Μεγιστοποίηση της Χρησιμότητας - Πρόβλημα Καταναλωτή: Επιλογή καταναλωτικού συνδυασμού x=(x, x ) υπό ένα σύνολο φυσικών, θεσμικών και οικονομικών περιορισμών κατά τρόπο ώστε να μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά του. (i) Φυσικοί περιορισμοί (παραδείγματα): i x 0, i=,... (μη αρνητικό επίπεδο κατανάλωσης για κάθε αγαθό) i Ώρες ανάπαυσης ημερησίως: l 4 (ii) Θεσμικοί περιορισμοί (παραδείγματα): Ώρες εργασίας ημερησίως: L 8 Περιορισμοί στην κατανάλωση σπάνιων φυσικών πόρων (iii) Οικονομικοί περιορισμοί στις επιλογές του καταναλωτή Βασικές Υποθέσεις: () Πληρότητα (οικουμενικότητα) των αγορών: - Όλατααγαθάείναιεμπορεύματα, δηλαδή αποτελούν αντικείμενο συναλλαγής στην αγορά σε τιμές p=(p, p ).
(ii) O καταναλωτής είναι αποδέκτης τιμών (price-taker) -O καταναλωτής δεν μπορεί να επηρεάσει τις τιμές των αγαθών. => Οικονομικός Περιορισμός: Ο καταναλωτής που αντιμετωπίζει ένα διάνυσμα τιμών p=(p, p ) και έχει χρηματικό εισόδημα (πλούτο) M μπορεί να καταναλώσει μόνο εκείνους τους συνδυασμούς των οποίων το κόστος είναι μικρότερο από το εισόδημά του: px +... px M (Eισοδηματικός Περιορισμός) - Για =, ο εισοδηματικός περιορισμός γράφεται: p x + p x M - Το σύνολο BPM, = {( x, x) R + : px+ px M} είναι το σύνολο των εφικτών καταναλωτικών συνδυασμών. - Ηευθεία px+ px= M είναιηγραμμή του εισοδηματικού περιορισμού. - Η κλίση της γραμμής του εισοδηματικού περιορισμού είναι: (-p /p ) (δηλαδή ο λόγος ανταλλαγής μεταξύ των δύο αγαθών στην αγορά)
x M/p M/p px+ px= M p x + p x = M H μείωση της p σε p αυξάνει την κλίση της γραμμής του εισοδηματικού περιορισμού. Β P,M 0 M/p x Μαθηματική Διατύπωση Προβλήματος Καταναλωτή max ux (,..., x) { x,..., x } st.. px +... p x M x,..., x 0 Πρόβλημα Μεγιστοποίησης της Χρησιμότητας (UMP) 3
L= u( x,..., x ) + λ( M p x... p x ) FOCs : L u L = λ p 0, x = 0 x x x L u L = λ p 0, x = 0 x x x L L = M px... px 0, λ = 0 λ λ x 0, i =... i λ 0 - Αναζητούμε πρώτα την εσωτερική λύση των FOCs. Υπόθεση: x,..., 0. Τότε: x > 4
L U / x x > 0 = 0 λ = > 0 p x +... p x = M () i i xi pi - Άρα: Για να μεγιστοποιήσει τη χρησιμότητά του, ο καταναλωτής θα δαπανήσει ολόκληρο το εισόδημά του (εφόσον ισχύει η υπόθεση του μη κορεσμού των προτιμήσεών του: U / x i > 0). L U / x x > 0 = 0 λ = x p x x L > 0 = 0 λ = x U / x p L U / x > 0 = 0 λ = x p λ U / x U / x U / x... p p p = = = = 5
- Άρα: Στο σημείο μεγιστοποίησης της χρησιμότητας, θα πρέπει να ισχύει για δύο οποιαδήποτε αγαθά i, j : U / x U / x i j pi U / xi = = = p p p U / x i j j j MRS () - Στο σημείο μεγιστοποίησης της χρησιμότητας, ο ψυχικός λόγος ανταλλαγής (MRS) μεταξύ των αγαθών i, j πρέπει να είναι ίσος με τον αγοραίο λόγο ανταλλαγής (δηλαδή με το λόγο των τιμών p i /p j ). - Αν MRS P i /P j, o καταναλωτής μπορεί να αυξήσει τη χρησιμότητά του πραγματοποιώντας τις κατάλληλες ανταλλαγές στην αγορά (επομένως, η αρχική κατανομή δεν είναι άριστη / δε μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά του). 6
