ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΡΔΙΤΣΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΑΣΟΠΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΦΥΣΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Σημειώσεις Εργαστηρίου στο μάθημα: ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Βασικές Έννοιες και Ασκήσεις Δρ. Αντώνιος Καραγεώργος Χειμερινό εξάμηνο 009-10 Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή...4 Αριθμοί...4 Συνάρτηση...4 Συντομογραφία Συνάρτησης...4 Τιμές Συνάρτησης...5 Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων...5 Γραφική Παράσταση Συνάρτησης...5 Ασκήσεις...6 Κεφάλαιο Η συνάρτηση της ευθείας...7 Το γράφημα της ευθείας...7 Κατασκευή γραφική παράστασης....7 Οι συντελεστές της συνάρτησης...8 Οι ρίζες της συνάρτησης...8 Ασκήσεις...9 Κεφάλαιο 3 Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων...10 Πίνακες & Ορίζουσες...10 σύστημα...10 Επίλυση συστήματος με ορίζουσες...11 3 3 σύστημα...11 Ασκήσεις...1 Κεφάλαιο 4 Η συνάρτηση της παραβολής...14 Τριώνυμο...14 Ρίζες του τριωνύμου...14 Παραγοντοποίηση του τριωνύμου...14 Γραφική παράσταση του τριωνύμου...14 Ανισώσεις ου βαθμού...16 Ασκήσεις...16 Κεφάλαιο 5 Παράγωγοι μίας μεταβλητής...19 Παράγωγος και Εφαπτόμενη Ευθεία...19 Κανόνες Παραγώγισης...19 Εφαπτόμενη ευθεία...0 Μονοτονία...1 Ακρότατα συναρτήσεων 1 μεταβλητής...1 Ασκήσεις... Κεφάλαιο 6 Ολοκληρώματα μίας μεταβλητής...5 Αόριστο ολοκλήρωμα απλών συναρτήσεων...5 Μέθοδοι Ολοκλήρωσης...5 Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ:

Βασικές Ιδιότητες Ορισμένων ολοκληρωμάτων...6 Εμβαδόν Χωρίου...6 Ασκήσεις...7 Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 3

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Αριθμοί Φυσικοί 0,1,,3, Ακέραιοι 0, 1,, 3, Ρητοί,, 0 Πραγματικοί Αν, με, :: x, :: x, ::x, ::x, :: x, :: x, ::x, ::x Συνάρτηση Κάθε διαδικασία αντιστοίχησης η οποία αντιστοιχεί σε κάθε στοιχείο του συνόλου A ένα μόνο στοιχείο του B λέγεται συνάρτηση. Σχηματικά η κατάσταση έχει ως εξής. A f B a b c d 1 7 3 9 Συντομογραφία Συνάρτησης Έστω λοιπόν ένα σύνολο A και μία συνάρτηση f η οποία απεικονίζει το σύνολο A σε ένα σύνολο B. Δηλαδή, f : A B Το σύνολο A λέγεται πεδίο ορισμού και το B σύνολο τιμών της συνάρτησης f και συμβολίζεται με B f( A). Παραδείγματα: f( x) 3x f ( x) 3x x1 1 x 3 f ( x) x x Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 4

Τιμές Συνάρτησης Θεωρούμε μία πραγματική συνάρτηση f με πεδίο ορισμού A. Για να βρούμε τις τιμές μίας συνάρτησης αντικαθιστούμε στον τύπο της την δοσμένη τιμή. π.χ Αν f ( x) x 3x 1 τότε f (1) 1 311 0 f (3) 3 331 10 f ( 1) ( 1) 3( 1) 1 6 f ( ) 3 15 3 Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων Θεωρούμε δύο ευθείες ( x ' x και y ' y ) κάθετες μεταξύ τους και αριθμημένες με ίσα διαστήματα (ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων). y 3 1 (,3) x' 1 3 x y' Κάθε σημείο του επιπέδου προβάλλεται στους δύο άξονες σε δύο συντεταγμένες. A,3 και του Να μην γίνει σύγχυση στο συμβολισμό του σημείου ανοικτού διαστήματος x,3. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης Η γραφική παράσταση μίας συνάρτησης αποτελείται από όλα τα σημεία με συντεταγμένες x, f( x ). Δηλαδή από τα σημεία του επιπέδου, τα «καλά» είναι τα f C x, y y f( x). Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 5

Ασκήσεις 1. Να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: 3 x 4x 3x a. x x 4 x 1x x b. 3 3 x 4x x x. Να αποδείξετε ότι: a. x 1 3 x4 3 53x 3 3 x1x45 3x b. 1 3. Να λύσετε τις εξισώσεις: a. x 4 x 3 4 1 5 3 b. 1 1 x1 x1 x 1 x1 x 1 0 c. 3 d. x x4 x 4x x4 0 e. 3 x 4 x x x x 4. Να λύσετε τις ανισώσεις: a. x 1 x3 x 4 6 b. 1 x x 5. Να αποδείξετε ότι: a. 1 0 b. Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 6

Κεφάλαιο Η συνάρτηση της ευθείας Το γράφημα της ευθείας Πιθανές γραφικές παραστάσεις της συνάρτησης της ευθείας είναι: ω yx 0 ω yx 0 Ενώ η παρακάτω ευθεία δεν είναι γράφημα της συνάρτησης της ευθείας, μάλιστα δεν είναι καν συνάρτηση. y xx 0 Κατασκευή γραφική παράστασης. «Κάθε ευθεία ορίζεται πλήρως από σημεία της» Παράδειγμα: Σχεδιάστε την ευθεία με εξίσωση y x 1. Δίνουμε αυθαίρετες τιμές στο x και υπολογίζουμε τις αντίστοιχες τιμές του y από τον τύπο της ευθείας. x 0 1 y 1 Έπειτα βρίσκουμε στο επίπεδο τα σημεία αυτά, δηλαδή στη συγκεκριμένη περίπτωση τα σημεία 0,1 και (1, ), τα ενώνουμε, προεκτείνουμε και βρήκαμε την ζητούμενη ευθεία, yx1 1 1 Παράδειγμα: Σχεδιάστε την ευθεία εξίσωση με y x 1. Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα πριν φτιάχνουμε τον πίνακα τιμών x 0 1 y 1 0 Βρίσκουμε στο επίπεδο τα σημεία 0,1 και 1, 0, σχεδιάζουμε την ευθεία Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 7

