ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ - ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 7-5-7 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ FOURIER ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΣΕΙΡΑΣ FOURIER Ανάπυξη σειράς Dirac σε σειρά Fourier (Εκθεική Fourier): s () = δ ( k) k = c s e d e inω inω () n = = = ιόι f () δ ( ) d = f( ) s () = e n= ω in S() - - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ΣΕΙΡΑΣ FOURIER Ανάπυξη σειράς παλµών σε σειρά Fourier (εκθεική)
P () =, P () =, > Τ Τ s () = p( k) k = jn jn in ω ω ω inω inω e e e nω () [ ] [ ] sin( ) ω ω ω cn = s e d = e d = = = jn jn n c n sin( nω ) = = nω nω sin c( ) Αφού ισχύουν: sin x sin cx ( ) = x n ω n = π = nπ( ) c Εποµένως: n = ( )sin c( nπ ( )) Τ Και ο ανάπυγµα Fourier ης παλµοσειράς είναι: nπ s = c e () sin [ ] in ω n=
ΣΕΙΡΑ FOURIER ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΩΝ nπ s() = + sin c( )cosnω n= DC ορος(σαθερός) n-σή αρµονική Ισχύς ου σήµαος ης παλµοσειράς s(): E P s () d d = = = = Ισχυς ου DC όρου: P = c = ( ) nπ a Ισχύς ης n-σής αρµονικής: Pn = cn + cn = cn = ( ) sin c ( ) = (RMS ιµή ηµιονοειδούς σήµαος = a n ) ΠΟΣΟΣΤΟ ΙΣΧΥΟΣ ΤΗΣ Ν-ΟΣΤΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ: 3
p n p nπ = = i c P n % ( )sin ( ) Π.χ. γιά duy cycle = %= /=/5 έχουµε p = ( ) = % Τ nπ nπ pn = i c = c 5 π p = 4sin c ( ) = 35% 5 π p = 4sin c ( ) = 3% 5 3π p3 = 4sin c ( ) = % 5 ( )sin ( ) 4sin ( ) Για η n= 5k p5k =, k =,,3,... H 5, η, κλ αρµονικές είναι µηδενικές p + p + p + p = 88% ης ισχύος σους 4 πρώους όρους=dc όρος + 3 αρµονικές 3 Για Duy cycle=5%, = έχουµε: p = = 5% nπ pn = sin c ( ) π p = sin c ( ) = 4,5% π p = sin c ( ) = 3π p3 = sin c ( ) = 4,5% p + p + p + p = 95% ης ισχύος σους 4 πρώους όρους 3 Οι p k =, άριες αρµονικές είναι µηδενικές. 4
ΕΠΟΜΕΝΩΣ: Πλουσιόερο φάσµα για µικρό duy cycle. sin c s () = A+ Acos( nω + θ ) n n= A = = =. 5 n A n.37.3. 5
nπ An = sin c( ), n=,,3,... π A = sin c( ) =.37 5 5 π A = sin c( ) =.3 5 5 3π A3 = sin c( ) =. 5 5 4π A = sin c( ) =.9 5 5 A = 5 Παράδειγµα M/ FOURIER a f() = e u(), a> ( a+ jω ) a jω ( a+ jω) ( a+ jω) e ( ω) F( ω) = e u( ) e d = e d = e d = [ ] = a+ j a+ jω a jω a ω F( ω) = = = j =R ( ω) + ji( ω) a+ jω ω + a ω + a ω + a F( ω) = A( ω) e jφω ( ) Α ( ω) =, Φ ( ω) =an ω + a ω a 6
