4 3.3 Το συναρτησοιδές του Mikowski και μτρικοποιησιμότητα σ τοπικά κυρτούς χώρους. Υπνθυμίζουμ ότι αν E διανυσματικός χώρος, μια συνάρτηση : E R λέγται υπογραμμικό συναρτησοιδές αν (ι) ( λ) λ ( ) =, λ και E (θτική ομογένια ) (ιι) ( + y) ( ) + ( y),, y E (υποπροσθτικότητα ) Παρατηρούμ ότι για ένα υπογραμμικό συναρτησοιδές ισχύουν: = ( αφού = ( ) = ) και ( ) ( ) = ( + ( ) ) ( ) + ( ) ). ( αφού Παραδίγματα 3.3. () Κάθ ημινόρμα ή γραμμικό συναρτησοιδές ίναι προφανώς υπογραμμικό συναρτησοιδές. () Έστω Γ σύνολο τότ η συνάρτηση ίναι ένα υπογραμμικό συναρτησοιδές ( στον χώρο συναρτήσων πί του Γ, που δν ίναι ημινόρμα. (3) Οι συναρτήσις l, q : R : = limsu και { } : Γ R : f = su f γ : γ Γ l των φραγμένων πραγματικών Γ +... + q( ) = lim su, = ( ) l, ίναι πίσης υπογραμμικά συναρτησοιδή ( στον χώρο των φραγμένων ακολουθιών πραγματικών αριθμών l ) και δν ίναι ημινόρμς. Πρόταση 3.3. Έστω E διανυσματικός χώρος και : E R υπογραμμικό συναρτησοιδές τότ ισχύουν τα ακόλουθα: (ι) Για κάθ { } Β = E < και > τα σύνολα (, ) : { } (, ) : Β = E ίναι κυρτά. (ιι) Αν πί πλέον, τότ τα Β (, ) και (, ) Απόδιξη (ι) Έστω, y Β (, ) και λ [,] ( ( ) y) ( ) ( ) y ( ) λ+ ( λ) y Β (, ) και το (, ) Β ίναι και απορροφούντα.. Τότ έχουμ, λ + λ λ + λ < λ + λ =, συνπώς το σημίο Β ίναι όμοια. (, ) Β ίναι κυρτό. Η απόδιξη για την κυρτότητα του
4 (ιι) Έστω τώρα ότι ισχύι. Αν E και t ( t) = t( ) ( ) < + (, ) Β ίναι απορροφούντα. τότ +. Άρα t Β (, ) και έτσι τα σύνολα (, ) Β και Πρόταση 3.3.3 Έστω E τ.γ.χ. και : E R υπογραμμικό συναρτησοιδές. Οι ακόλουθοι ισχυρισμοί ίναι ισοδύναμοι: (ι) Το ίναι συνχής συνάρτηση. (ιι) Το ίναι συνχής στο E. (ιιι) Το ίναι φραγμένο σ μια πριοχή του E. { } Β, = E : < ίναι ( ανοικτή ) πριοχή του E. (ιν) Το σύνολο Απόδιξη (ι) (ιι) Προφανές (ιι) (ιιι) Επιδή συνχής στο και = υπάρχι πριοχή V του E ώστ V, <, V. (ιιι) (ιν) ΈστωΜ > και V πριοχή του E ώστ ( ) < Μ για κάθ V V (,). Επιδή το V Μ Μ V Β (,) έχουμ το συμπέρασμα. Μ ίναι πριοχή του E και (ιν) (ιιι) Έστω V ισορροπημένη πριοχή του E ώστ V B (,). Αν V τότ V άρα ( ) < και ( ) <. Επιδή ( ) ( ) < ( ) ( ) <. Συνπώς ( V ) (,). έπται ότι (ιιι) (ιι) Έστω >. Από την υπόθσή μας υπάρχουν Μ > και V πριοχή του ώστ ( ) < Μ για κάθ V, ισοδύναμα, (, ) V (, ) και η ίναι συνχής στο. Μ (ιι) (ι) Έστω a δίκτυο στον E ώστ a a a V Μ Μ. Συνπώς. Έπται ότι ( ) και ( ) a E, τότ και a a. Από την υποπροσθτικότητα της προκύπτι ύκολα ότι, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + (). a a a
4 a ( a ) ( a ) ( ) ( a a) ( a) ( a) Πράγματι, = + + και = + +. Από όπου έπται η (). Από την () έπται προφανώς ότι ( ) ( ) E. a και η ίναι συνχής στο ( τυχόν ) Πόρισμα3.3.4 Έστω E τ.δ.χ., T : E K γραμμικό συναρτησοιδές και : E R υπογραμμικό συναρτησοιδές ( ιδιαίτρα το ίναι ημινόρμα ) ώστ, T E Αν το ίναι συνχής συνάρτηση τότ και το T ίναι συνχής συνάρτηση. Απόδιξη. Από την πρόταση 3.3.3 το ίναι φραγμένο σ μια πριοχή V του E. Επομένως και το γραμμικό συναρτησοιδές T ίναι φραγμένο στην V, έτσι από την πρόταση 3..8 έχουμ το συμπέρασμα. Παρατήρηση 3.3.5 Αν ο τ.δ.