Διαγραμματική Ανάλυση Μεγιστοποίησης της Χρησιμότητας x M/p x* Α C D IC IC 3 0 x* M/p IC x -To σημείο Α είναι εφικτό αλλά δε μεγιστοποιεί τη χρησιμότητα. - Το σημείο D δεν είναι εφικτό. - Ο καταναλωτής μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά του επιλέγοντας το σημείο C. 7
-To σημείο μεγιστοποίησης της χρησιμότητας είναι το σημείο επαφής μεταξύ της γραμμής του εισοδηματικού περιορισμού και τηςκαμπύληςαδιαφορίαςic. Στο σημείο C, ισχύει: p dx Κλίση εισοδηματικού περιορισμού (= ) = κλίση IC = / u p dx p dx U / x p dx U x = / u σταθ. = MRS = / σταθ. - Γενικό Συμπέρασμα: Στοσημείομεγιστοποίησηςτης χρησιμότητας, ικανοποιούνται οι εξής δύο συνθήκες: () Ο καταναλωτής αγοράζει ποσότητες αγαθών τέτοιες ώστε να δαπανάται ολόκληρο το εισόδημά του (ο εισοδηματικός περιορισμός ισχύει με ισότητα). () ΜRS = p /p (o ψυχικός λόγος ανταλλαγής ισούται με τον αγοραίο λόγο ανταλλαγής μεταξύ των αγαθών). 8
Ερμηνεία Πολλαπλασιαστή Lagrage - Από τις FOCs, έχουμε: U / x οριακό όφελος x U / x U / x λ = = = =... = p οριακό κόστος x p p - Στο σημείο μεγιστοποίησης της χρησιμότητας, ο λόγος οριακού οφέλους οριακού κόστους είναι ο ίδιος για όλα τα αγαθά. - Εναλλακτικά, είναι: U / x λ pi = i =,.... - Η τιμή που πρέπει να πληρώσει ο καταναλωτής για το αγαθό i είναι ανάλογη με την οριακή χρησιμότητα που αντλεί από αυτό το αγαθό (δηλαδή η τιμή p i αντανακλά την προθυμία του ατόμου να πληρώσει για το αγαθό i). 9
- Εξετάζουμε τώρα μια ενδεχόμενη γωνιακή λύση των FOCs. Υπόθεση: x i =0 για κάποιο αγαθό i. Τότε, πρέπει να ισχύει: L Ui U / x = λ p i 0 p i x x λ i i - Άρα: Αν η τιμή του αγαθού i υπερβαίνει την οριακή αξία αυτού του αγαθού για τον καταναλωτή (δηλαδή αν υπερβαίνει την προθυμία του καταναλωτή να πληρώσει για να αποκτήσει θετική ποσότητα του αγαθού i), τότε ο καταναλωτής δε θα αγοράσει καθόλου απόαυτότοαγαθό(x i =0). i x IC IC IC 3 Διαγραμματική Απεικόνιση Γωνιακής Λύσης 0 E Z x 0
- Ο καταναλωτής μεγιστοποιεί τη χρησιμότητά του στο σημείο Ζ (όπου ισχύει: MRS = p / p ). - Αλλά: Στο σημείο Ζ η ποσότητα του αγαθού είναι αρνητική, δηλαδή το σημείο Ζ δεν είναι εφικτό. => Ο καταναλωτής περιορίζεται να επιλέξει το σημείο Ε, όπου η ποσότητα του αγαθού είναι ακριβώς μηδέν (x =0). Συνθήκες ης τάξης (Ικανές Συνθήκες Μεγιστοποίησης) (Π) Αν η συνάρτηση χρησιμότητας είναι οιονεί κοίλη (δηλαδή αν οι καμπύλες αδιαφορίας είναι κυρτές π.χ. Διάγραμμα σελ.7), τότε κάθε λύση των FOCs αποτελεί ολικό μέγιστο. (Π) Αν η συνάρτηση χρησιμότητας δεν είναι οιονεί κοίλη (δηλαδή αν οι καμπύλες αδιαφορίας δεν είναι κυρτές), τότε μια λύση των FOCs δεν αποτελεί σίγουρα μέγιστο.
