Ασκήσεις με Συστήματα στο Χώρο του Ζ Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes 1 7 Νοεμβρίου 015 1. Υπολόγισε τον μετ. Ζ και την περιοχή σύγκλισης του σήματος ( ) (1 ) n+ x[n] = e jπ/3 u[n 1] και σχεδίασε το διάγραμμα πόλων και μηδενικών στο z-επίπεδο. Είναι το σήμα απολύτως αθροίσιμο Εχουμε x[n] = = = X(z) = = ( ) (1 ) n+ e jπ/3 u[n 1] ( 1 ) n+u[n 1] e jπ/3 u[n 1] ( 1 ) 5 ( 1 ) n 1u[n 1] e jπ/3 u[n 1] ( 1 ) 5 1 1 1 z 1 e jπ/3 1 z 1 1 z 1 (( ) 5 ) ( ) 5 e jπ/3 z + 1 + e jπ/3 z 1 (z 1 )(z 1) (1) Οι πόλοι είναι στις θέσεις p1 = 1/, p = 1 και τα μηδενικά στις θέσεις z 1 = 0.77 + j0.003, z = 0.0031 j0.0056. Επειδή το σήμα είναι δεξιόπλευρο, προφανώς το πεδίο σύγκλισης θα είναι εξωστρεφές, δηλ. ROC x : z > 1. Επειδή υπάρχει πόλος επάνω στο μοναδιαίο κύκλο, το σήμα ΔΕΝ είναι απολύτως αθροίσιμο.. Γράψε το σύστημα ως γινόμενο δύο συστημάτων: H(z) = (1 0.5z 1 )(1 + z ) 1 0.6z (αʹ) H(z) = H min (z)h ap (z) (βʹ) H(z) = H min (z)h lin (z) όπου τα συστήματα ελάχιστης φάσης H min (z) είναι σε κάθε περίπτωση διαφορετικά, το H ap (z) δηλώνει ένα all-pass σύστημα, και το H lin (z) είναι ένα FIR σύστημα γενικευμένης γραμμικής φάσης. 1
(αʹ) Τι τύπου FIR είναι το σύστημα γενικευμένης γραμμικής φάσης και ποια η φάση του; (βʹ) Σε κάθε περίπτωση, σχεδιάστε τα διαγράμματα πόλων και μηδενικών των συστημάτων. Αρχικά το σήμα μας μπορεί να γραφεί ως H(z) = (1 0.5z 1 )(1 + jz 1 )(1 jz 1 ) (1 0.8z 1 )(1 + 0.8z 1 ) () και παρατηρούμε ότι έχει πόλους και μηδενικά στις θέσεις p 1, = ± 5, p 3 = 0 και z 1 = 1, z,3 = ±j, αντίστοιχα. (αʹ) Ενα σύστημα ελάχιστης φάσης έχει όλους τους πόλους και τα μηδενικά εντός του μοναδιαίου κύκλου. Άρα το σύστημα ελάχιστης φάσης, H min (z), θα έχει τους πόλους του H(z) - που είναι όλοι εντός του μοναδιαίου κύκλου - το μηδενικό που είναι εντός του μοναδιαίου κύκλου, και τα αντίστροφα μηδενικά του H(z), καθρεφτίζοντας τα έτσι εντός του μοναδιαίου κύκλου. Άρα H min (z) = (1 0.5z 1 )(1 + 1 z ) 1 0.6z (3) Τα διαγράμματα πόλων μηδενικών φαίνονται στο Σχήμα 1. Το all-pass σύστημα θα έχει ως μηδενικά τα μηδενικά του H(z) που είναι εκτός του μοναδιαίου κύκλου, και ως πόλους τα δυο μηδενικά στον κατακόρυφο άξονα του H min (z), ώστε όταν γίνει το γινόμενο H min (z)h ap (z), αυτά να αλληλοακυρωθούν. H ap = 1 + z 1 + 1 z () Ομως το H ap (z) δεν είναι μοναδιαίας απόκρισης πλάτους. Για να είναι, πρέπει να γραφεί στη Σχήμα 1: Άσκηση - Διάγραμμα Πόλων Μηδενικών Ι μορφή H ap (z) = 1 + z 1 1 + 1 = + z z 1 + 1 = ( 1 + jz 1 )( 1 jz 1 ) z (1 1 jz 1 )(1 + 1 jz 1 ) και ο συντελεστής θα πάει στο H min (z), άρα (5) H min (z) = (1 0.5z 1 )(1 + 1 z ) 1 0.6z (6)
