Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής
Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier X(Ω) ενός σήματος x(t) είναι μια μιγαδική συνάρτηση και μπορεί ν αναπαρασταθεί ως X ( Ω ) = R( Ω ) + ji( Ω ) (.4) όπου R(Ω) το πραγματικό και I(Ω) το φανταστικό μέρος της συνάρτησης. Θ αποδείξουμε ότι, εάν η x(t) είναι πραγματική συνάρτηση, τότε R I X ( Ω ) = R( Ω) ( Ω ) = I( Ω) ( Ω ) = X ( Ω) : δηλαδή άρτια συνάρτηση : δηλαδή περιττή συνάρτηση (.5) όπου * συμβολίζει τη συζυγή συνάρτηση
Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Γνωρίζουμε ότι jωt X x t e dt ( Ω ) = ()( cos sin ) = x t Ωt j Ωt dt Εφόσον η x(t) είναι πραγματική συνάρτηση, έπεται ότι ( Ω ) = cos( Ω ) R x t t dt ( Ω ) = sin ( Ω ) I x t t dt Απ όπου γίνονται προφανείς οι (.5). Μπορεί εύκολα ν αποδειχθεί ότι οι (.5) συνιστούν και αναγκαίες συνθήκες για να είναι το σήμα x(t) πραγματικό.
Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Στη συνέχεια θα χρησιμοποιήσουμε τις R(Ω) και Ι(Ω) για ν ανακτήσουμε το σήμα x(t). Έχουμε ότι: x() t = R( Ω ) + ji ( Ω) ( cos Ω t + jsin Ωt) dω π x () t = R cos t I sin t d j R sin t I cos t d π Ω Ω Ω Ω Ω + Ω Ω + Ω Ω Ω π Εφόσον η x(t) είναι πραγματική συνάρτηση, το δεύτερο ολοκλήρωμα μηδενίζεται. Αυτό επιβεβαιώνεται με τη βοήθεια των (.5). Στη συνέχεια υποθέτουμε ότι οι R(Ω) και Ι(Ω) δεν περιλαμβάνουν γενικευμένες συναρτήσεις στο Ω = 0. Από την τριγωνομετρία γνωρίζουμε ότι: R( Ω ) cos Ωt I ( Ω) sin Ω t = A( Ω) cos Ω t + ϕ ( Ω) (.6) ( Ω ) = ( Ω ) + ( Ω) I ( Ω ) ( Ω ) = tan R ( Ω ) A R I ϕ (.7)
Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier x t = π A Ω Ω t + Ω d Ω Άρα () cos ϕ ή, λόγω του ότι οι A( Ω), cos Ω+ t ϕ ( Ω) 0 0 είναι άρτιες συναρτήσεις του Ω, xt () = A cos t ϕ d A cos t ϕ d π Ω Ω + Ω Ω= Ω Ω + Ω Ω π Μ άλλα λόγια, ο μετασχηματισμός Fourier ενός πραγματικού σήματος ισοδυναμεί μ ένα ανάπτυγμα του σήματος σ ένα άπειρο (μη αριθμήσιμο) πλήθος ημιτονοειδών σημάτων. Κάθε μια από τις απλές αυτές συχνότητες υπεισέρχεται με πλάτος A ( Ω ) d Ω και φάση ϕ ( Ω ), όπου Ω η αντίστοιχη π (.8) (κυκλική) συχνότητα. Αυτός είναι και ο λόγος που η μεταβλητή Ω του μετασχηματισμού Fourier αναφέρεται και ως συχνότητα. Απόρροια αυτού είναι και το ότι ο μετασχηματισμός Fourier λέγεται και φάσμα συχνοτήτων, κατ αναλογία με την ανάλυση που υφίσταται το λευκό φως στις επιμέρους συχνότητες που το απαρτίζουν.
Μετασχηματισμοί Fourier Ημιτόνου και Συνημιτόνου Υποθέτουμε ότι το σήμα μας, x(t), είναι πραγματική συνάρτηση. Άρα x() t = R( Ω) cos( Ωt) I( Ω) sin ( Ωt) dω π (.9) Θα εξετάσουμε τρεις ειδικές περιπτώσεις: Α) x(t) : άρτια Από τον ορισμό των R(Ω) και Ι(Ω) στο προηγούμενο εδάφιο γίνεται αμέσως φανερό ότι I ( Ω ) = 0 διότι η συνάρτηση sin(ωt) είναι περιττή συνάρτηση x() t = R( Ω) cos( Ωt) dω π 0 ( Ω ) = cos( Ω ) R x t t dt 0 (.30) Με άλλα λόγια ο μετασχηματισμός Fourier μιας πραγματικής άρτιας συνάρτησης είναι πραγματική και άρτια συνάρτηση. Το αντίστροφο της πρότασης αυτής είναι επίσης αληθές.
