ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 00) Η Εργασία χωρίζεται σε µέρη: Το πρώτο Ασκήσεις - περιλαµβάνει µια επανάληψη βασικών γνώσεων του Λυκείου και το δεύτερο Ασκ 5 0 αναφέρεται στα Κεφάλαια και του συγγράµµατος «Γραµµική Άλγεβρα» Η τελική ηµεροµηνία αποστολής της Εργασίας είναι η 6 Νοεµβρίου 00 Άσκηση (6 µονάδες) Να απλοποιήσετε τα κλάσµατα: y y a + ab b ( a b ) ( y ) (i) (ii) και (iii) y + y+ a b ( a + b )( y+ y ) Εξηγείστε υπό ποίες συνθήκες είναι δυνατή η απλοποίηση αυτή Λύση: (i) Έχουµε: y y + y y y ( + y) y( + y) ( + y)( y) Ένας άλλος τρόπος να παραγοντοποιηθεί το τριώνυµο y y το οποίο είναι δευτέρου βαθµού ως προς είναι να βρούµε πρώτα τις ρίζες: y+ 5y y y± y + y y± 5y ή y 5y y και στη συνέχεια να το γράψουµε στη µορφή: y y y ( + y) ( y)( + y) Παρόµοια y + y+ y + y+ y+ y( y+ ) + ( y+ ) ( + y)( y+ ) Εποµένως (ii) yy y + y+ ( + y) ( y) y ( + y) ( + y) + y ( a+ ( a ( a ( a+ a + ab b a + abab b a( a+ b( a+ a b ( a ( a+ ( a ( a+ a b a b ( a b ) ( y ) ( a ( a+ ( y)( + y+ y ) (iii) ( a + b )( + y+ y ) ( a+ ( a ab+ b )( y+ y )
( ) ( )( )( ( a ab+ b )( y+ y ) a b a+ b y + y+ y ) Άσκηση (9 µον) Να ευρεθούν όλα τα που ικανοποιούν τις εξισώσεις: (i) + 8 6 0 ( είξτε πρώτα ότι µία λύση είναι το - ) (ii) + + + 5 (Εξετάστε χωριστά τις περιπτώσεις < - και - ) (iii) + 6 Λύση: (i) Με βάση το σχήµα Horner 8 6 6 6 0 παίρνουµε το πηλίκο της διαίρεσης ( 8 6):( + + ) που είναι το Λύνουµε τη δευτεροβάθµια εξίσωση 0 και παίρνουµε τις ρίζες + + 8 + + + 8 + και (ii) (α τρόπος) Έστω < Τότε + < 0 και εποµένως + Στην περίπτωση αυτή έχουµε + + + 5 + + 5 + 0 µε ρίζες υποθέσαµε ότι 6 ± + + 5 ή 5 < Εποµένως Ο αριθµός δεν µπορεί να είναι ρίζα γιατί Έστω Τότε + 0 και εποµένως + + Στην περίπτωση αυτή έχουµε + + + 5 + + + 5 + 6 0 µε ρίζες ± + + 5 ή 5 Ο αριθµός δεν µπορεί να είναι ρίζα γιατί υποθέσαµε ότι Εποµένως Τελικά οι ρίζες της εξίσωσης 5 + + + είναι οι αριθµοί και
(β τρόπος) + + + 5 + + + + 6 + + 6 0 Θέτουµε t + και παίρνουµε τη δευτεροβάθµια εξίσωση t t 6 0 µε ρίζες t και t Επειδή + 0 η απορρίπτεται Άρα + ( + ή + ) ( ή ) + 0 και και 6 6 0 6 t (iii) Κατ αρχάς οι υπόρριζες ποσότητες θα πρέπει να είναι µη αρνητικές Έτσι Τώρα υψώνουµε και τα δύο µέλη της εξίσωσης + 6 στο τετράγωνο: ( ) ( ) ( ) + 6 + 6 + + 6 ( + )( 6) + + 6 και ξανά στο τετράγωνο ( ) 6 8 8 7 + που είναι µεγαλύτερος του 6 (σύµφωνα µε τον περιορισµό που βάλαµε) Επαλήθευση: 7+ 7 6 9 Άσκηση (0 µον) Να βρεθούν όλα τα για τα οποία συναληθεύουν (δηλαδή ισχύουν ταυτοχρόνως) οι ανισότητες: + a + 6 5 ( ( Στην περίπτωση (α) εξετάστε χωριστά τις περιπτώσεις < και ) Λύση: Έστω < Τότε < 0 και εποµένως + Η ανίσωση ( ) + γίνεται + + 0 ( ) 0 0 Επειδή υποθέσαµε ότι < παίρνουµε 0 < Έστω Τότε 0 και εποµένως Η ανίσωση + γίνεται + 5+ 0 Το τριώνυµο 5+ έχει ρίζες τους αριθµούς 5+ ± ± ή 5 5 5 6 5