Μαρσαλιανές Συναρτήσεις Ζήτησης - Λύνουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης της χρησιμότητας (UMP) * * και βρίσκουμε τις άριστες ζητούμενες ποσότητες x,..., : x x = x ( p,..., p, M) * x = x ( p,..., p, M) * x = x ( p,..., p, M) * Μαρσαλιανές Συναρτήσεις Ζήτησης - Κάθε Μαρσαλιανή συνάρτηση ζήτησης xi( p,..., p, M) δείχνει τη ζητούμενη ποσότητα του αγαθού i ως συνάρτηση των τιμών p,..., και του εισοδήματος p M.
- Οι Μαρσαλιανές συναρτήσεις ζήτησης είναι ομογενείς μηδενικού βαθμού ως προς όλες τις τιμές και το εισόδημα: x ( tp,..., tp, tm ) = x ( p,..., p, M ), t > 0 i i - Εξήγηση: Ο εισοδηματικός περιορισμός δεν επηρεάζεται από μια αναλογική αύξηση όλων των τιμών και του εισοδήματος. * * => Ο καταναλωτής επιλέγει τον ίδιο συνδυασμό x* = ( x,,..., x ) δηλαδή οι ζητούμενες ποσότητες παραμένουν αμετάβλητες. Παράδειγμα - Έστω η συνάρτηση χρησιμότητας Cobb-Douglas: ux (, x) xx α β =, αβ, > 0, α+ β= - Το πρόβλημα μεγιστοποίησης της χρησιμότητας γράφεται ως εξής: max ux (, x) = { x, x } xx α β st.. px + px M x, x 0 3
- Η λύση του προβλήματος είναι: x( p, p, M) = αm / P x ( p, p, M) = β M / P Μαρσαλιανές Συναρτήσεις Ζήτησης (ομογενείς μηδενικού βαθμού) - Η τιμή του πολλαπλασιαστή είναι: α α β λ = P P β - Το ποσοστό του εισοδήματος που δαπανάται για την αγορά του αγαθού είναι: px s = M = α - Το ποσοστό του εισοδήματος που δαπανάται για την αγορά του αγαθού είναι: px s = =β M 4
- ΗσυνάρτησηCobb-Douglas προβλέπει (σε αντίθεση με την παρατηρούμενη πραγματική συμπεριφορά) ότι ο καταναλωτής δαπανά σταθερό ποσοστό του εισοδήματός του για την αγορά κάθε αγαθού. Έμμεση Συνάρτηση Χρησιμότητας - Αν αντικαταστήσουμε τις άριστες τιμές (Μαρσαλιανές συναρτήσεις * * ζήτησης) x,... x στη συνάρτηση χρησιμότητας, παίρνουμε την έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας: u( x,... x ) = u[ x ( p,..., p, M),..., x ( p,..., p, M)] = V( p,..., p, M) * * - Η έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας δείχνει το μέγιστο επίπεδο χρησιμότητας που μπορεί να επιτευχθεί ως συνάρτηση των τιμών και του εισοδήματος. 5
Ιδιότητες Έμμεσης Συνάρτησης Χρησιμότητας () Η έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας V(p, M) είναι φθίνουσα ως προς τις τιμές όλων των αγαθών: V( p, M) / p 0, i =,...,. i () Η έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας V(p, M) είναι αύξουσα ως προς το εισόδημα: V( p, M)/ M 0 (3) Η έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας V(p, M) είναι ομογενής μηδενικούβαθμούωςπροςόλεςτιςτιμέςκαιτοεισόδημα: Vtp (,..., tp, tm) = V( p,..., p, M), t> 0 - Εξήγηση: Αν αυξηθούν αναλογικά οι τιμές και το εισόδημα, οι * * άριστες ζητούμενες ποσότητες x,... x παραμένουν αμετάβλητες => Η έμμεση χρησιμότητα παραμένει επίσης αμετάβλητη. 6
