ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE. Culegeredeprobleme. Emil STOICA şi Mircea NEAGU

ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Culegeredeprobleme Emil STOICA şi Mircea NEAGU

Cuprins 1 Spaţii vectoriale. Spaţii euclidiene 1 1.1 Elementeteoreticefundamentale................ 1 1. Problemerezolvate........................ 6 1.3 Problemepropuse......................... 17 Spaţii afine. Vectori liberi 3.1 Elementeteoreticefundamentale................ 3. Problemerezolvate........................ 7.3 Problemepropuse......................... 37 3 Geometrie analitică în spaţiu 43 3.1 Elementeteoreticefundamentale................ 43 3. Problemerezolvate........................ 48 3.3 Problemepropuse......................... 59 4 Transformări liniare 63 4.1 Elementeteoreticefundamentale................ 63 4. Problemerezolvate........................ 70 4.3 Problemepropuse......................... 9 5 Forme biliniare. Forme pătratice 97 5.1 Elementeteoreticefundamentale................ 97 5. Problemerezolvate........................ 101 5.3 Problemepropuse......................... 116 6 Conice 11 6.1 Elementeteoreticefundamentale................ 11 6. Problemerezolvate........................ 17 6.3 Problemepropuse......................... 138 3

4 CUPRINS 7 Cuadrice 147 7.1 Elementeteoreticefundamentale................ 147 7. Problemerezolvate........................ 155 7.3 Problemepropuse......................... 17 8 Generări de suprafeţe 179 8.1 Elementeteoreticefundamentale................ 179 8. Problemerezolvate........................ 181 8.3 Problemepropuse......................... 188 9 Curbe plane 193 9.1 Elementeteoreticefundamentale................ 193 9. Problemerezolvate........................ 198 9.3 Problemepropuse......................... 07 10 Curbe în spaţiu 15 10.1 Elementeteoreticefundamentale................ 15 10. Problemerezolvate........................ 1 10.3 Problemepropuse......................... 34 11 Suprafeţe 41 11.1 Elementeteoreticefundamentale................ 41 11. Problemerezolvate........................ 47 11.3 Problemepropuse......................... 64

Capitolul 1 Spaţii vectoriale. Spaţii euclidiene 1.1 Elemente teoretice fundamentale Definiţia 1.1.1 Se numeşte spaţiu vectorial o mulţime nevidă V pe care avem definite două legi de compoziţie, una internă notată şi cealaltă externă notată + :V V V, (x,y) x+y :K V V, (α,x) αx, unde K câmp(corp comutativ), pentru care avem îndeplinite proprietăţile: 1. (V,+)esteungrupabelian α(x+y)=αx+αy, α,β K, x,y V (α+β)x=αx+βy, α,β K, x V. α(βx)=(αβ)x, α,β K, x V 1 x=x, x V. Elementele mulţimii V se numesc vectori, elementele câmpului K vor fi numite scalari, iar legea de compoziţie externă va fi numită înmulţirea cu scalari. PentruK=RsauCvomspunecăV esteunspaţiuvectorialreal, respectiv spaţiu vectorial complex. 1

CAPITOLUL 1. SPAŢII VECTORIALE. SPAŢII EUCLIDIENE Definiţia 1.1. O submulţime nevidău V se numeşte subspaţiu vectorial al K-spaţiului vectorial V dacă 1. x,y U x+y U. α K, x U αx U. Teorema 1.1.1 O submulţime U V este un subspaţiu vectorial dacă şi numai dacă x,y U, α,β K αx+βy U. Propoziţia 1.1. DacăV 1 şiv suntdouăsubspaţiivectorialeînk-spaţiul vectorial V, atunci submulţimile: V 1 V şiv 1 +V ={v V v=v 1 +v, v 1 V 1, v V } sunt subspaţii vectoriale. Propoziţia 1.1.3 Dacă V 1 V ={0},atuncidescompunereav=v 1 +v este unică iarsuma V 1 +V vafinumităsumă directă şi vafinotatăcu V 1 V. În plus, dacă V 1 V =V, atunci V 1 şi V se numesc subspaţii suplementare. FieB={e 1,e,...,e n }osubmulţimedevectoriaunuispaţiuvectorial V peste câmpul K. Mulţimea L(B)={α 1 e 1 +α e +...+α n e n α i K, i=1,n} se numeşte acoperirea liniară a mulţimii B sau spaţiul vectorial generat de submulţimea B. Este de notat faptul că L(B) reprezintă un subspaţiu vectorialalluiv. Definiţia 1.1.3 Mulţimea B se numeşte sistem de generatori pentru spaţiulvectorialv dacăl(b)=v. Astfel, mulţimea de vectori B este un sistem de generatori pentru spaţiul vectorial V dacă v V, α 1,α,...,α n K astfelîncât v=α 1 e 1 +α e +...+α n e n. Definiţia 1.1.4 Mulţimea B se numeşte liniar independentă dacă egalitatea α 1 e 1 +α e +...+α n e n =0 V arelocnumaipentruα 1 =α =...=α n =0. Încazcontrar,spunemcăB este un sistem de vectori liniar dependent.

1.1. ELEMENTE TEORETICE FUNDAMENTALE 3 Definiţia1.1.5 SenumeştebazăaspaţiuluivectorialV,unsistemdevectori B care satosface condiţiile: 1. B este liniar independentă;. B este un sistem de generatori pentru spaţiul vectorial V. Deoarece se poate demonstra că numărul de elemente al oricărei baze B aunuiacelaşispaţiuvectorialv esteacelaşi,senoteazăcudim K V =n numărul elementelor dintr-o bază oarecare. Acest număr se numeşte dimensiunea peste K a spaţiului vectorial V. Teorema 1.1.4(Grassmann) DacăW 1 şiw suntdouăsubspaţiivectoriale ale unui spaţiu vectorial V, atunci este adevărată egalitatea dim K (W 1 +W )=dim K W 1 +dim K W dim K W 1 W. Înparticular,avem: dim K W 1 W =dim K W 1 +dim K W. DacăB={e 1,e,...,e n }esteobazăaunuispaţiuvectorialv,atunci v V,!x 1,x,...,x n K astfelîncât v=x 1 e 1 +x e +...+x n e n. Definiţia1.1.6 Matricea (x 1,x,...,x n ) M 1,n (K) reprezintă coordonatelevectoruluivînbazab. FieB ={e 1,e,...,e n }oaltăbazăînv. Atunci,avemdescompunerile unice n e i= c ij e j, i=1,n. j=1 Definiţia1.1.7 MatriceaM BB not = C=(c ji ) i,j=1,n M n (K)(încaresunt pusepecoloanecoordonatelevectorilore i înbazab)senumeştematricea de trecere de la baza B la bazab. Fiev V unvectorarbitrarşifie x 1 x X= şix = x n coordonatelevectoruluivînbazelebşib. x 1 x x n

4 CAPITOLUL 1. SPAŢII VECTORIALE. SPAŢII EUCLIDIENE Propoziţia 1.1.5 LegăturaîntreX şix estedatăderelaţiamatriceală X=C X. Propoziţia 1.1.6 FieB={e 1,e,...e n }obazăînspaţiulvectorialv,şifie sistemul de vectori S={v 1,v,...,v p } V, v i = n c ij e j, i=1,p. i=1 Atunci, numărul maxim de vectori liniar independenţi ai sistemului S este dat de rangul matricii C. Observaţia1.1.7 ÎnR n,rangulmatriciicoordonatelorunuisistemdevectori exprimă numărul maxim al vectorilor liniar independenţi. Observaţia1.1.8 ÎnR 3,treivectorisuntliniarindependenţidacăşinumai dacă determinantul matricii determinate de cei trei vectori este nenul. SăconsiderămacumV cafiindunspaţiuvectorialreal. Definiţia 1.1.8 Oaplicaţie, :V V R,avândproprietăţile: (i) x,y = y,x, x,y V; (ii) αx,y =α x,y, α K, x,y V; (iii) x+x,y = x,y + x,y, x,x,y V; (iv) x,x 0, x V,cuegalitatedacăşinumaidacă x=0, se numeşte produs scalar pe spaţiul vectorial real V. O pereche(v,, ), reprezentând un spaţiu vectorial real înzestrat cu un produs scalar, se numeşte spaţiu vectorial euclidian. Teorema 1.1.9 Într-un spaţiu vectorial euclidian (V,, ) are loc inegalitatea Cauchy-Schwarz x,y x,x y,y, egalitateaavândlocdacăşinumaidacăvectoriixşiy suntliniarindependenţi.