e a u() u () Να υπολογισεί ο µεασχηµαισµός FOURIER ης συνάρησης δ-dirac: F e d e e jω jω jω { δ( )} = δ( ) = = = = Αφού ισχύει οι f () δ () d = f() (ιδιόηα δειγµαοληψίας), εποµένως F{ δ ( )} =. δ () F 7
Να υπολογισεί ο F.. ης συνάρησης εραγωνικού παλµού: Λύση, < < P () =, Αλλού / / jω jω jω sin( ω ) iω jω e e e ( ) ( ) [ ] sin( ) P ω = P e d = e d = = = ω = = sin c( ω ) jω jω ω ω sin x sin cx ( ) = x ίπλευρος εκθεικός παλµός a e, x () = a e, < ( ajω) ( ajω) a jω a jω e e X( ω) = e e d+ e e d = [ ] + [ ] = + = ( a jω) ( a jω) ( a jω) ( a+ jω) ( a+ jω) + ( a jω) a = = a + ω a + ω 8
ΑΣΚΗΣΗ M/ FOURIER Να υπολογισεί η ενέργεια που βρίσκεαι σην ζώνη συχνοήων απο ω = εως ω = π ( rad) ου σήµαος f () = e u(). Επίσης ο ποσοσό % ης ενέργειας. Λύση F + jω ω + jφω ( ) ( ω) = = e, φω ( ) =an ( ω) e = [ e ] d = e d = [ ] = dω π π [an ω] ( ) π ω + π π = = = + = Αρα ισχύει η αυόηα ου Parseval π dω 6.8 ω 6.8 + π.495 = = = = = [an ] = (.55 +.55) =.495 π ω π π.5.99 99% LAPLACE RANSFORM ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ M/ LAPLACE + s s. L[ δ( )] = δ( ) e d = [ e ] = =. Προσοχή, σο = lim!!!!. + + ( s+ a) a a s ( s+ a) e + ( ) L[ e u( )] = e e d = e d = [ ] =, Για Re(s)>-α s+ a s+ a 3. L[ u( )] = [ ] a= =, Για R(s)> s+ a s jω s+ jω 4. L[ e u( )] = [ ] a= jω = =, s+ a s jω s + ω 9
jω 5. Le [ u ( )] L[cos ω u ( )] + jl[sin ω u ( )] εποµένως εξισώνονας s L[cos ωu( )] = s + ω πραγµαικά και φανασικά µέρη,προκύπει: ω L[sin ωu( )] = s + ω ΑΣΚΗΣΗ Να υπολογισεί ο µεασχηµαισµός Laplace ης συνέλιξης: y () e = u () e u () = x () x () Λύση x () = e u () X() s = s + Y() s = = s+ s+ ( s+ ) ΑΣΚΗΣΗ Να υπολογισούν οι µεασχηµαισµοί Laplace ων : e a cos ω u( ) a και e sin ωu( ) Λύση a Χρησιµοποιώνας ην ιδιόηα e x() X( s+ a) έχουµε a L[ e cos ω u( )] = a L[ e sin ω u( )] = s+ a ( s+ a) + ω ω ( s+ a) + ω ΑΣΚΗΣΗ ίνεαι οι L[ u( )] =, να υπολογισθούν οι Laplace ων ( ) u( ) και s ( a b) u( ). Λύση
a b L[( a b) u( )] = al[ u( )] b[ u( )] = s s Για α=β= έχουµε L[(-)u()]= s s ΑΣΚΗΣΗ Χρησιµοποιώνας ο θεώρηµα ης συνέλιξης να υπολογισεί ο L ης + x() = u( ) d Λύση x () = u () = 3 s s s INVERSE LAPLACE RANSFORM. ΑΣΚΗΣΗ (Με απλούς πραγµαικούς πόλους). Να βρεθεί ο ανίσροφος µεασχηµαισµός Laplace ης ρηής συνάρησης : ( ) = 3s + 5 s + 3s+ αναπύσσονας ο κλάσµα σε µερικά κλάσµαα. ΛΥΣΗ Απλοί πόλοι s = - και s = -. Εποµένως γράφουµε : ( ) = 3s + 5 ( s + )( s + ) Θέουµε : 3s + 5 A B + s s + s + s + s + ( )( )