Παράδειγμα (συνέχεια) - Έστω η συνάρτηση χρησιμότητας Cobb-Douglas: ux (, x) = xx, αβ, > 0, α+ β= α β - Οι Μαρσαλιανές συναρτήσεις ζήτησης είναι: x( p, p, M) = αm / P x ( p, p, M) = β M / P - Η έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας είναι: α β α β am βm a β V( p, p, M) = = M p p p p - Είναι φανερό ότι: V( p, M)/ p < 0, i =, V( p, M)/ M > 0 i Vtp (, tp, tm) = V( p, p, M), t> 0 7
- Εναλλακτική Ερμηνεία Πολλαπλασιαστή Lagrage V( p, M) a β = = λ M p p α β Άρα: Ο πολλαπλασιαστής Lagrage δείχνει την οριακή χρησιμότητα μιας επιπλέον μονάδας εισοδήματος. Ο πολλαπλασιαστής Lagrage δείχνει την οριακή αύξηση της τιμής της συνάρτησης χρησιμότητας λόγω χαλάρωσης του εισοδηματικού περιορισμού (δηλαδή λόγω αύξησης του εισοδήματος). Γιατολόγοαυτό, ο πολλαπλασιαστής Lagrage αναφέρεται συχνά ως η σκιώδης τιμή (shadow price) του εισοδηματικού περιορισμού. -Αριθμητικό Παράδειγμα: Αν α=β=/, p =, p =4, M=8 => x =4, x =, V= 8
Κανονικά και Κατώτερα Αγαθά (Επιπτώσεις μιας Μεταβολής του Εισοδήματος στις Ζητούμενες Ποσότητες) - Ένα αγαθό i ονομάζεται κανονικό αν: Δηλαδή: Η αύξηση του εισοδήματος οδηγεί σε αύξηση της ζητούμενης ποσότητας για το αγαθό i. - Ένα αγαθό i ονομάζεται κατώτερο αν: x ( p, M)/ M > 0 - Παράδειγμα (συνέχεια): Για τη συνάρτηση Cobb-Douglas, είναι: x( p, p, M) = αm / P x ( p, p, M) = β M / P i x ( p, M)/ M < 0 x / M > 0, x / M > 0: Τα αγαθά, είναι κανονικά. i 9
x M / p Διαγραμματική Παρουσίαση: Κανονικό Αγαθό M / p M / p B A Γ A B x x x Γ M M p p M p - Η αύξηση του εισοδήματος από Μ σε Μ (και σε Μ ) μετατοπίζει τον εισοδηματικό περιορισμό παράλληλα προς τα δεξιά. Το σημείο μεγιστοποίησης της χρησιμότητας μετατοπίζεται από το Α στο Β (και στο Γ). Η ζητούμενη ποσότητα του αγαθού αυξάνεται από σε (και σε x Γ ), δηλαδή το αγαθό (όπως και το αγαθό ) είναι κανονικό. x A x x B 0
x M / p M / p M / p Διαγραμματική Παρουσίαση: Κατώτερο Αγαθό Γ Β A x Γ x B x A M M p p M p - Η αύξηση του εισοδήματος από Μ σε Μ (και σε Μ ) μετατοπίζει τον εισοδηματικό περιορισμό παράλληλα προς τα δεξιά. Το σημείο μεγιστοποίησης της χρησιμότητας μετατοπίζεται από το Α στο Β (και στο Γ). x A B x x Η ζητούμενη ποσότητα του αγαθού μειώνεται από σε (και σε x Γ ), δηλαδή το αγαθό είναι κατώτερο (ενώ το αγαθό είναι κανονικό).
