ΣΩΣΤΑ ΛΑΘΟΣ. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z, z με Re (z + z ) = 0, ισχύει: Re (z ) + Re (z ) = 0. Ισχύει η ισοδυναμία : i κ = i λ κ = λ για κάθε κ., λ ακεραίους αριθμούς. 3. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ορίζεται z =. 4. Για κάθε z ισχύει z - z = Im z 5. Η διανυσματική ακτίνα της διαφοράς δύο μιγαδικών αριθμό είναι η διαφορά των διανυσματικών ακτίνων τους. 6. Υπάρχουν z, z C ώστε να ισχύει: z z = z + z. 7. Αν z ένας οποιοσδήποτε μιγαδικός αριθμός και z ο συζυγής του, τότε ισχύει η σχέση z = z = z 8. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει: z = z z 9. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει: z = z. 0. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει: z = z. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει: z = z. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει: i z = z 3. Για οποιουσδήποτε μιγαδικούς z, z ισχύει z z = z z 4. Όταν η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης αz + βz + γ = 0 με α, β, γâ και α 0 είναι αρνητική, τότε η εξίσωση δεν έχει ρίζες στο σύνολο À των μιγαδικών αριθμών. 5. Αν για μια συνάρτηση f ισχύει η ισοδυναμία α < β f(α) < f(β) τότε αυτή είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση. 6. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο o και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο o, τότε η σύνθεσή τους g f είναι συνεχής πάντοτε στο σημείο o. 7. Αν οι οποιεσδήποτε συναρτήσεις f g, g είναι γνησίως αύξουσες σ' ένα διάστημα A, τότε και η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο g(a). 8. Κάθε συνάρτηση που είναι στο πεδίο ορισμού της, είναι γνησίως μονότονη. 9. Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο o A, όταν f() f( o ) για κάθε A.
0. Μια συνάρτηση f: A Â λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε ισχύει η συνεπαγωγή: Αν, τότε f () f ( )., A. Κάθε συνάρτηση άρτια είναι και -.. Αν η f έχει αντίστροφη συνάρτηση f - και η γραφική παράσταση της f έχει κοινό σημείο Α με την ευθεία y =, τότε το σημείο Α ανήκει στη γραφική παράσταση της f -. 3. Αν μια συνάρτηση f: A Â είναι, τότε για την αντίστροφη συνάρτηση f ισχύει: f (f()) =, A και f(f (y)) = y, y f(a) 4. Για οποιοδήποτε ζεύγος συναρτήσεων f, g αν υπάρχει το υπάρχουν τα όρια f() και o o g() 5. Για κάθε συνάρτηση f ισχύει η ισοδυναμία 6. Για κάθε συνάρτηση f αν 7. Ισχύει ότι 0 o o (f() + g()), τότε κατ ανάγκη f() = f() = f() o o o f() > 0, τότε f() > 0 σε μια περιοχή κοντά στο o 8. Αν υπάρχει το όριο μιας οποιασδήποτε συνάρτησης f στο o και f() = 0 o 9. Αν f = + ή -, τότε = 0 f 0 0 30. Ισχύει ότι: 3. Αν o f() = 0, τότε f() = 0 και f() > 0 κοντά στο o, για κάθε συνάρτηση f, τότε o o f () 3. Αν α > και πραγματικός αριθμός τότε 0 33. Μια οποιαδήποτε συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της. 34. Αν η μια οποιαδήποτε συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α, β] με f(α) < 0 και υπάρχει ξ (α, β) τέτοιο ώστε f(ξ) = 0, τότε κατ ανάγκη είναι και f(β) > 0 35. Κάθε συνάρτηση f που είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δεν μηδενίζεται σε αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε Δ ή είναι αρνητική για κάθε Δ, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ
