eala, este necesa sa se ecuga la unele simplificai cae sa pemita tataea ealitatii fizice cu ajutoul matematicii. De exemplu, datoita faptului ca un cop eal ae dimensiuni spatiale finite nu este posibil sa se pecizeze pozitia lui in spatiu utilizand coodonatele cateziene x,y,z, cae detemina pozitia unui punct geometic in spatiu in timp ce spatiul ocupat de cop contine o infinitate de puncte. Din acest motiv copul mateial este asimilat cu un punct geometic in cae este concentata toata masa, m, a copului. Astfel studiul miscaii copului se educe la descieea miscaii unui punct geometic in spatiu. Aceasta simplificae poata denumiea de apoximatia punctului mateial, ia punctul geometic cu cae este asimilat copul se numeste punct mateial. In geneal, aceasta simplificae ae sens in cazul in cae dimensiunile obiectului sunt mult mai mici decat distantele pacuse de el. Figua.1. Apoximatia punctului mateial 1
1. Pozitia punctului mateial in spatiu. Raza vectoae In matematica pozitia unui punct in spatiu este descisa de coodonatele Cateziene x,y,z, asa cum este ilustat in figua 1.a. Deoaece in majoitatea cazuilo studiate in fizica avem de-a face cu maimi vectoiale spatiale, este mai comod sa se defineasca pozitia unui punct in spatiu cu ajutoul unei maimi vectoiale decat pin setul de maimi scalae (x,y,z) din descieea cateziana. Deteminaea pozitiei cu ajutoul unui vecto este pezentata in figua.b. Vectoul poata denumiea de aza vectoae. Vectoul defineste in mod unic pozitia punctului in spatiu deoaece el ae modulul, diectia si sensul deteminate de pozitia punctului. Figua.. Deteminaea pozitiei unui punct in spatiu cu ajutoul coodonatelo cateziene (a) si cu ajutoul azei vectoae (b). Inte coodonatele cateziene (x,y,z) si aza vectoae exista umatoaea elatie, xi + yj + zk, (1) i, j si k sunt vectoii vesoi ai diectiilo x,y si z. Modulul vectoilo unde vesoi este egal cu unitatea.
Aceasta elatie demonsteaza echivalenta dinte cele modalitati de a defini pozitia unui punct in spatiu. 1.3. Taiectoia miscaii, distanta si vectoul deplasae. Ecuatiile de miscae Taiectoia miscaii este cuba descisa de punctul mateial in timpul miscaii sale (Fig..3). Sa pesupunem ca la momentul initial t i punctul mateial se gasea in punctul A, caacteizat de vectoul de pozitie i, ia la momentul final t f al miscaii el ajunge in punctul B, caacteizat de vectoul de pozitie f. In intevalul de timp t t f ti vectoul de pozitie al se defineste punctului mateial vaiaza de la i la f. Vectoul deplasae ca fiind difeenta dinte vectoul f si i : f i. () Figua.3. Totalitatea punctelo din planul x-y pin cae tece punctul mateial in miscae definesc taiectoia miscaii. Distanta pacusa de punctul mateial este egala cu lungimea segmentului de cuba AB. Modulul vectoului deplasae poata denumiea de deplasae. Lungimea, s, a segmentului de taiactoie inte punctele A si B este distanta pacusa de punctul mateial. Este de emacat ca, in geneal, 3
deplasaea nu este egala cu distanta. De exemplu, in cazul unei taiectoii inchise punctul mateial pleaca din punctul A si dupa pacugeea taiectoiei evine in punctul A. Este evident ca in acest caz deplasea este egal cu zeo, 0. In schimb, distanta pacusa s este egala cu lungimea taiectoiei inchise. Deoaece pozitia punctului mateial se modifica in timp ezulta ca coodonatele acestuia x, y, z sunt functii continue si unifome de timp: x x( t); y y( t); z z( t). (3) Setul de ecuatii (3) poata denumiea de ecuatiile de miscae. Pin eliminaea timpului din ecuatiile de miscae se obtine ecuatiile taiectoiei sub foma: F ( x, y, z) 0 si ( x, y, z) 0 1 F. (4) 1 De fapt, cele doua ecuatii definesc doua plane a cao intesectie este chia taiectoia. 1.4. Cubua si aza de cubua a taiectoiei Sa consideam doua puncte A si B pe o taiectoie cubilinie oaecae, asa cum este indicat in Fig..4. Vesoii tangentelo la taiectoie in aceste puncte ii notam cu τ si, espectiv, τ. Nomalele la tangetele din punctel A A B si B se intesecteaza in punctul C. Este uso de obseava ca atunci cand punctul B tinde spe punctul A, acul de cuba s se supapune peste acul de cec de aza R cu centul in C. Tinand cont de aceasta obsevatie se defineste aza de cubua a taiectoiei in punctul A ca fiind: R θ 0 s θ ds dθ lim. (5) Invesul azei de cubua poata denumiea de cubua : dθ C 1. (6) R ds 4