1 1 yx1 Οι συντελεστές της συνάρτησης Στην παράγραφο αυτή θα χαρακτηρίσουμε τους συντελεστές, της y x. ω yx ( ) 0 ω yx ( ) 0 y a(0) 0 Τα παραπάνω γραφήματα υποδεικνύουν ότι η παράμετρος -ως συντελεστής του x- ισούται με την εφαπτομένη της γωνίας που η ευθεία σχηματίζει με τον οριζόντιο άξονα. Είναι δηλαδή ένας δείκτης της κλίσης της ευθείας. Αν 0 η ευθεία είναι αύξουσα, αν 0 η ευθεία είναι σταθερή και αν 0 η ευθεία είναι φθίνουσα. Επίσης από τα γραφήματα βλέπουμε ότι η παράμετρος είναι το σημείο τομής της ευθείας με τον άξονα y' y. Οι ρίζες της συνάρτησης «Ρίζα συνάρτησης f ( x) είναι κάποιο x0 τέτοιο ώστε f( x0 ) 0» Ειδικότερα, ρίζα της συνάρτησης f( x) x είναι ένα x0 τέτοιο ώστε f( x0) x0 0 Στο παρακάτω γράφημα μπορούμε να δούμε μία ευθεία και την ρίζα της. Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 8

Ασκήσεις 1. Να σχεδιάσετε την ευθεία y 3x 5. Να βρείτε τη ρίζα της και να την εντοπίσετε στο σχήμα.. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας όταν: a. A0,1, B1,0 3 b. c. 30 και A1, και A3, 0 3. Να βρείτε τα κοινά σημεία των ευθείων: a. y 3 και y x 4 b. y 3x και y x 4. Να βρείτε τη ρίζα της ευθείες όταν αυτή ορίζεται από τα σημεία y 1 τομής των ευθειών και των ευθειών y 3x 4 y x 5 y x 8 5. Να λύσετε τις ανισώσεις 3x 1 x 5 και x 1 x. Έπειτα να συναληθεύσετε τα αποτελέσματα. Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 9

Κεφάλαιο 3 Σύστημα Γραμμικών Εξισώσεων Πίνακες & Ορίζουσες Ορισμός: Κάθε ορθογώνια διάταξη αριθμών αποτελούμενη από n γραμμές και m στήλες ονομάζεται n m πίνακας. 1 4 7 π.χ η διάταξη A 4 50 7 είναι ένας 3 3 πίνακας. 65 87 6 Ορισμός: Ορίζουσα ενός τετραγωνικού (, 3 3, κλπ) πίνακα είναι ένας πραγματικός αριθμός που υποδηλώνει την κατάσταση του πίνακα. Υπολογισμός ορίζουσας: Η ορίζουσα ενός πίνακα υπολογίζεται ως εξής: Η ορίζουσα ενός 3 3 πίνακα υπολογίζεται ως εξής: σύστημα Ορισμός: Δύο γραμμικές συναρτήσεις δύο μεταβλητών συνιστούν ένα σύστημα. Σκοπός μας είναι να βρούμε τα κοινά σημεία (αν υπάρχουν) των δύο ευθειών. Οι ευθείες αυτές είτε θα είναι παράλληλες, είτε θα ταυτίζονται είτε θα τέμνονται σε ένα σημείο. Συγκεκριμένα: Όταν το σύστημα είναι αδύνατο, οι ευθείες είναι παράλληλες και αντίστροφα.. Όταν το σύστημα είναι αόριστο, οι ευθείες ταυτίζονται και αντίστροφα. Όταν το σύστημα έχει μία λύση, οι ευθείες τέμνονται σε ένα σημείο και αντίστροφα. Μάλιστα το σημείο τομής έχει ως συντεταγμένες τη λύση του συστήματος. Δείτε το παρακάτω σχήμα. Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 10

Επίλυση συστήματος με ορίζουσες 1x1y 1 Θεωρούμε το σύστημα Οι ορίζουσες που θα x y χρειαστούμε είναι. 1 1 D, 1 1 D x, 1 1 D y Για τη λύση-διερεύνηση του συστήματος έχουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις: Αν D 0 D Μοναδική λύση (, ) x D y xy, D D Αν D 0 & Dx 0 Αν D 0 & D 0 Το σύστημα είναι αδύνατο y Αν D 0 & Dx 0 & Dy 0 Το σύστημα είναι αόριστο* * εκτός αν ' ' 0 και 0 ή ' 0 οπότε είναι αδύνατο 3 3 σύστημα Ένα 3 3 σύστημα αποτελείται από 3 εξισώσεις με 3 αγνώστους η κάθε μία. Φυσικά αναφερόμαστε σε γραμμικές εξισώσεις οπότε το γράφημα της κάθε μιας είναι ένα επίπεδο στον τρισδιάστατο χώρο. Για την λύση των συστημάτων αυτών θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο των οριζουσών. Ας υποθέσουμε ότι το 3 3 σύστημα είναι το εξής: 1x1y1z 1 x yz x yz Οι ορίζουσες σε αυτήν την περίπτωση είναι: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 D, D x, D y, D z 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 11

Η επίλυση με ορίζουσες του 3 3 συστήματος ακολουθεί τους ίδιους κανόνες όπως και στα συστήματα. D D x π.χ αν D 0 το σύστημα έχει μοναδική λύση x, y Dz y, z D D D αντίστοιχα «δουλεύουν» και οι άλλες περιπτώσεις. Ασκήσεις 1. Να λύσετε τα συστήματα: x y 4 a. x y x y 6 3 b. x y 5 4 c. d. b. c. d. 3x 4 y 7 x y x y x y x y x x y x y 0,5 1 3 0,5 3 7 9 16 6 4 46 8 4 7. Να υπολογίσετε τις ορίζουσες: x xy y x y a. x xy y x y 3 1 5 5 1 1 1 1 1 0 1 1 1 3 1 1 1 1 3 4 1 3. Να σχεδιάσετε την ευθεία που έχει εξίσωση: x y 1 3 3 4. Να λύσετε τα συστήματα με την μέθοδο των οριζουσών: Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 1

a. b. c. x3y4z 4 11 x y3z x 5y z 11 3 3x yz 1 x yz 5 9x4z x y3z 1 x y z 1 x yz 5 5. Να λυθούν και να διερευνηθούν τα συστήματα: xy x a. x y11 y b. 1 x11y 11 xy 1 Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 13