χ. E ίναι πραγματικός ( δηλαδή K T ( ) ( ), E () του προηγούμνου πορίσματος μπορί να αντικατασταθί από την T ( ) ( ), E (). = R) τότ η υπόθση Πράγματι, από την ανισότητα () έπται ότι T ( ) ( ), E, πομένως ( ) T ( ) = T ( ) ( ), E (3). Έστω V ισορροπημένη πριοχή του E και Μ > ώστ ( ) < Μ, V (4). Έπται τότ από τις (3) και (4) ότι T ( ) < Μ, V και έτσι το T ίναι φραγμένο γραμμικό συναρτησοιδές. Θα ορίσουμ τώρα μια πολύ σημαντική έννοια για την μλέτη των τοπικά κυρτών χώρων, την έννοια του συναρτησοιδούς του Mikowski. Αυτή ορίζται για κάθ κυρτό ( ισορροπημένο) και απορροφούν υποσύνολο νός διανυσματικού χώρου. Όπως θα διαπιστώσουμ οι ημινόρμς ίναι ακριβώς τα συναρτησοιδή του Mikowski των κυρτών ισορροπημένων και απορροφούντων συνόλων. Ορισμός 3.3.6 Έστω E διανυσματικός χώρος και E κυρτό και απορροφούν υποσύνολο του E. Για κάθ E θέτομ
43 ( ) = if { t > : t} = if t > : t Η συνάρτηση : [, ) E + ίναι καλά ορισμένη αφού το ίναι απορροφούν υποσύνολο του E και ονομάζται το συναρτησοιδές του Mikowski του συνόλου. Σ αδρές γραμμές, αν ο αριθμός μπορί να θωρηθί ότι κφράζι τον λόγο της απόστασης του από το προς την απόσταση από το του πιο απομακρυσμένου σημίου του στην διύθυνση του, όπου αυτή η δύτρη απόσταση μπορί να ίναι και άπιρη. 4 y λ z µz - -5 5 - -4 4 y µy Ζ - -5 Ο 5 - -4
44 = Β ή X Σημιώνουμ ότι αν ( X, ) ίναι χώρος μ νόρμα και X, = X ( Άσκηση ). Β τότ 4 y z - -5 5 - -4 Θώρημα 3.3.7 Έστω E διανυσματικός χώρος και E κυρτό και απορροφούν σύνολο. Τότ, (ι) Το ίναι υπογραμμικό συναρτησοιδές ( μ ). { } { : } (ιι) Αν Β = : ( ) < και C ( ) =, τότ Β C και = = Β C (ιιι) Αν το ίναι πιπλέον ισορροπημένο τότ το ίναι μια ημινόρμα. Απόδιξη Για κάθ E θέτομ H ( ) = { t > : t}, τότ ισχύι ότι, ( ) ) ( ) < t t ( ) t ()., + H, +, E. Ισοδύναμα για κάθ t > ισχύι, Η σχέση αυτή προκύπτι ύκολα από την παρατήρηση ότι αν κυρτό μ τότ, <, καθώς και από τον ορισμό του λ µ λ µ if = H. (ι) Έστω, y E. Αν t >, t > ώστ t και y t τότ, y t t + + Έπται ότι ( y) ( ) ( y). Παρατηρούμ ότι t t = t + t + ( t + t), αφού το ίναι κυρτό. t + t t + t + y t + t, από όπου συμπραίνουμ ότι + +. Έστω s > και E, τότ t ( s) = if { t > : s t} = if t > : = if t ' s : t ' > και t ' s { }
45 = s if { t ': t ' } s ( ) έχουμ τον ισχυρισμό (ι). =. Αν s = τότ ( ) ( ) = = =. Έτσι (ιι) Η σχέση B C έπται αμέσως από την () Από τη σχέση B C έπται ύκολα ότι C B. Πράγματι αν E H tb και τότ t t H ( ), δηλαδή H ( ) H ( ) από όπου έπται ότι ( ) ( ) έτσι συμπραίνουμ ότι B. Όμοια αποδικνύται ότι C. Για να αποδίξουμ την ισότητα, ας υποθέσουμ ότι C ( ) s t και άρα s B tb t δηλαδή, ( ) s και έτσι έχουμ ότι C = B =. B t. Επιδή C B B, < <. Τότ sc C s s. Έπται ότι <, οπότ t t έπται ότι ( ) = ( ). Έτσι (ιιι) Υποθέτομ τώρα ότι το ίναι πί πλέον και ισορροπημένο σύνολο. Για κάθ μ λ και E έχουμ, B C B B λ K t λ ( λ) = if { t > : λ t} = if t > : λ λ if λ t ': t ' και t ' = λ. = { > } t = if t > : λ λ ( Toµ = έχι απόλυτη τιμή µ =, πιδή το ίναι ισορροπημένο, έπται ότι λ = µ.) Η απόδιξη του θωρήματος ίναι πλήρης. Παρατηρήσις ) Σημιώνουμ ότι μπορούμ να θωρήσουμ τα συναρτησοιδή Mikowski των συνόλων B και C, φόσον από την πρόταση 3.3. τα σύνολα αυτά ( θυμίζουμ ότι το ίναι θτικό υπογραμμικό συναρτησοιδές ) ίναι κυρτά και απορροφούντα. ) Για τα σύνολα, B, C του ισχυρισμού (ιι) του θωρήματος 3.3.7 νδέχται να ισχύι. Πράγματι, έστω (,) B C μοναδιαίος κύκλος του Ευκλίδιου πιπέδου S μ X S B ο κλιστός μοναδιαίος δίσκος και S ο κλιστός R. Θωρούμ τυχόν υποσύνολο X του. Θέτομ = B(, ) \ X. Τότ ισχύι ότι { : } (,) C = = B ( γιατί; ) και συνπώς B C. { : } (,) B = < = B,
