Περιεχόμενα 8 Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Περιεχόμενα 8 Μέθοδοι Βελτιστοποίησης 1 8.1 Βέλτιστη σχεδίαση συστημάτων αυτόματης ρύθμισης.......... 1 8.2 Ολοκληρωτικά κριτήρια........................... 5 8.2.1 Το γραμμικό βέλτιστο........................ 5 8.2.2 Το απόλυτο γραμμικό βέλτιστο (IAE)............... 6 8.2.3 Το ITAE - κριτήριο ποιότητας ρύθμισης.............. 6 8.2.4 Το τετραγωνικό βέλτιστο (ISE)................... 7 8.2.5 Το πρακτικό βέλτιστο........................ 7 8.2.6 Παράδειγμα για την εφαρμογή των κριτηρίων ποιότητας ρύθμισης................................. 8 8.2.7 Το γενικό τετραγωνικό βέλτιστο.................. 11 8.2.7.1 Η μέθοδος του Mandelstam για τον προσδιορισμό του γενικού εμβαδού ρύθμισης................ 14 8.2.7.2 Η μέθοδος του Feldbaum................. 17 8.3 Παραδείγματα σε Matlab.......................... 25 8.4 Ασκήσεις κεφαλαίου............................. 29 Βιβλιογραφία Κεφαλαίου............................. 3 i

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης 8 8.1 Βέλτιστη σχεδίαση συστημάτων αυτόματης ρύθμισης Ο σκοπός της αυτόματης ρύθμισης είναι πρώτον να διατηρήσει σταθερή τη ρυθμιζόμενη μεταβλητή του συστήματος στην επιθυμητή τιμή και δεύτερον να ελαττώσει όσο το δυνατόν περισσότερο την επιρροή των διαταραχών που δρουν στη διεργασία ρύθμισης. Στο παρόν κεφάλαιο θα δοθούν μέθοδοι της γραμμικής βελτιστοποίησης που συμβάλλουν στην βέλτιστη σχεδίαση συστημάτων αυτόματης ρύθμισης. Θα εξεταστούν επομένως μέθοδοι οι οποίες δίνουν τη δυνατότητα προσδιορισμού του τρόπου μεταβολής των παραμέτρων ενός συστήματος, για να μπορεί να επιτευχθεί ο προαναφερόμενος σκοπός της αυτόματης ρύθμισης. Σημειώνεται επίσης ότι η δομή της διεργασίας ρύθμισης και των ρυθμιστών είναι δοσμένη και υπάρχει, μόνο, η δυνατότητα αλλαγής των παραμέτρων των ρυθμιστών μέσα στα δοσμένα όρια τα οποία ορίζονται από τη διερεύνηση της ευστάθειας του συστήματος. Αρχικά πρέπει να εξεταστεί εάν για τη βελτιστοποίηση θα γίνει εφαρμογή της μεθόδου εξέτασης της διαταραχής ή της μεθόδου εξέτασης της καθοδήγησης του συστήματος. Η μέθοδος καθοδήγησης εξετάζει το σήμα εξόδου x α (t), ρυθμιζόμενη μεταβλητή, για μια βηματική αλλαγή της μεταβλητής καθοδήγησης x f (t) και η μέθοδος διαταραχής εξετάζει τη ρυθμιζόμενη μεταβλητή x α (t) για μια βηματική δράση της διαταραχής z(t) στη διεργασία ρύθμισης. Σύμφωνα με το σχήμα 8.1 η συνάρτηση μεταφοράς καθοδήγησης δίνεται από την ακόλουθη σχέση: X α (s) = [X f (s) X α (s)] R(s)S(s) (8.1) 1

Ενότητα 8.1 2 X α (s) X f (s) = R(s)S(s) 1 + R(s)S(s) = F (s) Επομένως η ρυθμιστική απόκλιση του βρόχου η οποία αποτελεί το σήμα εισόδου για το ρυθμιστή δίνεται από τη σχέση: x w = x f (1 F (s)) (8.2) Σχήμα 8.1: Συμπεριφορά του βρόχου χρησιμοποιώντας σήμα καθοδήγησης. x f x w x a R(s) S(s) Η συνάρτηση μεταφοράς διαταραχής προκύπτει ανάλογα από το σχήμα 8.2. X α (s) = [Z(s) X α (s)r(s)] S(s) (8.3) X α (s) Z(s) = S(s) 1 + R(s)S(s) = F (s) Σχήμα 8.2: Συμπεριφορά του βρόχου χρησιμοποιώντας σήμα διαταραχής. x f R(s) + Z S(s) x a Με την παραδοχή ότι ο ρυθμιστής περιέχει ένα μέρος με Ι-συμπεριφορά - Ι-, PI-, ή PID- ρυθμιστής - αποδεικνύεται σχετικά εύκολα (οριακές τιμές του μετασχηματισμού κατά Laplace) ότι η ρυθμιζόμενη μεταβλητή του συστήματος λαμβάνει μετά την επιβολή μιας βηματικής μεταβολής στη μεταβλητή καθοδήγησης, τη νέα τιμή της μεταβλητής καθοδήγησης (σχήμα 8.3). Για την περίπτωση που στη διεργασία ρύθμισης δράσει μια βηματική διαταραχή (σχήμα 8.4i) τότε η διαταραχή αυτή με την πάροδο του χρόνου μηδενίζεται (σχήμα 8.4ii). Από τα προαναφερόμενα προκύπτει ότι στη περίπτωση της συμπεριφοράς καθοδήγησης απαιτείται όπως η ρυθμιζόμενη μεταβλητή ακολουθεί κατά τον ευνοϊκότερο τρόπο τη μεταβλητή καθοδήγησης, επομένως στη συγκεκριμένη περίπτωση