Κεφάλαιο 4 Η συνάρτηση της παραβολής Τριώνυμο Η συνάρτηση f( x) x x με 0 ονομάζεται τριώνυμο και είναι μια πολυωνυμική συνάρτηση ου βαθμού. Διακρίνουσα του τριωνύμου αυτού είναι ο αριθμός 4 Ρίζες του τριωνύμου Για την λύση της εξίσωσης ου βαθμού x x 0 χρησιμοποιούμε τη διακρίνουσα 4. Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: 1. Αν 0, το τριώνυμο έχει δύο πραγματικές ρίζες: 1,. Αν 0, το τριώνυμο έχει μία «διπλή» πραγματική ρίζα: 3. Αν 0, το τριώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες. Παραγοντοποίηση του τριωνύμου Η παραγοντοποίηση του τριωνύμου εξαρτάται από τη διακρίνουσα και τις ρίζες της, συγκεκριμένα διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: 1. Αν 0, το τριώνυμο έχει δύο πραγματικές ρίζες 1, και παραγοντοποιείται ως εξής: f( x) x x x1 x. Αν 0, το τριώνυμο έχει μία «διπλή» πραγματική ρίζα και παραγοντοποιείται ως εξής: f( x) x x x 3. Αν 0, το τριώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες και δεν παραγοντοποιείται. Γραφική παράσταση του τριωνύμου Η γραφική παράσταση του τριωνύμου εξαρτάται από το πρόσημο της διακρίνουσας και το πρόσημο του συντελεστή του x. Συγκεκριμένα το πρόσημο της διακρίνουσας καθορίζει το πλήθος των ριζών και το πρόσημο του καθορίζει τα κοίλα δηλαδή αν στρέφει το τριώνυμο τα «πόδια» του προς τα πάνω ή προς τα κάτω. Υπάρχουν 3 επιλογές για το πρόσημο της διακρίνουσας και δύο επιλογές για το πρόσημο του συντελεστή του x. Στο σύνολο έχουμε 6 περιπτώσεις. * Τα γραφήματα που ακολουθούν είναι τυχαία ως προς τις τιμές των ριζών, είναι όμως ακριβή ως προς το σχήμα σε σχέση με τα πρόσημα των και. Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 14

Στα δύο πρώτα γραφήματα έχουμε 0. 0 & 0 Δύο ρίζες, στρέφει τα κοίλα άνω 0 & 0 Δύο ρίζες, στρέφει τα κοίλα κάτω Στα επόμενα δύο γραφήματα έχουμε 0. 0 & 0 Μία ρίζα, στρέφει τα κοίλα άνω 0 & 0 Μία ρίζα, στρέφει τα κοίλα κάτω Στα τελευταία δύο γραφήματα έχουμε 0. 0 & 0 Καμία ρίζα, στρέφει τα κοίλα άνω 0 & 0 Καμία ρίζα, στρέφει τα κοίλα κάτω Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 15

Ανισώσεις ου βαθμού Θέλουμε να λύσουμε ανισώσεις ου βαθμού, δηλαδή ανισώσεις της μορφής x x 0 (ή ή ή ). Μέθοδος 1 Ισχύει ο εξής κανόνας: «Το τριώνυμο είναι ετερόσημο του για κάθε x ανάμεσα στις δύο ρίζες του, είναι ίσο με 0 ακριβώς στις ρίζες του και τέλος είναι ομόσημο του σε κάθε άλλη περίπτωση» Παράδειγμα: Να λύσετε την ανίσωση x 3x 0 Βρίσκουμε ότι οι ρίζες του είναι 1 1 και. Ο συντελεστής του x είναι το 1 που είναι αρνητικό, έτσι για κάθε x 1, το τριώνυμο είναι θετικό (ετερόσημο του 1). Η ανίσωση ζητάει να είναι το τριώνυμο θετικό, άρα η λύση της ανίσωσης είναι x 1,. Παράδειγμα: Να λύσετε την ανίσωση x 3x 0. Όπως είδαμε οι ρίζες είναι 1, και ανάμεσα σε αυτές ( x 1, ) το τριώνυμο είναι θετικό (ετερόσημο του 1). Το τριώνυμο πρέπει να είναι αρνητικό (σύμφωνα με την ανίσωση) έτσι η λύση είναι x,1, Παράδειγμα: Να λύσετε την ανίσωση x 1 0. Το τριώνυμο αυτό δεν έχει ρίζες, έτσι είναι παντού θετικό (ομόσημο του 1). Το τριώνυμο πρέπει να είναι αρνητικό (σύμφωνα με την ανίσωση) οπότε η ανίσωση είναι αδύνατη. Μέθοδος Ξεκινάμε με την γραφική παράσταση του αντίστοιχου τριωνύμου, δηλαδή του f( x) x x (φυσικά, για να γίνει η γραφική παράσταση, πρέπει βρούμε τη διακρίνουσα και τις ρίζες). Εφόσον κάνουμε τη γραφική παράσταση ψάχνουμε στον άξονα x ' x να βρούμε τα διαστήματα (ή τα σημεία) που απαντάνε στην ερώτηση που η ανίσωση έθεσε. Ασκήσεις 1. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις και να σχεδιάσετε τα αντίστοιχα τριώνυμα: a. x x8 0 b. x 11x8 0 c. x 3x3 0 d. x x1 0 e. x 3x1 0 Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 16

f. g. h. i. j. k. 1 9 x 3x 0 1 1 x x 3 9 x 5x 0 ( x 10x4)(x 7x5) 0 x 3 (3 ) 0 (13 ) 3( 1) 0 x x a x a. Αν 0 να δείξετε ότι η εξίσωση x x 0 έχει ρίζα το 1. 3. Να σχεδιάσετε το τριώνυμο που διέρχεται από τα σημεία 1, 0, 1,,, 4 4. Να δείξετε ότι αν η εξίσωση ( ) x 4ax4 0 έχει διπλή ρίζα τότε η εξίσωση ( ) x x3( ) 0 έχει δύο άνισες ρίζες. 5. Να διερευνηθεί η εξίσωση τιμές το. 6. Να διερευνηθεί η εξίσωση διάφορες τιμές του k. x x για τις διάφορες 3 0 k k x k x για τις ( 3 ) ( ) 3 0 7. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: a. ( x1) x1 0 b. 4 x a x a ( 1) 0 c. x x 0 d. (1 x) 4 e. x x1 13 x 1 x 6 f. x 3 x g. 4 x 1 x 1 8. Δίνεται η εξίσωση x 3 0. Για ποιες τιμές του οι ρίζες της εξίσωσης είναι αντίθετες; 9. Να λύσετε τις ανισώσεις: a. ( x1)( x 3x)( x x1) 0 b. x x x x x x ( 7 1)( 5 6)( 6) 0 Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 17

c. d. e. f. x (3 x ) 0 3 x 14x x7 0 3 (3 x x )( x x1) 0 3 3x 5x x 0 10. Να συναληθεύσετε τα παρακάτω συστήματα ανισώσεων: g. 3x 7 0 x 6x5 0 h. x 5 0 x 0 x x4 0 i. 3x 5 1x 13x14 0 0 3x 7 x j. x 1 1 x 3x k. 1 x x1 3 3 x x1 11. Για ποιες τιμές του x το τριώνυμο x 14x 50 παίρνει τιμές μεγαλύτερες από 5; Μικρότερες από 6; Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 18