Εποµένως Επειδή υποθέσαµε ότι παίρνουµε Συνδυάζοντας τις λύσεις την πρώτη ανίσωση 0 < και παίρνουµε τις λύσεις 0 για Εναλλακτικά θα µπορούσαµε να τη λύσουµε ως εξής: + + + 0 Θέτουµε t Εποµένως t t 0 Οι ρίζες του τριωνύµου t t είναι οι αριθµοί και Εποµένως t Επειδή 0 παίρνουµε 0 0 Από τη δεύτερη ανίσωση παίρνουµε 5 + 6 0 ( )( ) 0 ( ή ) Συνδυάζοντας τις λύσεις αυτές µε εκείνες της πρώτης ανίσωσης παίρνουµε: 0 ή Άσκηση ( 0 µον) Να βρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων 5+ (i) f( ) (ii) g ( ) + + ( Παρατηρείστε ότι µια συνάρτηση δεν ορίζεται όταν παίρνει άπειρες τιµές και όταν οι υπόριζες παραστάσεις που περιέχει είναι αρνητικές) Μπορείτε να απλοποιήσετε τους τύπους των ως άνω f ( ) g( ); 5+ Λύση: (i) Για να ορίζεται το κλάσµα θα πρέπει ο παρονοµαστής + + να µην είναι µηδέν Οι ρίζες του παρονοµαστή είναι οι αριθµοί και Άρα το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f είναι το σύνολο R { } ( ) ( ) ( + ) Ο τύπος της f απλοποιείται ως εξής: 5+ + ( ) ( ) ( ) ( ) f( ) + ( )( ) ( )( ) ( )( ) (ii) Για να ορίζεται το θα πρέπει 0 Στην περίπτωση αυτή η υπόρριζη ποσότητα + γίνεται µεγαλύτερη ή ίση του µηδενός ως τέλειο τετράγωνο: ( ) ( ) + + Άρα το πεδίο ορισµού της συνάρτησης g είναι το σύνολο [ 0 + ) Ο τύπος της απλοποιείται ως εξής: ( ) g ( ) +
Άσκηση 5 (5 µον) Να λυθούν µε γραµµοπράξεις τα συστήµατα: + + + + + (i) (ii) 7 + + + 5 5 5 + 5 + + + + (iii) + + (Υπόδειξη: Πολλαπλασιάζοντας πρώτα µε τον κατάλληλο αριθµό προσθέστε ή αφαιρέστε τις σειρές ανά δύο ώστε να απαλείφονται οι άγνωστοι κλιµακωτά και να καταλήγετε σε µια εξίσωση µε έναν άγνωστο αν γίνεται αυτό ιαβάστε καλά τις παραγρ και τα Παραδείγµατα 6 7 8 και 9 του βιβλίου) Λύση: (i) Παίρνουµε τον επαυξηµένο πίνακα 7 5 5 5 Προσπαθούµε µε γραµµοπράξεις να τον φέρουµε σε άνω τριγωνική µορφή Γ Γ + Γ Γ Γ Γ 5 0 5 Γ Γ + Γ Γ Γ + Γ Γ ΓΓ 7 5 0 0 8 5 5 0 0 8 0 5 Οι δύο πρώτες γραµµές δίνουν 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 + + + + 5 + 5 + + + 5 + + 5 + 5 + Οι λύσεις του συστήµατος είναι οι άπειρες τετράδες ( + 5 + ) όπου R (ii) Παίρνουµε τον επαυξηµένο πίνακα Γ Γ 5 5