46 3) Αν το ίναι ημινόρμα τότ ισχύι ότι B C C (,) = = όπου (,) B = B και = B ( γιατί; ). Επομένως οι ημινόρμς ταυτίζονται μ τα συναρτησοιδή Mikowski των κυρτών ισορροπημένων και απορροφούντων συνόλων. Πρόταση 3.3.8 Έστω E τ.δ.χ. καιu E ανοικτό και κυρτό μ U. Τότ ισχύουν : (ι) Το U ίναι απορροφούν και άρα το U ίναι υπογραμμικό συναρτησοιδές. { : U } (ιι) U E ( ) = < Απόδιξη. (ι) Όπως έχουμ αποδίξι κάθ πριοχή του σ ένα τ.δ.χ. E ίναι απορροφούσα ( πρβλ. θώρημα 3..3 ). Έτσι το U ίναι κυρτό και απορροφούν και άρα μπορί να ορισθί το συναρτησοιδές Mikowski του U το οποίο από το θώρημα 3.3.7 ίναι υπογραμμικό συναρτησοιδές. { : } (ιι) Από τον ισχυρισμό (ιι) του θωρήματος 3.3.7 έχουμ ότι U U. Από την συνέχια της απικόνισης ϕ : λ K ϕ( ) λ E πιδή ϕ = U μu ανοικτό, υπάρχι δ > ώστ, Ιδιαίτρα έπται ότι ( + δ ) U. Άρα U ( ) Έτσι αποδίξαμ την ισότητα μταξύ των δύο συνόλων. E < U. Έστω = στο λ = και t K t δ τότ t U. U + δ + δ <. Είμαστ τώρα έτοιμοι να αποδίξουμ έναν νδιαφέροντα χαρακτηρισμό των τοπικά κυρτών τ.δ.χ. ο οποίος μταξύ άλλων δικαιολογί και την ορολογία τοπικά κυρτός χώρος. Θώρημα 3.3.9 Έστω ( E, T ) τ.δ.χ. Τα ακόλουθα ίναι ισοδύναμα: (ι) Ο ( E, T ) ίναι τοπικά κυρτός. (ιι) Ο (, ) E T έχι μια βάση πριοχών του E που αποτλίται από (ανοικτά) κυρτά ( και ισορροπημένα ) σύνολα. Απόδιξη (ι) (ιι) Έπται αμέσως από τον ορισμό του τοπικά κυρτού χώρου. (ιι) (ι) Υπνθυμίζουμ ότι αν E ανοικτό και κυρτό μ τότ υπάρχι ανοικτό κυρτό και ισορροπημένο B μ B ( πρβλ. Πρόταση 3.. (χι)). Έπται προφανώς ότι ο E έχι μια βάση πριοχών έστω B αποτλούμνη από ανοικτά κυρτά και ισορροπημένα σύνολα. Από το θώρημα 3.3.7 κάθ U B ορίζι μια ημινόρμα : E R. U
47 Ισχυρισμός. Η τοπολογία B ταυτίζται μ την T. Απόδιξη του ισχυρισμού Παρατηρούμ ότι αν T που καθορίζι η οικογένια ημινορμών = { : U B } πρόταση 3.3.8 ισχύι ότι, = για κάποιο U B τότ από την U { } B, = E : < = U. Έπται ότι οι δύο τοπολογίς πάγουν την ίδια βάση πριοχών για το E, από όπου έχουμ το συμπέρασμα. Θα διατυπώσουμ και θα αποδίξουμ τώρα μια ικανή και αναγκαία συνθήκη για να ίναι ένας τοπικά κυρτός χώρος μτρικοποιήσιμος. Θώρημα 3.3. Έστω ( E, T ) τοπικά κυρτός χώρος ( Hausorff )και μια οικογένια ημινορμών που καθορίζι την τοπολογία του E T = T. Τα ακόλουθα ίναι ισοδύναμα: (ι) Ο ( E, T ) ίναι μτρικοποιήσιμος. (ιι) Υπάρχι μια αριθμήσιμη υποοικογένια ' ώστ η τοπολογία του E να καθορίζται από την ' T = T ( '). Απόδιξη (ι) (ιι). Έστω μια μτρική πί του E η οποία πάγι την τοπολογία T του E. Θωρούμ μια αριθμήσιμη βάση πριοχών του E από ανοικτές σφαίρς ως προς την, π.χ. B, :. Για κάθ N υπάρχι ένα ππρασμένο σύνολο ημινορμών F και ( ) > ώστ B ( ) { } B, = E : <, F. F Θέτομ. Το = ' = F ότι η τοπολογία ( ') ( Η ακολουθία B T που καθορίζι η ' { F, : } την T = T.), B,, όπου F ' ίναι βέβαια ένα αριθμήσιμο σύνολο ημινορμών και πί του E ταυτίζται μ την T T U =. ίναι και αυτή μια βάση πριοχών του E ως προς (ιι) (ι). Έστω ' = { : } μια ακολουθία ημινορμών ώστ T = T ( ') σύμφωνα μ τον ορισμό 3..5.