Κεφάλαιο 5 Παράγωγοι μίας μεταβλητής Παράγωγος και Εφαπτόμενη Ευθεία f( x) f( x0 ) Έστω A( x0, f( x0)) Cf. Αν υπάρχει το όριο lim τότε xx0 x x0 λέμε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x 0 και η παράγωγος της f f ( x) f( x0 ) στο x 0 είναι το όριο αυτό, δηλαδή f '( x0 ) lim xx0 x x0 Γεωμετρικά μια παραγωγίσιμη συνάρτηση δεν παρουσιάζει ούτε κενά ούτε γωνίες. Φυσικά η συνάρτηση που ακολουθεί δεν είναι παραγωγίσιμη γιατί «κάνει» γωνία στο x0 1. Κανόνες Παραγώγισης Στον παρακάτω πίνακες βλέπουμε τις παραγώγους βασικών συναρτήσεων. ()' c 0 ( x)' 1 v v 1 ( x )' vx ( 1 x)' x ( x )' x ( x)' x x ( e )' e x Οι πέντε βασικές πράξεις αντιμετωπίζονται ως εξής: (ln x)' 1 x Γινόμενο αριθμού με συνάρτηση: f ( x0) ' f '( x0) Άθροισμα συναρτήσεων: f g'( x0) f '( x0) g'( x0) Γινόμενο συναρτήσεων: f g x0 f x0 g x0 f x0 g x0 Πηλίκο συναρτήσεων: ' '( ) '( ) ( ) ( ) '( ) f f '( x ) g( x ) f( x ) g'( x ) ( x ) g 0 0 0 0 0 gx ( 0) Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 19

Σύνθετη συνάρτηση: f g x0 f g x0 g x0 '( ) '( ( )) '( ) πιο συγκεκριμένα για τη σύνθεση συναρτήσεων έχουμε τον παρακάτω πίνακα: cf ' cf ' c c1 ( f )' cf f ' 1 ( f )' f ' f 1 ( f )' f f ' ( f )' f f ' ( f )' f ' f 1 f f f f ( f )' f ' ( e )' e f ' ( a )' a ln a f ' f ' 1 1 1 (log a f )' f ' (ln f )' f ' 1 1 f ' ln a f f f f Παράδειγμα: x Να παραγωγίσετε τη συνάρτηση 1 f( x) e Βλέπουμε ότι η συνάρτηση f είναι σύνθετη, οπότε θα παραγωγιστεί με τους κανόνες σύνθετων συναρτήσεων. x 1 x 1 x 1 f '( x) e ' e e ' Εφαπτόμενη ευθεία x 1 x 1 x 1 x 1 e e x 1' e e x Η εφαπτόμενη, του γραφήματος C f της f στο σημείο A( x0, f( x0)) Cf έχει κλίση f '( x 0) και συνεπώς η εξίσωση της είναι: y f( x ) f '( x )( x x ) 0 0 0 Παράδειγμα: Να βρείτε το σημείο τομής των εφαπτομένων ευθειών των συναρτήσεων 5 1 f, g στα αντίστοιχα σημεία, f ( x) x x 1, x1 0 και gx ( ) x x, 4 A,5. Έχουμε για την εφαπτόμενη της f ότι το σημείο επαφής έχει συντεταγμένες x1 0, f( x1 ) f(0) 1 και κλίση που δίνεται από την πρώτη 4 παράγωγο, συγκεκριμένα f '( x) 5x 1 και f '( x1 ) f '(0) 1. Οπότε: 1: y f( x1) f '( x1) x x1, αντικαθιστώντας έχουμε 1 : y 11 x0 y x 1. Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 0

Περνάμε τώρα στην εφαπτόμενη της g και όπως πριν έχουμε ότι: x, gx ( ) g() 5, εξίσωση: 1 g'( x) x, g'( x) g'() 3 και η εφαπτόμενη έχει y g g x αντικαθιστώντας έχουμε ότι: : () '()( ) : y 53 x y 3x 1 Αυτό που μένει τώρα είναι να λύσουμε το σύστημα των δύο ευθειών: : y x1 1 1 y x y 1 : y 3x1 x13x1 x1 Μονοτονία Ορισμός: Μια συνάρτηση f λέγεται αύξουσα (γνησίως αύξουσα) σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της όταν για κάθε xy, με x y ισχύει ότι f ( x) f( y) ( f ( x) f( y) ). Αντίστοιχα μια συνάρτηση f λέγεται φθίνουσα (γνησίως φθίνουσα) σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της όταν για κάθε xy, με x y ισχύει ότι f ( x) f( y) ( f ( x) f( y) ). Κριτήριο Εύρεσης Μονοτονίας: Μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα που επαληθεύουν την ανίσωση f( x) 0. Για να βρούμε τα διαστήματα μονοτονίας μίας συνάρτησης, λύνουμε την ανίσωση αυτή και βρίσκουμε τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι αύξουσα. Στα υπόλοιπα διαστήματα η συνάρτηση είναι φθίνουσα. Παράδειγμα: Ακρότατα συναρτήσεων 1 μεταβλητής Ορισμός: Λέμε ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το παρουσιάζει ολικό μέγιστο (ολικό ελάχιστο) στο σημείο x0, f( x 0) όταν f ( x0 ) f( x) ( f ( x0 ) f( x) αντίστοιχα) για κάθε x. Ορισμός: Λέμε ότι μία συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο (τοπικό ελάχιστο) στο σημείο x0, f( x 0) όταν υπάρχει 0 έτσι ώστε f ( x0 ) f( x) ( f ( x0 ) f( x) αντίστοιχα) για κάθε x x0, x0 (για κάθε x «κοντά» στο x 0 ) Κριτήριο Εύρεσης Ακρότατων: (σε ανοικτό διάστημα) Ο κλασσικός τρόπος εύρεσης των ακρότατων σημείων είναι να μελετήσουμε τη μονοτονία της συνάρτησης και σε κάθε σημείο όπου η μονοτονία αλλάζει (από αύξουσα σε φθίνουσα και ανάποδα) παρουσιάζεται ένα τοπικό ακρότατο. Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 1