Μετασχηματισμοί Fourier Ημιτόνου και Συνημιτόνου Β) x(t) : περιττή Τότε είναι R ( Ω ) = 0 διότι η συνάρτηση cos(ωt) είναι άρτια συνάρτηση ( Ω ) = ()sin( Ω ) I x t t dt x() t = I( Ω) sin ( Ωt) dω π (.3) Άρα ο μετασχηματισμός Fourier μιας πραγματικής περιττής συνάρτησης είναι φανταστική συνάρτηση με περιττή συμμετρία. Το αντίστροφο είναι επίσης αληθές. Γ) x(t) : αιτιατή, δηλαδή x(t) = 0, t < 0. Από την (.9) και τις ιδιότητες των R(Ω) και Ι(Ω) [βλ. (.5)] προκύπτει ότι για πραγματικές συναρτήσεις ισχύει x() t = R cos( t) I sin ( t) d π Ω Ω Ω Ω Ω (.9) x() t = R( Ω) cos( Ωt) I( Ω) sin ( Ωt) dω π (.3) 0
Μετασχηματισμοί Fourier Ημιτόνου και Συνημιτόνου x() t = R cos( t) I sin ( t) d R cos( t) d I sin ( t) d π Ω Ω Ω Ω Ω= Ω Ω Ω Ω Ω Ω π π 0 0 0 x(t) = 0 για t < 0, άρα Αντικαθιστώντας το t με -t, για t > 0, παίρνουμε R Ω cos Ωt dω= I Ω sin Ωt dω, t < 0 0 0 R Ω cos Ω( t) dω= I Ω sin Ω( t) dω R Ω cos Ωt dω= I Ω sin Ωt dω, t > 0 0 0 0 0 Από την παραπάνω σχέση και την (.3) έπεται ότι x() t = R( Ω) cos ( Ωt) dω, t < 0 π 0 x() t = I( Ω) sin ( Ωt) dω, t > 0 π 0 (.33)
Μετασχηματισμοί Fourier Ημιτόνου και Συνημιτόνου Προφανώς η x(0) δεν ορίζεται με τις παραπάνω σχέσεις, αλλά αυτό δεν είναι ιδιαίτερο πρόβλημα εάν η x(t) δεν περιλαμβάνει γενικευμένες συναρτήσεις στο t=0. Από την (.33) είναι εμφανές ότι οι R(Ω) και Ι(Ω) δεν μπορεί να είναι ανεξάρτητες. Πράγματι, όπως θ αποδείξουμε στη συνέχεια, ημία προκύπτει από την άλλη. Από τον ορισμό του μετασχηματισμού Fourier για αιτιατές συναρτήσεις έχουμε j t jωt X Ω = x t e dt = x t e dt Ω Έχουμε υποθέσει ότι η x(t) δεν περιλαμβάνει γενικευμένες συναρτήσεις στο t=0 και συνεπώς το κάτω όριο του ολοκληρώματος δεν μας δημιουργεί ανησυχίες. Συνδυασμός των (.33) και (.34) μας δίνει jωt X ( Ω ) = R( ϕ) cos( ϕt) e dϕ dt π 0 0 Με τη βοήθεια του τύπου του Euler παίρνουμε τότε: I ( Ω ) = R( ϕ ) cos( ϕt) sin ( Ωt) dϕdt π 0 0 Με ανάλογο τρόπο αποδεικνύεται ότι: ( Ω ) = sin cos( Ω ) 0 R I ϕ ϕt t dϕdt π 0 0 j t e Ω = cos( Ωt) jsin( Ωt) (.34) (.35) (.36) (.37)
Θεώρημα του Parseval Στο Εδάφιο..5 αποδείξαμε ότι x t x t X X π () () ( Ω) ( Ω) Από τους αντίστοιχους ορισμούς έπεται ότι jωt x() t x() t e dt = X( y) X ( Ω y) dy π (.38) Για Ω = 0 η παραπάνω σχέση γίνεται x() t x() t dt = X( y) X( y) dy π (.39) Εάν στη συνέχεια θέσουμε x t = x t x (t) συζυγής x (t),