Πολλαπλασιάζουµε µε ( s )( s ) έχουµε + + α δύο µέλη ης παραπάνω αυόηας και ( ) ( ) 3s + 5 A s + + B s +, s Η παραπάνω αυόηα ισχύει για όλες ις ιµές ης µεαβληής s. Εχούµε λοιπόν ην δυναόηα να επιλέξουµε κάποιες ιµές ου s που απλοποιούν ην παραπάνω παράσαση ώσε να επιλύσουµε για ις σαθερές Α και Β. Έσι, για s = - έχουµε 3+ 5 = A A= Και για s = - έχουµε 6+ 5 = B B= Εποµένως η F( s ) γράφεαι σε µερικά κλάσµαα ως : ( ) = + s+ s+ Τώρα ο ανίσροφος µεασχηµαισµός Laplace αναγνωρίζεαι εύκολα όι είναι ο άθροισµα δύο αποσβενύµενων εκθεικών συναρήσεων : () f = e + e, >. ΑΣΚΗΣΗ (Με διπλό πραγµαικό πόλο). Να βρεθεί ο ανίσροφος µεασχηµαισµός Laplace ης ρηής συνάρησης : ( ) = s s + 3 + s+ αναπύσσονας ο κλάσµα σε µερικά κλάσµαα. ΛΥΣΗ ιπλός πόλος s = -. Εποµένως γράφουµε :
( ) = s + 3 ( s + ) Σην περίπωση αυή θέουµε : s+ 3 A B + s ( s+ ) s + ( s+ ) Πολλαπλασιάζουµε µε ( s + ) α δύο µέλη ης παραπάνω αυόηας και έχουµε ( ) s + 3 A s + + B, s Η παραπάνω αυόηα ισχύει για όλες ις ιµές ης µεαβληής s. Εχούµε λοιπόν ην δυναόηα να επιλέξουµε κάποιες ιµές ου s που απλοποιούν ην παραπάνω παράσαση ώσε να επιλύσουµε για ις σαθερές Α και Β. Έσι, για s = - έχουµε + 3 = B B= Και για s = έχουµε 3 = A+ A= Εποµένως η F ( s ) γράφεαι σε µερικά κλάσµαα ως : ( ) = + s + + ( s ) Τώρα ο ανίσροφος µεασχηµαισµός Laplace αναγνωρίζεαι εύκολα όι είναι : f () = e + e, > 3. ΑΣΚΗΣΗ (Με έναν διπλό και έναν απλό πραγµαικό πόλο). Να βρεθεί ο ανίσροφος µεασχηµαισµός Laplace ης ρηής συνάρησης : 3
( ) = s + 5 ( s + ) ( s + 3) αναπύσσονας ο κλάσµα σε µερικά κλάσµαα. ΛΥΣΗ Ένας διπλός πόλος s = - και ένας απλός πόλος s = -3. Σην περίπωση αυή θέουµε : s + 5 A B C + + s ( s + ) ( s+ 3) s + 3 s+ ( s+ ) Πολλαπλασιάζουµε µε ( s ) ( s 3) έχουµε + + α δύο µέλη ης παραπάνω αυόηας και ( ) ( )( ) ( ) s + 5 A s+ + B s+ s+ 3 + C s+ 3, s Η παραπάνω αυόηα ισχύει για όλες ις ιµές ης µεαβληής s. Εχούµε λοιπόν ην δυναόηα να επιλέξουµε κάποιες ιµές ου s που απλοποιούν ην παραπάνω παράσαση ώσε να επιλύσουµε για ις σαθερές Α, Β και C. Έσι, για s = - έχουµε C( ) + 5 = + 3 C = 3 Για s = -3 έχουµε 3+ 5 = A A= Και έλος για s = έχουµε 5 = 4A + 6B + 3C B= Εποµένως η F( s ) γράφεαι σε µερικά κλάσµαα ως : ( ) 3 = + + s + 3 s+ s + ( ) Τώρα ο ανίσροφος µεασχηµαισµός Laplace αναγνωρίζεαι εύκολα όι είναι : 3 () f = e e + 3 e, > +++ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ FOURIER-LAPLACE ----- ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ!!! 4