και H ap (z) = ( 1 + jz 1 )( 1 jz 1 ) (1 1 jz 1 )(1 + 1 jz 1 ) (βʹ) Ενα σύστημα γενικευμένης γραμμικής φάσης έχει πόλους και μηδενικά στις θέσεις z = 1, 1, 0 ή, ή σε συζυγή ζεύγη. Άρα και H min (z) = 1 0.5z 1 (1 0.6z )(1 + 1 z ) H lin (z) = (1 + 1 z )(1 + z ) (9) Το διάγραμμα πόλων μηδενικών φαίνεται στο Σχήμα. Το σύστημα γενικευμένης γραμμικής (7) (8) Σχήμα : Άσκηση - Διάγραμμα Πόλων Μηδενικών ΙΙ φάσης είναι προφανώς FIR Τύπου Ι. Η φάση είναι φ = ω + β (10) με β = 0 ή π. 3. Δείξτε ότι το μη αιτιατό σύστημα h[n] = δ[n + 1] + δ[n] + δ[n 1] + δ[n ] + δ[n 3] έχει καθυστέρηση ομάδας group delay ίση με 1, για κάθε ω, δηλ. δείξτε ότι Εχουμε grd{h(e jω )} = d dω H(ejω ) = 1 h[n] = δ[n + 1] + δ[n] + δ[n 1] + δ[n ] + δ[n 3] H(e jω ) = e jω + 1 + e jω + e jω + e j3ω = e jω (e jω + e jω + + e jω + e jω ) = e jω ( + cos(ω) + cos(ω)) 3
Ετσι, θα είναι και και άρα που είναι το ζητούμενο. H(e jω ) = + cos(ω) + cos(ω) H(e jω ) = ω grd{h(e jω )} = 1 (11). Εστω S 1 ένα ΓΧΑ σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς και κρουστική απόκριση h 1 [n]. (αʹ) Είναι το S 1 αιτιατό Εξηγήστε. H(z) = 1 z 5, z > 0 1 z 1 (βʹ) Εστω g[n] = h 1 [n] h [n]. Βρείτε ένα h [n] τέτοιο ώστε το g[n] να έχει τουλάχιστον εννιά μη μηδενικά δείγματα, και το g[n] να μπορεί να θεωρηθεί ως η κρουστική απόκριση ενός αιτιατού ΓΧΑ συστήματος με αυστηρά γραμμική φάση: G(e jω ) = G(e jω ) e jωn 0 για έναν ακέραιαο n 0. (γʹ) Εστω q[n] = h 1 [n] h 3 [n]. Βρείτε ένα h 3 [n] τέτοιο ώστε Είναι q[n] = δ[n], 0 n 19 (αʹ) Ναι, είναι αιτιατό. Από την περιοχή σύγκλισης, z > 0, καταλαβαίνουμε ότι δεν υπάρχει πόλος στο, άρα το σύστημα είναι δεξιόπλευρο και αιτιατό. Εναλλακτικά, μπορούμε να διαιρέσουμε τα πολυώνυμα και να έχουμε H 1 (z) = 1 z 5 1 z 1 = 1 + z 1 + z + z 3 + z, z > 0 (1) (βʹ) Το h 1 [n] είναι ένας αιτιατός τετραγωνικός παλμός διάρκειας 5. Αν κάνουμε συνέλιξη του h 1 [n] με έναν άλλο αιτιατό τετραγωνικό παλμό διάρκειας Ν, θα πάρουμε έναν τριγωνικό παλμό με διάρκεια N + 5 1 = N +. Ο τριγωνικός παλμός είναι συμμετρικός γύρω απ την κορυφή του, και άρα έχει γραμμική φάση. Αν θέλουμε να έχει ο τριγωνικός παλμός g[n] τουλάχιστον 9 μη μηδενικά δείγματα, επιλέγουμε N = 5, ή αλλιώς h [n] = h 1 [n]. (γʹ) Αφού το αποτέλεσμα της συνέλιξης θα είναι στο [0, 19], δηλ. το μήκος του g[n] είναι 0 δείγματα, και το μήκος του h 1 [n] είναι N = 5 (δηλ. [0, ]), το μήκος του h 3 [n] θα είναι L = 17, δηλ. στο [0, 16], έτσι ώστε το αποτέλεσμα της συνέλιξης να είναι στο [0, 16 + 1] = [0, 19]. Αυτό που μας ζητείται μοιάζει αρκετά με το αντίστροφο σύστημα. Αν θεωρήσουμε ότι h 3 [n] είναι το αντίστροφο σύστημα του h 1 [n] τότε H 3 (z) = 1 z 1 1 z 5 = (1 z 1 )(1 + z 5 + z 10 + z 15 +...) = 1 z 1 + z 5 z 6 + z 10 z 11 + z 15 z 16 +...