Παράδειγμα: Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα η συνάρτηση 3 f( x) x 1x 10. Ξεκινάμε με την παράγωγο της f, f '( x) 3x 4x και τώρα λύνουμε την ανίσωση f '( x) 0 3x 4x0 x 8x 0 στη τελευταία ανίσωση έχουμε ένα τριώνυμο με ρίζες 0,8 και όπως γνωρίζουμε ανάμεσα στις ρίζες είναι αρνητικό (ετερόσημο του συντελεστή του x ), η ανίσωση όμως το θέλει θετικό όπότε οι λύσεις είναι έξω από τις ρίζες άρα x,08,. Συνεπώς σε αυτά τα διαστήματα η συνάρτηση είναι αύξουσα. Παράδειγμα: Ένα ταξιδιωτικό πρακτορείο διοργανώνει τριήμερη εκδρομή για τουλάχιστον 30 άτομα με τιμή 400 ανά άτομο. Κάνει τη εξής προσφορά: για κάθε επιπλέον άτομο μειώνεται η τιμή για όλους κατά 5. Πόσα άτομα συμφέρει το πρακτορείο να συμμετάσχουν ώστε να έχει μέγιστο κέρδος; Πόσο θα είναι το μέγιστο κέρδος; Αρχικά ας συμβολίσουμε με x τα επιπλέον άτομα (πλέον των 30). Έτσι συνολικά υποθέτουμε ότι θα ταξιδέψουν 30 x άτομα με x 0. Τώρα κάθε ένα από αυτά τα άτομα θα πληρώσει 400 5x. Έτσι η συνάρτηση κέρδους του πρακτορείου συναρτήσεις των ατόμων που θα ταξιδέψουν θα είναι K( x) 30 x400 5x 5x 50x 1000 Ψάχνουμε τώρα να βρούμε το πλήθος x ώστε η προηγούμενη συνάρτηση να παρουσιάζει μέγιστο. Παραγωγίζουμε την K( x ) και παίρνουμε K'( x) 10x 50 Λύνουμε την ανίσωση K'( x) 0 για να βρούμε τα διαστήματα μονοτονίας και τα ακρότατα K'( x) 0 10x50 0 10x50 x 5 Έτσι συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση είναι αύξουσα μέχρι το x 5 και έπειτα είναι φθίνουσα. Άρα παρουσιάζει μέγιστο για x 5. Οπότε συνολικά πρέπει να ταξιδέψουν 30+5=55 άτομα για να έχει μέγιστο κέρδος η εταιρία και το κέρδος της, σε αυτή την περίπτωση, θα είναι: K(5) 55 505 1000 1515 Ασκήσεις 1. Να βρείτε τις εφαπτόμενες του γραφήματος της f με τύπο f ( x) 3x x 5 στο σημείο A (1, 0) και της g με τύπο x x gx ( ) x 1 στο σημείο με τετμημένη x0 0.. Να βρεθούν οι εφαπτόμενες των συναρτήσεων 4 4 f( x) x 3x x 5 και gx ( ) x 4x 4x 6 στο κοινό τους σημείο. Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ:

3. Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις 4 3 f( x) x x 3x 3x και 4 3 gx ( ) x x δέχονται κοινή εφαπτόμενη στα κοινά τους σημεία. Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. 4. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f x x ( ) 3 1. Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων ευθειών στη γραφική παράσταση της M 3, f(3) 1. f που διέρχονται από το σημείο 5. Να δείξετε ότι η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της f με 3 τύπο f ( x) x στο σημείο M, f την τέμνει ξανά (την C f ) σε ένα σημείο στο οποίο η κλίση της εφαπτόμενης είναι τετραπλάσια. 6. Έστω y x η εφαπτόμενη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f στο σημείο M 1, f( 1). Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτόμενης ευθείας στη γραφική παράσταση της g, με τύπο f g x 1 x, στο σημείο με τετμημένη x0 1. x 7. Δίνονται οι συναρτήσεις f ( x) e και gx ( ) e e x. Να βρείτε το ώστε οι γραφικές παραστάσεις να έχουν σε κάποιο κοινό τους σημείο, κοινή εφαπτόμενη. 8. Να δείξετε ότι η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο f ( x) lnx στο σημείο M 1, f (1) είναι εφαπτόμενη και της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g με τύπο 17 gx ( ) x3. 4 9. Να βρείτε τις εφαπτόμενες της f με τύπο 4 3 f( x) 3x 16x 18x 149x 35 που είναι παράλληλες προς την ευθεία ( ): y 5x 4. 10. Να βρείτε σε ποιο σημείο της γραφικής παράστασης της 3 συνάρτησης f με τύπο f( x) x 3x 6x 1 η εφαπτομένη έχει ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης. (Δεν ψάχνουμε για το ελάχιστο της f αλλά της f ') 11. Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα οι 4 3 συναρτήσεις f( x) x 8x 6 και gx ( ) xx 7x 7. Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 3