Ενότητα 8.1 3 Σχήμα 8.3: Συμπεριφορά καθοδήγησης συστήματος με ολοκληρωτικό μέρος. xf(t) x a (t) t (i) (ii) t Σχήμα 8.4: Συμπεριφορά διαταραχής συστήματος με ολοκληρωτικό μέρος. xf(t) x a (t) t (i) (ii) t ενδιαφέρει η απόκλιση x W : x w (t) = x f (t) x α (t) ενώ στη περίπτωση της συμπεριφοράς διαταραχής ενδιαφέρει άμεσα η ρυθμιζόμενη μεταβλητή x α (t). Η εξέταση της βελτιστοποίησης που θα γίνει στη συνέχεια ισχύει για τις δύο περιπτώσεις και για το σκοπό αυτό θα γίνει η προσπάθεια βελτιστοποίησης της

Ενότητα 8.2 4 μεταβλητής x(t) η οποία μπορεί να παριστάνει τη ρυθμιστική απόκλιση x W (t) αλλά και τη ρυθμιζόμενη μεταβλητή x α (t). Για την περίπτωση που ο ρυθμιστής δεν περιέχει ένα μέρος με ολοκληρωτική συμπεριφορά τότε το σήμα εξόδου x α (t) γενικά δεν τείνει προς το μέγεθος της μεταβλητής καθοδήγησης x f (t), περίπτωση συμπεριφοράς καθοδήγησης, ή αντίστοιχα προς μηδέν, περίπτωση συμπεριφοράς διαταραχής, αλλά τείνει προς μία σταθερά που είναι διάφορη του μηδενός x α ( ). Στη συγκεκριμένη περίπτωση γίνεται η προσπάθεια βελτιστοποίησης της σχέσης: x(t) = x α ( ) x α (t) Από τα προαναφερόμενα διαπιστώνεται ότι δεν είναι δυνατό να δοθεί ένα γενικό κριτήριο συμπεριφοράς της μεταβλητής x(t) με γενική ισχύ. Γιατί σε πολλές εφαρμογές για την καλύτερη λειτουργία του συστήματος απαιτείται ένα μεταβατικό φαινόμενο στο οποίο η x(t) τείνει πολύ γρήγορα προς το μηδέν. Στη συγκεκριμένη περίπτωση όμως η ταλάντωση που παρατηρείται στην περιοχή εκκίνησης της συνάρτησης μετάβασης, βηματική μεταβολή του σήματος εισόδου, παρουσιάζει μια υπέρβαση του προκαθορισμένου ορίου. Διάφορες πρακτικές εφαρμογές όμως απαιτούν ένα μεγαλύτερο χρόνο μετάβασης ώστε με τον τρόπο αυτό να καθίσταται δυνατή η αποφυγή της ανεπιθύμητης υπέρβασης της ταλάντωσης του προκαθορισμένου ορίου στην περιοχή εκκίνησης της συνάρτησης μετάβασης. Γενικά ο προσδιορισμός των βέλτιστων τιμών των παραμέτρων των ρυθμιστών ενός συστήματος αυτόματης ρύθμισης γίνεται με τον ακόλουθο τρόπο: 1. Κατάστρωση ενός κριτηρίου ποιότητας της ρύθμισης σε σχέση με τον αριθμό των ελεύθερα επιλεγμένων παραμέτρων. 2. Προσδιορισμός του ελάχιστου του κριτηρίου ποιότητας ρύθμισης, λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων. Δεν είναι απαραίτητο να υπάρχει μια λύση για το σύστημα γιατί το απόλυτο ελάχιστο του κριτηρίου ποιότητας μπορεί να βρίσκεται στο περιθώριο της περιοχής των ελεύθερων παραμέτρων. Επειδή δεν είναι δυνατό να δοθεί ένα κριτήριο ποιότητας ρύθμισης με γενική ισχύ γιατί οι απαιτήσεις των συστημάτων γίνεται η επιλογή του κριτηρίου ποιότητας ρύθμισης με τέτοιο τρόπο ώστε με σχετικά μικρό όγκο εργασιών να προσδιορίζεται το ελάχιστο αυτού. Την απαίτηση αυτή εκπληρούν μια σειρά ολοκληρωτικά κριτήρια

Ενότητα 8.2 5 τα οποία εκτός αυτού επιτρέπουν και την παρακολούθηση της μεταβλητής x(t) σε ολόκληρη τη διάρκεια. 8.2 Ολοκληρωτικά κριτήρια 8.2.1 Το γραμμικό βέλτιστο Το γραμμικό βέλτιστο έχει σχέση με το γραμμικό εμβαδό ρύθμισης που δίνεται από τη σχέση: I 1 = x(t)dt (8.4) Το κριτήριο ποιότητας ρύθμισης (8.4) έχει για βάση τη σκέψη ότι η ρύθμιση με τη μεταβλητή x(t) είναι πιο ευνοϊκή όσο πιο μικρό είναι το εμβαδόν που υπολογίζεται από τη σχέση (8.4). Το κριτήριο ποιότητας ρύθμισης (8.4) οδηγεί σε λάθος αποτέλεσμα όταν η καμπύλη είναι περιοδική και διέρχεται της τετμημένης του συστήματος συντεταγμένων, γιατί στη συγκεκριμένη περίπτωση το ελάχιστο εμβαδό μπορεί να δημιουργηθεί από το μηδενισμό θετικών και αρνητικών εμβαδών. Για τις περιπτώσεις εκείνες όμως που δίνονται καμπύλες στις οποίες για t > δεν παρουσιάζουν σημείο τομής με τον t-άξονα το κριτήριο ποιότητας (8.4) εφαρμόζεται ικανοποιητικά. Για την μετασχηματισμένη κατά Laplace της x(t) ισχύει: X(s) = x(t)e st dt από την οποία προκύπτει το γραμμικό εμβαδό ρύθμισης: I 1 = X() (8.5) Η τιμή της X() προσδιορίζεται, όπως είναι γνωστό, εύκολα από τη μετασχηματισμένη κατά Laplace, γιατί ο μετασχηματισμός κατά Laplace προσδιορίζει και τις αρχικές συνθήκες.