Γ Γ + Γ Γ Γ + Γ 0 5 Γ Γ Γ 5 0 6 6 0 5 0 0 0 0 Η τελευταία γραµµή του πίνακα 0 5 δίνει την εξίσωση 0 0 0 0 0 + 0 + 0 + 0 η οποία είναι αδύνατη Άρα το σύστηµα δεν έχει λύσεις Γ ΓΓ (iii) Παίρνουµε τον επαυξηµένο πίνακα Γ Γ +Γ 0 7 8 8 Γ Γ +Γ 0 6 6 Γ Γ +Γ 0 0 Γ Γ Γ Γ + Γ 8 0 6 6 0 0 8 8 0 0 Γ Γ 0 0 0 Γ Γ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Γ Γ Γ Γ 0 0 0 Γ Γ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ο τελευταίος πίνακας µας δίνει 0 Άσκηση 6 (0 µον) Να επιλυθεί για τις διάφορες τιµές του a το σύστηµα: ( a+ ) + + + a + (a+ ) + ( a) + ( a+ ) Εξετάστε για ποια a το σύστηµα έχει µία µόνο λύση καµία λύση ή άπειρες λύσεις 6
a + Λύση: Παίρνουµε τον επαυξηµένο πίνακα a a+ ( a) a+ Έχουµε: a+ a+ 8 a Γ Γ a a+ ( a) a+ a+ 6 a a+ a a Γ ΓΓ Γ Γ Γ Γ ΓΓ Γ Γ aγ a a 6 a a+ 6 0 aa a a a Γ Γ a 0 ( a)( a ) a a + 0 a 0 a a Γ Γ + ( a)( a+ ) Γ 0 0 a a( a)( a ) a ( a)( a ) + + + 0 a a Γ Γ 0 a 0 0 ( a)( a+ ) ( a)(7a+ ) Αν a ± τότε η τελευταία εξίσωση θα µας δώσει (7a + ) (7a + ) και µε αντικατάσταση στη δεύτερη + a ( a + ) ( a + ) a(7a+ ) 7 + a απ όπου 7 Με αντικατάσταση στην πρώτη εξίσωση ( a+ ) ( a+ ) (7 ) (7 ) ( 7) παίρνουµε a + a a + a + + ( a+ ) ( a+ ) ( a+ ) Εναλλακτικά θα µπορούσαµε να χρησιµοποιήσουµε ορίζουσες: Η ορίζουσα του συστήµατος είναι: a + D a a + a a a a+ ( ) ( a+ ( a) a+ a+ a a+ a ( )( ) ( ) ( ) a+ ) D D D Αν λοιπόν a ± παίρνουµε µοναδική λύση: ( ) όπου D D D D a a + a a 8 0 8 ( )( 7) ( a) a+ a+ 7
a + D a + 0a ( a )(a + 7) και a+ a+ a + D a a a+ a 8 0 8 ( )(7 ) a+ ( a) ( a )(a+ 7) (a+ 7) Εποµένως ( a+ ) ( a ) ( a+ ) ( a)(7a+ ) (7a+ ) ( a+ ) ( a ) ( a+ ) a+ ( a )(a+ 7) a+ 7 ( a+ ) ( a ) ( a+ ) Αν a τότε παίρνουµε 0 Η τελευταία γραµµή µας δίνει την 0 0 0 0 εξίσωση + + Αντικαθιστώντας στην πρώτη εξίσωση ( + 9 + ) όπου παίρνουµε + + + 9 Οι λύσεις του συστήµατος είναι όλες οι τριάδες της µορφής R Αν a τότε παίρνουµε 0 Η τελευταία γραµµή µας δίνει 0 0 0 0 την εξίσωση 0+ 0 + 0 0 που είναι αδύνατη και εποµένως το σύστηµα δεν έχει στην περίπτωση αυτή λύσεις και 0 Άσκηση 7 (0 µον) (i) ίνεται ο πίνακας: A 0 0 n n είξτε ότι A + A A I για κάθε n 0 χρησιµοποιώντας την µέθοδο της Επαγωγής: είξτε πρώτα ότι ο τύπος ισχύει για n 0 Κατόπιν δεχθείτε ότι ισχύει για n k και δείξτε ότι ισχύει για n k+ 00 (ii) Υπολογίστε τον πίνακα A 00 00 00 00 000 (Υπόδειξη: A ( A A ) + ( A A ) + + ( A I) + I) 0 0 0 0 0 Λύση: (i) A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Εποµένως A I 0 0 0 0 8