Αυτή η επιπλοκή για το h 3 [n] θα μας δώσει αποτέλεσμα h 1 [n] h 3 [n] = δ[n] για κάθε n. Ομως εμείς θέλουμε q[n] = δ[n] για 0 n 19. Άρα απλά μπορούμε να κρατήσουμε το h 3 [n] ως το 19 o δείγμα. Άρα τελικά h 3 [n] = δ[n] δ[n 1] + δ[n 5] δ[n 6] + δ[n 10] δ[n 11] + δ[n 15] δ[n 16] (13) που είναι και το ζητούμενο. 5. Ενα ΓΧΑ σύστημα με είσοδο x[n] και έξοδο y[n] έχει φάσμα πλάτους και καθυστέρηση ομάδας όπως στο Σχήμα 3. Το σήμα εισόδου φαίνεται επίσης στο Σχήμα 3, στην πρώτη γραφική παράσταση, είναι ένα άθροισμα από τρία συνημίτονα. Συγκεκριμένα στο Σχήμα 3 βλέπετε: Σχήμα 3: Είσοδος και χαρακτηριστικά συστήματος ˆ το σήμα είσόδου, x[n] ˆ το X(e jω ), το φάσμα πλάτους του μετασχ. Fourier του x[n] 5
ˆ το φάσμα πλάτους της απόκρισης σε συχνότητα του συστήματος, H(e jω ) ˆ την καθυστέρηση ομάδας του συστήματος, grd{h(e jω )} Στο Σχήμα, σας δίνονται τέσσερα πιθανά σήματα εξόδου, y i [n], i = 1,, 3,. Βρείτε ποιό από αυτά είναι η έξοδος του συστήματος για το δεδομένο x[n] που φαίνεται στην πρώτη γραφική παρά- Σχήμα : Πιθανά σήματα εξόδου σταση στο Σχήμα 3. Δικαιολογήστε πλήρως την απάντηση σας. Από το φάσμα πλάτους του φίλτρου, παρατηρούμε ότι το φίλτρο μηδενίζει το πλάτος της συχνότητας 0.5π. Βλέπουμε στο φάσμα πλάτους του σήματος εισόδου, ότι ένα από τα τρία ημίτονα έχει ακριβώς συχνότητα. Άρα το ένα απ τα τρία ημίτονα (το πιο υψίσυχνο, το μεσαίο στη γραφική παράσταση του x[n]) δε θα περάσει στην έξοδο. Οπότε στην έξοδο θα έχουμε δυο ημίτονα, τα δύο πιο χαμηλόσυχνα, με μεγαλύτερο πλάτος απ ό,τι είχαν στην είσοδο. Αυτό μας λέει η πληροφορία των πλατών. 6
Ας εξετάσουμε την πληροφορία που παίρνουμε από τη φάση, μελετώντας το group delay. Βλέπουμε ότι τα δύο ημίτονα που περνούν στην έξοδο, το χαμηλόσυχνο και το μεσαίας συχνότητας, θα καθυστερήσουν κατά 0 και κατά 80 δείγματα, αντίστοιχα. Άρα το πρώτο ημίτονο (το μεσαίας συχνότητας) στη γραφική παράσταση του x[n] θα καθυστερήσει περίπου 80 δείγματα, άρα θα ξεκινήσει στην έξοδο κοντά στο 100ο δείγμα, το δεύτερο ημίτονο σχεδόν εκμηδενίζεται λόγω της ανάλυσης που κάναμε πριν στο φάσμα πλάτους, ενώ το τρίτο ημίτονο (το πιο χαμηλόσυχνο) θα καθυστερήσει περίπου 0 δείγματα, άρα θα ξεκινάει στην έξοδο κοντά στο 500ο δείγμα. Αυτές τις απαιτήσεις τις ικανοποιεί η έξοδος y [n]. 