48 Επιδή ο χώρος ( E, T ) ίναι Hausorff η ακολουθία ' { : } = διαχωρίζι τα σημία του E. Ορίζουμ μια μτρική : E E R μ τον ακόλουθο τρόπο, (, ) y = ( ) y = () + y Είναι ύκολο να αποδίξουμ ότι η ίναι πράγματι μια μτρική πί του E η οποία πιπλέον ίναι αναλλοίωτη για τις μταφορές, δηλαδή + a, y+ a =, y,, y, a E. Έστω T η τοπολογία η οποία πάγται από την μτρική πί του E. Ας συμβολίσουμ μ (, ) B την ανοικτή σφαίρα μ κέντρο E και ακτίνα > ως προς την. Επιδή η ίναι αναλλοίωτη για τις μταφορές έχομ ότι B (, ) B (, ) = +. Έπται ότι για να συγκρίνουμ τις τοπολογίς T και T αρκί να τις συγκρίνουμ «γύρω» από το E. Επιδή κάθ ίναι συνχής ( ως προς την T ) και πιδή η σιρά () συγκλίνι ομοιόμορφα πί του E E η ίναι συνχής και έτσι κάθ σφαίρα B (, ) ίναι T ανοικτό σύνολο. Έπται ότι T T. Για να αποδίξουμ ότι T T αρκί να παρατηρήσουμ ότι για κάθ και για κάθ B, B, ( + ) (,) < ( ) < (3). + > ισχύι ( ) () ισοδύναμα, Πράγματι, έστω N φυσικός και E ώστ, (,) <. N + Ας υποθέσουμ ότι N ( ). Τότ (), ( ) ( ) N + + N ( ) ( ) N N N + +. N Κατά συνέπια, (,) = ( ) ( ) = όμως η τλυταία ανισότητα N + + αντιφάσκι μ την υπόθσή μας. Έπται ότι η συνπαγωγή (3) ισχύι άρα και η () ισχύι. Η απόδιξη του θωρήματος ίναι πλήρης. + ϕ ' =,. () Η συνάρτηση ϕ =, ( ) ( + ) ίναι γνήσια αύξουσα, φόσον,
49 Παρατήρηση 3.3. Έστω E διανυσματικός χώρος και { } =, μια ακολουθία ημινορμών πί του E η οποία διαχωρίζι τα σημία του E. Θωρούμ την τοπικά κυρτή τοπολογία T = T ( ) η οποία μτρικοποιίται από την μτρική του προηγούμνου ( y) θωρήματος, δηλαδή (, y) =,, y E. = + ( y) Παρατηρούμ τα ακόλουθα: () Οι σφαίρς που ορίζι η δν ίναι κατ ανάγκη κυρτά σύνολα ( βέβαια κάθ σφαίρα B (, ) πριέχι μια ανοικτή και κυρτή πριοχή V του, αφού ο (, ) E T ίναι τοπικά κυρτός χώρος.). Ένα τέτοιο παράδιγμα πριγράφται στις ασκήσις στο τέλος της παραγράφου. ) Έστω ( ) ακολουθία στον E. Τότ η για κάθ N φυσικό υπάρχι ( N, ) > m <. N N m N ίναι Cauchy για κάθ > και φυσικός τέτοιος ώστ Απόδιξη Έστω ότι η ( ) ίναι Cauchy. Αν > και N φυσικός τότ υπάρχι ( N, ) φυσικός τέτοιος ώστ > m ( N, ) τότ (, y ) < ( y,) m N ( + ) Έπται αμέσως από την (3) του προηγούμνου θωρήματος ότι ( y ) <, > m ( N, ) N m Έστω >. Θωρούμ φυσικό αριθμό ώστ, k k= (4) Τότ ισχύι, B, B (, ) Πράγματι, αν Eώστ k ( ) <, k =,,..., τότ, (,) = = + ( ) ( ) < + = = +. = = + < m N <. k k= + = + + + < + < + < = ( + )
5 Θωρούμ τώρα τους θτικούς ακέραιους k, : k =,,..., που προκύπτουν από την υπόθσή μας και θέτομ = ma k, : k =,,...,. Έστω > m, τότ έχουμ ότι, k ( m) < για κάθ k =,,...,. Έτσι από την (4) συμπραίνουμ ότι, (, ) < και η m ίναι ακολουθία Cauchy ως προς την. Σημιώνουμ ότι η (4) μας δίνι μια άλλη απόδιξη του γγονότος ότι T απόδιξη της κατύθυνσης (ι) (ιι) του θωρήματος 3.3. ). T ( πρβλ την Για να χαρακτηρίσουμ τους χώρους μ νόρμα μέσα στην πολύ υρύτρη κλάση των τοπολογικών διανυσματικών χώρων χριαζόμαστ μια έννοια φραγμένου συνόλου για τοπολογικούς διανυσματικούς χώρους. Ορισμός 3.3. Έστω E τοπολογικός διανυσματικός χώρος. Ένα σύνολο E λέγται φραγμένο αν για κάθ U πριοχή του E υπάρχι δ > ώστ δ U U. δ Παρατηρήσις: ) Κάθ ππρασμένο υποσύνολο νός τ.δ.χ. ίναι φραγμένο αφού οι πριοχές του E ίναι απορροφούσς. Γνικότρα όπως θα αποδίξουμ παρακάτω, κάθ συμπαγές υποσύνολο νός τ.δ.χ. ίναι φραγμένο. ) Αν B E και το B ίναι φραγμένο υποσύνολο του τ.δ.χ. E τότ προφανώς και το ίναι φραγμένο. 3) Αν ο E ίναι χώρος μ νόρμα έστω, τότ οι δύο έννοις φραγμένου συνόλου- ύκολα διαπιστώνουμ ότι συμπίπτουν. Πρέπι όμως να σημιώσουμ ότι γνικά σ έναν τ.δ.