1.1. ELEMENTE TEORETICE FUNDAMENTALE 5 Noţiunea de spaţiu euclidian este extrem de importantă în algebra liniară, deoarece permite introducerea noţiunilor de lungime(normă) a unui vector x = x,x, distanţă d(x,y)= x y şiunghi ϕ [0,π]formatdedoivectorixşiy: cosϕ= x,y x y. Evident, din definiţia unghiului dintre doi vectori, rezultă că într-un spaţiu euclidian doi vectori nenuli x şi y sunt perpendiculari (ortogonali) x ydacăşinumaidacă x,y =0. Definiţia 1.1.9 Să considerăm (V,, ) un spaţiu euclidian de dimensiune dim K V =n şi fie B ={e 1,e,...,e n } o bază a lui V. Baza B se numeşte bază ortonormată a lui V dacă sunt îndeplinite condiţiile e i,e j =0, i j=1,n şi e i =1, i=1,n. Sintetizând, vectorii unei baze ortonormate sunt unitari şi ortogonali doi câtedoi. Amdorisămenţionămcăbazeleortonormatesuntcelemaiconvenabile pentru descrierea proprietăţilor algebrice şi geometrice ale spaţiilor euclidiene. Teorema 1.1.10 (de existenţă a bazelor ortonormate) Fie (V,, ) un spaţiu vectorial euclidian n-dimensional. Dacă B={v 1,v,...,v n } esteobazăoarecarealuiv,atunciexistăobazăortonormată B ={e 1,e,...,e n } aspaţiuluieuclidianv,obţinută din bazab. ConstrucţiabazeiortonormateB dinbazaoarecarebestedatăde

6 CAPITOLUL 1. SPAŢII VECTORIALE. SPAŢII EUCLIDIENE Procedeul de ortonormalizare Gramm-Schmidt (1) Construim vectorii ortogonali f 1 =v 1, f =v v,f 1 f 1 f 1, f 3 =v 3 v 3,f 1 f 1 f 1 v 3,f f f, f i =v i v i,f 1 f 1 f 1 v i,f f f... v i,f i 1 f i 1 f i 1, f n =v n v n,f 1 f 1 f 1 v n,f f f... v n,f n 1 f n 1 f n 1. ()VectoriidinbazaortonormatăB ={e 1,e,...,e n }sunt e i = 1 f i f i, i=1,n. Fie(V,, )unspaţiueuclidianşifiew unsubspaţiuvectorialalluiv. Definiţia 1.1.10 Mulţimea W ={v V v w, w W} este un subspaţiu vectorial al lui V şi se numeşte complementul ortogonal alluiw. Observaţia1.1.11 ÎntotdeaunaavemdescompunereaV =W W. 1. Probleme rezolvate Problema 1..1 Fie (V,+, ) un spaţiu vectorial real. Pe produsul cartezian V C =V V definim operaţiile de adunare a vectorilor şi de înmulţire a lor cu scalari complecşi: (x 1,y 1 )+(x,y )=(x 1 +x,y 1 +y ), (α+iβ)(x,y)=(αx βy,αy+βx), α,β R, i = 1.

1.. PROBLEMEREZOLVATE 7 Săsearatecă,înraportcuacesteoperaţiiV C estespaţiuvectorialcomplex (acest spaţiu poartă numele de complexificatul lui V). Rezolvare. Se ştie că produsul cartezian (V V,+) este un grup abelian cu elementul neutru (0 V,0 V ), opusul unui vector (x,y) fiind vectorul( x, y). Fiez 1 =α 1 +iβ 1,z =α +iβ doiscalaricomplecşi. În acest context, avem (z 1 +z )(x,y)=((α 1 +α )+i(β 1 +β ))(x,y) =((α 1 +α )x (β 1 +β )y,(α 1 +α )y+(β 1 +β )x) =(α 1 x β 1 y,α 1 y+β 1 x)+(α x β y,α y+β x) =z 1 (x,y)+z (x,y). Fieacumz=α+iβ Cşi(x 1,y 1 ),(x,y ) V V.Atunci z((x 1,y 1 )+(x,y ))=(α+iβ)(x 1 +x,y 1 +y ) =(α(x 1 +x ) β(y 1 +y ),α(y 1 +y )+β(x 1 +x )) =(αx βy,αy +βx )+(αx βy,αy +βx ) =z(x 1,y 1 )+z(x,y ). În mod asemănător, se arată că (z 1 z )(x,y) = z 1 (z (x,y)) şi (1+0i)(x,y) = (x,y). În concluzie, mulţimea V C este un spaţiu vectorial complex. Problema1.. FieF [a,b] mulţimeatuturorfuncţiilorrealedefinitepeintervalul[a,b] R. a)săsearatecăoperaţiile: (f+g)(x)=f(x)+g(x), x [a,b] (αf)(x)=αf(x), α R,x [a,b] definescostructurăde R-spaţiuvectorialpemulţimea F [a,b]. b)dacăintervalul [a,b] Restesimetricfaţădeorigine,săsearatecă F + = { f F [a,b] f( x)=f(x) } F [a,b] (funcţiilepare), F = { f F [a,b] f( x)= f(x) } F [a,b] (funcţiileimpare)

8 CAPITOLUL 1. SPAŢII VECTORIALE. SPAŢII EUCLIDIENE suntsubspaţiivectorialeşi,maimult,avemegalitatea F [a,b] =F + F. Rezolvare. a)secunoaştecă ( F [a,b],+ ) esteungrupabeliancuelementulneutruo(undeo:[a,b] Restefuncţiaidenticnulă). Înplus,avem adevărate relaţiile: ((α+β)f)(x)=(α+β)f(x)=αf(x)+βf(x)=(αf)(x)+(βf)(x), (α(f+g))(x)=(αf+αg)(x)=(αf)(x)+(αg)(x), x [a,b]. De asemenea, avem ((αβ)f)(x)= (αβ)f(x) =α(βf(x)) = (α(βf))(x), x [a,b], adică (αβ)f = α(βf). Mai mult, 1 f = f, f F [a,b]. În concluzie, mulţimeaf [a,b] esteunr-spaţiuvectorial. b)esteuşordedemonstratcă,încazulîncareintervalul[a,b] Reste simetric faţă de origine, suma a două funcţii pare/impare este tot o funcţie pară/impară şi, mai mult, că înmulţirea cu un scalar real a unei funcţii pare/impare este, la rândul ei, tot o funcţie pară/impară. Prin urmare, conformcriteriuluidesubspaţiu,rezultăcăf + şif suntsubspaţiiînf [a,b]. MairămânededemonstratcăF [a,b] =F + F. Pentruaceastaestesuficient dedemonstratcăf + F ={O}şiF + +F =F [a,b].cualtecuvinte,trebuie demonstratcăoriceelementf F [a,b] sepoatescrieunicsubforma f =f + +f, unde f + F +,f F. În această direcţie, să considerăm f F [a,b] o funcţie arbitrară şi să construim funcţiile f + (x)= 1 [f(x)+f( x)], f (x)= 1 [f(x) f( x)]. Severificăuşorcăf + F +,f F şi,maimult,căesteadevăratărelaţia f =f + +f. Pentru a demonstra unicitatea descompunerii anterioare, să considerămunelementarbitrarf F + F. Atunci,pentruoricex [a,b], au loc simultan relaţiile: f( x) = f(x) şi f( x) = f(x). Acest lucru implicăf(x)=0, x [a,b],adicăf=o. Problema 1..3 Să se arate că submulţimile de matrici S= { A M n (K) T A=A } (matricilesimetrice), A= { A M n (K) T A= A } (matricileantisimetrice) suntsubspaţiivectorialeînm n (K)şi,maimult,avemM n (K)=S A.

1.. PROBLEMEREZOLVATE 9 Rezolvare. Dinrelaţiile T (A+B)= T A+ T B şi T (αa)= α T A,cu ajutorul criteriului de subspaţiu, rezultă că S şi A sunt subspaţii ale lui M n (K).SăluămacumomatricearbitrarăAdinintersecţiaS A.Atunci, din relaţiile T A = A şi T A = A, rezultă că A = O (matricea nulă). În concluzie, intersecţia S A este subspaţiul nul. Mai mult, pentru o matrice oarecareb M n (K),săconsiderămmatricile B + = 1 ( B+ T B ), B = 1 ( B T B ). EvidentavemB + S,B AşiB=B + +B. Prinurmareamdemonstrat căm n (K)=S A. Problema 1..4 Să se stabilească dependenţa sau independenţa liniară a următoarelor sisteme de vectori şi să se precizeze dacă sunt sisteme de generatori, în spaţiile vectoriale respective: a)s 1 ={v 1 =(1,3),v =(,1)} R ; b)s ={v 1 =(1,3, ),v =(,1,0),v 3 =(0,5, 4)} R 3 ; c)s 3 = { v 1 =1,v =cos x,v 3 =cosx } C 0 (R). Rezolvare. a)fieα,β Rastfelîncâtαv 1 +βv =0.Rezultăsistemul liniar omogen { α β=0 3α+β=0, al cărui determinant este nenul, adică sistemul admite numai soluţia banală. Cualtecuvinte,sistemuldevectoriS 1 esteliniarindependentînr.pentru astudiadacăsistemuldevectoris 1 esteunsistemdegeneratoripentrur, săconsiderămunvectorarbitrarv=(x,y) R şisăstudiemdacăexistă α,β Rastfelîncâtαv 1 +βv =v.rezultăsistemulliniarneomeogen { α β=x 3α+β=y. Deoarece determinantul sistemului este nenul rezultă că sistemul are soluţie unicăpentru x,y R. Înconcluzie,sistemuldevectoriS 1 esteşiunsistem degeneratoripentrur,adicăesteobazăînr.