Ενότητα 8.2 6 8.2.2 Το απόλυτο γραμμικό βέλτιστο (IAE) Για τον προσδιορισμό της δυναμικής συμπεριφοράς συστημάτων ρύθμισης που παρουσιάζουν υπέρβαση των ταλαντώσεων, συστήματα με σχετικά μικρό χρόνο μετάβασης, εφαρμόζεται το ακόλουθο κριτήριο ποιότητας ρύθμισης, το οποίο χρησιμοποιεί την απόλυτη τιμή της μεταβλητής x(t): I 1 = x(t) dt (8.6) Στη συγκεκριμένη περίπτωση κάθε απόκλιση θεωρείται ως θετική. Γενικά, όμως, δεν είναι δυνατός ο αναλυτικός υπολογισμός του ολοκληρώματος. 8.2.3 Το ITAE - κριτήριο ποιότητας ρύθμισης Για το ITAE-κριτήριο (Integral of Time - multiplied Absolute value of Error) επίσης δεν είναι δυνατός ένας αναλυτικός υπολογισμός του ολοκληρώματος. Το εμβαδό ποιότητας ρύθμισης δίνεται από την ακόλουθη σχέση: I1 = t x(t) dt (8.7) Στο ITAE-κριτήριο οι αποκλίσεις της ρυθμιζόμενης μεταβλητής από την τελική τιμή επιδρούν τόσο περισσότερο στο σύστημα ρύθμισης, όσο πιο αργά παρουσιάζονται. Το ITAE-κριτήριο παρουσιάζει, όπως θα αποδειχθεί και στο επόμενο παράδειγμα, πλεονεκτήματα και εφαρμόζεται με επιτυχία όταν υπάρχει η δυνατότητα αξιοποίησης αυτού με τη βοήθεια ηλεκτρονικών υπολογιστών.

Ενότητα 8.2 7 8.2.4 Το τετραγωνικό βέλτιστο (ISE) Το τετραγωνικό βέλτιστο χαρακτηρίζεται από το τετραγωνικό εμβαδόν ρύθμισης που δίνεται από την ακόλουθη σχέση: I 2 = x 2 (t)dt (8.8) και έχει περισσότερο θεωρητική σημασία. Στο τετραγωνικό βέλτιστο κάθε απόκλιση της μεταβλητής x(t) λαμβάνεται επίσης ως θετική. Το ολοκλήρωμα μπορεί να υπολογιστεί τόσο για την περίπτωση συχνοτήτων όσο και για την περίπτωση παρατήρησης του χρόνου. Για τη συγκεκριμένη περίπτωση αντικατάστασης του χρόνου από τη συχνότητα εφαρμόζεται ο τύπος του Parseval [1]: x 2 (t)dt = 1 π X(jω) 2 dω (8.9) όπου η X(jω) είναι η μετασχηματισμένη της x(t) κατά Fourier. X(jω) = x(t)e jωt dt = X(s) s=jω (8.1) όπου x(t) = για t <. Το ολοκλήρωμα X(jω) 2 είναι κλασματική ρητή συνάρτηση του ω. 8.2.5 Το πρακτικό βέλτιστο Από την ακόλουθη σχέση: I 2 = 1 π X(jω) 2 dω (8.11)

Ενότητα 8.2 8 οι Oldenburg και Sartorius [2] ανέπτυξαν το κριτήριο ποιότητας ρύθμισης του πρακτικού βέλτιστου. Στα πλαίσια του βιβλίου θα δοθεί μόνο η βασική έννοια και οι συνθήκες εφαρμογής του πρακτικού βέλτιστου. Η απαίτηση ότι η σχέση: X(jω) 2 dω ελάχιστο πρέπει να ελαχιστοποιείται, σημαίνει το ίδιο με το να απαιτηθεί η ελαχιστοποίηση της σχέσης: X(jω) 2 = J(ω) Για να μπορεί να επιτευχθεί έστω και κατά προσέγγιση η προαναφερόμενη συνθήκη, πρέπει να ισχύει η ακόλουθη σχέση: J (II) () = J (IV ) () =... = J (2k 2) () = J (2k) () = (8.12) Οι παράγωγοι που έχουν ως εκθέτη περιττό αριθμό μηδενίζονται στη θέση ω =, γιατί η συνάρτηση είναι άρτια. Από τα προαναφερόμενα συμπεραίνεται ότι για ένα σύστημα αυτόματης ρύθμισης που έχει k ελεύθερες παραμέτρους σύμφωνα με τις συνθήκες του πρακτικού βέλτιστου το σύστημα λειτουργεί, από πλευράς ρύθμισης, κατά βέλτιστο τρόπο όταν οι δύο πρώτοι 2k παράγωγοι της συνάρτησης X(jω) 2 = J(ω) για ω = μηδενίζονται. Οι συντελεστές της J(ω) συνδέονται με απλές σχέσεις με τους συντελεστές της X(jω). 8.2.6 Παράδειγμα για την εφαρμογή των κριτηρίων ποιότητας ρύθμισης Με το παράδειγμα που δίνεται στην συνέχεια θα επιδειχθεί τρόπος εφαρμογής των τεσσάρων ολοκληρωτικών κριτηρίων I 1, I 1, I 1, I 2, εξετάζοντας τη συμπεριφορά τους σε σχέση με την ελεύθερη παράμετρο β.