Figua.4. Raza de cubua a unei taiectoii oaecae Nomala la cuba in punctul A este pependiculaa la tangenta. Din punct de vedee matematic exista o infinitate de nomale la cuba in punctul A. Totusi din punct de vedee fizic pezinta intees numai doua diectii ale nomalei. Pima diectie este de-a lungul azei R, ia vesoul n al nomalei este indeptat inspe centul de cubua, C. Aceasta nomala poata denumiea de nomala pincipala. A doua nomala, case numeste binomala si ae vesoul definit de podusul vectoial: b τ n. (7) Din figua.4 ezulta ca θ τ τ sin θ (in adiani), unde am tinut cont ca atunci cand A tinde spe B si (8) τ A τ B τ, ia τ 1. In acest caz τ devine pependicula pe τ. Astfel, τ dτ dτ n lim n sau. θ 0 θ dθ ds R (9) 5
Aceste elatii poata denumiea de fomulele lui Fénet. 1.5. Viteza Pentu a studia miscaea unui mobil pe taiectoie este necesaa cunoasteea diectiei si sensului miscaii pecum si modul in cae pozitia pe taiectoie a mobilului se modifica in timp. Din aceasta cauza pe langa taiectoie, vectoul deplasae si distanta, este necesaa intoduceea uno maimi fizice cae sa contina infomatii cu pivie la modificaea in timp a pozitiei mobilului pe taiectoie. Aceste maimi sunt viteza si acceleatia. Viteza scalaa este viteza medie pe o potiune de taiectoie AB de lungime s si se defineste pin apotul s v, (10) t unde t este intevalul de timp in cae a fost pacus intevalul AB. Viteza instantanee sau momentana scalaa in punctul A la momentul t se defineste ca fiind apotul dinte distanta ds pacusa de mobil si intevalul de timp infinit mic in cae a fost pacusa: s ds v lim. (11) t 0 t Vectoul viteza medie se defineste ca fiind vaiatia vectoului deplasae in unitate de timp: v. (1) t Asa cum se poate obseva din figua.5, vectoul viteza medie ae aceiasi diectie si sens cu vectoul deplasae. Vectoul viteza instantanee sau momentana se obtine la limita t 0, atunci cand punctul A B, si se de fineste ca fiind: 6
v lim t 0 t d. (13) Figua.5. Vectoul viteza si vectoul viteza medie pentu o miscae cubilinie oaecae. Deoaece, la limita A B, vectoul d este tangent la taiectoie si tinand cont ca in acest caz acul este egal cu coada, d ds, elatia (13) poate fi scisa sub foma, d ds v d τ τ vτ, (14) unde vectoul τ este vesoul tangentei la taiectoie in sensul cesteii acului ds. Este de notat ca, spe deosebie de cazul vectoului viteza, modulul vectoului viteza instantanee este egal cu viteza instantanee scalaa. Din aceasta cauza in mod cuent nu se face distinctia explicita inte vectoul viteza instantanee si viteza instantanee scalaa, utilizandu-se notiunea geneala de viteza instantanee. Astfel, viteza instantanee este o maime vectoiala tangenta la taiectoie a caui modul este egal cu distanta pacusa de mobil apotata la intevalul de timp infinitezimal,, in cae a fost pacusa. 7