36. Κάθε συνάρτηση f που είναι ορισμένη στο [α, β] και συνεχής στο (α, β] παίρνει πάντοτε στο [α, β] μια μέγιστη τιμή. 37. Η εικόνα f(δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι πάντοτε διάστημα. 38. Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α, β), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι πάντοτε το διάστημα (Α, Β) όπου Α = f() και Β = f() 39. Για κάθε συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη στο o, τότε η f θα είναι συνεχής στο o. 40. Κάθε συνάρτηση f συνεχή σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. 4. Αν μια οποιαδήποτε συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο o του πεδίου ορισμού της τότε η f είναι παραγωγίσμη στο σημείο αυτό. 4. Ισχύει ότι (συν) = - ημ για κάθε πραγματικό αριθμό. 43. Αν για οποιεσδήποτε συναρτήσεις f, g παραγωγίσμες στο o, τότε και η συνάρτηση fg είναι παραγωγίσμη στο o και ισχύει: (fg) ( o ) = f ( o )g ( o ). 44. Για κάθε Â {/συν = 0} ισχύει: (εφ) =. 45. Ισχύει ο τύπος (3 ) = 3 για κάθε Â 46. Έστω μια τυχαία συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () > 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ. 47. Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τοπικά της μέγιστα. 48. Κάθε συνάρτηση f συνεχή σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ που είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό έχει παράγωγο που δεν είναι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του διαστήματος Δ. 49. Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ, τότε η παράγωγός της είναι υποχρεωτικά αρνητική στο εσωτερικό του Δ. 50. Αν για μια τυχαία συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, γνησίως μονότονη, και παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο o του Δ τότε πάντα είναι f ( o ) 0 5. Αν μια συνάρτηση f έχει δεύτερη παράγωγο στο o, τότε η f είναι πάντοτε συνεχής στο o
5. Κάθε συνάρτηση f που είναι ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσμη σε ένα εσωτερική σημείο o του Δ με f ( o ) = 0, παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο σημείο o. 53. Έστω μια τυχαία συνάρτηση f συνεχή σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. Αν αυτή η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, τότε πάντοτε είναι f () > 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. 54. Αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται πάντοτε «πάνω» από την γραφική της παράσταση. 55. Έστω μια τυχαία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Αν f () > 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι κυρτή στο Δ. 56. Σε κάθε συνάρτηση f που είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο Â και στέφει τα κοίλα προς τα πάνω ισχύει f () > 0 για κάθε πραγματικό αριθμό. 57. Aν f, g συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα [α, β] τότε ισχύει πάντα η σχέση: f ()g() f ()g()d f ()g() d. 58. Για κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση σε ένα διάστημα [α, β] ισχύει: f ()d f () f () d 59. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α, β] και G μια παράγουσα της συνάρτησης στο ίδιο διάστημα, τότε ισχύει πάντα f ()d G( ) G( ) 60. Για κάθε συνεχή συνάρτηση f σε ένα διάστημα Δ και για α, β, γ Δ ισχύει η ισότητα: f ()d f ()d f () d 6. Για κάθε συνεχή συνάρτηση f σε ένα διάστημα Δ και για α, Δ ισχύει η ισότητα: f (t)dt = f() f(α) για κάθε Δ 6. Για κάθε συνεχή συνάρτηση f σε ένα διάστημα Δ και για α, Δ ισχύει η ισότητα: g() f (t)dt f (g()) g() με την προϋπόθεση ότι τα χρησιμοποιούμενα σύμβολα έχουν νόημα.
63. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α, β] και ισχύει f() < 0 για κάθε [α, β], τότε το εμβαδό του χωρίου Ω που ορίζεται από την γραφική παράσταση της f, τις ευθείες = α, = β και τον άξονα είναι Ε(Ω) = f ()d 64. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α, β] και ισχύει f() > 0 για κάθε [α, β], τότε f ()d > 0 65. Αν F() μια αρχική συνάρτηση στο διάστημα [α, β] της συνεχούς στο ίδιο διάστημα συνάρτησης f, και λ πραγματικός αριθμός τότε ισχύει πάντοτε η σχέση: G() G ()