Ενότητα 8.2 9 Για το σκοπό αυτό θα εξεταστεί ο κλειστός βρόχος του σχήματος 8.5 με την ακόλουθη συνάρτηση μετάβασης: F (s) = X α(s) X f (s) = 1 s 2 + 2βs + 1 Σκοπός της βελτιστοποίησης στη συγκεκριμένη περίπτωση είναι η βέλτιστη ρύθμιση της παραμέτρου β ώστε η ρυθμιστική απόκλιση: x w (t) = x f (t) x α (t) να παρουσιάζει την επιθυμητή συμπεριφορά. Στη συγκεκριμένη περίπτωση η μεταβλητή καθοδήγησης είναι η βηματική αλλαγή του σήματος εισόδου: x f (t) = (t). Σχήμα 8.5: Κλειστός βρόχος ρύθμισης. x f x w x a F (s) Αρχικά υπολογίζεται το γραμμικό εμβαδόν ρύθμισης I 1. Από το μετασχηματισμό κατά Laplace της ρυθμιστικής απόκλισης προκύπτει: X w (s) = X f (s) X α (s) = 1 s 1 s 1 s 2 + 2βs + 1 = 2β + s s 2 + 2βs + 1 Από την αρχική συνθήκη της μετασχηματισμένης κατά Laplace της ρυθμιστικής απόκλισης προκύπτει: I 1 = X w () = 2β Στο σχήμα 8.6 δίνεται η συμπεριφορά του κριτηρίου σε σχέση με τη παράμετρο β (ευθεία). Από το σχήμα 8.6 συμπεραίνεται ότι στη συγκεκριμένη περίπτωση δεν είναι δυνατό να χρησιμοποιηθεί το γραμμικό βέλτιστο I 1 ως κριτήριο ποιότητας ρύθμισης, γιατί ως ελάχιστο στην περιοχή θετικών τιμών για την παράμετρο β προκύπτει μη εφαρμόσιμη τιμή β =. Στο σχήμα 8.6 δίνονται επίσης τα δύο κριτήρια ποιότητας ρύθμισης I 1 τα οποία δίνουν ως ελάχιστο την απόσβεση β =.7. και I 1 Ο υπολογισμός του τετραγωνικού εμβαδού ρύθμισης I 2 γίνεται στην γνωστή περιοχή των συχνοτήτων. Αρχικά ισχύει: X w (jω) = 2β + jω (1 ω 2 ) + j 2 βω

Ενότητα 8.2 1 6 Σχήμα 8.6: Συμπεριφορά των κριτηρίων I 1, I 1, I 1, I 2. 5 4 I 1 * = xw (t) dt I 1 ** = t xw (t) dt 3 2 1 I 1 = xw (t) dt I 2 = x 2 w (t) dt.2.4.6.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 β από την οποία προκύπτει: X w (jω) 2 = 4β 2 + ω 2 (1 ω 2 ) 2 + 4β 2 ω 2 = ω 2 + 4β 2 ω 4 + 2(2β 2 1)ω 2 + 1 Η εφαρμογή του πρακτικού βέλτιστου απαιτεί τη λύση του ολοκληρώματος: I 2 = 1 π 4β 2 + ω 2 (1 ω 2 ) 2 + 4β 2 ω 2 = ω 2 + 4β 2 ω 4 + 2(2β 2 1)ω 2 + 1 Από το σχήμα 8.6 προκύπτει ότι η καμπύλη του πρακτικού βέλτιστου παρουσιάζει ένα ελάχιστο στο σημείο β =.5. Από τη σύγκριση των τεσσάρων καμπυλών του σχήματος 8.6 συμπεραίνεται ότι το ITAE-κριτήριο ποιότητας ρύθμισης παρουσιάζει την καλύτερη συμπεριφορά, γιατί το ελάχιστο της καμπύλης αυτής είναι πολύ ευδιάκριτο για τον προσδιορισμό της παραμέτρου β. Για το δοσμένο σύστημα εφαρμόζεται η συνθήκη (απαίτηση) του πρακτικού βέλτιστου: J(ω) = X(jω) 2 = ω 2 + 4β 2 ω 4 + 2(2β 2 1)ω 2 + 1

Ενότητα 8.2 11 από την οποία με: A = 4β 2 και B = 2(2β 2 1) προκύπτει: J(ω) = ω 2 + A ω 4 + Bω 2 + 1 Σχηματίζοντας τη δεύτερη παράγωγο, επειδή k = 1, και θέτοντας ω = στη δεύτερη παράγωγο προκύπτει: J (II) () = 2(AB 1) Από τη συνθήκη J (II) () = προκύπτει η ακόλουθη εξίσωση: AB 1 = με αντικατάσταση των A και B προκύπτει: 8β 2 (2β 2 1) 1 = β 4 + 1 2 β 1 16 = β 2 = 1 4 ± 1/8 = 1 ± 2 4 Αποκλείοντας τις αρνητικές τιμές της παραμέτρου β τότε προκύπτει για την ευνοϊκότερη θετική τιμή: β =.77. Η τιμή αυτή πλησιάζει τις τιμές που προκύπτουν από την εφαρμογή των κριτηρίων I 1 και I 2. 8.2.7 Το γενικό τετραγωνικό βέλτιστο Πριν γίνει η παρουσίαση και η εξέταση του γενικού τετραγωνικού εμβαδού ρύθμισης θεωρείται σκόπιμο να διευκρινιστούν οι μαθηματικές έννοιες που είναι απαραίτητες για την κατανόηση των υπολογισμών του γενικού τετραγωνικού εμβαδού ρύθμισης. Με την βοήθεια των σχέσεων (8.1) και (8.3) υπολογίζεται το σήμα εξόδου ενός συστήματος ρύθμισης σε σχέση με τη διαταραχή στη διεργασία ρύθμισης. Στη συγκεκριμένη περίπτωση δίνεται και πάλι στη μεταβλητή καθοδήγησης x f (t) και στη διαταραχή z(t) η τιμή της βηματικής αλλαγής και υπολογίζεται η μετασχηματισμένη κατά Laplace της ρυθμιστικής απόκλισης, για την περίπτωση χρησιμοποίησης της μεταβλητής καθοδήγησης, ή της ρυθμιζόμενης μεταβλητής, για την