1. Να βρείτε το a ώστε η συνάρτηση f με τύπο 3 x a f( x) x 16x 4 να είναι γνησίως φθίνουσα στο. 3 13. Από όλα τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα με την ίδια περίμετρο, ποιο είναι αυτό που έχει το μέγιστο εμβαδόν; 14. Η ενέργεια που καταναλώνει ανά ώρα μια ηλεκτρική συσκευή που λειτουργεί t 0 ώρες δίνεται από τον τύπο της συνάρτησης ( t 5) 119 Et (). Πόσες ώρες πρέπει να λειτουργεί για να έχει t τη μικρότερη ωριαία κατανάλωση; Πόση θα είναι σε αυτή; 15. Η ενέργεια που καταναλώνει ένας μικροοργανισμός που κινείται μέσα στο αίμα ενός ασθενούς με ταχύτητα v, προσεγγίζεται από 1 τη συνάρτηση Ev ( ) ( v35) 750.Με ποια ταχύτητα πρέπει v να κινηθεί ώστε να έχει την ελάχιστη κατανάλωση ενάργειας; Πόση είναι αυτή η ενέργεια; 16. Ένα ζαχαροπλαστείο για την παρασκευή x ταψιών την εβδομάδα x ξοδεύει 5x 5δρχ. Αν η τιμή πώλησης του ταψιού είναι 4 x 1000 δρχ, να βρείτε πόσα ταψιά πρέπει να παράγει την εβδομάδα ώστε να έχει το μέγιστο κέρδος. 17. Μια βιοτεχνία παράγει x τεμάχια ενός προϊόντος με ημερήσιο κόστος παραγωγής K( x) 5x 00 και ημερήσιο κόστος διαφήμισης Dx ( ) 5x 50. Η τιμή πώλησης -ανά τεμάχιο- του 1 προϊόντος δίνεται από τη συνάρτηση T( x) 1500 x. Ποια θα 10 πρέπει να είναι η ημερήσια παραγωγή τεμαχίων ώστε να έχει, η βιοτεχνία μέγιστο καθαρό κέρδος; Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 4

Κεφάλαιο 6 Ολοκληρώματα μίας μεταβλητής Αόριστο ολοκλήρωμα απλών συναρτήσεων Τι είναι το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης f ; Είναι ακριβώς το αντίθετο της παραγώγου της f '. Είναι δηλαδή, μια άλλη συνάρτηση F που αν αυτή παραγωγιστεί θα μας δώσει την f. Δηλαδή: f ( xdx ) F( x) c F'( x) f( x) Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο το ολοκλήρωμα καλείται, μερικές φορές, αντιπαράγωγος ή παράγουσα. Έχουμε τους ακόλουθους βασικούς κανόνες ολοκλήρωσης: 0dx c 1dx x c v 1 v1 x dx x c v 1 xdx x c xdx x c xdx ln( x) c xdx ln( x) c 1 dx x c x x x 1 x x x a dx ln x c edxe c x adx c ln a f ( xdx ) f( xdx ) f ( x ) gxdx ( ) f ( xdx ) gxdx ( ) f ( x) ' dx f( x) c f xdx ( ) ' f( x) Προσοχή: δεν ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις για το γινόμενο και το πηλίκο (εκτός από ειδικές περιπτώσεις) f ( xgxdx ) ( ) f( xdx ) gxdx ( ) f( x) f ( xdx ) dx gx ( ) gxdx ( ) Μέθοδοι Ολοκλήρωσης Οι δύο πρώτες μέθοδοι είναι αυτές που θα μας χρειαστούν κυρίως.!!! Μέθοδος της Αντικατάστασης: y g( x) dyg '( x) dx f ( g ( x )) g '( x ) dx f ( y ) dy!!! Ολοκλήρωση κατά παράγοντες: f ( xg ) '( xdx ) f( xgx ) ( ) f'( xgxdx ) ( ) Ρητά Ολοκληρώματα: Px ( ) dx Qx ( ) Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 5

Διαιρούμε τα πολυώνυμα και σπάμε το κλάσμα σε δύο μέρη. Πρόβλημα παρουσιάζει το κομμάτι που έχει ακόμα παρανομαστή. Παραγοντοποιούμε τον παρανομαστή και σπάμε το κλάσμα σε άθροισμα σύμφωνα με την διαδικασία υπόθεσης αριθμητή. Το αποτέλεσμα περιμένουμε να είναι κάποιοι λογάριθμοι. Γινόμενο Εκθετικών ή Τριγωνομετρικών με Πολυωνυμικές: Pxe ( ) ax dxή Px ( ) xdx Κατά παράγοντες ξεκινώντας από το εκθετικό, αντίστοιχα τριγωνομετρικό. Επαναλαμβάνουμε μέχρι να εξαντληθεί το πολυώνυμο. Γινόμενο Εκθετικών και Τριγωνομετρικών: ax e bxdx Κατά παράγοντας ξεκινώντας από το εκθετικό και περιμένουμε ανακύκλωση του ολοκληρώματος. Βασικές Ιδιότητες Ορισμένων ολοκληρωμάτων Η γεωμετρική ερμηνεία του ορισμένου ολοκληρώματος είναι το εμβαδόν. Ειδικότερα θα έλεγε κανείς ότι είναι το προσημασμένο εμβαδόν. a f( x) dx 0 f ( xdx ) f( xdx ) a b c b f ( xdx ) f( xdx ) f( xdx ) f '( xdx ) f( b) f( a) a a c g( x) ' f () tdt f( gx ( )) g'( x) Αν ( ) 0 a b a b a a b b f x τότε f( x) dx 0 a Εμβαδόν Χωρίου Όταν το χωρίο φράσσεται πάνω από το C f, κάτω από το C g, αριστερά από την ευθεία x a και δεξιά από την ευθεία x b εμβαδόν του δίνεται από το ολοκλήρωμα: b a f ( x) g( x) dx Όταν το χωρίο φράσσεται από τις f και g, χωρίς να γνωρίζουμε ούτε ποια είναι πάνω και ποια είναι κάτω, ούτε τα αντίστοιχα αριστερά και δεξιά φράγματα πρέπει να λύσουμε την ανίσωση: f ( x) g( x) Η λύση ανίσωσης θα μας δώσει τα διαστήματα στα οποία η f ( x ) είναι μεγαλύτερη από την gx ( ) (στα υπόλοιπα η gx ( ) είναι μεγαλύτερη από την f ( x )) καθώς επίσης τα σημεία στα οποία αυτές οι δύο συμπίπτουν (ρίζες). Στη συνέχεια θα ολοκληρώσουμε -διαδοχικά- από την πρώτη μέχρι την τελευταία ρίζα έχοντας μέσα στο ολοκλήρωμα, το Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 6