χ. ( E, T ) του οποίου η τοπολογία πάγται από μια μτρική έστω ( μτρικοποιήσιμος τ.δ.χ. ) οι δύο έννοις δν συμπίπτουν πάντοτ, ακόμα και αν η ίναι αναλλοίωτη για τις μταφορές. Για παράδιγμα αν ο ( E, ) ίναι ( μη ττριμμένος ) χώρος μ νόρμα και ίναι η μτρική που ορίζι η νόρμα τότ ο E δν ίναι βέβαια φραγμένος ως προς την και συνπώς ως προς την έννοια του φραγμένου συνόλου που πριγράφται στον ορισμό 3.3.. Από την άλλη μριά αν = τότ η ίναι μια μτρική ισοδύναμη μ την + (αναλλοίωτη για τις μταφορές ) και βέβαια ο E ίναι φραγμένος για την μ (, y) για κάθ, μτρική που ορίζται στο θώρημα 3.3. y E. Ανάλογς παρατηρήσις μπορούμ να κάνουμ και για την
5 Πρόταση 3.3.3 Έστω V πριοχή του σ έναν τ.δ.χ. E. Τότ ισχύουν τα ακόλουθα (α) Αν < λ < λ <... < λ <... και λ + τότ E = = λ V (b) Αν K συμπαγές υποσύνολο του E τότ το K ίναι φραγμένο. Απόδιξη (α) Έστω E μ ϕ : λ K ϕ λ = λ E. Επιδή η απικόνιση ίναι συνχής, το σύνολο ϕ ( V ) { λ K : λ V} υπάρχι = ίναι πριοχή του K. Έτσι φυσικός αριθμός τέτοιος ώστ ϕ ( V ) τότ V ή λv. λ Έτσι ο ισχυρισμός (α) έχι αποδιχθί.. Επομένως, αν λ (b) Έστω W ισορροπημένη πριοχή του E. Από τον ισχυρισμό (α) έχομ ότι K W = E. Από την συμπάγια του K θα υπάρχουν <... < m N ώστ K = m λ W. Επιδή το W ίναι ισορροπημένο σύνολο, έπται ότι λ= W mw, λ =,,..., m. Συνπώς K mw και το K ίναι φραγμένο. λ. Σ τοπικά κυρτούς χώρους τα φραγμένα σύνολα χαρακτηρίζονται μ τον ακόλουθο τρόπο. Πρόταση 3.3.4 Έστω ( E, T ) τοπικά κυρτός χώρος, μια οικογένια ημινορμών που καθορίζι την τοπολογία του E T = T και E (ι) Το ίναι φραγμένο.. Τα ακόλουθα ίναι ισοδύναμα: (ιι) Το σύνολο ( ) ίναι φραγμένο υποσύνολο του R για κάθ. { } Απόδιξη (ι) (ιι). Έστω. Επιδή η B E ( ) του E υπάρχι δ > ώστ δ B (,), δηλαδή το ( ) ίναι φραγμένο υποσύνολο του R. (ιι) (ι). Έστω B (, ) { }, = : < ίναι πριοχή μια βασική πριοχή του E, όπου > και =,...,. Έστω,..., m m θτικοί πραγματικοί ώστ < δ, και άρα < m για κάθ k k
5 m m και για κάθ k =,,...,. Αν δ ma,...,, τότ (, ) (, ) δ B = B δ και έτσι το ίναι φραγμένο στον τ.δ.χ. E. Θώρημα 3.3.5 Έστω ( E, T ) ( Hausorff) τοπολογικός διανυσματικός χώρος. Οι ακόλουθοι ισχυρισμοί ίναι ισοδύναμοι. (ι) Η τοπολογία του E πάγται από μια νόρμα ( ιδιαίτρα, ο ( E, T ) ίναι τοπικά κυρτός. ) (ιι) Υπάρχι μια φραγμένη κυρτή πριοχή του E ( Ισοδύναμα ο E έχι ένα μη κνό ανοικτό κυρτό και φραγμένο σύνολο) Απόδιξη (ι) (ιι) Έστω μια νόρμα πί του E ώστ T σφαίρα B(, ) { E : } = T, τότ βέβαια η ανοικτή = < ίναι μια ανοικτή κυρτή και φραγμένη πριοχή του E. ( πρβλ. και την παρατήρηση (3) μτά τον ορισμό 3.3.. ). (ιι) (ι) Έστω U κυρτή φραγμένη πριοχή του E. Από την πρόταση 3.. (χι) υπάρχι μια ανοικτή κυρτή και ισορροπημένη πριοχή V του E ώστ V U. Έστω = V το συναρτησοιδές του Mikowski της V. Ισχυρισμός. Το V ίναι νόρμα η οποία πάγι την τοπολογία του E. Απόδιξη του ισχυρισμού. Το = ίναι βέβαια από το θώρημα 3.3.7 μια ημινόρμα. V Έστω E μ. Εφόσον ο E ίναι Hausorff υπάρχουν πριοχές W και W των και αντίστοιχα ώστ W W =. Από την υπόθσή μας η U ίναι φραγμένη πομένως υπάρχι > : V U W. Όμως ισχύι ότι, { : } : { } V = y y < = z z < (πρβλ. Πρόταση 3.3.8 ). Έπται ότι, ( ) Έστω > και η = V ίναι μια νόρμα. >, πιδή { : } (, ) V = y y < = B, έπται ότι κάθ ανοικτή σφαίρα ως προς την νόρμα ίναι ανοικτό σύνολο ως προς την T και άρα T τοπολογία που πάγι η νόρμα πί του E. T, όπου T ίναι η Έστω τώρα W τυχούσα πριοχή του E ως προς την T. Εφόσον η U ίναι φραγμένη υπάρχι { } δ > ώστ, (, ) : B δ = < δ = δv δu W. Έπται αμέσως ότι T T και η απόδιξη του θωρήματος ίναι πλήρης...