Obsevatie. Deoaece in mod cuent ne inteeseaza distanta pacusa de un mobil s, nu deplasaea lui, in pactica se utilizeaza temenul de viteza scalaa si instantanee definite de elatiile (10),(11) si (14). 1.6 Acceleatia Int-o miscae cubilinie oaecae viteza v vaiaza si ca maime (modul) si ca diectie. O maime a aceste vaiatii este vectoul acceleatie. Analog vectoului viteza, acceleatia medie si acceleatia momentana se definesc cu ajutoul umatoaelo elatii: Acceleatia medie: v t Acceleatia momentana: a (15) v a lim t 0 t dv d. (16) Asa cum ezulta din elatia (16) acceleatia a este deivata de udinul unu a vitezei sau deivata de odinul doi a vectoului de pozitie in apot cu timpul. Pentu a detemina diectia vectoului acceleatie instantanee, sa deivam in apot cu timpul elatia (16) tinand cont ca viteza instantanee este data de elatia (14): a dv d ( vτ ) dv dτ τ + v dv dτ ds τ + v ds. (17) Tinand cont de fomulele lui Fénet (9), aceasta elatie devine: a dv v τ + n aτ + a n t n R, (18) unde dv d s a n, (19) 8
ia a n v R. (0) Figua.6. Acceleatia nomala si tangentiala int-o miscae cubilinie oaecae. Acceleatia tangentiala a a τ dv τ t t d s τ este tangenta la taiectoie si ae aceiasi diectie si sens cu viteza v fiind datoata vaiatiei in timp a modulului vitezei. Acceleatia nomala a n a n n v n R este nomala la taiectoie find indeptata spe inteioul acesteia si este datoata vaiatiei diectiei vitezei in timp. Asa cum se poate obseva din elatia (18), vectoul acceleatie ae doua componente. O componenta tangenta la cuba, a caui modul este egal cu a t, si una nomala la cuba de modul a n. Ele poata poata denumiea de acceleatie tangentiala (a t ) si, espectiv, acceleatie nomala (a n ). Componenta tangentiala este datoata vaiatiei modulului vitezei, ia cea nomala este datoata vaiatiei diectiei vectoului viteza, asa cum este ilustat in Fig..6. In concluzie, este impotant de emacat ca vaiatiei oicaui dinte paametii cae definesc vectoul viteza (modul si diectie) ii coespunde o acceleatie specifica. 9
EXEMPLE 1. Miscaea unifoma vaiata. Daca acceleatia tangentiala at a mobilului pe taiectoie este constanta in timp, miscaea se numeste unifom vaiata. In cazul in cae taiectoia este o linie deapta, miscaea se numeste ectilinie unifom vaiata. In cazul unei miscai ectilinii unifome acceleatia tangentiala este egala cu acceleatia totala,, deoaece in acest caz acceleatia nomla este egala cu zeo, a a a 0 t n. Acest lucu este uso de demonstat daca se tine cont ca aza de cubua a unei depte tinde la infinit, R. Din elatia (16), cae leaga viteza momentana de acceleatie, ezulta d v a. (1) Pin integaea acestei elatii obtinem pentu viteza instantanee expesia dv sau at + C a v, () unde C este o constanta de integae. Constanta de integae tebuie astfel deteminata, incat legea vitezei () sa satisfaca conditiile intiale ale miscaii. Daca pesupunem ca la inceputul miscaii t 0 viteza mobilului ea v 0, atunci v 0 a. 0 + C, sau v0 C. (3) Tinand cont de aceasta valoae a constantei de integae, obtinem pentu dependenta de timp a vitezei instantanee umatoaea expesie: v v 0 + at. (4) Temenul at epezinta cu cat s-a modificat viteza in timpul t. Astfel viteza v la momentul t este egala cu viteza la momentul initial al miscaii v 0, plus modificae vitezei at. 10
In mod simila, integand ecuatia obtinem ds v si tinand cont ca v v + at, 0 1 s + s + v t at, (5) 0 0 unde s 0 epezinta spatiul la momentul initial, t 0. Eliminand timpul inte ecuatile vitezei (4) si a spatiului (5) se obtine ecuatia lui Galileu: v + a( s s ). (6) v 0 0 Ecuatiile (4), (5) si (6) poata denumiea de ecuatiile miscaii unifome vaiate. Obsevatie!!! In aplicaea ecuatiilo miscaii unifom vaiate tebuie sa se tina cont daca miscaea este acceleata sau deceleata (incetinita). In cazul miscaii acceleate acceleatia este pozitiva ( a > 0 ) ia in cazul miscaii incetinite acceleatia este negativa ( a < 0 ).Acest lucu poate fi facut in doua modui : (1) fie la scieea ecuatiilo (4-6) se pune in fata temenului cae contine acceleatia semnul ±, tinand in continuae cont ca pentu miscaea acceleata semnul este plus ia pentu cea incetinita minus. In acest caz valoaea numeica a acceleatiei