-Θεώρημα: Αν υπάρχουν αγαθά στην οικονομία, τουλάχιστον ένα από αυτά πρέπει να είναι κανονικό. - Απόδειξη: Στο σημείο μεγιστοποίησης της χρησιμότητας, ο εισοδηματικός περιορισμός θα ισχύει με ισότητα: px ( p, M) +... + px ( p, M) = M x ( p, M) x ( p, M)... (I) M M Για να ισχύει η εξίσωση (Ι), πρέπει μία τουλάχιστον από τις xi ( p, M) μερικές παραγώγους να είναι θετική, δηλαδή θα πρέπει M τουλάχιστον ένα αγαθό i να είναι κανονικό. p + + p =
ΗΑρχήτουΕφάπαξΠοσού - Ερώτημα: Είναι προτιμότερη (αποτελεσματικότερη) η φορολογία ανά μονάδα κάποιου συγκεκριμένου αγαθού ή η εφάπαξ φορολογία εισοδήματος; - Έστω η συνάρτηση χρησιμότητας Cobb-Douglas: / / ux (, x) = x x - Οι Μαρσαλιανές συναρτήσεις ζήτησης είναι: x( p, p, M) = M /P x ( p, p, M) = M /P - Η έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας είναι: V( p, p, M) = M p p 3
(Π) Μοναδιαία Φορολογία - Έστω ότι η κυβέρνηση επιβάλλει στον καταναλωτή φορολογία ( t ) για κάθε μονάδα του αγαθού που αγοράζει. => Το πρόβλημα του καταναλωτή γράφεται τώρα ως εξής: max ux (, x) = x x { x, x } / / st.. ( p+ t) x+ px M x, x 0 (UMP t ) - Οι νέες συναρτήσεις ζήτησης είναι: t M t M x =, x = ( p + t) p - Η νέα έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας είναι: M Vt ( p, p, M) = () p ( p + t) 4
(Π) Εφάπαξ Φορολογία -Έστω ότι, αντίθετα, η κυβέρνηση επιβάλλει στον καταναλωτή εφάπαξ φορολογία ( Τ ) επί του εισοδήματός του, ηοποίαείναι ισοδύναμη ως προς τα φορολογικά έσοδα με τη μοναδιαία φορολογία: t tm T = t x = () ( p + t) => Το πρόβλημα του καταναλωτή γράφεται τώρα ως εξής: / / max ux (, x) = x x { x, x} (UMP st.. px + px M T Τ ) x, x 0 - Οι νέες συναρτήσεις ζήτησης είναι: T M T T M T x =, x = p p - Η νέα έμμεση συνάρτηση χρησιμότητας είναι: () M T M( p + t) VT ( p, p, M) = = (3) 5 pp 4( p+ t) pp
Σύγκριση Μοναδιαίας Εφάπαξ Φορολογίας () M( p + t) M VT( p, p, M) > Vt( p, p, M) > (3) 4( p+ t) pp p( p+ t) ( p + t) > 4 p ( p + t) ισχύει για κάθε t > 0. - Συμπέρασμα: Η εφάπαξ φορολογία εισοδήματος είναι πιο αποτελεσματική από τη φορολογία ανά μονάδα συγκεκριμένων αγαθών και, επομένως, πρέπει να προτιμάται από μια κυβέρνηση που επιδιώκει τη μεγιστοποίηση της κοινωνικής ευημερίας. - Εξήγηση: Η μοναδιαία φορολογία στρεβλώνει τις επιλογές του καταναλωτή, εξαιτίας των τεχνητών σχετικών τιμών που δημιουργεί. Αν δεν υπάρχει φορολογία (ή αν υπάρχει εφάπαξ φορολογία), ο καταναλωτής αντιμετωπίζει σχετικές τιμές p /p.. Αν υπάρχει μοναδιαία φορολογία, ο καταναλωτής αντιμετωπίζει σχετικές τιμές (p +t)/p. Η στρέβλωση του μηχανισμού των τιμών οδηγεί σε αναποτελεσματική κατανομή των πόρων. 6
Διαγραμματική Παρουσίαση: Σύγκριση Μοναδιαίας Εφάπαξ Φορολογίας x M / p ( M T)/ p x t = x T x Ε t Ε T Ε BC t : (p +t)x +p x =M V V T BC T : p x +p x =M-T BC : p x +p x =M V t 0 x t T x x M p M T p + t M p x 7