53 Υπνθυμίζουμ τώρα από την τοπολογία την έννοια του τοπικά συμπαγούς χώρου. Ένας τοπολογικός χώρος Hausorff X λέγται τοπικά συμπαγής, αν για κάθ X υπάρχι μια βάση πριοχών του η οποία αποτλίται από συμπαγή σύνολα. Ισοδύναμα, αν για κάθ X υπάρχι μια συμπαγής πριοχή V του ( γιατί; ). Παραδίγματα: ) Ο Ευκλίδιος χώρος (, ) συμπαγής ). R ίναι τοπικά συμπαγής ( και όχι ) Κάθ ανοικτό υποσύνολο τοπικά συμπαγούς ( ιδιαίτρα συμπαγούς ) χώρου ίναι τοπικά συμπαγής ( γιατί; ) 3) Αν X ίναι μη κνό σύνολο και ίναι η διακριτή μτρική πί του X, τότ ο ( X, ) ίναι τοπικά συμπαγής μτρικός χώρος ( γιατί; ). Παρατηρούμ ότι αν το X ίναι υπραριθμήσιμο σύνολο τότ ο ( X, ) δν ίναι διαχωρίσιμος. Το πόμνο αποτέλσμα γνικύι γνωστό αποτέλσμα για χώρους μ νόρμα. Θώρημα 3.3.6 Έστω ( E, T ) τοπικά κυρτός χώρος. Αν ο (, ) E T ίναι τοπικά συμπαγής τότ η τοπολογία του πάγται από μια νόρμα και συνπώς ίναι ππρασμένης διάστασης. Απόδιξη. Έστω V πριοχή του E ώστ η V ίναι συμπαγές σύνολο. Τότ η V και άρα η ίδια η V ίναι φραγμένη. Έστω W V ανοικτή κυρτή και ισορροπημένη πριοχή του E ( πρβλ. θώρημα 3.3.9 ).Έπται από το θώρημα 3.3.5 ότι το συναρτησοιδές του Mikowski = του W ίναι μια νόρμα η οποία πάγι την τοπολογία του E, ώστ B (,) W = W. Έτσι ο E ίναι ένας τοπικά συμπαγής χώρος μ νόρμα και άρα ο Eέχι ππρασμένη διάσταση.. Παρατήρηση. Αποδικνύται ότι το προηγούμνο αποτέλσμα ισχύι χωρίς την υπόθση της τοπικής κυρτότητας του E ( πρβλ. [R] θώρημα.). Παράδιγμα 3.3.7 Έστω E = K Γ = χώρος των συναρτήσων f : Γ R μ την τοπικά κυρτή τοπολογία της σύγκλισης κατά σημίο T ( πρβλ. το παράδιγμα 3..6 ()). (α) Αν το σύνολο Γ ίναι άπιρο τότ η T δν πάγται από μια νόρμα. (β) Αν το Γ ίναι υπραριθμήσιμο τότ η T δν ίναι μτρικοποιήσιμη τοπολογία. Απόδιξη Υπνθυμίζουμ ότι η τοπολογία T του E ορίζται από την οικογένια ημινορμών { : } γ γ Γ όπου,, γ f = f γ γ Γ f E
54 (α) Ας υποθέσομ ότι η τοπολογία T πάγται από κάποια νόρμα. Τότ από το θώρημα 3.3.5 ο E θα ίχ μια φραγμένη πριοχή έστω V του E. Έστω F Γ ππρασμένο > ώστ B (, ) V, όπου, και Επιδή η πριοχή B (, ) υπάρχι για κάθ γ Γ, F F { } B, = f E : f γ <, γ F. F θα ίναι και αυτή φραγμένη από την πρόταση 3.3.4 θα m γ > ώστ, (, ) ( γ ) f B f m γ (). Επιδή το Γίναι άπιρο υπάρχι γ Γ \ F ( το F ίναι ππρασμένο). Ορίζουμ μια συνάρτηση f : Γ K μ τον ακόλουθο τρόπο,, γ Γ \{ γ } f γ =. m γ +, γ = γ Τότ F Γ \{ γ }, άρα f ( γ ) = γ F και f B ( ) γ γ, F F,. Όμως f γ = m + > m και η ανισότητα αυτή αντιφάσκι μ την (). Επομένως η τοπολογία του E δν πάγται από κάποια νόρμα. (β) Υποθέτουμ τώρα ότι το Γ ίναι υπραριθμήσιμο σύνολο και ότι η T ίναι μτρικοποιήσιμη τοπολογία. Από το θώρημα 3.3. υπάρχι Γ το πολύ αριθμήσιμο ώστ η οικογένια ημινορμών { γ : γ } να καθορίζι την τοπολογία { BF (, ) : F ππρασµένο και } T. Επομένως τα σύνολα > συνιστούν μια βάση πριοχών του Ε. Έστω γ Γ \. Ορίζουμ μια συνάρτηση g : Γ K ώστ { } g γ =, γ Γ \ γ και g ( γ ) =. Παρατηρούμ ότι, g BF (, ) >, αφού F Γ \{ γ }, πομένως g { BF (, ) : F ππρασµένο, > } = { } άτοπο φόσον για κάθ F ππρασμένο για κάθ g γ. Συμπραίνουμ ιδιαίτρα από το προηγηθέν παράδιγμα και το θώρημα 3.3. ότι : N N ) ο χώρος R ( και ο C ) μ την τοπολογία της σύγκλισης κατά σημίο ίναι μτρικοποιήσιμος αλλά η τοπολογία του δν πάγται από κάποια νόρμα. ) Οι χώροι [ ] R R C R R C C κτλ ο καθένας μ την τοπολογία της σύγκλισης κατά σημίο,,,., δν ίναι μτρικοποιήσιμοι. Κλίνουμ την παράγραφο αυτή μ ένα χρήσιμο αποτέλσμα από την Γραμμική Άλγβρα.
55 Πρόταση 3.3.8 Έστω E διανυσματικός χώρος, Λ, Λ,... Λ γραμμικά συναρτησοιδή πί του E και N = KerΛ k. Τότ οι ακόλουθοι ισχυρισμοί ίναι ισοδύναμοι k= (ι) Υπάρχουν a,..., a K ώστ Λ = aλ +... + aλ. = N, δηλαδή KerΛ k KerΛ. (ιι) Λ, k= Απόδιξη Θα χρησιμοποιήσουμ το ακόλουθο αποτέλσμα. Ισχυρισμός. Έστω E, E, E 3 διανυσματικοί χώροι και f : E E3, g : E E γραμμικές απικονίσις. Τότ υπάρχι μια γραμμική απικόνιση h : E E3 ώστ f = hog αν και μόνο αν Kerg Kerf. Απόδιξη του ισχυρισμού. Υποθέτομ ότι Kerg Kerf. Ορίζουμ h : g( E ) E ως ξής,, h g f E άρα f ( ) f ( ) =. Έστω ότι g( ) g( ) = και έτσι η hίναι καλά ορισμένη. Επκτίνουμ την h σ μια γραμμική απικόνιση πί του E και παρατηρούμ ότι f = hog. Η άλλη συνπαγωγή του ισχυρισμού ίναι προφανής. Αποδικνύουμ τώρα την συνπαγωγή (ιι) (ι). Εφαρμόζουμ τον ισχυρισμό για E E, E K, E3 K, f έτσι βρίσκουμ μια γραμμική απικόνιση : Η απικόνιση h μπορί βέβαια να γραφί ως h y = ak yk, για κάποις σταθρές,..., k= κάθ (,..., y y y) K ( ) a ( ) a ( ) =. Επομένως... 3 =. Τότ Kerg Kerf, g = Λ Λ, = = = = Λ και την (,..., ) h K K ώστ f ( ) = h g( ), E = E. a a K και Λ = Λ + + Λ, για κάθ E Η συνπαγωγή (ι) (ιι) ίναι προφανής. ) Έστω E τ.δ.χ., αποδίξτ ότι: Ασκήσις (α) Κάθ κυρτό υποσύνολο του E ίναι συνκτικό. Ιδιαίτρα ο E ίναι συνκτικός τοπολογικός χώρος.