10 CAPITOLUL 1. SPAŢII VECTORIALE. SPAŢII EUCLIDIENE b)determinantulobţinutprinscriereapecoloanăavectorilorv 1,v şi v 3 este 1 0 3 1 5 0 4 = 8. Determinantulfiindnenul,rezultăcăsistemuldevectoriS esteobazăîn spaţiulvectorialr 3. c)seştiedintrigonometriecăcosx=cos x 1.Cualtecuvinteavem v 3 =v v 1,adicăsistemuldevectoriS 3 esteliniardependentînc 0 (R). Să presupunem că sistemul de vectori S 3 este sistem de generatori pentru C 0 (R). În această situaţie, orice funcţie continuă se scrie ca o combinaţie liniarădev 1,v şiv 3.Înparticular,pentrufuncţiacosxexistăα,β,γ R. astfel încât cosx=α+βcos x+γcosx, x R. Luând în egalitatea anterioară x=π, rezultă că α+β+γ = 1. Pentru x = 0 găsim însă α+β+γ = 1. Contradicţie! Prin urmare, sistemul de vectoris 3 nuesteunsistemdegeneratoripentruc 0 (R). Problema 1..5 Să se calculeze coordonatele vectorilor următori în bazele precizate: a)v=(1,1,1),unde B={e 1 =(,, 1),e =(, 1,),e 3 =( 1,,)} R 3 ; b)v=x 5 X 4 +X 3 X +X 1,unde B={1,1+X,1+X,1+X 4,1+X 5,1 X 3 } R 5 [X]. Rezolvare. a)fie(α,β,γ) R 3 coordonatelevectoruluivînbazab. Rezultăegalitateax=αe 1 +βe +γe 3 dincaregăsimsistemulliniar α+β γ=1 α β+γ=1 α+β+γ=1. Înconcluzie,deducemcăα=β=γ=1/3. b)săpresupunemcă(α,β,γ,δ,ε,µ) R 6 suntcoordonatelepolinomului vînbazab.deducemcă v=α+β(1+x)+γ(1+x )+δ(1+x 4 )+ε(1+x 5 )+µ(1 X 3 ).

1.. PROBLEMEREZOLVATE 11 Egalând coeficienţii celor două polinoame, găsimα=, β =ε=µ=1 şi δ = γ = 1. În concluzie, coordonatele polinomului v în baza B sunt exprimatedevectorul(0,1, 1, 1,1, 1). Problema1..6 Să se arate că vectorii x,y,z R 3, unde x=( 1,1,1), y=(1,1,1),z=(1,3,3),suntliniardependenţişisăsegăseascărelaţiade dependenţă liniară. Rezolvare. Deoarece determinantul format prin scrierea pe coloană a vectorilorx,yşizestenul,rezultăcăvectoriix,y,zsuntliniardependenţi. Să presupunem că avem următoarea relaţie de dependenţă liniară vectorială: z=αx+βy,undeα,β R. Aceastărelaţieconducelasistemulliniar { α+β=1 α+β=3, careadmitesoluţiaα=1,β=.înconcluzie,avemz=x+y. Problema1..7 Fie v 1,v şi v 3 trei vectori liniar independenţi în spaţiul vetorial real V. Să sedetermine α R astfel încâtvectorii u 1 =v 1 +αv, u =v +αv 3 şi u 3 =v 3 +αv 1 să fie liniar independenţi (respectiv liniar dependenţi). Rezolvare. Pentru ca vectorii u 1,u şi u 3 să fie liniar independenţi trebuiecapentruoricescalariβ 1,β,β 3 Rcareverificăegalitateaβ 1 u 1 + β u +β 3 u 3 =0 V sărezultecăβ 1 =β =β 3 =0.Dar,dinegalitatea β 1 u 1 +β u +β 3 u 3 =0 V β 1 (v 1 +αv )+β (v +αv 3 )+β 3 (v 3 +αv 1 )=0 V (β 1 +β 3 α)v 1 +(β +β 1 α)v +(β 3 +β α)v 3 =0 V, precumşidinliniaraindependenţăavectorilorv 1,v,v 3,deducemcă β 1 + αβ 3 = 0 αβ 1 + β = 0 αβ + β 3 = 0. Prinurmare,condiţiacavectoriiu 1,u,u 3 săfieliniarindependenţidevine echivalentă cu aceea ca determinantul sistemului de mai sus să fie nenul. Acest fapt conduce la condiţia α 1. Evident, pentru α = 1 vectorii u 1,u şiu 3 suntliniardependenţi.

1 CAPITOLUL 1. SPAŢII VECTORIALE. SPAŢII EUCLIDIENE Problema 1..8 Să se determine suma şi intersecţia subspaţiilor vectoriale U,V R 3,unde U= { (x 1,x,x 3 ) R 3 x 1 x =0 } ; V = { (x 1,x,x 3 ) R 3 x 1 x +x 3 =0 }. Rezolvare. Subspaţiul intersecţie U V este determinat de mulţimea soluţiilor sistemului { x1 x = 0 x 1 x + x 3 = 0, careadmitesoluţiilex 1 =α,x =α,x 3 = α,undea R. Prinurmare, avemu V ={(α,α,α) α R}. SubspaţiulsumăesteU+V ={u+v u U,v V}.Folosindnotaţiile u=(u 1,u,u 3 )şiv=(v 1,v,v 3 ),problemadeterminăriisumeidesubspaţii U +V revine la aceea a determinării valorilor parametrilor λ, µ, ν R pentru care sistemul u 1 u = 0 v 1 v + v 3 = 0 u 1 + v 1 = λ u + v = µ u 3 + v 3 = ν este compatibil. Deoarece sistemul precedent este compatibil pentru λ, µ şi ν R, rezultă că avemu+v =R 3. Sumasubspaţiilor nu este directă deoareceu V {(0,0,0)} Problema 1..9 Fie subspaţiul vectorial W 1 R 3, care este generat de vectoriiw 1 =(1, 1,0)şiw =( 1,1,).SăsedeterminesubspaţiulsuplementarW şisăsedescompunăvectorulx=(,,)peceledouăsubspaţii. Rezolvare. Deoarece sistemul de vectori {w 1,w } este liniar independent şi W 1 = L({w 1,w }) rezultă că {w 1,w } este o bază în W 1, adică dim R W 1 =. Fie W complementul ortogonal al subspaţiului W 1. Din teorema lui Grassmann deducem că dim R W = 1. Să considerăm că w 3 = (x,y,z) (0,0,0) este o bază în W = L({w 3 }). Din condiţiile de ortogonalitatew 3 w 1 şiw 3 w deducemcăx=yşiz=0.cualtecuvinte, avem W ={(x,x,0) x R}=L({w 3 =(1,1,0)}).

1.. PROBLEMEREZOLVATE 13 Vectorulx=(,,)sedescompuneînR 3 =W 1 W dupăformula x=aw 1 +bw +cw 3, a,b,c R. Prin calcul, găsim a = b = 1 şi c =. În concluzie, avem următoarele proiecţiivectoriale: pr W1 x=w 1 +w şipr W x=w 3. Problema1..10 ÎnspaţiulvectorialR 3 seconsiderăsistemeledevectori B ={e 1 =(1,1,0),e =(1,0,1),e 3 =(1,0, 1)}, B ={e 1 =(1,0,0),e =(1,1,0),e 3 =(1,1,1)}. SăsearatecăB şib suntbazeşisăsedeteminematriceadetreceredela bazab labazab.săsecalculezecoordonatelevectoruluiv R 3 înraport cu cele două baze ştiind că (, 1,1) sunt coordonatele sale exprimate în bazacanonicăaspaţiuluir 3. Rezolvare. SistemeledevectoriB şib suntbazeînr 3 deoarecedeterminanţii formaţi prin scrierea pe coloană a vectorilor din sistemele respective suntnenuli. PentruadeterminamatriceadetreceredelabazaB labazab, descompunemvectoriie i, i=1,3,dupăvectoriibazeib.pentruvectorul e 1 aveme 1 =c 11e 1 +c 1e +c 13e 3,c 11,c 1,c 13 R. Princalcul,deducemcă c 11 +c 1 +c 13 =1 c 11 =0 c 1 c 13 =0, adicăc 11 =0şic 1 =c 13 =1/. Înmodasemănător,deducemcă e =c 1e 1 +c e +c 3e 3 c 1=1,c =c 3 =0, e 3 =c 31e 1 +c 3e +c 33e 3 c 31=1, c 3 = c 33 =1/. Înconcluzie,matriceadetreceredelabazaB labazab estec=(c ji ) i,j=1,3, adică 0 1 1 M B B =C= 1/ 0 1/. 1/ 0 1/ CoordonatelevectoruluivînbazaB sepotobţinedirect,descompunând pevdupăvectoriibazeib.cualtecuvinte,considerândcă(α,β,γ) R 3 suntcoordonateleluivînbazab,avem v=(, 1,1)=αe 1+βe +γe 3.