Ενότητα 8.2 12 περίπτωση που χρησιμοποιηθεί η μεταβλητή διαταραχής. Με την παραδοχή ότι ο ρυθμιστής του συστήματος έχει ένα ολοκληρωτικό στοιχείο ισχύει: x α (t) 1 για t (καθοδήγηση) x α (t) για t (διαταραχή) Από τη σχέση (8.1) προκύπτει για τη συμπεριφορά καθοδήγησης: X w (s) = X f (s) X α (s) = 1 s [ 1 R(s)S(s) ] 1 + R(s)S(s) = 1 s 1 1 + R(s)S(s) X w (s) = B s m + B 1 s m 1 +... + B m A s n + A 1 s n 1 +... + A n, με m < n (8.13) Από τη σχέση (8.3) προκύπτει για τη συμπεριφορά διαταραχής: X α (s) = 1 s S(s) 1 + R(s)S(s) X α (s) = C s k + C 1 s k 1 +... + C k A s n + A 1 s n 1 +... + A n, με k < n (8.14) Στην περίπτωση που για t στη σχέση (8.13) η x α (t) δεν τείνει προς τη μονάδα και στη σχέση (8.14) η x α (t) δεν τείνει προς το μηδέν αλλά προς μια σταθερά x α ( ), σχηματίζεται η διαφορά: X(s) = x α( ) s X α (s) Η μετασχηματισμένη κατά Laplace, συνάρτηση μεταφοράς, X(s) είναι επίσης μια κλασματική ρητή συνάρτηση με m < n. Στη συνέχεια δίνεται μέθοδος για τον υπολογισμό της ρυθμιστικής απόκλισης x w (t), περίπτωση μεταβλητής καθοδήγησης, ή της ρυθμιζόμενης μεταβλητής x α (t), περίπτωση διαταραχής, και της x(t) από τη λύση της ομογενούς διαφορικής εξίσωσης: A d n x dt n + A 1 d n 1 x dt n 1 +... + A nx = (8.15)

Ενότητα 8.2 13 με μία κατάλληλη επιλογή των αρχικών συνθηκών: x( + ), ẋ( + ),..., x (n 1) ( + ) Για τον προσδιορισμό των αρχικών συνθηκών εφαρμόζεται ο μετασχηματισμός κατά Laplace στη σχέση (8.15): ] n [ A [s n X(s) x (k 1) ( + )s n k +... + A n 1 sx(s) x( + ) ] + A n X(s) k=1 από την οποία προκύπτει: X(s) = n A k=1 x (k 1) ( + )s n k +... + A n 1 x( + ) A s n +... + A n 1 s + A n (8.16) Από το μονοσήμαντο του μετασχηματισμού κατά Laplace και με σύγκριση των αριθμητών των σχέσεων (8.13) και (8.16) ή αντίστοιχα (8.14) και (8.16) προκύπτει ένα γραμμικό σύστημα εξισώσεων για τον προσδιορισμό των αρχικών συνθηκών: x( + ), ẋ( + ),..., x (n 1) ( + ) από τους συντελεστές: B,.., B m ή C,..., C k Από τα προαναφερόμενα συμπεραίνεται ότι η συνάρτηση x(t) θεωρείται πάντα ως η λύση της ομογενούς διαφορικής εξίσωσης με γνωστές τις αρχικές συνθήκες. Το γενικό τετραγωνικό βέλτιστο: Τα ολοκληρωτικά κριτήρια διερεύνησης της ποιότητας ρύθμισης παρουσιάζουν όλα το σοβαρό μειονέκτημα ότι λαμβάνουν υπόψη, μόνο, τη συμπεριφορά της x(t) και όχι των παραγώγων: ẋ(t), ẍ(t),..., x (n 1) οι οποίοι επηρεάζουν αισθητά τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος.

Ενότητα 8.2 14 Στις περισσότερες περιπτώσεις είναι απαραίτητη και η διερεύνηση των παραγώγων κατά τη βελτιστοποίηση του συστήματος ρύθμισης και ιδιαίτερα όταν από κατασκευαστικές αιτίες δεν είναι επιθυμητές γρήγορες μεταβολές της x(t). Στη συνέχεια θα δοθούν δύο μέθοδοι υπολογισμού του γενικού εμβαδού ρύθμισης: I 3 = [ x 2 (t) + τ 2 ẋ 2 (t) ] dt (8.17) 8.2.7.1 Η μέθοδος του Mandelstam για τον προσδιορισμό του γενικού εμβαδού ρύθμισης Τη βάση για τον υπολογισμό του γενικού εμβαδού ρύθμισης I 3 αποτελεί η ομογενής διαφορική εξίσωση της x(t) [3]. Για την καλύτερη κατανόηση της μεθόδου του Mandelstam [4] επιλέγεται το σύστημα ρύθμισης δευτέρας τάξης που περιγράφεται από την ομογενή διαφορική εξίσωση: A ẍ(t) + A 1 ẋ(t) + A 2 x(t) = (8.18) με τις ακόλουθες αρχικές συνθήκες: x() = x ẋ() = ẋ Με πολλαπλασιασμό της σχέσης (8.18) με ẋ(t) και x(t) και στη συνέχεια ολοκλήρωση των δύο αυτών εξισώσεων με όρια μέχρι προκύπτει: A ẍẋ + A 1 ẋ 2 + A 2 xẋ = A ẍx + A 1 ẋx + A 2 x 2 =...dt...dt (8.19) Από τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων προκύπτει: ẍẋdt = ẋ2 2, xẋdt = x2 2, ẍxdt = xẋ ẋ 2 dt

Ενότητα 8.2 15 Για τιμές του t η συνάρτηση x(t) και οι παράγωγοι αυτής τείνουν προς το μηδέν. Επομένως προκύπτει: ẍẋdt = ẋ2 2, xẋdt = x2 2, ẍxdt = x ẋ ẋ 2 dt Το ολοκλήρωμα: x 2 dt καλείται πρακτικό βέλτιστο I 2. Με την αντικατάσταση: ẋ 2 dt I 3 προκύπτει από τη σχέση (8.19): A ẋ 2 2 + A 1I 3 A 2 x 2 2 = A x ẋ A I 3 A 1 x 2 2 + A 2I 2 = (8.2) Λύνοντας το σύστημα των εξισώσεων (8.2) προκύπτει: I3 = A ẋ 2 A 1 2 + A 2 x 2 A 1 2 (8.21) I 2 = ( A1 + A ) x 2 A 2 A 1 2 + A x ẋ + A2 ẋ 2 A 2 A 1 A 2 2 (8.22) όπου I 3 = I 2 + τ 2 I3. Με τον τρόπο αυτό έγινε ο υπολογισμός του γενικού τετραγωνικού εμβαδού ρύθμισης για τυχαίες τιμές του τ. Για τ = προκύπτει το τετραγωνικό εμβαδό ρύθμισης I 2 χωρίς την εφαρμογή των συχνοτήτων.