56 (b) Κάθ ισορροπημένο υποσύνολο του E ίναι συνκτικό. Ιδιαίτρα ο E ίναι τοπικά συνκτικός ( δηλαδή, κάθ E έχι μια βάση πριοχών από συνκτικά σύνολα). [Υπόδιξη(α) Αν a τότ = [ a, ]. Παρατηρούμ ότι κάθ υθύγραμμο τμήμα[ a, b] {( t) a tb : t [,] } ισορροπημένο τότ [, ] = + σ ένα τ.δ.χ. ίναι συνκτικό. (b) Αν = ]. ) Έστω ( E, T ) τ.δ.χ. και μια αναλλοίωτη για τις μταφορές μτρική η οποία μτρικοποιί τον ( E, T )., =,, E,. Αποδίξτ ότι : (α) (b) Αν ( ) E ώστ τότ υπάρχουν θτικοί πραγματικοί λ >,, ώστ λ + και λ. [ Υπόδιξη (α) (, ) ( k, ( k ) ) = (,) k= (b) (, ), άρα υπάρχι μια υπακολουθία ( k ) N ώστ (, ) <, k. k Θέτομ λ = αν < και λ = k αν k < k +. Τότ ( λ, ) = ( k, ) k (,) < ] k 3) (α) Έστω E διανυσματικός χώρος και : E R ημινόρμα. Θέτομ F = { }. Αποδίξτ ότι ο F ίναι διανυσματικός υπόχωρος του E και αν π : E E / F ίναι η ɶ : E / F R : ɶ π =, E, ίναι μια κανονική απικόνιση τότ η απικόνιση νόρμα πί του E / F. (b) Έστω E ο χώρος των Lebesgue ολοκληρώσιμων συναρτήσων f :[,] f = f t t, ποιος ίναι ο χώρος πηλίκο ( E / F, ɶ ); 4) Έστω {, i I} (α) Αν ημινόρμα. i R. Αν οικογένια ημινορμών πί του διανυσματικού χώρου E. Αποδίξτ ότι: { i } su : i I, E { i } < + τότ η = su : i I, E ίναι (b) Αν {,..., } ίναι ππρασμένο σύνολο ημινορμών πί του E τότ η ( ) = ma ( ) : k, E ίναι ημινόρμα. { k }
57 5) Έστω οικογένια ημινορμών πί του διανυσματικού χώρου E. Συμβολίζουμ μ = την μικρότρη οικογένια ημινορμών πί του E, η οποία πριέχι την και ίναι κλιστή για την πράξη ma ( αν, τότ ma (, ) = ). α) Αποδίξτ ότι οι τοπολογίς T και T ( ) συμπίπτουν πί του E. b) Έστω Λ : E K γραμμικό συναρτησοιδές. Αποδίξτ ότι Λ ίναι συνχής απικόνιση αν και μόνο αν υπάρχι και 6) Μια ακολουθία ( ) σ ένα τ.δ.χ. (, ) M > ώστ, Λ M E. E T λέγται T-Cauchy αν για κάθ πριοχή U του E υπάρχι N : > m m U. Υποθέτομ ότι η τοπολογία του E μτρικοποιίται από μια αναλλοίωτη για τις μταφορές μτρική. Αποδίξτ ότι μια E ίναι T-Cauchy η ( ) ίναι Cauchy. ακολουθία ( ) 7) Έστω ( E, T ) τ.δ.χ. Αποδίξτ ότι: (α) Αν ( ) E ίναι T-Cauchy ακολουθία τότ το σύνολο { : } ίναι φραγμένο. (β) Ένα υποσύνολο E ίναι φραγμένο αν και μόνο αν για κάθ ( ) για κάθ ( a) K μ a συνπάγται a. (γ) Ένα υποσύνολο Eίναι φραγμένο αν και μόνο αν κάθ αριθμήσιμο υποσύνολο B του ίναι φραγμένο. 8) Αποδίξτ ότι κάθ Hausorff τοπικά κυρτός χώρος ( E, T ) ίναι τλίως κανονικός Τ 3. [ Υπόδιξη. Έστω T T σημία του E. Έστω E και U > ώστ (, ) και =, όπου ίναι μια οικογένια ημινορμών που διαχωρίζι τα E ανοικτή πριοχή του. Έστω ππρασμένο B U. Θέτομ q = ma τότ q συνχής ημινόρμα και η { } συνάρτηση f ( y) = mi, q( y ) ίναι συνχής ώστ f ( ) = και f κάθ E \ U ]. 9) Οι ημινόρμς ( f, g) = = { } f = su f t : t,, ορίζουν την μτρική, ( ) f g + f g y = για, η οποία μτρικοποιί την τοπολογία της ομοιόμορφης σύγκλισης στα συμπαγή υποσύνολα του R στον χώρο C( R ) των συνχών συναρτήσων