14 CAPITOLUL 1. SPAŢII VECTORIALE. SPAŢII EUCLIDIENE Înurmacalculelor,găsimα= 1,β=şiγ=1. Analog,descompunând vectorulvdupăvectoriibazeib,găsimcăx =(3,,1)suntcoordonatele vectoruluivînbazab. Observaţie. Problema se poate rezolva şi utilizând formula de schimbaredecoordonate: B =Ω B şib =Λ B implicăb = ( Λ Ω 1) B, adicăx = t( Λ Ω 1) X. Problema 1..11 Săsearatecăpemulţimeapolinoamelordegradcelmult n,notatăcur n [X]operaţiadefinităprin f,g = n a i b i, undef=a 0 +a 1 X+...+a n X n şig=b 0 +b 1 X+...+b n X n esteunprodus scalar. În raport cu acest produs scalar, să se calculeze lungimea f şi distanţaδ(f,g),undef=1+x+x 6X 3 şig=1 X X +6X 3. Rezolvare. În mod evident, avem comutativitatea f, g = g, f. Fie polinoamelearbitraref 1 =a 1 0 +a1 1 X+...+a1 nx n şif =a 0 +a 1 X+...+a nx n. Avem n n n f 1 +f,g = (a 1 i +a i )b i= a 1 i b i+ a i b i= f 1,g + f,g. i=0 Maimult,pentruα Runnumărrealarbitrar,deducemcă ( n n αf,g = (αa i )b i =α a i b i )=α f,g. i=0 i=0 i=0 Pozitiv definirea este asigurată de faptul că f,f = i=0 i=0 n (a i ) 0, f R n [X], i=0 cuegalitatedacăşinumaidacăa i =0, i=1,n,adicăf =0.Înconcluzie, operaţiaconsideratăesteunprodusscalarper n [X]. Pentruf =1+X+X 6X 3 avem f = f,f = 4. Maimult, găsimδ(f,g)= f g = 41. Problema 1..1 Fie vectorii x = (x 1,x,...,x n ),y = (y 1,y,...,y n ) R n. Folosind produsul scalar uzual al spaţiului aritmetic R n, să se demonstreze următoarele inegalităţi:

1.. PROBLEMEREZOLVATE 15 ( n ) ( n a) x i y i i=1 x i i=1 ) ( n yi i=1 ) ; n n b) (x i +y i ) x i + n yi. i=1 i=1 i=1 Rezolvare. a) Se scrie inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwartz x,y x y depespaţiieuclidieneîncazulparticularalprodusului scalarcanonicper n.deducemceeacetrebuiademonstrat. b) Se scrie inegalitatea triunghiului x+y x + y de pe spaţii euclidiene în cazul particular al produsului scalar canonic pe R n. Găsim rezultatul cerut. Observaţie. Demonstraţia inegalităţii triunghiului este descrisă mai jos: x+y = x+y,x+y = x + y + x,y x + y + x y =( x + y ). Problema 1..13 Să se ortonormeze sistemele de vectori: a) v 1 = (1,,),v = (,1,),v 3 = (5,3,5) în raport cu produsul scalaruzualdepe R 3 ; b) v 1 =1, v =X, v 3 =X în raport cu produsul scalar de pe spaţiul polinoamelordegradcelmultdoi R [X],definitprin (f,g)= 1 1 f(x)g(x)dx, f,g R [X]. Rezolvare. a) Utilizând procedeul Gramm-Schmidt, construim versorul e 1 = 1 ( ) 1 v 1 v 1= 3, 3,. 3 Încontinuare,construimvectoriiortogonalif,f 3 şiîiortonormăm: f =v v,e 1 e 1 =(,1,) e = 1 ( f f = 3,1 3, 3 f 3 =v 3 v 3,e 1 e 1 v 3,e e =v 3 3e 1 e = ), ( ) 14 3,14 3,7. 3

16 CAPITOLUL 1. SPAŢII VECTORIALE. SPAŢII EUCLIDIENE Ortonormândvectorulf 3,găsimbazaortonormată{e 1,e,e 3 } R 3,unde e 3 = 1 f 3 f 3= 1 1 (14,14,7)= 1 3 (,,1). b)aveme 1 =v 1 / v 1 =1/.Construimvectoriiortogonalif,f 3 şi îi ortonormăm: f =v (v,e 1 )e 1 =X 1 1 xdx=x e = 1 3 f f = X, 1 f 3 =v 3 (v 3,e 1 )e 1 (v 3,e )e =X 1 1 1 x dx 9 4 X 1 1x 3 dx=x 1 3. Ortonormând vectorul f 3, găsim baza ortonormată {e 1,e,e 3 } R [X], unde e 3 = 1 ( 45 f 3 f 3= X 1 ). 8 3 Problema 1..14 Să se determine în spaţiul aritmetic R 3 complementul ortogonal al subspaţiului vectorial al soluţiilor sistemului { x1 x x 3 =0 x 1 +x x 3 =0 şi să se găsească o bază ortonormată în acest complement. Rezolvare. Subspaţiul dat este S = {(α,0,α) α R}. Condiţia ca un vector v = (v 1,v,v 3 ) R 3 să fie ortogonal pe subspaţiul S este ca αv 1 +αv 3 =0, α R. Cualtecuvinte,complementulortogonalalluiS este S ={(v 1,v, v 1 ) v 1,v R}. ObazăortogonalăînS seobţineluândv 1 =1,v =0şiviceversa. După ortonormarea acestor vectori găsim baza ortonormată { B = e 1 = 1 } (1,0, 1),e =(0,1,0).

1.3. PROBLEMEPROPUSE 17 Problema1..15 Să se determine în R 3 complementul ortogonal al subspaţiului generat de vectorii v 1 = (1,0,),v = (,0,1). Să se găsească apoi descompunerea v = w+w 1 a vectorului v = (1,1,1) R 3 pe cele douăsubspaţiicomplementareşisăseverificerelaţia v = w + w 1 (Teorema lui Pitagora). Rezolvare. FieS subspaţiulgeneratdevectoriiliniarindependenţiv 1 şi v. Dacă z = (α,β,γ) S, unde α,β,γ R, atunci vectorul z este ortogonal şi pe vectorul v 1 şi pe vectorul v. Aceste condiţii conduc la sistemulliniar { α+γ=0 α+γ=0, alecăruisoluţiisuntα=γ=0. Prinurmare,avemS ={(0,β,0) β R}. Maimult,esteevidentcăw=(1,0,1),w 1 =(0,1,0). TeoremaluiPitagora este imediată. 1.3 Probleme propuse Problema1.3.1 FieV şiw douăk-spaţiivectoriale. SăsearatecăprodusulcartezianV W ={(x,y) x V, y W}esteunK-spaţiuvectorial în raport cu operaţiile { (x1,y 1 )+(x,y )=(x 1 +x,y 1 +y ), α(x,y)=(αx,αy), x 1,x V, y 1,y W, α K. Problema 1.3. Să se precizeze dacă operaţiile definite pe mulţimile indicate determină o structură de spaţiu vectorial: { x+y=(x1 +y 1,x +y ), a) αx=(0,αx ), x,y R,x=(x 1,x ), y=(y 1,y ), α R; { x+y=(x1 +y,x +y 1 ), b) αx=(αx 1,αx ), x=(x 1,x ), y=(y 1,y ) R, α R; { x y= 3 x 3 +y 3, c) α x=αx, x,y R, α R; { x+y=(x1 +y 1,x +y 3,x 3 y,), d) αx=(αx 3,αx,αx 1 ), x=(x 1,x,x 3 ), y=(y 1,y,y 3 ) R 3,α R.

18 CAPITOLUL 1. SPAŢII VECTORIALE. SPAŢII EUCLIDIENE R.a)Nu. b)nu. c)da. d)nu. Problema 1.3.3 Utilizând criteriul de subspaţiu, să se decidă care dintre submulţimile de mai jos formează subspaţii vectoriale în spaţiile vectoriale indicate: a)s 1 = { (x,y) R x y=0 } R ; b)s = { (x,y) R x y+1=0 } R ; c)s 3 = { (x,y) R x y =0 } R ; d)s 4 ={αx α R} R [x]; e)s 4 ={f grad(f) } R 4 [x]; f)s 6 = { (x 1,x,x 3 ) R 3 x 1 x +x 3 =0 } R 3 ; g)s 7 = { (x 1,x,x 3 ) R 3 x 1 +x x 3 =0,x 1 x =0 } R 3 ; h)s 8 ={f C 0 ([0,1]) f -derivabilă} C 0 ([0,1]); i)s 9 ={A M (R) A ta=i } M (R). R.a)Da. b)nu. c)nu. d)da. e)nu. f)da. g)da. h)da. i)nu. Problema 1.3.4 Să se stabilească dependenţa sau independenţa liniară a sistemelor de vectori: a)s 1 ={u 1 =(1,1,0),u =(1,0,),u 3 =(0, 1,)} R 3 ; b)s ={v 1 =(1,1,),v =(,,4)} R 3 ; c)s 3 ={v 1 =X 1,v =X 3 } R 3 [X]; d)s 4 = { v 1 1,v cosx,v 3 cos4x,v 4 cos 4 x } C 0 (R); e)s 5 = { v 1 e x,v xe x,...,v n x n 1 e x} C 0 (R); {( ) ( )} 1 1 1 f)s 6 =, M 0 3 1 1 (R). R.a)Dependenţi,u 3 =u u 1.b)Dependenţi, v =v 1.c)Independenţi. d)dependenţi,v 3 =8v 4 4v 3v 1.e)Independenţi. f)independenţi.