Θεώρημα του Parseval Τότε ( Ω ) = () = () X x t e dt x t e dt jωt jωt ή jωt X ( Ω ) = x ( t) e dt = X ( Ω) (.40) Από τις (.39) και (.40) προκύπτει ότι x() t x () t dt = X X d π Ω Ω Ω x () t dt = X d π Ω Ω (.4) x () t = ( a+ jb) ( a jb) = a + b + jba jab = a + b = x () t
Θεώρημα του Parseval x () t dt = X d π Ω Ω Ησχέση(.4) είναι γνωστή ως θεώρημα του Parseval καιέχεισπουδαίαφυσική σημασία. Εάν υποθέσουμε ότι η x (t) παριστά την τάση στα άκρα μιας αντίστασης R=Ω, τότε η ενέργεια που παρέχεται στην αντίσταση δίνεται από το ολοκλήρωμα () = (.4) E x t dt Γενικεύοντας, καταλήγουμε στο ότι το αριστερό μέλος της (.4) είναι η ολική ενέργεια που παρέχεται από το σήμα. Το θεώρημα του Parseval μας λέει ότι η ενέργεια αυτή ισούται με / π επί το εμβαδόν που περικλείει η καμπύλη του τετραγώνου του μέτρου του μετασχηματισμού Fourier του σήματος. Η ερμηνεία επομένως που μπορεί να δοθεί στη ΙX (Ω)Ι είναι ότι εκφράζει την κατανομή της ενέργειας ανά μονάδα συχνότητας. Η στοιχειώδης δηλαδή ενέργεια, de, που συνεισφέρεται από συχνότητες μεταξύ f και f+df Ω Ω+ dω ισούται με, π π ή de = X Ω df de df = X Ω (.43)
Απόκριση Συχνοτήτων Συστήματος Στο Κεφάλαιο είδαμε ότι ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο (ΓΧΑ) σύστημα περιγράφεται πλήρως από την κρουστική του απόκριση, h(t). Τα σήματα εισόδου x(t) και εξόδου y(t), σχετίζονται μέσω της συνέλιξης y( t) = h( t) x( t) (.5) Σύμφωνα με το θεώρημα συνέλιξης για το μετασχηματισμό Fourier έπεται ότι Y( Ω ) = H( Ω) X ( Ω) H Ω = Y X ( Ω) ( Ω) (.53)
Απόκριση Συχνοτήτων Συστήματος Ο μετασχηματισμός Fourier H(Ω) της κρουστικής απόκρισης h(t) δίνεται ως το πηλίκο των μετασχηματισμών Fourier εισόδου - εξόδου. Η συνάρτησηη(ω) καλείται συνάρτηση μεταφοράς ή απόκριση συχνοτήτων του συστήματος. Είναι προφανές ότι γνώση της Η(Ω) παρέχει, μέσω του αντιστρόφου μετασχηματισμού Fourier, την h(t). Ο υπολογισμός όμως της Η(Ω) μέσω της (.53) είναι σαφώς ευκολότερος απ ότι ο απευθείας υπολογισμός της h(t) από την ολοκληρωτική εξίσωση (.5). Αυτό είναι ένα παράδειγμα της δύναμης του μετασχηματισμού Fourier και ως μαθηματικού εργαλείου για τη μελέτη γραμμικών συστημάτων.