Ενότητα 8.2 16 Παράδειγμα 8.2.1. Για το γνωστό παράδειγμα της ενότητας 8.2.6 εφαρμόζεται η μέθοδος βελτιστοποίησης του Mandelstam. Θα γίνει η προσπάθεια βελτιστοποίησης του συστήματος ρύθμισης με την ακόλουθη συνάρτηση μεταφοράς: Φ(s) = X α(s) X f (s) = 1 s 2 + 2βs + 1 Για τη μετασχηματισμένη κατά Laplace ρυθμιστικής απόκλισης x w (t) ισχύει: X w (s) = X f (s) X α (s) = 1 s [ 1 ] 1 = s 2 + 2βs + 1 s + 2β s 2 + 2βs + 1 (8.23) Στη συνέχεια προσδιορίζονται οι αρχικές συνθήκες για τις οποίες η ρυθμιστική απόκλιση x w (t) είναι μια λύση της ομογενούς διαφορικής εξίσωσης: d 2 x(t) dt 2 + 2β dx(t) dt = Με μετασχηματισμό κατά Laplace της διαφορικής εξίσωσης προκύπτει: X w (s) = X ( s) = x(+ )s + ẋ( + ) + 2βx( + ) s 2 + 2βs + 1 (8.24) Συγκρίνοντας τους αριθμητές των δύο μετασχηματισμένων κατά Laplace (8.23) και (8.24) της συνάρτησης x(t) προκύπτουν οι αρχικές συνθήκες: x( + ) = 1 ẋ( + ) + 2βx( + ) = 2β ẋ( + ) = Με την αντικατάσταση: A = A 2 = 1 και A 1 = 2β στις σχέσεις (8.21) και (8.22) προκύπτει: I 3 = 1 4β και I 2 = β + 1 4β

Ενότητα 8.2 17 Η καμπύλη του I 2 είναι γνωστή από το σχήμα 8.6 και στη συγκεκριμένη περίπτωση παρουσιάζει το ελάχιστο στο σημείο β =.5: di 2 dβ = 1 4 16β = β =.5 2 Με επιλογή τ = 1 στη σχέση (8.17) προκύπτει για το γενικό τετραγωνικό εμβαδό I 3 : I 3 = (x 2 + ẋ 2 )dt = I 2 + I 3 I 3 = β + 1 2β d I 3 dβ = 1 1 2β = 2 β = 1 =.77 2 Το ελάχιστο της καμπύλης του I 3 βρίσκεται στο σημείο β =.77. 8.2.7.2 Η μέθοδος του Feldbaum Η μέθοδος βελτιστοποίησης συστημάτων αυτόματης ρύθμισης του Feldbaum [5] συμπεριλαμβάνει κατά τον υπολογισμό του ολοκληρωτικού κριτηρίου εκτός από την πρώτη παράγωγο και τις υπόλοιπες μέχρι (n 1) παραγώγους. Ο Feldbaum δίνει ως ολοκληρωτικό κριτήριο την ακόλουθη σχέση: I A = V dt (8.25) όπου V θετική (definite) τετραγωνική μορφή των μεταβλητών x 1,.., x n : n V = α jk x j x k (8.26) j,k=1

Ενότητα 8.2 18 όπου α jk = α kj και οι x 1,.., x n είναι ίσοι με τη συνάρτηση x(t) και τις παραγώγους αυτής: x = x 1 ẋ = x 2 ẍ = x 3. x (n 1) = x n (8.27) Η συνθήκη ότι η V είναι θετικά ορισμένη σημαίνει ότι: V > για x 2 1 + x 2 2 +... + x 2 n > Από τα αναφερόμενα στο προηγούμενο κεφάλαιο για ευσταθή συστήματα η συνάρτηση x(t) και οι παράγωγοι αυτής για t μηδενίζονται. Επομένως ισχύει: V για t Στη συνέχεια θα αποδειχθεί ότι ο υπολογισμός του ολοκληρωτικού κριτηρίου I 4 δεν είναι τόσο πολύπλοκος γιατί δεν απαιτεί λύση της ομογενούς διαφορικής εξίσωσης ούτε τη λύση του ολοκληρώματος. Αρχικά μετατρέπεται η ομογενής διαφορική εξίσωση n τάξης για τη μεταβλητή x(t) σε ένα σύστημα από n διαφορικές εξισώσεις για τις συναρτήσεις x 1,..., x n οπότε προκύπτει: dx 1 (t) = x 2 (t) dt dx 2 (t) = x 3 (t) dt. dx (n 1) (t) = x n (t) dt dx n (t) = 1 n A ν x n ν+1 dt A ν=1 (8.28) Οι γνωστές αρχικές συνθήκες της ομογενούς διαφορικής εξίσωσης είναι οι αρχικές συνθήκες των συναρτήσεων x 1,..., x n :

Ενότητα 8.2 19 x 1 ( + ) = x( + ) x 2 ( + ) = ẋ( + ). x n ( + ) = x (n 1) ( + ) (8.29) Για τον υπολογισμό του ολοκληρωτικού κριτηρίου: I 4 = V dt δίνεται μια νέα τετραγωνική μορφή: n W = β ij x i x j (8.3) i,j=1 όπου β ij = β ji. της οποίας οι συντελεστές προσδιορίζονται κατά τέτοιο τρόπο ώστε να ισχύει: dw dt = V (8.31) για κάθε λύση x 1 (t),..., x n (t) του συστήματος (8.28). Όπως για τη μεταβλητή V έτσι και για τη μεταβλητή W ισχύει: W για t Επομένως από το ολοκλήρωμα I 4 προκύπτει: I 4 = V dt = dw = W = W () (8.32) Από τη σχέση (8.32) διαπιστώνεται ότι ο υπολογισμός του ολοκληρώματος I 4 είναι πολύ εύκολος όταν οι συντελεστές b ij της τετραγωνικής μορφής W προσδιορίζονται