1.3. PROBLEMEPROPUSE 19 Problema 1.3.5 Să se determine suma şi intersecţia subspaţiilor generate de sistemele de vectori U ={u 1 =(1,1,0),u =(1,0,),u 3 =(0, 1,)} R 3, V ={v 1 =(1,1,),v =(0,,4)} R 3. R.U+V =R 3,U V ={(δ,δ,δ) δ R}. Problema1.3.6 Să se determine subspaţiul sumă directă U V R 3, unde U= { (x,y,z) R 3 x y=0,3x z=0 }, V =L({( 1,,1),(, 4, )}). R.U V ={(a,b,a+b) a,b R}. Problema1.3.7 SăsedeterminecâteobazăînsubspaţiileU+V,respectiv U V,şisăseverificeteoremaluiGrassmann(adimensiunii)pentru: { { U= (x1,x,x 3 ) R 3 x 1 +x x 3 =0 } R 3, a) V =L({v 1 =(1,1,1),v =(1,0,0),v 3 =(3,,)}) R 3 ; { U=L({(1,0,, 1),(0,1,1,0)}) R 4, b) V =L({(, 1,1,0),( 1,0,1,),(0,,1,0)}) R 4. R.a)U+V =R 3,U V ={(γ,γ,γ) γ R}=L({(1,1,1)}). b) U +V = R 4, U V = {( 4β,17β,9β,4β) β R}, adică avem U V =L({( 4,17,9,4)}). Problema 1.3.8 Să se precizeze care din următoarele sisteme de vectori formează baze în spaţiile vectoriale date: a)s 1 ={u 1 =(1,),u =(, 1)} R ; b)s ={u 1 =(1,0, 1),u =(,1, 3),u 3 =(1, 1,0)} R 3 ; c)s 3 ={u 1 =(1,0,1),u =(0, 1,1),u 3 =(1, 1,1)} R 3 ; { d)s 4 = 1,1 X,(1 X),(1 X) 3} R 3 [X]; e)s 5 = {( 1 0 0 0 ) ( 1 1, 0 0 ) ( 1 1, 0 1 ) ( 1 1, 1 1 )} M (R).

0 CAPITOLUL 1. SPAŢII VECTORIALE. SPAŢII EUCLIDIENE R.a)Bază. b)nuebază. c)bază. d)bază. e)bază. Problema 1.3.9 Să se calculeze coordonatele vectorilor următori în bazele precizate: a)v=(7,14, 1,),unde B={(1,, 1, ),(,3,0, 1),(1,,1,4),(1,3, 1,0)} R 4 ; b)v=x 5 X 4 +X 3 X X+1,unde B={1+X 3,X+X 3,X +X 3,X 3,X 4 +X 3,X 5 +X 3 } R 5 [X]. R.a)x=(0,,1,).b)x=(1, 1, 1,, 1,1). Problema 1.3.10 Săsedeterminecoordonatelevectoruluix R 3 înbaza ştiindcăînbaza B ={g 1 =(1, 1,1),g =(3,,1),g 3 =(0,1,0)} R 3, B 1 ={f 1 =(1,1,1),f =(1,1,0),f 3 =(1,0,0)} R 3 are coordonatele(1,, 3). R.x =( 3/,5/, 7/). Problema 1.3.11 Să considerăm spaţiul vectorial real al matricilor M (R),precumşibazacanonicădinacestspaţiu B= { ( 1 0 E 1 = 0 0 ) ( 0 1,E = 0 0 ) ( 0 0,E 3 = 1 0 ) ( 0 0 E 4 = 0 1 )}. a)săsegăseascăcâteobază B 1,respectiv B,însubspaţiulmatricelorsimetriceS M (R),respectivmatricelorantisimetriceA M (R) şi să se determine matricea de trecere de la baza canonică B la baza B =B 1 B. ( ) a b b)săseexprimematricea E= înbaza B c d.

1.3. PROBLEMEPROPUSE 1 { R.a)AvemB 1 = e 1 = { ( 0 1 e 4 = 1 0 B = b)e=a e 1 + b+c ( 1 0 0 0 ) ( 0 1,e = 1 0 )}. Matricea de trecere este M BB =C= e +d e 3 + b c 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 e 4.. ) ( 0 0,e 3 = 0 1 )} şi Problema 1.3.1 Folosind procedeul de ortonormalizare Gramm-Schmidt, să se ortonormeze următoarele sisteme de vectori liniar independenţi: a)v 1 =(1,1,0),v =(1,0,1),v 3 =(0,0, 1)înR 3 ; b)v 1 =(1,1,0,0),v =(1,0,1,0),v 3 =(1,0,0,1),v 4 =(0,1,1,1)înR 4 ; c)v 1 =X +X,v =X +1,v 3 = 1în(R [X],(,)). R.a)e 1 = 1 (1,1,0),e = 1 6 (1, 1,),e 3 = 1 3 (1, 1, 1). b) e 1 = 1 (1,1,0,0), e = 1 6 (1, 1,,0), e 3 = 1 3 (1, 1, 1,3), e 4 = 1 ( 1,1,1,1). c)e 1 = 15 4 (X +X),e = 3 3 8 (1 X),e 3= 4 (5X X ). Problema 1.3.13 Să se verifice faptul că următoarele aplicaţii reprezintă produse scalare pe spaţiile vectoriale specificate şi să se ortonormeze în raport cu aceste produse scalare sistemele de funcţii date:. a) f,g = f(t)g(t)dt, f,g C 0 ([0,]), 0 B= { v 1 1,v t,v 3 t 3t } ; b) f,g = 1 xf(x)g(x)dx, f,g C 0 ([0,1]), 0 B={v 1 1,v e x,v 3 e x }.

CAPITOLUL 1. SPAŢII VECTORIALE. SPAŢII EUCLIDIENE R.a)e 1 = 1 3 5,e = (t 1),e 3= 8 (3t 6t+). b)e 1 =,e = e +1 (ex ),e 3 = 1 f f 3,unde 3 f 3 = 6 e 7 ex +e x (e 1) e 7. Problema 1.3.14 Să se găsească proiecţia vectorului v = ( 1,1,) R 3 pesubspaţiulsoluţiilorsistemuluiomogenx+y+z=0. R.ProiecţiacăutatăestevectorulPr(v)= 1 3 ( 5,1,4). Problema 1.3.15 Determinaţi complementele ortogonale ale subspaţiilor generate de următoarele sisteme de vectori: a)v 1 =(1,,0),v =(,0,1)înR 3 ; b)v 1 =( 1,1,,0),v =(3,0,,1),v 3 =(4, 1,0,1)înR 4. R.a)W ={( y,y,4y) y R}. {( z t b)w =, 8z t },z,t) z,t R. 3 3 Problema 1.3.16 Să se găsească proiecţia vectorului v =(14, 3, 6) pe complementulortogonalalsubspaţiuluigeneratdevectoriiv 1 =( 3,0,7)şi v =(1,4,3)dinR 3.Săsecalculezelungimeaacesteiproiecţii. R. Proiecţia căutată este vectorul Pr (v) = 113 (7, 4,3). Lungimea 74 este Pr (v) = 113. 74

Capitolul Spaţii afine. Vectori liberi.1 Elemente teoretice fundamentale FieV un spaţiuvectorialpesteuncâmpk şifiem={a,b,c,...}o mulţime nevidă de obiecte pe care le vom numi generic puncte. Definiţia.1.1 Senumeştespaţiu afintripletula=(m,v,φ),unde φ:m M V este o funcţie care îndeplineşte condiţiile: 1. PentruoriceA,B,C Mavemφ(A,B)+φ(B,C)=φ(A,C)(regula triunghiului);. Pentru orice vector v V şi orice A M, există un unic punct B Mastfelîncâtφ(A,B)= v. Observaţia.1.1 Elementele unui spaţiu afin sunt puncte şi vectori. Spaţiul afin A poartă numele de spaţiu afin real sau complex după cum spaţiul vectorial V este real sau complex. Dimensiunea spaţiului afin A se defineşte ca fiind dimensiunea spaţiului vectorial V. Dacă, în plus, V are structură de spaţiu euclidian, atunci A se numeşte spaţiu punctual euclidian. Definiţia.1. Două perechi de puncte (sau, două bipuncte) (A, B) şi (C,D)sespunecăsuntechipolentedacă φ(a,b)=φ(c,d). 3

4 CAPITOLUL. SPAŢII AFINE. VECTORI LIBERI Relaţia de echipolenţă definită mai sus este o relaţie de echivalenţă pe mulţimeam Mabipunctelor, iarmulţimeafactor(m M)/ se află în corespondenţă bijectivă cu spaţiul vectorial V. Din acest motiv, putem identifica clasa de echivalenţă AB a unui bipunct oarecare(a, B) cu vectorul v=φ(a,b).cualtecuvintevomscrie AB= v. Definiţia.1.3 Clasele de echipolenţă AB se numesc vectori liberi sau, pe scurt, vectori. FieO Munpunctfixatnumitorigine. Atunci,mulţimeadebipuncte A ={(O,A) A M} se află, de asemenea, în corespondenţă bijectivă cu spaţiul vectorial V (deci, şicumulţimeavectorilorliberi(m M)/ ). Definiţia.1.4 Elementele mulţimii A, care sunt reprezentante ale claselor de echivalenţă v, le numim vectori legaţi în origine (segmente orientate, vectori de poziţie) şi le notăm cu săgeţi: (O,A)= OA v. Observaţia.1. Pentru fiecare vector liber v V există şi este unic un vectordepoziţie OAastfelîncât OA v. Definiţia.1.5 Se numeşte combinaţie afină a punctelor A 0,A 1,...,A p MunpunctP Mdefinitderelaţia P =α 0 A 0 +α 1 A 1 +...+α p A p, cuα 0 +α 1 +...+α p =1, unde relaţia de mai sus este înţeleasă ca relaţia vectorială OP =α 0 OA 0 +α 1 OA 1 +...+α p OA p. Definiţia.1.6 Unsistemfinitdepuncte{A 0,A 1,...,A p }senumeşteafin dependent dacă există un punct din sistem care să fie o combinaţie afină a celorlalte puncte din sistem. În caz contrar, vom spune că sistemul de puncte este afin independent. Teorema.1.3 Sistemul de puncte {A 0,A 1,...,A p } este afin dependent (independent) dacă şi numai dacă sistemul de vectori {A 0 A 1,A 0 A,...,A 0 A p }esteliniardependent(independent).