Περιγραφή ΓΧΑ Συστημάτων με Διαφορικές Εξισώσεις και ο Μετασχηματισμός Fourier Ως σύστημα έχουμε ορίσει τη διαδικασία που μετατρέπει μια φυσική ποσότητα, που περιγράφεται από το σήμα εισόδου x(t), σε μια άλλη, που περιγράφεται από το σήμα εξόδου y(t). Η διαδικασία αυτή του μετασχηματισμού φυσικών σημάτων εκφράζεται με τη βοήθεια μιας διαφορικής εξίσωσης που συσχετίζει τα σήματα εισόδουεξόδου. Όταν το σύστημα είναι γραμμικό χρονικά αμετάβλητο, η αντίστοιχη διαφορική εξίσωση είναι γραμμική με σταθερούς συντελεστές, της μορφής: N k M l d y t d x( t) ak = β (.54) k l l k= 0 dt l= 0 dt
Περιγραφή ΓΧΑ Συστημάτων με Διαφορικές Εξισώσεις και ο Μετασχηματισμός Fourier Στη συνέχεια θα διατυπώσουμε τη μεθοδολογία επίλυσης της (.54) με τη χρήση του μετασχηματισμού Fourier και της συνάρτησης Η(Ω) του αντίστοιχου σήματος. Από την ιδιότητα n d x( t) n dt ( jω) n X ( Ω) προκύπτει ότι: N k d y t N k a ak jω Y Ω k k k= 0 dt k= 0 M β l dxt l l l= 0 dt l= 0 M l βl jω X Ω (.55) (.56)
Περιγραφή ΓΧΑ Συστημάτων με Διαφορικές Εξισώσεις και ο Μετασχηματισμός Fourier Ο ορισμός των εξισώσεων (.55), (.56) μας δίνει: H M Y ( Ω) l= 0 l N X Ω a ( jω) Ω = = k = 0 β k jω l k (.57) Ηεξίσωση(.57) μας παρέχει την Η(Ω), που με τη σειρά της μας δίνει την h(t). H λύση επομένως της διαφορικής εξίσωσης (.54) γράφεται: M l d x( t) N k d y t ak = k βl l k= 0 dt l= 0 dt (.54) y( t) = h( t) x( t) (.58)
Περιγραφή ΓΧΑ Συστημάτων με Διαφορικές Εξισώσεις και ο MF Παράδειγμα : Να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος του εν σειρά RLC κυκλώματος, όπου u(t) η εφαρμοζόμενη τάση (είσοδος) και i(t) η έντασηρεύματος που ζητείται (έξοδος). Λύση : ΑπότονόμοτουKirchoff έπεται ότι di t t Ri () t + L + i () t dt υ () t dt C = Έπειτα από παραγώγιση παίρνουμε dit dit () dυ ( t) L + R + i () t = (.59) dt dt C dt dit dit dυ ( t) F L + R + i() t = F I( Ω) LΩ + jrω+ / C = ( jω) V( Ω) (.59α) dt dt C dt Από την (.59α) προκύπτει ότι I ( Ω) jω H ( Ω ) = = V ( Ω) LΩ + jrω+ C ή H ( Ω ) = n d x( t) (.60) n ( jω) X ( Ω) R+ jω L+ n dt j Ω C
Πίνακας Ιδιοτήτων Μετασχηματισμού Fourier t x() t = X ( ω) e dω π ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑ ( I) ax( t) ax ( ω) ( ΙΙ ) x( t) + y( t) X ( ω) + Y( ω) () t ( ω) X = x t e dt ( ν ) ν () (III) ΧΡΟΝΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ x t Χ ω, x t Χ ω t0 (iv) ΧΡΟΝΙΚΗ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ x( t t ) e X ( ω) 0t (v) ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ e x( t) X ( ω ω ) 0 0 (vi) ΑΛΛΑΓΗ ΚΛΙΜΑΚΑΣ x ( λt) ω Χ λ λ
Πίνακας Ιδιοτήτων Μετασχηματισμού Fourier (συνέχεια) t ( ω), X = x t e dt (vii) ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΤΟΥ ΣΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙ t : tx( t) jx ( ω) n n ( n) txt () jx ( ω) (viii) ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ X ( t) π x( ω ) (ix) ΣΥΝΕΛΙΞΗ x( t) y( t) X ( ω) Y( ω) π (x) ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ x () t y () t X ( ω) Y ( ω) t (xi) ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ x( τ ) dτ X ( ω) + πx ( 0) δ ( ω) t x() t = X ( ω) e dω π