Ενότητα 8.2 2 από τη συνθήκη (8.31). Για τον υπολογισμό επομένως του ολοκληρώματος I 4 ισχύει: n I 4 = W () = b ij x i ( + )x j ( + ) (8.33) i,j=1 Οι αρχικές συνθήκες του δεξιού σκέλους της σχέσης (8.33) έχουν ήδη οριστεί με τη σχέση (8.29). Στη συνέχεια δίνεται η μέθοδος για τον υπολογισμό των συντελεστών b ij της σχέσης (8.33). Με παραγώγιση της σχέσης (8.3) ως προς t προκύπτει: dw dt = n i=1 W dx i dx i dt = n j,k=1 α jk x j x k (8.34) Με αντικατάσταση από το σύστημα διαφορικών εξισώσεων (8.28) προκύπτει: W n = 2 b ij x j (8.35) dx i j=1 Συγκρίνοντας του συντελεστές των μελών x j x k στα δύο σκέλη της σχέσης (8.34) προκύπτει ένα σύστημα εξισώσεων για τον προσδιορισμό των συντελεστών b ij από τους συντελεστές a jk. Για πρακτικές εφαρμογές γίνεται η επιλογή: α jk = για j k, επομένως η μεταβλητή V λαμβάνει την ακόλουθη μορφή: V = α 11 x 2 1 + α 22 x 2 2 +... + α nn x 2 n (8.36) Για την περίπτωση που όλοι οι παράγωγοι ληφθούν υπόψη με το ίδιο βάρος ισχύει: α jj = 1 για j = 1,..., n, επομένως ισχύει: V = x 2 1 + x 2 2 +... + x 2 n (8.37) Για πολλές εφαρμογές μηδενίζονται αρκετές αρχικές συνθήκες x 1 ( + ), ώστε να μην είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα I 4 για όλους τους συντελεστές b ij. Το γεγονός αυτό έχει ιδιαίτερη σημασία για τον υπολογισμό της λύσης του συστήματος εξισώσεων με τη μέθοδο του Cramer.

Ενότητα 8.2 21 Ανακεφαλαιώνοντας για την εφαρμογή της μεθόδου βελτιστοποίησης του Feldbaum [5] έχουμε: 1. Κατάστρωση της ομογενούς διαφορικής εξίσωσης για x(t) με τις αρχικές συνθήκες. 2. Μετατροπή της ομογενούς διαφορικής εξίσωσης σε σύστημα διαφορικών εξισώσεων. 3. Ορισμός της δομής της μεταβλητής V με κατάλληλη επιλογή των συντελεστών α jk. 4. Κατάστρωση της συνάρτησης για τη μεταβλητή W (σχέση (8.3)). 5. Προσδιορισμός των συντελεστών b ij της συνάρτησης W από τους συντελεστές α jk. 6. Υπολογισμός του ολοκληρώματος I 4 από τη σχέση I 4 = W (). 7. Υπολογισμός του ελάχιστου του I 4. Παράδειγμα 8.2.2. Για το σύστημα ρύθμισης με την ακόλουθη συνάρτηση μεταφοράς: F (s) = X α(s) X f (s) = 1 s 2 + 2βs + 1 θα γίνει προσπάθεια βελτιστοποίησης της λειτουργίας του με τη βοήθεια της μεθόδου του Feldbaum. Η ομογενής διαφορική εξίσωση και οι αρχικές συνθήκες αυτής προσδιορίστηκαν στο προηγούμενο παράδειγμα με τη μέθοδο του Mandelstam: d 2 x dt + 2β dx dt + x = και x( + ) = 1 ẋ( + ) = από τις οποίες προκύπτει το αντίστοιχο σύστημα διαφορικών εξισώσεων: ẋ 1 = x 2 x 1 ( + ) = 1 ẋ 2 = 2βx 2 x 1 x 2 ( + ) =

Ενότητα 8.2 22 Επομένως μπορεί να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα: I 4 = V dt με V = x 2 + τẋ 2 = x 2 1 + τx 2 2 Για τη συνάρτηση της μεταβλητής W δίνεται: W = b 11 x 2 1 + 2b 12 x 1 x 2 + b 22 x 2 2 με τις ακόλουθες επί μέρους παραγώγους της W ως προς x 1 και x 2 : W x 1 = 2b 11 x 1 + 2b 12 x 2 W x 2 = 2b 12 x 1 + 2b 22 x 2 Από τη συνθήκη: προκύπτει: dw dt = V 2(b 11 x 1 + b 12 x 2 )x 2 2(b 12 x 1 + b 22 x 2 )(2bx 2 + x 1 ) = x 2 1 τx 2 2 Η σύγκριση των συντελεστών δίνει το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων: x 2 1 : 2b 12 = 1 b 12 = 1 2 x 1 x 2 : 2b 11 4βb 12 2b 22 = b 22 = τ + 1 4β x 2 2 : 2b 12 4βb 22 = τ b 11 = β + τ + 1 4β Από τη σχέση W () προκύπτει: I 4 = β + τ + 1 4β

Ενότητα 8.2 23 Για την περίπτωση τ = υπολογίζεται το τετραγωνικό εμβαδό ρύθμισης από τη σχέση: I 2 = β + 1 4β I 2 β = 1 1 4β 2 από την οποία προκύπτει: β =.5 Για την περίπτωση τ = 1 προκύπτει: I 3 = β + 1 2β I 3 β = 1 1 2β 2 επομένως το ελάχιστο βρίσκεται στο σημείο: β = 1 2 =.77 Συγκρίνοντας τις τιμές της παραγώγου β που προκύπτουν από την εφαρμογή της μεθόδου του Feldbaum διαπιστώνεται ότι είναι οι ίδιες με αυτές που προκύπτουν από την εφαρμογή της μεθόδου του Mandelstam. Παράδειγμα 8.2.3. Δίνεται μια διεργασία ρύθμισης με ολοκληρωτική συμπεριφορά και καθυστέρηση 1 ης τάξης στην οποία πρόκειται να γίνει η εφαρμογή ενός P - ρυθμιστή. Για τις συναρτήσεις μεταφοράς της διεργασίας ρύθμισης και του P - ρυθμιστή ισχύει: και F R (s) = V. F s (s) = 1 τs(1 + st ) Για μια βηματική διαταραχή z(t) στην είσοδο της διεργασίας ρύθμισης πρέπει ο ρυθμιστής να βαθμονομηθεί κατά τέτοιο τρόπο ώστε να επιτευχθεί μια απεριοδική ρύθμιση με ελάχιστο γραμμικό εμβαδό ρύθμισης. Λύση:

Ενότητα 8.2 24 Για το σήμα εξόδου ισχύει: X α (s) = z s 1 τs(st + 1) + V Για την επίτευξη της απεριοδικής ρύθμισης όπως προκύπτει από τη σχέση: p 2 T τ + pτ + V = πρέπει για την ενίσχυση του ρυθμιστή να ισχύει: V τ < 1 4T Το γραμμικό εμβαδό ρύθμισης δίνεται από τη σχέση: S = [x α ( ) x α (t)] dt { 1 = lim s s lim [ ]} s Xα (s) X(s) s [ ] 1 = lim z s V s 1 s [V + sτ(1 + st )] [ ] V + sτ(1 + st ) V = lim z s sv [V + sτ(1 + st )] = τz V 2 Από τα προαναφερόμενα συμπεραίνεται ότι με αυξανόμενη την ενίσχυση V του P -ρυθμιστή, ελαττώνεται το εμβαδό ρύθμισης. Από τη μέγιστη επιτρεπόμενη ενίσχυση του P -ρυθμιστή στην περίπτωση απεριοδικής ρύθμισης προκύπτει: V = τ 4T (απεριοδικό όριο) το ελάχιστο εμβαδό ρύθμισης S = z 16T 2 τ και συνεπώς ο P -ρυθμιστής πρέπει να βαθμονομηθεί με την ενίσχυση V = τ 4T

Ενότητα 8.3 25 8.3 Παραδείγματα σε Matlab Παραδείγμα 1. Για το πρόβλημα της ρύθμισης της συγκέντρωσης θυροξίνης στο αίμα να γίνει ο βέλτιστος σχεδιασμός του συντελεστή ενίσχυσης με βάση τον ολοκληρωτικό δείκτη απόδοσης ΙΑΕ. R(s) + Ενίσχυση K Υπόφυση 4 s+1 Θυρεοειδής Αδένας 2 s(s+5) Y(s) συγκέντρωση θυροξίνης (Τ4) Λύση: Η βελτιστοποίηση της απόκρισης κλειστού βρόχου σε μια βηματική αλλαγή με το κριτήριο ΙΑΕ μπορεί να υλοποιηθεί με βάση το παρακάτω πρόγραμμα Matlab: 1 k i t e r = ; f o r K =. 5 :. 5 : 9 4 ; 3 sys1 = t f (K, 1 ) ; sys2 = t f ( 4, [ 1 1]) ; 5 sys3 = t f ( 2, [ 1 5 ]) ; sys12 = s e r i e s ( sys1, sys2 ) ; 7 sysopen = s e r i e s ( sys12, sys3 ) ; s y s c l o s e d = feedback ( sysopen, 1 ) ; 9 [ y, t ] = step ( sysclosed,1) ; 11 k i t e r = k i t e r +1; 13 Ksave ( k i t e r ) = K; 15 e ( k i t e r ) = sum( abs ( y 1) ) ; [K e ( k i t e r ) ] 17 end p l o t ( Ksave, e ) Όπως φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα ΙΑΕ-Κ, το ΙΑΕ δεν είναι μονότονη συνάρτηση του Κ. Υπάρχουν μέγιστα και ελάχιστα για τα οποία δίνουμε παρακάτω τις αποκρίσεις. Επίσης παρατηρείστε από τις χρονικές αποκρίσεις ότι για Κ = 93.75 το σύστημα χάνει στην ευστάθεια του (βρίσκεται στο όριο της ταλάντωσης).

Ενότητα 8.3 26 Παραδείγμα 1. Συνέχεια To διάγραμμα ΙΑΕ ως προς K δίνεται στο ακόλουθο σχήμα. 1 9 8 IAE(<t<1) 7 6 5 4 3 2 1 X: 14.25 Y: 2.55 1 2 3 4 5 6 7 8 K Η απόκριση για K =.2 δίνεται στο σχήμα: 1.9.8.7 c(t4).6.5.4.3.2.1 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 t

Ενότητα 8.3 27 Παραδείγμα 1. Συνέχεια Η απόκριση για K = 6.5 δίνεται στο σχήμα: 1.9.8.7.6 c(t4).5.4.3.2.1 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 t Αντίστοιχα για K = 14.35: 1.2 1.8 c(t4).6.4.2 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 t

Ενότητα 8.3 28 Παραδείγμα 1. Συνέχεια Η απόκριση για K = 4 δίνεται στο σχήμα: 1.5 1 c(t4).5 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 t Αντίστοιχα για K = 93.75: 2 1.8 1.6 1.4 1.2 c(t4) 1.8.6.4.2 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 t

Ενότητα 8.4 29 8.4 Ασκήσεις κεφαλαίου Άσκηση 1. Ακολουθώντας το παράδειγμα της ενότητας 8.3, υπολογίστε τις βέλτιστες τιμές του συντελεστή ενίσχυσης με τα άλλα ολοκληρωτικά κριτήρια. Άσκηση 2. Αν αντί για τον αναλογικό ρυθμιστή χρησιμοποιηθεί αναλογικός ολοκληρωτικός, βρείτε τις βέλτιστες τιμές των συντελεστών ενίσχυσης με το κριτήριο ΙΑΕ.

Βιβλιογραφία Κεφαλαίου [1] R. G. Lyons, Understanding Digital Signal Processing. Prentice Hall, 3rd ed., 21. [2] L. Oldenburg and H. Sartorius, A uniform approach to the optimum adjustments of control loops. NY: The MacMillan Co., 1956. [3] K. J. Aström and P. Kumarb, Control: A perspective, Automatica, vol. 5(1), pp. 3 43, 214. [4] W. Yourgrau and S. Mandelstam, Variational Principles in Dynamics and Quantum Theory. Pitman, 1968. [5] A. Feldbaum, Optimal Control Systems. NY: Academic Press, 1965. Translated from Russian by A. Kraiman. 3