.1. ELEMENTE TEORETICE FUNDAMENTALE 5 SăpresupunemînceleceurmeazăcăA n esteunspaţiuafindedimensiunen N. Definiţia.1.7 O pereche R={O,B}, unde O Meste un punct fixat iar B = {ē 1,...,ē n } este o bază a spaţiului vectorial V, se numeşte reper cartezianînspaţiulafina n. Relativ la un reper cartezian fixat R = {O,B}, pentru fiecare punct P M,vectoruldepoziţieOP sescrieînmodunicsubforma OP =x 1 ē 1 +...+x n ē n. Definiţia.1.8 Scalarii (x 1,x,...,x n ) not = (x i ) poartă numele de coordonatele cartezienealepunctuluip înreperulr={o,b}. Dacă R={O,B}şi R ={O,B } sunt două reperecarteziene în care un punct P are coordonatele (x i ) i=1,n, respectiv (x i ) i=1,n, atunci legătura dintre cele două seturi de coordonate este dată de relaţiile x i = n c ij x j+a i0, i=1,n, j=1 unde (a i0 ) i=1,n sunt coordonatele punctului O în reperul R = {O,B} şi (c ij ) i,j=1,n estematriceadetreceredelabazablabazab. Observaţia.1.4 Dacă utilizăm notaţiile matriceale X= T (x i ), X = T (x i ), C=(c ij), A 0 = T (a i0 ), atunci transformarea de coordonate de mai sus se scrie sub forma matriceală X=CX +A 0. Definiţia.1.9 Înparticular,otransformaredetipulX=X +A 0 senumeştetranslaţie,iarunadetipulx=cx senumeştecentro-afinitate. Observaţia.1.5 Orice transformare de repere carteziene este compunerea unei translaţii cu o centro-afinitate. Dacă alegem M = E 3 - spaţiul punctual al geometriei sintetice elementare, V = V 3 - spaţiul vectorial real al vectorilor liberi, unde vectorii liberi sunt clase de echipolenţă ale segmentelor orientate (clase de

6 CAPITOLUL. SPAŢII AFINE. VECTORI LIBERI echipolenţă = segmente orientate care pot fi suprapuse prin paralelism), şi φ : E 3 E 3 V 3 - funcţia care asociază bipunctului (A,B) vectorul liberab V 3,obţinemunspaţiuafindedimensiunetrei. Bazacanonicăîn spaţiulvectorialrealalvectorilorliberiv 3 este unde B={i,j,k}, i j k işi i = j = k =1. Înconsecinţă,oricevectorliberv V 3 sedescompuneînmodunicca v=xi+yj+zk. Definiţia.1.10 Tripletul(E 3,V 3,φ)senumeştespaţiul afingeometric al vectorilor liberi. Observaţia.1.6 În spaţiul afin geometric al vectorilor liberi trei puncte sunt afin dependente dacă şi numai dacă sunt coliniare, iar patru puncte sunt afin dependente dacă şi numai dacă sunt coplanare. Definiţia.1.11 Produsul scalaradoivectorioarecarea=x 1 i+y 1 j+ z 1 k şib=x i+y j+z kestedefinitprin not a,b = a b def = x 1 x +y 1 y +z 1 z. Definiţia.1.1 Expresiile analitice ale normei unui vector şi respectiv unghiului a doi vectori sunt date de formulele: cosθ def = v def = v,v = x +y +z, a b a b = x 1 x +y 1 y +z 1 z, θ [0,π]. x 1 +y1 1 x +z +y +z Observaţia.1.7 Vectorii nenuli a şi b sunt ortogonali sau perpendiculari,şinotăma b,dacăşinumaidacă θ= π a b=0 x 1x +y 1 y +z 1 z =0. Definiţia.1.13 Produsul vectorial a doi vectori oarecare a = x 1 i+ y 1 j+z 1 kşib=x i+y j+z k estedefinitprin a b def i j k = x 1 y 1 z 1 x y z.

.. PROBLEMEREZOLVATE 7 Observaţia.1.8 i) Produsul vectorial a b este un vector perpendicular pe planul determinat de reprezentanţii într-un punct ai vectorilor a şi b. ii)doivectorinenuliaşibsuntcoliniaridacăşinumaidacă a b=0 x 1 x = y 1 y = z 1 z. Teorema.1.9 i) Dacă a şi b sunt necoliniari, atunci norma a b reprezintă aria paralelogramului construit pe reprezentanţii într-un punct ai vectoriloraşib. ii) Următoarea formulă a dublului produs vectorial este adevărată: a (b c)=(a c)b (a b)c. Definiţia.1.14 Produsulmixtatreivectorioarecarea=x 1 i+y 1 j+z 1 k, b=x i+y j+z k şic=x 3 i+y 3 j+z 3 k estedefinitprin (a,b,c) def x 1 y 1 z 1 = a (b c)= x y z x 3 y 3 z 3. Observaţia.1.10 Trei vectori a, b şi c sunt coplanari dacă şi numai dacă(a,b,c)=0. Teorema.1.11 Dacăa,bşicsuntnecoplanari,atuncimodulul (a,b,c) reprezintă volumul paralelipipedului construit pe reprezentanţii într-un punctaivectorilora,bşic.. Probleme rezolvate Problema..1 FieAşiBdouăpunctedistinctealeunuispaţiuafinreal AşifiepuncteleC,D Adefiniteprin C= 1 1 λ A+ λ 1 B, D= λ 1 1+λ A+ λ 1+λ B, undeλ R \{±1}. Săsearatecădacă atunciavemea=λ EB. E= 1 C+1 D,

8 CAPITOLUL. SPAŢII AFINE. VECTORI LIBERI Rezolvare. Relaţile din ipoteză se scriu sub forma { A λb=(1 λ)c A+λB=(1+λ)D.. Rezolvând sistemul, găsim şi A= 1 1 [(1 λ)c+(1+λ)d], B= λ [(λ 1)C+(1+λ)D]. Pedealtăparte,avemînsă EA=OA OE= 1 [(1 λ)oc+(1+λ)od] 1 OC 1 OD=λ CD EB=OB OE= 1 λ [(λ 1)OC+(1+λ)OD] 1 OC 1 OD= 1 λ CD. În concluzie, rezultă relaţia căutată. Problema.. PunctulM împartesegmentulabînraportulk= m n. Să se demonstreze că rezultă Rezolvare. Din relaţia OM= n m+n OA+ m OB, O A. m+n AM= m n MB n( OM OA ) =m(ob OM), (m+n)om=noa+mob. Împărţind ultima relaţie prin m + n, obţinem egalitatea cerută. Problema..3 Fie A 1, A,..., A n Aşi λ 1, λ,..., λ n Rastfel încât n λ i =λ 0. SăsearatecăpunctulP estecentrudegreutatealsistemului i=1 depuncte{a 1, A,..., A n }cuponderile λ i λ dacăşinumaidacă n λ i PA i =0. i=1 Să se scrie relaţia pentru centrul de greutate al unui triunghi.

.. PROBLEMEREZOLVATE 9 Rezolvare. Prin definiţie, punctul P este centru de greutate al sistemuluidepuncte{a 1,A,...,A n }cuponderile λ i λ dacăşinumaidacă P = n i=1 λ i λ A i. Relaţia anterioară este însă echivalentă cu n λ i (A i P)=0 i=1 n λ i PA i =0. ÎncazulunuitriunghiA 1 A A 3,punctulP estecentrudegreutatedacă şi numai dacă P = A 1+A +A 3. 3 Prin urmare, ne aflăm în condiţiile din ipoteză, cu i=1 λ 1 =λ =λ 3 = 1 3. Ţinând cont de cele demonstrate mai sus, condiţia necesară şi suficientă capunctulp săfiecentruldegreutatealtriunghiuluia 1 A A 3 este PA 1 +PA +PA 3 =0. Problema..4 FieA,B,C treipuncteafinindependente. Săsearatecă dacăpunctelep şiqîmpartvectoriiab şirespectivac înacelaşiraport, atunci vectorii P Q şi BC sunt coliniari şi reciproc(teorema lui Thales). Rezolvare. SăpresupunemcăAP =ρab şiaq=ρac,unde ρ 0. Atunciavem PQ=AQ AP =ρ(ac AB)=ρBC. Rezultă că vectorii P Q şi BC sunt liniar dependenţi, adică coliniari. Reciproc, să presupunem că vectorii PQşi BC sunt coliniari, adică există α R\{0} astfel încât PQ =αbc. Totodată să considerăm vectorii AP =ρ 1 AB, AQ=ρ AC, ρ 1,ρ R\{0}.