Πίνακας Μετασχηματισμού Fourier Χρήσιμα ζεύγη μετασχηματισμών Fourier Σήμα x(t) MF Χ(Ω) Σήμα x(t) MF Χ(Ω) Ae at δ () t πδ ( Ω) jω u() t + πδ ( Ω) ( a > 0) t t 0 Aa a + ω e Ω δ j t0 j 0t e Ω πδ ( Ω Ω 0 ) Ae sin T, t < T 0, t > sin Ω0t πt at π δ j Ω 0t ( Ω Ω 0) δ ( Ω+Ω 0) ( a > 0) () at e u t, Re a > 0 () at te u t, Re a > 0 ΩT sin T ΩT, 0, Ω<Ω Ω >Ω Aa a + ω jω + a 0 0 ( jω+ a) cos Ω 0t π δ ( Ω Ω 0) + δ ( Ω+Ω0) t n at e u() t, Re( a) > 0 ( n! ) ( jω+ a) n A -b 0 b t b Absinc ω π A -b 0 b t Absinc ωb π
Μετασχηματισμός Fourier Άσκηση Να υπολογιστεί η απόκριση συχνότητας και η κρουστική απόκριση του ΓΧΑ που περιγράφεται από την εξίσωση: dy ( t) + y() t = 3x() t dt Λύση dy () t dy ( t) () 3 () () 3 ω ω ω 3 ω { } { } { ()} F + y t = F x t F + F y t = F x t j Y + Y = X dt dt 3 Y 3 3 Y ( + ) Y( ω) = 3 X ( ω) Y( ω) = X ( ω) = H( ω) =, H( ω) = + X ω + + X ω Ο αντίστροφος μετασχηματισμός της H ( ω) ( ω) = 3 + είναι t () = 3 () ht e ut Η(ω) είναι η απόκριση συχνότητας, επομένως η h(t) θα είναι η κρουστική απόκριση του συστήματος. Εάν μας δοθεί το σήμα εισόδου x(t) τότε μπορούμε να υπολογίσουμε το σήμα εξόδου y(t). ( ω)
Μετασχηματισμός Fourier Άσκηση Να υπολογιστεί η απόκριση συχνότητας και η κρουστική απόκριση του ΓΧΑ που περιγράφεται από την εξίσωση: dy ( t ) + 4 dy t + 3y () t = dx t + x() t dt dt dt Λύση () () () dy t dy t dx t F + 4 + 3y () t = F + x() t dt dt dt dy t dy t dx t F F 4 F + + { 3y() t } = F + F{ x() t } dt dt dt () Y( ω) 4Y( ω) 3Y( ω) X ( ω) X ( ω) + + = + 4 3 Y( ω) ( ) X ( ω) + + = + Y ω + + = H ( ω) = ω ω + 4 ω + 3 ω + 4 ω + 3 X j j j j Οι ρίζες του παρονομαστή είναι = - και = -3.
Μετασχηματισμός Fourier H ( ω ) A A = + + + 3 A = ( + ) H ( ω ) = + + ( + ) ( + 3 ) = + = = + 3 = A = ( + 3) H ( ω ) = + 3 + + = = + + + = 3 ( ) ( 3) = 3 Άρα H ( ω ) = + + + 3 Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier της Η(ω) είναι: h t e u t e u t () t 3 t = () + () Η(ω) είναι η απόκριση συχνότητας, επομένως η h(t) θα είναι η κρουστική απόκριση του συστήματος. Εάν μας δοθεί το σήμα εισόδου x(t) τότε μπορούμε να υπολογίσουμε το σήμα εξόδου y(t).
Μετασχηματισμός Fourier Άσκηση 3 Να βρεθεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier του παρακάτω σήματος: X ( ω ) Λύση Βρίσκουμε τις ρίζες του παρονομαστή: ω ω X ( ω ) + + = = ω + 5 + 6 + 5 + 6 5± 5 4 6, j + 5 j + 6 = s + 5s + 6 s = s =, s = 3 + A A = = + + + 3 + + 3 A ( ) = + + ( + ) ( + 3 ) = + = = + 3 = A ( 3 ) = + + + = = + + + j ω = 3 = 3 Άρα X ( ω ) = + = + F + + 3 3+ u() t a + X x t e u t e u t ( ) ( 3) e at Άρα F () t () 3 t ω = + ()
Μετασχηματισμός Fourier Άσκηση 4: Να βρεθεί ο Μετασχηματισμός Fourier του παρακάτω σήματος, t < T = 0, αλλιώς () x t Λύση: Επειδή x(t)=0 για t >T και t < -T τα όρια του ολοκληρώματος γίνονται: j X ( ω) e dt e dt e d( t) e ω Τ Τ Τ Τ t t t t = = = = Τ Τ Τ Τ j Τ Τ j X ( ω) = ( e e ) = cos( ω ) jsin( ω ) cos( ω ) jsin( ω ) ω ω Τ Τ Τ Τ j sin( ωτ ) X ( ω) = jsin( ωτ ) = ω ω