0 0 0 0 0 0 0 Ακόµη A A A( A I) 0 0 0 A I 0 0 0 0 0 0 0 n n Υποθέτουµε ότι A A A I n+ n+ n+ n n n Τότε A A A( A A ) A( A I) A I Εποµένως A A A I για κάθε n 00 προσθεταίοι 00 00 00 00 000 (ii) A ( A A ) + ( A A ) + + ( A I) + I 00 ( A I) + I A I A I 0 0 0 0 0 0 0 00 0 00 0 0 00 00 + 0 0 0 0 0 0 0 Άσκηση 8 (0 µον) ίνονται οι πίνακες: A B C [ ] και D Να εξεταστεί αν ορίζονται και να υπολογιστούν (στην περίπτωση που ορίζονται) οι πίνακες: (i) AB (ii) B A (iii) CD και (iv) DC ( ιαβάστε καλά την παράγρ σελ του βιβλίου) Λύση: (i) Ο πίνακας B όπως και ο Β είναι Ο πίνακας Α είναι Άρα δεν ορίζεται το γινόµενο AB και εποµένως και το άθροισµα AB + B (ii) Ο πίνακας B είναι και ο πίνακας Α είναι Εποµένως ο πίνακας B A είναι Έχουµε B και άρα 8 9 5 BA 8 5 6 (iii) Ο πίνακας C είναι και ο πίνακας D είναι Άρα ο πίνακας CD είναι δηλαδή αριθµός Έχουµε CD [ ] [] (iv) Ο πίνακας D είναι και ο πίνακας είναι C Άρα ο πίνακας DC είναι Έχουµε DC [ ] 9
Άσκηση 9 (0 µον) είξτε ότι D ( ) 6 n n n+ όπου Dn είναι η ορίζουσα του n n πίνακα 9 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 µε n χρησιµοποιώντας την µέθοδο της Επαγωγής (Υπόδειξη: είξτε ότι ο τύπος D ( n+ ) 6 n επαληθεύεται για n και ότι n ικανοποιεί την σχέση Dn Dn 6D n Κατόπιν δεχθείτε ότι ισχύει αυτή η σχέση και δείξτε ότι Dn+ Dn 6Dn ) Λύση: Παρατηρούµε ότι αν n τότε αναπτύσσοντας ως προς την η γραµµή παίρνουµε: 9 0 0 0 9 0 0 9 0 0 9 0 0 9 0 0 9 0 0 0 0 Dn 0 0 9 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( n ) ( n) ( n ) ( n) ( n ) ( n) ( n ) ( n) Αν αναπτύξουµε τη δεύτερη ορίζουσα ως προς την η στήλη θα πάρουµε 9 0 0 9 0 0 0 9 0 9 0 0 0 0 0 Εποµένως 0 0 0 0 0 0 D n 9 0 0 0 9 0 0 9 0 0 9 0 0 9 0 9 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 D 6D n n Αποδεικνύουµε τη σχέση Dn ( n+ ) 6 n ( n ) ( n) ( n ) ( n) επαγωγικά: 0
Για n περίπτωση αυτή Για n παίρνουµε παίρνουµε 9 D 08 ( + ) 6 και η σχέση ισχύει στην 9 0 D 9 86 ( + ) 6 και η σχέση ισχύει στην 0 περίπτωση αυτή Υποθέτουµε ότι n και ( ) 6 n Dn n και D 6 n n n n n n n Τότε D D 6D n 6 6( n) 6 n 6 ( n) 6 ( n+ ) 6 n n n Άσκηση 0 (0 µον) Να λύσετε το σύστηµα AX b όπου A X και b 0 αφού βρείτε πρώτα τον αντίστροφο του πίνακα Α χρησιµοποιώντας την θεωρία της παραγρ σελ του βιβλίου Θεωρείτε αυτή τη διαδικασία επίλυσης περισσότερο ή λιγότερο επίπονη από πλευράς αριθµού πράξεων σε σύγκριση µε την επίλυση µέσω γραµµοπράξεων όπως στην Άσκηση 5; Λύση: Έχουµε: A ( ) n M M M M M M M M M Εποµένως adja A και Τώρα AX b X A b 0 δηλαδή και 0 0 -----------------------------------