58. Ορίζουμ, f ( ) ma{, }, g( ) f ( ) f : R R Υπολογίστ τις ακόλουθς ποσότητς: 5 f g (,) =, (,) = και (,) = = και h = f + g. 5 h = +. 6 = δν ίναι κυρτό Συμπράνατ ότι η σφαίρα B, ϕ C( R) : ( ϕ,) σύνολο. Υπάρχι r ) Έστω(, ) ακολουθία < < ώστ η σφαίρα B (, r) E T τοπικά κυρτός χώρος και ( ) y +... + =. να ίναι κυρτό σύνολο; E μ. Αποδίξτ ότι, η ) Έστω C [,] ο χώρος Baach των συνχών συναρτήσων f :[,] Cμ την suorm. Αποδίξτ ότι υπάρχι Λ C[,] * ώστ ( B) B= η κλιστή μοναδιαία σφαίρα του C [,]. Λ ανοικτό υποσύνολο του C, όπου [ Υπόδιξη: Έστω Λ : C[,] C συνχές γραμμικό συναρτησοιδές μ Λ. Τότ το Λ ( B) ίναι ισορροπημένο και φραγμένο υποσύνολο του μιγαδικού πιπέδου C και άρα ίναι ένας δίσκος ( ανοικτός ή κλιστός ) μ κέντρο το C και ακτίνα r = Λ Αν το Λ δν πιτυγχάνι την νόρμα του πί του B, δηλαδή Λ, ( B) B(, ) { z C : z } f < Λ f B τότ Λ = Λ = < Λ. Ένα παράδιγμα τέτοιου συναρτησοιδούς ίναι το ακόλουθο: Έστω ( t ) μια αρίθμηση των ρητών του (, ), θέτομ f ( t) f ( ) Λ ( f ) =, f C[, ] = παράγραφο.] ) Έστω R +. [Πρβλ. πίσης και την άσκηση () μτά την Κ R κυρτό και απορροφούν σύνολο. Αποδίξτ ότι το Κ ίναι πριοχή του, όπου ο R θωρίται μ την τοπολογία της ( Ευκλίδιας ) νόρμας. [ Υπόδιξη. Αποδίξτ πρώτα το αποτέλσμα για. Αν = τότ υπάρχι λ >, ώστ λ co( ± e, ± e ) Κ, όπου e = και, e,.] 3) Έστω( X, ) χώρος μ νόρμα. Αν B, B ίναι η ανοικτή και η κλιστή μοναδιαία σφαίρα του X αποδίξτ ότι B = =. B
59 (β) Αν U X ανοικτό κυρτό ισορροπημένο και φραγμένο τότ το συναρτησοιδές του Mikowski U ίναι μια ισοδύναμη νόρμα πί του X. 4) Έστω( X, ) απιροδιάστατος χώρος μ νόρμα. (α) Αποδίξτ ότι η ασθνής τοπολογία T W του X δν ίναι μτρικοποιήσιμη. (β) Αποδίξτ ότι η ασθνής * τοπολογία T * του W * X ίναι μτρικοποιήσιμη αν και μόνο αν ο X έχι αριθμήσιμη αλγβρική διάσταση ( έχι μια αριθμήσιμη βάση Hamel ). * Συμπράνατ ότι αν ο X ίναι χώρος Baach τότ η ασθνής * τοπολογία του X δν ίναι μτρικοποιήσιμη. Δώστ ένα παράδιγμα χώρου μ νόρμα μ αριθμήσιμη αλγβρική διάσταση. [Υπόδιξη: Για το (α): Έστω ( ) ακολουθία γραμμικά ανξάρτητων διανυσμάτων στον X μ =,. Θέτομ F =,..., και F = { }. Από το θώρημα Hah-Baach, προχωρώντας μ παγωγή βρίσκουμ μια ακολουθία * και f ( ) = (, F ) >, =,...,. Η ακολουθία στο χώρο Baach * X και συνπώς από το θώρημα του Baire ο f X ώστ f =, f = F f ίναι γραμμικά ανξάρτητη * X έχι υπραριθμήσιμη αλγβρική διάσταση. Η απόδιξη του γγονότος ότι ο ( X, T W ) δν ίναι μτρικοποιήσιμος ίναι ανάλογη μ την απόδιξη του αντίστοιχου αποτλέσματος που πριγράφται στο παράδιγμα 3.3.7 και χρησιμοποιί την πρόταση 3.3.8. Η απόδιξη του ισχυρισμού (β) κινίται σ ανάλογς γραμμές.] 5) Έστω C [,] ο χώρος των συνχών συναρτήσων f :[,] R, τον οποίο θωρούμ φοδιασμένο μ την τοπολογία της σύγκλισης κατά σημίο T. Αποδίξτ ότι ο ( [, ], ) C T δν ίναι μτρικοποιήσιμος 6) Στον διανυσματικό χώρο E = K Γ ορίζουμ την τοπολογία της ομοιόμορφης σύγκλισης T που έχι ως βάση B τα σύνολα της μορφής V g E f ( ) g( ) u f E, >. f { }, = :su <, Γ (α) Αποδίξτ ότι η B ίναι πράγματι μια βάση για την T u και δικαιολογίστ την ορολογία «τοπολογία της ομοιόμορφης σύγκλισης». (β) Είναι η τοπολογία T u συμβατή μ την διανυσματική δομή του E;
6 [Υπόδιξη: Παρατηρούμ ότι αν το f E τότ Vf, = f + B(, ) όπου { } ( ) B, = g l Γ : g < και ακόμη ότι οι πριοχές του E δν ίναι απορροφούσς, αν το Γ ίναι άπιρο σύνολο.] 7) Έστω E διανυσματικός χώρος F διανυσματικός υπόχωρος του E και π : E E / F η κανονική απικόνιση. (α) Αν ημινόρμα πί του E και θέσομ για κάθ E / F, { π } = if z : z = τότ η ίναι ημινόρμα πί του E / F. (β) Έστω ( E, τ ) τοπικά κυρτός χώρος και οικογένια ημινορμών πί του E η οποία ορίζι την τοπολογία του E ( τ τ = ). Αποδίξτ ότι η τοπολογία πηλίκο πί του χώρου E / F ορίζται από την οικογένια ημινορμών = { : P}. [ Υπόδιξη Πρβλ. την άσκηση 8 της παραγράφου 3.]