30 CAPITOLUL. SPAŢII AFINE. VECTORI LIBERI ÎnlocuindpeAQşiAP înrelaţia deducem că AQ AP =α(ac AB), (α ρ 1 )AB+(ρ α)ac=0. În final, deoarece, din ipoteză, vectorii AB şi AC sunt necoliniari (liniar independenţi), obţinem că ρ 1 α=ρ α=0 ρ 1 =ρ =α. Problema..5 Fie triunghiul ABC şi fie M mijlocul lui BC. Atunci are loc relaţia vectorială a medianei AM=AB+AC. Rezolvare. FieA simetriculpunctuluiafaţădem. Evidentavem AA =AM. DeoareceînpatrulaterulABA Cdiagonaleleseînjumătăţesc,rezultăcă patrulaterulaba Cesteunparalelogram. Prinurmare,dinregulaparalelogramului, avem AA =AB+AC, adică ceea ce aveam de demonstrat. Problema..6 Fie ABCD un paralelogram şi fie O punctul de intersecţie al diagonalelor sale. Fie S un punct arbitrar din spaţiu. Atunci avem 4SO=SA+SB+SC+SD. Rezolvare. Deoarece ABCD este un paralelogram, rezultă că diagonalele se înjumătăţesc, adică AO = OC şi BO = OD. Aplicăm acum relaţia vectorială a medianei în triunghiurile SAC şi SBD şi găsim egalităţile SO=SA+SC, SO=SB+SD. Adunând aceste relaţii rezultă egalitatea cerută.

.. PROBLEMEREZOLVATE 31 Problema..7 Într-un cerc de centru O se consideră două coarde AMB şi CMD perpendiculare între ele. Să se demonstreze că MA+MB+MC+MD=MO. Rezolvare. Alegempesegmentul[CD]punctulD cuproprietateacă DD = CM, iarpesegmentul[ab]punctulb cuproprietateacă Evident, atunci avem şi BB = MA. MA+MB=MB MC+MD=MD. Din construcţie, se vede usor că avem AOB BOM OB = OM, DOD COM OD = OM. Deoarece unghiul B MD este drept, rezultă că punctele B, O şi D sunt coliniareşi[bo]estemedianăîntriunghiul B MD.Aplicândacumrelaţia medianei, obţinem MB +MD =MO. Problema..8 Punctul H este ortocentrul triunghiului ABC dacă şi numai dacă au loc egalităţile HA HB=HB HC=HC HA. Rezolvare. Evident, vectorul HA este înălţime în triunghiul ABC dacăşinumaidacă HA BC=0 HA (HC HB)=0. Egalităţile de demonstrat sunt acum imediate. Problema..9 Săsearatecădacăvectoriia=m+nşib=m+nsunt coliniari, atunci vectorii m şi n sunt coliniari.

3 CAPITOLUL. SPAŢII AFINE. VECTORI LIBERI Rezolvare. Vectoriiaşibsuntcoliniaridacăşinumaidacă a b = 0 (m+n) (m+n)=0 m n+n m=0 m n=0. Problema..10 Fievectoriia=m+n,b=m 3n,unde Să se calculeze: m =5, n =3, (m,n)= π. a) lungimile diagonalelor paralelogramului construit pe a şi b; b) unghiul dintre diagonale; c) aria paralelogramului determinat de a şi b. Rezolvare. a) Diagonalele paralelogramului construit pe a şi b sunt determinatedevectoriia+bşia b. Prinurmare,avem (a+b ) ( ) a+b = a+b = (m n) (m n)= = 4 m 4m n+ n = 4 m + n = 109, a b = (a b ) ( a b ) = (5n) (5n)=5 n =15. b) Deoarece avem ( a+b ) ( a b ) =(m n) (5n)=10m n 5 n = 45, rezultă că unghiul dintre diagonale este ( ) ( ) a+b a b cosθ= = 3. a+b a b 109 d) Aria paralelogramului este A paralelogram = a b = 5n m =5 n m =75.

.. PROBLEMEREZOLVATE 33 Problema..11 Să se demonstreze identitatea lui Jacobi: a (b c)+c (a b)+b (c a)=0. Rezolvare. Utilizând formula dublului produs vectorial, găsim egalităţile a (b c)= ( a b ) c (a c)b, c (a b)=(c a)b ( c b ) a, b (c a)= ( b c ) a ( b a ) c. Adunând cele trei relaţii, obţinem egalitatea cerută. Problema..1 Să se demonstreze relaţia (a b,b c,c a)=(a,b,c). Dacăa b,b c,c asuntcoplanari,atuncieisuntşicoliniari. Rezolvare. Utilizând formula dublului produs vectorial obţinem relaţia (b c) (c a)= [ (b c) a ] c [ (b c) c ] a=(a,b,c)c. Folosind acum şi definiţia produsului mixt, deducem că (a b,b c,c a) = ( a b ) [(b c) (c a) ] = = (a,b,c) [( a b ) c ] =(a,b,c). Dinrelaţiaanterioarădeducemcădacăa b,b c,c asuntcoplanari, atuncia,bşicsuntcoplanari. Prinurmare,a b,b c,c asuntşicoliniari. Problema..13 Să se dovedească identitatea lui Lagrange: ( a b ) + a b = a b. Rezolvare. Relaţia de demonstrat este imediată dacă ţinem cont că a b= a b cosθ şi a b = a b sinθ.

34 CAPITOLUL. SPAŢII AFINE. VECTORI LIBERI Problema..14 Fie a, b, c trei vectori necoplanari. Arătaţi că există vectoriia,b,c (numiţireciprociivectorilora,b,c)cuproprietăţile: a a=1, a b=0, a c=0; b a=0, b b=1, b c=0; c a=0, c b=0, c c=1. Rezolvare. Din proprietăţile de mai sus, rezultă că vectorul a este perpendicularatâtpebcâtşipec,şideciestecoliniarcuprodusulvectorial b c. Prinurmare,existăλ Rastfelîncât a =λ ( b c ). Acum,dincondiţiaa a=1,obţinem Analog, găsim λ= 1 (a,b,c). b = c a (a,b,c),c = a b (a,b,c). Problema..15 Fie vectorul v = i+αj+βk, unde α,β R. Să se determineαşiβastfelîncâtvsăfieperpendicularpevectoriia= i+4j+k şib=3i 3j k. Cuαşiβ astfelcalculaţisăsedetermineunghiuldintre v şia+b. Rezolvare. Vectorul v este perpendicular pe vectorii a şi b dacă şi numai dacăvestecoliniarcuprodusulvectoriala b. Însăavem i j k a b= 1 4 3 3 = i+4j 9k. Punândcondiţiav=λ ( a b ),undeλ R,obţinemα= 4,β=9. Unghiuldintrevşia+bestedatdeformula cosθ= v (a+b ) v a+b =0 θ=π v ( a+b ). Observaţie: Problema se poate rezolva şi punând condiţiile v a=0, v b=0.

.. PROBLEMEREZOLVATE 35 Problema..16 Săsedetermineλ Rastfelîncâtvectorii v 1 =i+j 3k, v =i j+k, v 3 =λi j+k să fie coplanari şi să se găsească relaţia de dependenţă liniară. Rezolvare. Condiţia de coplanaritate este 1 3 (v 1,v,v 3 )=0 1 λ 1 1 =0 λ= 3. Pentru a găsi relaţia de dependenţă liniară, se determină α şi β din egalitatea v 3 =αv 1 +βv α=β= 1. Înconcluzie,relaţiadedependenţăliniarăestev 3 = v 1 v. Problema..17 Să se calculeze aria şi înălţimea din A pentru triunghiul ABC determinatdepunctelea(0,1,0),b(,0,1),c( 1,0, 4). Rezolvare. Punctele A, B şi C determină vectorii AB=OB OA=i j+k, AC=OC OA= i j 4k, BC=OC OB= 3i 5k. Produsul vectorial al vectorilor AB şi AC este i j k AB AC= 1 1 1 1 4 =5i+7j 3k. Prin urmare, aria triunghiului ABC este dată de formula A ABC = 1 AB AC = 83. Înălţimea din A se determină din relaţia S ABC = 1 h A BC h A = S ABC BC = 83 34.