este intotdeauna pozitiva, () fie se sciu ecuatiile cu semnul plus, ia atunci cand se inlocuieste acceleatia cu valoaea sa numeica se tine cont ca aceasta este pozitiva pentu miscaea acceleata si negativa pentu miscaea incetinita. In cazul miscaii unifom vaiate ecuatia de miscae (5) este o paabola in planul s t (Fig..7). Tangenta la paabola este chia viteza instantanee. Gafic ecuatia vitezei este ecuatia unei depte. Panta deptei este acceleatia, ia aia maginita de deapta este spatiul s pacus de mobil in intevalul de timp t. Atentie!!! Sa nu se confunde cuba atasata ecuatiei de miscae in planul s t cu taiectoia. Mentionam ca planul s t nu este un plan in spatiul eal, in timp ce taiectoia este o cuba in spatiul fizic xyz. 11
Figua.7. Repezentae in planul s t a ecuatia de miscae s(t) si ecuatia vitezei v( t ) pentu o miscae unifom vaiata..miscaea ciculaa In miscaea ciculaa taiectoia este un cec de aza R (Fig..8). In acest caz in oice punct de pe taiectoie aza de cubua este egala cu aza cecului. Viteza instantanee este tangenta la cec si este data de elatia: ( Rα ) ds d dα v R Rω, (7) unde dα ω (8) este viteza unghiulaa instantanee si epezinta unghiul descis de aza in ω. unitate de timp, [ ] SI ad / s Peioada, T, a miscaii ciculae este egala cu timpul in cae mobilul executa o otatie completa. Tinand cont de definitia vitezei unghiulae (8) si de 1
Figua.8. Acceleatia centipeta si tangentiala in miscaea ciculaa. faptul ca unghiul descis de aza cecului pentu o otatie completa este de π ad, obtinem pentu peioada umatoaea elatie: π T. (9) ω Fecventa,ν, miscaii ciculae epezina numaul de otati complete efectuate de mobil int-o peioada : 1 ω ν. (30) T π In SI peioada se masoaa in secunde ia fecventa in Hetzi, [ ] [ ν ] s 1 Hz. SI Acceleatia tangentiala, vitezei v si este data de elatia T SI s ia a t, este datoata vaiatiei in timp a modulului d dω a t v R Rε, (31) unde 13
dω d α ε. (3) este acceleatia unghiulaa in miscaea ciculaa, [ ω ] SI ad s. Confom elatiei (0), acceleatia nomala sau centipeta este v a n vω ω R. (33) R Este de notat ca acceleatia nomala este datoata modificaii in timp a diectiei vectoului viteza, v. Unitatea de masua in SI atat pentu a t, cat si pentu a n este m s. In cazul miscaii ciculae unifome modulul vitezei este constant in timp, pin umae si viteza unghilaa este constanta ωconstant. In v constant acest caz ε0, a t 0, da a n 0. In miscaea ciculaa unifom vaiata acceleatia unghilaa este constanta ε ct. La fel ca si in cazul miscaii ectilinii unifom vaiate pin integaea ecuatiei (3), se obtine ecuatia vitezei unghiulae si ecuatia de miscae sub umatoaea foma: ω ω 0 + εt (34) si 1 α + t α 0 + ω 0 t ε. (35) Ecuatiile (34) si (35) sunt similae cu ecuatiile (4-5) din cazul miscaii ectilinii unifom vaiate. Pentu a detemina vectoul viteza unghiulaa, ω, vom tine cont ca ds Rdθ ωr. (36) 14
Pentu unghiui mici, unde ds dl, elatia (36) devine dl ωr. (37) Figua.9. Vectoul viteza unghiulaa, ω. Asa cum se poate obseva din figua.9 coada si aza cecului sunt maimi vectoiale ( dl si R ), ia elatia dinte modulele acesto maimi si modulul vitezei unghiulae ω este data de expesia (37). In mod nomal se pune umatoaea intebae: cum se defineste vectoul ω a caui modul sa fie dat de elatia (37). Din figua.9 ezulta ca daca vectoul ω este definit ca fiind un vecto a caui diectie este pependiculaa pe planul cecului cu sensul dat de egula bughiului, atunci elatia (37) nu este altceva decat modulul podusului vectoial dl ω R. (38) Tinand cont de aceasta elatie, se obtine pentu vectoul viteza, v, si acceleatie, a, expesiile: dl v ω R (39) si 15
dv d a ( ω R) ε R + ω ( ω R), (40) dl dr unde am tinut cont ca. In cazul unei miscaii ciculae unifome ε 0, ia elatia (40) devine a ω ω. (41) ( R) 16