6. Θεωρήστε ένα ΓΧΑ σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς (αʹ) Είναι το σύστημα all-pass; Εξηγήστε. H(z) = z (1 z 1 ) (1 1 z 1 ), z > 1 (βʹ) Θέλουμε να υλοποιήσουμε αυτό το σύστημα ως μια σειρά από τρία συστήματα H min (z), H max (z), Hd(z), που συμβολίζουν ένα σύστημα ελάχιστης φάσης, ένα μέγιστης φάσης, και ένα σύστημα ακέραιας μετατόπισης, αντίστοιχα. Βρείτε τις κρουστικές αποκρίσεις, h min [n], h max [n], h d [n] των παραπάνω συστημάτων. Είναι (αʹ) H(z) = z (1 z 1 ) (1 1 H(e jω ) = e jω (1 e jω ) z 1 ) (1 1 e jω ) H(e jω ) = e jω (1 e jω ) (1 1 = e jω (1 e jω ) e jω ) (1 1 e jω ) = 1 1 e jω 1 1 e jω = 1 (1 cos(ω)) + sin (ω) (1 1 cos(ω)) + 1 sin (ω) = 1 (1 cos(ω)) + sin (ω) (1 1 cos(ω)) + 1 sin (ω) = 1 1 cos(ω) + cos (ω) + sin (ω) 1 cos(ω) + 1 cos (ω) + 1 sin (ω) = 1 1 cos(ω) + 1 cos(ω) + 1 = 1 ( 1 cos(ω) + 1) 1 cos(ω) + 1 1 cos(ω) + 1 = 1 cos(ω) + 1 = 1 (1) άρα το σύστημα είναι all-pass. (βʹ) Επειδή το σύστημα έχει πόλους στις θέσεις p 1 = 0 (δύο), p = 1 και μηδενικά στις θέσεις z 1 = και z = (δύο). Το σύστημα ελάχιστης φάσης θα έχει μόνο τον πόλο εντός του μοναδιαίου 7
κύκλου (p = 1 ), το σύστημα μέγιστης φάσης θα έχει το μηδενικό εκτός του μοναδιαίου κύκλου (z 1 = ), και οι πόλοι στο μηδέν και τα μηδενικά στο άπειρο θα μοντελοποιηθούν από το σύστημα καθυστέρησης. Οπότε θα κάνουμε τη διάσπαση ως H(z) = H min (z)h max (z)h d (z) = 1 z 1 (z )z με H min (z) = 1 z 1 ( 1 ) n 1u[n h min [n] = 1] H max (z) = z h max [n] = δ[n + 1] δ[n] H d (z) = z h d [n] = δ[n ] (15) που είναι το ζητούμενο. 7. Σας δίνονται τα παρακάτω τρία στοιχεία για ένα σήμα x[n] με μετασχ. Ζ X(z): (αʹ) Το x[n] είναι πραγματικό και ελαχίστης φάσης. (βʹ) Το x[n] είναι μηδέν έξω από το διάστημα 0 n (γʹ) Το X(z) έχει ένα μηδενικό στο z = 1 ejπ/ και ένα μηδενικό στο z = 1 ej3π/ Με βάση τα παραπάνω, απαντήστε στις παρακάτω ερωτήσεις: i. Είναι το X(z) ρητή συνάρτηση Δικαιολογήστε. ii. Σχεδιάστε το διάγραμμα πόλων-μηδενικών του X(z) και βρείτε το πεδίο σύγκλισης. iii. Αν y[n] x[n] = δ[n] και το y[n] είναι δεξιόπλευρο, σχεδιάστε το διάγραμμα πόλων-μηδενικών για το Y (z) και βρείτε την περιοχή σύγκλισής του. Αφού το σήμα είναι πραγματικό, τότε τα μηδενικά θα είναι σε συζυγείς θέσεις. Επίσης, αφού είναι πεπερασμένης διάρκειας από 0 ως, ημαίνει ότι έχει μόνο μηδενικά (και πόλους). Άρα η μορφή του θα είναι ( X(z) = 1 1 ejπ/ z 1)( 1 1 ej3π/ z 1)( 1 1 e jπ/ z 1)( 1 1 e j3π/ z 1) (16) (αʹ) Ναι, η συνάρτηση είναι ρητή, μιας και είναι της μορφής (1 ck z 1 ) X(z) = (1 dk z 1 ) (βʹ) Το διάγραμμα πόλων-μηδενικών φαίνεται στο Σχήμα 5α. Το πεδίο σύγκλισης είναι το ROC x : z > 0. 8
(αʹ) Διάγραμμα Πόλων-Μηδενικών 1 (βʹ) Διάγραμμα Πόλων-Μηδενικών Σχήμα 5: Διαγράμματα Πόλων Μηδενικών Άσκησης 7 (γʹ) Εχουμε y[n] x[n] = δ[n] Y (z)x(z) = 1 Y (z) = 1 X(z) και άρα τα μηδενικά του X(z) είναι πόλοι του Y (z) και οι πόλοι του X(z) γίνονται μηδενικά του Y (z). Άρα το διάγραμμα πόλων μηδενικών δίνεται στο Σχήμα 5β, και το πεδίο σύγκλισης είναι το z > 1, αφού γνωρίζουμε από την εκφώνηση ότι είναι δεξιόπλευρο. 9