36 CAPITOLUL. SPAŢII AFINE. VECTORI LIBERI Problema..18 Să se calculeze volumul tetraedrului ABCD şi înălţimea dinaaacestuia,undea(3,, 1),B(4,3, 1),C(5,3, 1),D(4,,1). Rezolvare. Punctele A, B, C şi D determină vectorii AB=OB OA=i+j, AC=OC OA=i+j, AD=OD OA=i+k. ProdusulmixtalvectorilorAB,AC şiadeste ( ) 1 1 0 AB,AC,AD = 1 0 1 0 =. Prin urmare, volumul tetraedrului ABCD este dat de formula V ABCD = 1 6 ( AB,AC,AD ) = 1 3. Produsul vectorial al vectorilor BC şi BD este i j k BC BD= 1 0 0 0 1 = j k, şi deci, aria triunghiului BCD este A BCD = 1 BC BD = 5. Înălţimea din A a tetraedrului ABCD se determină din relaţia V ABCD = 1 3 h A A BCD. h A = 3V ABCD A BCD = 5. Problema..19 Să se rezolve ecuaţia x (x a) = b, unde a, b sunt vectori nenuli şi necoliniari daţi. Rezolvare. Înmulţind scalar ecuaţia cu x a, deducem că ( b,x,a ) = ( x,a,b ) =0 x a b.

.3. PROBLEMEPROPUSE 37 De asemenea, înmulţind scalar cu x, rezultă că x b. Prin urmare vectorulxestecoliniarcuprodusulvectorialb (a b). Cualte cuvinte, existăλ Rastfelîncât x=λ [ b (a b) ]. Pentruadeterminapeλ,fieînlocuimînecuaţiainiţială,fieobservămcă x (x a) = b x a sin (a,x)= b. Ţinândcontdefaptulcăx bşicăvectorulxestesituatînplanulvectorilor aşib,deducemcă sin (a,x)=cos ( a,b ) x a cos ( a,b ) = b b x =. a b Pedealtăparteavem x = λ [ b (a b) ] = λ b a sin ( a,b ) = λ b a b. În concluzie, se obţine 1 λ=±. a b a b.3 Probleme propuse Problema.3.1 FieA 1,A,...,A n Aşiλ 1,λ,...,λ n Rcu n λ i =0. Săsearatecăvectorul v= n λ i MA i i=1 nudepindedealegereapunctuluim A. Ind. Pentru orice alt punct M M avem egalitatea triunghiului M A i =M M+MA i. Problema.3. FieGcentruldegreutatealtriunghiului ABC şim un punct oarecare din spaţiu. Să se demonstreze relaţia MA+MB+MC=3MG. i=1

38 CAPITOLUL. SPAŢII AFINE. VECTORI LIBERI Ind. Se folosesc relaţia triunghiului MG+GA = MA şi analoagele acesteia. SeţinecontcăpentrucentruldegreutateavemGA+GB+GC=0. Problema.3.3 FieA 1,A,...,A n şirespectivb 1,B,...,B n punctedistincte din spaţiul afin real A. Considerând punctele şi respectiv săsearatecă G= 1 n A 1+ 1 n A +...+ 1 n A n G = 1 n B 1+ 1 n B +... 1 n B n, A 1 B 1 +A B +...+A n B n =ngg. În particular, două sisteme finite de puncte {A 1, A,..., A n } şi {B 1, B,..., B n }auacelaşicentrudegreutatecuponderile dacăşinumaidacă 1 n, 1 n,..., 1 n A 1 B 1 +A B +...+A n B n =0. R.Avem n i=1 A ib i = n [ ] i=1 OBi OA i =nog nog=ngg. Problema.3.4 Fie A, B, C trei puncte afin independente şi E, F, G puncteleceîmpartvectoriiab,bc şirespectivcaînrapoartelea,bşic. Să se arate că o condiţie necesară şi suficientă ca punctele E, F, G să fie afindependenteestecaa b c= 1(Teorema lui Menelaus). Ind. Se folosesc relaţia OE= 1 a+1 OA+ a a+1 OB şianaloageleacesteiapentrupunctelefşig,vectoriiabşibcşirapoartele corespunzătoare b şi c. Problema.3.5 FieA,B,C treipuncteafinindependenteşie (respectiv F)unpunctcoliniarcuAşiC(respectivAşiB),astfelîncâtdrepteleafine generate de sistemele de puncte {B,E} şi {C,F} să aibă un punct comun D. Săsearatecăpunctele X= 1 A+1 D, Y =1 E+1 F şiz=1 B+1 C sunt afin dependente(dreapta Newton-Gauss).

.3. PROBLEMEPROPUSE 39 Problema.3.6 Săsearatecăînoricetriunghi: a) medianele; b) înălţimile; c) bisectoarele; d) mediatoarele sunt concurente. Problema.3.7 Dacăîntriunghiul ABCnotămcuG-centruldegreutate, H - ortocentrul şi O centrul cercului circumscris triunghiului, atunci arelocrelaţia lui EulerGH=OG. Problema.3.8 Într-un tetraedru ABCD muchiile opuse sunt perpendicularedouăcâtedouădacăşinumaidacă AB AC=AB AD=AC AD. Ind. Folosind egalitatea triunghiului, se arată că relaţia AB DC = AB CDesteechivalentăcuAB AC=AB AD. Analog,seobţincelelalte echivalenţe. Problema.3.9 Dreptele care unesc mijloacele muchiilor opuse ale unui tetraedru sunt concurente. Problema.3.10 În spaţiul afin canonic R 3 se consideră punctul O(, 1,3) şisistemuldepuncte R={E 0 =(1,, 3), E 1 =(1,1, 5), E =(, 1,3), E 4 =(6,1,)}. a) Să se scrie reperul cartezian R cu originea în O = E 0, asociat sistemului de puncte R. b)săsedetermineschimbareadecoordonatelatrecereadelareperulr lareperulr ={O =O; e 1, e, e 3 }unde e 1 =(1,,0), e =(0,1,), e 3 =(,0,1) şi să se indice translaţia şi centro-afinitatea prin care se realizează această schimbare de reper. R.a)R ={O =E 0 (1,, 3);e 1 =E 1E 0 =(0,3, ),e =E E 0 = ( 3,1,6),e 3 =E 3E 0 =(5,3,5)}. b)transformareadecoordonateestex =C X +A,unde C= 1 163 X = x 1 x x 3 77 17 40 1 40 7 3 4 49, X = x 1 x x 3, A= 1 163, 5 79 80.

40 CAPITOLUL. SPAŢII AFINE. VECTORI LIBERI Problema.3.11 Fie a şi b doi vectori perpendiculari având normele a =3, b =4. Săsecalculeze ( 3a b ) ( a b ). R.60. Problema.3.1 Fie m, n, p trei vectori necoplanari. Să se studieze liniar independenţa vectorilor a=m 3n+p b=m+n+p c=m n. R.Liniarindependenţi: (a,b,c)= 4(m,n,p) 0. Problema.3.13 Dacăa,b,c suntreciprociivectorilora,b,c,atuncise cer: a) Să se exprime produsul mixt (a,b,c ) în funcţie de produsul mixt (a,b,c);încecondiţiivectorii a,b,c suntcoplanari? b) Să se demonstreze că volumul tetraedrului construit pe vectorii liberi a (a b),b (b c),c (c a)esteegalcuvolumultetraedrului construitpea,b,c; c)săsededucăegalitateaa (a b)=c (c b). R. (a,b,c )= obţinem 1.b) Folosind formula dublului produs vectorial, (a,b,c) a (a b)= b, b (b c)= c, c (c a)= a. Problema.3.14 Sedauvectoriiv 1 =aj bk,v = ai ck,v 3 =bi cj. Săsecalculeze:(v 1,v,v 3 ),v 1 (v v 3 )şiv 1 +v +v 3. R.(v 1,v,v 3 )= abc.b)v 1 (v v 3 )=c(a b)(a+b)i+bc j+ac k. c)v 1 +v +v 3 =(b a)i+(a c)j (b+c)k. Problema.3.15 Se consideră punctele A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c). SăsearatecăariatriunghiuluiABCestecelmultegalăcu 1 a 4 +b 4 +c 4. În ce condiţii are loc egalitatea?

.3. PROBLEMEPROPUSE 41 R. A ABC = 1 a b +a c +b c. Aplicăm inegalitatea Cauchy. Avemegalitatepentrua =b =c. Problema.3.16 Să se calculeze aria şi înălţimile din triunghiul ABC determinatdepunctelea(1,,1),b(,1, 1),C(3,, 6). 18 18 18 18 R.A ABC = ;h A = 7 ;h B= 69 ;h C= 14. Problema.3.17 Să se calculeze volumul tetraedrului ABCD şi înălţimile acestuia,undea(1, 5,4),B(0, 3,1),C(, 4,3),D(4,4, ). R.V ABCD =15/;h A =3.Folosindformulavolumuluiunuitetraedru, se calculează şi celelalte înălţimi. Problema.3.18 Sedauvectoriip,q,rnecoplanarişiu=p q+3r,v= αp q+r,w=3p+q r. a)săsedetermine α Rastfelîncâtsăavemegalitateadevolume V (u,v,w) =5V (p,q,r). b) În cazul când α = şi vectorii p,q,r formează un tetraedru regulat de latură l, să se determine unghiul ϕ dintre vectorul u şi planul determinatde v şi w. R.a)α 1 =,α = 8.b)ϕ=π/4. Problema.3.19 Dacă ( a,b,c ) 0,atuncisăserezolvesistemul: x a=0 x b=0. x c=1. R.x= a b ( a,b,c ). Problema.3.0 Fie sistemul de ecuaţii: { x (y a)=b y ( x b ) =a, undea b 0.