είτε f ( x) g( x) (αν f ( x) g( x) ) είτε gx ( ) f( x) (αν f ( x) g( x) ) στο αντίστοιχο διάστημα. Ασκήσεις 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω αόριστα ολοκληρώματα i. x x8dx 1 9 ii. x 3x dx 7 5 5 4 3 7 iii. 3x x 7x 6x x x9dx 3 3 iv. e x e x 5e x dx x e dx x x x 1 dx(υπόδειξη: αλλαγή μεταβλητών y v. vi. vii. xx 1 3 dx viii. x dx (Υπόδειξη: αλλαγή μεταβλητών y x 1 ix. xdx x. xi. xii. xiii. x x 1 dx (Υπόδειξη: αλλαγή μεταβλητών 1 x ln x dx ln x dx x x 1) x 1) y x 1) ln x dx x x 1lnxdx ln xdx (Υπόδειξη: ln x x'ln x και κατά παράγοντες) x ln xdx xiv. xv. xvi. Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 7

xvii. (ln x) dx 3 x xviii. dx 4 x 1 x xix. e xdx(υπόδειξη: κατά παράγοντες δύο φορές) xx. x e (3 x) dx(υπόδειξη: κατά παράγοντες δύο φορές). Αν οι εφαπτόμενες της C f στα σημεία x0 1 και x1 x1 σχηματίζουν γωνίες 3 και 4 (αντίστοιχα) με τον άξονα x ' x, να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα f ''( xdx ). 1 3. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη συνάρτηση f( x) x 3x τον x ' x άξονα και τις ευθείες x 1 και x 4. 4. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζουν οι i. καμπύλες y x και y x. ii. συναρτήσεις 3 f ( x) x x x 1 και gx ( ) 4x 4x 1. 5. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τη συνάρτηση f( x) x 5 A 1, f (1) και τον άξονα των y. την εφαπτομένη της στο σημείο 6. Να βρείτε το εμβαδόν των χωρίων που ορίζονται από την παραβολή y x 5 και τις ευθείες y x 8 και y 10x 16. (Υπόδειξη: να κάνετε πρώτα ένα καλό σχήμα και να υπολογίσετε το εμβαδόν και των τριών χωρίων) 7. Δίνεται η συνάρτηση f ''(1). x f ( x) t 1dt. Να υπολογίσετε τα f (1), f '(1), 0 8. Οι μηνιαίες αποδοχές δύο υπαλλήλων Α και Β που εργάζονται με ποσοστά 5 δίνονται σε ένα διάστημα 8 ετών από τις συναρτήσεις At ( ) t 00 16 50 και Bt ( ) t 150 αντίστοιχα (σε χιλιάδες ) όπου t [0,8]. 16 i. Να προσδιορίσετε το χρονικό διάστημα κατά το οποίο οι αποδοχές του Α είναι περισσότερες από τις αποδοχές του Β. Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 8

ii. Να προσδιορίσετε τις χρονικές στιγμές κατά τις οποίες οι αποδοχές των Α και Β είναι ίσες. iii. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή των αποδοχών του Α και του Β και να τις συγκρίνετε. (Υπόδειξη: Μέση τιμής μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα [ ab, ] είναι η ποσότητα b a f ( xdx ) b a ) 9. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που φράσσεται από το γράφημα C f της συνάρτησης f( x) x 1 και τις εφαπτόμενες της στα σημεία x1 1 και x (Υπόδειξη: να κάνετε ένα καλό σχήμα και να σπάσετε το χωρίο κατάλληλα) 10. Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που φράσσεται από το γράφημα C f της συνάρτησης f( x) x 5 και τις εφαπτόμενες της στα σημεία x1 1 και x 1. Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 9

Μία σύντοµη εισαγωγή στην Τριγωνοµετρία µε Ενδεικτικές Ασκήσεις 1. Ονοµασίες Ορισµοί Ο τριγωνοµετρικός κύκλος έχει ακτίνα R=1. Αρχή µέτρησης των τόξων (γωνιών) είναι το Α, είτε κατά τη θετική φορά (αριστερόστροφα) οπότε έχουµε θετικά τόξα είτε κατά την αρνητική φορά (δεξιόστροφα) οπότε έχουµε αρνητικά τόξα. Σχήµα 1 Ο τριγωνοµετρικός κύκλος Τα τόξα μετρώνται σε ακτίνια. Ο κύκλος έχει π ακτίνια και η σχέση τους µε τις µοίρες ( ο ) δίνεται στον παρακάτω πίνακα. Πίνακας 1Σχέση Ακτινίων Μοιρών 1 ακτίνιο = 180 ο / π π ακτίνια = 360 ο 1 ο =π/180 ακτίνια Σε κάθε σηµείο του τριγωνοµετρικού κύκλου αντιστοιχούν άπειρα τόξα. Για παράδειγµα στο σηµείο M αντιστοιχούν όλα τα τόξα της µορφής κπ+ω όπου. Στο σηµείο Α αντιστοιχούν τα τόξα κπ, στο Β τα τόξα κπ+π/, στο Α τα τόξα (κ+1)π και στο Β τα τόξα κπ-π/. Σε ένα σηµείο του τριγωνοµετρικού κύκλου Μ(a,b) και για την γωνία ω που σχηµατίζεται µε τον άξονα xx ορίζουµε τους παρακάτω βασικούς τριγωνοµετρικούς αριθµούς. Πίνακας Οι τριγωνοµετρικοί Αριθµοί Ηµίτονο Συνηµίτονο Εφαπτοµένη Συνεφαπτοµένη Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 30

Γεωµετρικά η εφαπτοµένη αντιστοιχεί στο τµήµα ΑΜ και είναι φανερό ότι δεν ορίζεται για τα τόξα κπ+π/ και κπ-π/ και η συνεφαπτοµένη στο τµήµα ΒΜ και είναι φανερό ότι δεν ορίζεται για τα τόξα κπ και (κ+1)π. Σχήµα Η εφαπτοµένη και η συνεφαπτοµένη Ο τριγωνοµετρικός πίνακας χωρίζεται σε τέσσερα τεταρτηµόρια στα οποία τα πρόσηµα του ηµιτόνου και συνηµιτόνου των τόξων που αντιστοιχούν σε αυτά δίνονται στο ακόλουθο σχήµα. Σχήµα 3 Το πρόσηµα στα τεταρτηµόρια Στον πίνακα που ακολουθεί παρουσιάζονται οι τιµές των τριγωνοµετρικών αριθµών των βασικών τόξων (γωνιών) του πρώτου τεταρτηµόριου. Πίνακας 3 Τριγωνοµετρικοί αριθµοί βασικών τόξων 1 ου τεταρτηµόριου. Γωνία ω ακτίνια Γωνία ω µοίρες Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 31

Χρησιµοποιώντας τις ακόλουθες σχέσεις αναγωγής, µπορούµε να σχετίσουµε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς τόξων µε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς τόξων στο 1 ο τεταρτηµόριο. Πίνακας 4 Σχέσεις αναγωγής στο 1 ο τεταρτηµόριο Παίρνοντας τις τετµηµένες και τις τεταγµένες στα παρακάτω σχήµατα είναι εύκολο να οδηγηθούµε στις παραπάνω σχέσεις αναγωγής στο 1 ο τεταρτηµόριο. Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 3

Τέλος, είναι φανερό ότι ισχύουν οι παρακάτω βασικοί τριγωνοµετρικοί τύποι. Πίνακας 5 Βασικοί Τριγωνοµετρικοί τύποι Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 33

Στη συνέχεια παραθέτουµε σε οµάδες τριγωνοµετρικές ταυτότητες που µπορούν να αποδειχθούν και έτσι γνωρίζουµε ότι ισχύουν. Η ισχύς τους θεωρείται δεδοµένη και δεν απαιτείται η απόδειξή τους. 3. Τριγωνοµετρικές τιµές αθροισµάτων και διαφορών γωνιών 4. Τύποι µετασχηµατισµών αθροισµάτων ή διαφορών σε γινόµενα και γινοµένων σε αθροίσµατα ή διαφορές. 5. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί διπλάσιων γωνιών Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 34

6. Τριγωνοµετρικοί τύποι αποτετραγωνισµού 7. Τριγωνοµετρικές εξισώσεις Στις τριγωνοµετρικές εξισώσεις καλούµαστε να προσδιορίσουµε τα τόξα που ικανοποιούν την εξίσωση. Στον πίνακα που ακολουθεί βλέπουµε τις βασικές τριγωνοµετρικές εξισώσεις. Εξίσωση Λύση ή Για την επίλυση πιο πολύπλοκων εξισώσεων εργαζόµαστε ώστε, µε τη χρήση τριγωνοµετρικών ταυτοτήτων και τύπων, να µετατρέψουµε την εξίσωση σε µία εξίσωση (ή ένα σύστηµα εξισώσεων) της παραπάνω µορφής. 7. Νόµοι σε τυχαίο τρίγωνο Έστω ότι έχουµε τα ακόλουθο τυχαίο τρίγωνο. Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 35

Τότε ισχύουν οι ακόλουθοι νόµοι που συνδέουν τα µήκη των πλευρών του τριγώνου µε τα τόξα των γωνιών του. Νόµος ηµιτόνου Νόµος συνηµιτόνου 7. Βασικές τριγωνοµετρικές συναρτήσεις Στα παρακάτω σχήµατα βλέπουµε τις βασικές τριγωνοµετρικές συναρτήσεις. Είναι φανερό ότι είναι περιοδικές συναρτήσεις µε περίοδο π η ηµίτονο και η συνηµίτονο και µε περίοδο π η εφαπτοµένη και η συνεφαπτοµένη. Πεδίο ορισµού της πρώτης και της δεύτερης είναι όλο το ενώ πεδίο τιµών το [-1,1]. Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 36

Η εφαπτοµένη και η συνεφαπτοµένη έχουν πεδίο τιµών όλο το ενώ τα πεδία ορισµού τους βρίσκονται εάν από το αφαιρέσουµε τα σηµεία στα οποία δεν ορίζονται (δείτε παραπάνω). Στο παρακάτω σχήµα παρατηρούµε ότι για την συνάρτηση όσο το α µεγαλώνει τόσο µικραίνει η περίοδος της συνάρτησης σε π/α. Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 37

Επίσης συνάρτηση όσο το α (θετικό) µεγαλώνει τόσο το πεδίο τιµών µεταβάλλεται σε [α,-α]. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης της κατά θ. µετατοπίζει τη γραφική παράσταση Ανάλογη είναι και η συµπεριφορά της συνάρτησης συνηµίτονο. Ενδεικτικές ασκήσεις. Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 38

1. Υπολογίστε τα. Παρατηρώ ότι και, Οπότε Το τελευταίο αποδεικνύεται επίσης χρησιµοποιώντας την σχέση Οπότε.. Υπολογίστε το εάν είναι γνωστό ότι και και ότι το ανήκει στο 1 ο τεταρτηµόριο και το στο 3 ο. Υπολογίζω τα Των οποίων το πρόσηµο καθορίζεται από το τεταρτηµόριο στο οποίο ανήκουν. Οπότε 3. Να αποδείξετε ότι αν, ισχύει: 1 ος τρόπος: Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 39

Εναλλακτικά χρησιµοποιώντας τον τύπο 4. Να λυθεί η εξίσωση. Έχουµε 5. Να αποδείξετε ότι σε κάθε µη ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒC ισχύει: Αφού το τρίγωνο δεν είναι ορθογώνιο, ορίζονται οι, γιατί είναι και, οπότε έχουµε: Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 40

6. Να αποδειχθεί ότι για κάθε ισχύει: 7. Να αποδειχθεί ότι για κάθε ισχύει: 8. Να αποδειχθεί ότι για κάθε ισχύει: 9. Να λυθεί στο [0,π] η εξίσωση. Παρατηρούµε ότι Οπότε εάν θέσουµε η εξίσωση είναι ισοδύναµη µε την µε. Η δευτεροβάθµια αυτή έχει ρίζες από τις οποίες η δεύτερη απορρίπτεται. Από την έχουµε Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 41

Επειδή έχουµε Που ικανοποιείται για κ=0 οπότε. Επίσης Που ικανοποιείται για κ=0 οπότε. 10. Να αποδειχθεί ότι για κάθε ισχύει: 11. Να λυθεί η εξίσωση c. Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 4

1. Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο µε γωνίες Α,Β,C ισχύει: Επειδή έχουµε και. 13. Να λυθεί η εξίσωση cos(. Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 43

Από την 1 η έχουµε: 14. Να λυθεί το σύστηµα. Η δεύτερη εξίσωση γίνεται Οπότε το σύστηµα είναι ισοδύναµο µε τα δύο ακόλουθα Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 44

15. Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο µε γωνίες Α,Β,C και πλευρές a,b,c ισχύει: Από το νόµο των ηµιτόνων Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων των αναλογιών από την έχουµε Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 45

Επειδή έχουµε. 16. Να αποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο µε γωνίες Α,Β,C και πλευρές a,b,c ισχύει: Όπου τ είναι η ηµιπερίµετρος του τριγώνου. Από το νόµο των συνηµιτόνων έχουµε. Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 46

Από τη γνωστή ταυτότητα Αλλά Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 47

Σημειώσεις Εφαρμοσμένων Μαθηματικών -- Σελ: 48