ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Έστω f (x), g(x) είνι δύο πρστάσεις µις µετβλητής x πού πίρνει τιµές στο σύνολο Α. Εξίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε ισότητ της µορφής f (x) = g(x), η οποί ληθεύει γι ορισµένες τιµές της µετβλητής x στο σύνολο Α. Η πράστση f (x) λέγετι πρώτο µέλος κι πράστση g(x) λέγετι δεύτερο µέλος της εξίσωσης. Η µετβλητή x λέγετι άγνωστος της εξίσωσης. Το σύνολο Α λέγετι σύνολο ( ή πεδίο ορισµού ) νφοράς της εξίσωσης. Αν η ισότητ f (x) = g(x) ληθεύει γι κάθε x A, τότε λέγετι τυτότητ. Ρίζ ή λύση µις εξίσωσης λέγετι η τιµή της µετβλητής x η οποί επληθεύει την εξίσωση. ύο εξισώσεις λέγοντι ισοδύνµες ν κι µόνο ν έχουν τις ίδιες κριβώς λύσεις, δηλδή ότν κάθε ρίζ της µις είνι κι ρίζ της άλλης κι ντίστροφ. Αν κι οι δύο εξισώσεις δεν έχουν ρίζες, τότε λέγοντι επίσης ισοδύνµες, γράφουµε: f (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Εξίσωση πρώτου βθµού µε ένν άγνωστο λέγετι µί εξίσωση που περιέχει τον άγνωστο (µετβλητή) υτό στην πρώτη δύνµη κι δεν περιέχει άλλους γνώστους. Η λύση της εξίσωσης x = β ικρίνουµε τις εξής περιπτώσεις: Αν 0 τότε: x= β x= β β ηλδή ν 0, η εξίσωση έχει κριβώς µι λύση την x= Αν = 0 κι β 0 τότε η εξίσωση x= βγίνετι 0x= β, δεν έχει λύση κι λέµε ότι είνι δύντη. Αν = 0 κι β= 0τότε η εξίσωση x= βγίνετι 0x= 0, έχει λύση κάθε πργµτικό ριθµό κι λέµε ότι είνι τυτότητ. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Λέγοντι οι εξισώσεις οι οποίες εκτός πό τον άγνωστο περιέχουν έν κόµη γράµµ συνήθως ή β ή.κ ή λ, το οποίο πριστάνει οποιονδήποτε πργµτικό ριθµό κι λέγετι πράµετρος. ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
Γι ν λύσουµε µί πρµετρική εξίσωση γι τις διάφορες τιµές της πρµέτρου την µετσχηµτίζουµε στη µορφή x= β κι δικρίνουµε περιπτώσεις όπως πρπάνω. Πράδειγµ Ν λυθεί η εξίσωση : λ x λ= 4x+ = +, λ R Έχουµε: = + = + ( ) λ x λ 4x λ x 4x λ λ 4 x= λ+ ( λ )( λ+ ) x= λ+ ( ). ικρίνουµε περιπτώσεις: Αν λ κι λ η εξίσωση έχει µονδική λύση την λ+ x= = λ+ λ λ ( )( ) ( ) Αν λ=, η εξίσωση γίνετι 0x= 4κι είνι δύντη Αν λ=, η εξίσωση γίνετι 0x= 4κι είνι δύντη ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ I. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Έστω f (x), g(x) είνι δύο πρστάσεις µις µετβλητής x πού πίρνει τιµές στο σύνολο Α. Κλσµτική εξίσωση λέγετι κάθε ισότητ που έχει ή µπορεί ν πάρει την µορφή f (x) 0 g(x) = Η κλσµτική εξίσωση f (x) = 0 είνι ισοδύνµη µε το σύστηµ [f (x) 0 g(x) = κι g(x) 0], δηλδή f (x) f (x) = 0 = 0. g(x) g(x) 0 Πράδειγµ x 4 Ν λυθεί η εξίσωση : = x + x x + x x Έχουµε: 4 x 4 = =, η εξίσωση ορίζετι ότν x+ x x + x x+ x x( x+ ) x( x+ ) 0 ( x 0 κι x ). Τότε x 4 x( x ) x( x ) x( x ) x = + + = + 4 x+ x x x+ x+ x x x+ ( ) x ( x+ ) = x 4 x x x= 4 4 0x= 0. Άρ η εξίσωση έχει λύση, κάθε x R { 0, }. ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
II. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ Λέγοντι οι εξισώσεις που περιέχουν τον άγνωστο στην πόλυτη τιµή µις πράστσης Γι την λύση των εξισώσεων µε πόλυτ είνι χρήσιµες οι πρκάτω ιδιότητες :. Αν θ> 0 τότε ισχύει : x = θ ( x= θ ή x= θ). Αν R τότε ισχύει : x = ( x= ή x= ) Πρδείγµτ. Ν λυθεί η εξίσωση: x = 5 Έχουµε x = 5 x =± 5 ( x = 5 ή x = 5) (x= 7 ή x= ). Ν λυθεί η εξίσωση: x 0 = Έχουµε x 0 = x 0=±, οπότε x 0= x = x=± ( x= ή x= ) ( x= ή x= 4) ( x = 6ή x = 7) x 0= x = 7 x=± 7 ( x= 7 ή x= 7) ( x= 6 ή x= 8) ( x = ή x4 = 4) III. ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Λέγοντι οι εξισώσεις που περιέχουν τον άγνωστο x στον εκθέτη µις δύνµης. Γι f (x) g(x) ν λύσουµε µί εκθετική εξίσωση την µεττρέπουµε στη µορφή =, όπου > 0 κι οπότε είνι ισοδύνµη µε την εξίσωση f (x) = g(x) Πράδειγµ Ν λυθούν οι εξισώσεις: (i) 9 x x x = (ii) = 8 8 x (i) Έχουµε: ( ) x x 4 9 = = = x= 4 x = 4 8 x (ii) Έχουµε: ( ) ( ) 8x= 48 x= 6. x 6 x 5 6 x 5x 48 x = 8 = = 5x= 48 x ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Σε κθεµί πό τις πρκάτω ερωτήσεις ν σηµειώσετε τη σωστή πάντηση.. Αν Α. + =, τότε το x είνι ίσο µε x 6 4 Β. Γ.. Ε.. Αν η εξίσωση x = 4x είνι δύντη τότε το είνι ίσο µε Α. Β. Γ. 0. Ε.. Αν η εξίσωση ( ) + = + είνι τυτότητ, τότε το µ 5 x ν x µε Α. Β. 0 Γ. 9. 8 Ε. 7 µ + ν είνι ίσο 4. Αν η εξίσωση + = 4 έχει ρίζ την x=, τότε ο είνι ίσος µε x x+ Α. Β. Γ.. Ε. 4 Εξισώσεις µε πόλυτ βθµού 5. Το άθροισµ όλων των ριζών της εξίσωσης Α. Β. Γ. 0. Ε. x = 5 είνι ίσο µε 6. Το άθροισµ όλων των λύσεων της εξίσωσης x 5 = είνι ίσο µε Α. 6 Β. 4 Γ. 6. 8 Ε. 4 7. Το πλήθος των ριζών της εξίσωσης x 7 = 9 είνι ίσο µε Α. 0 Β. Γ.. Ε. 4 8. Το σύνολο λύσεων της εξίσωσης x + x = είνι: Α. { x R : x< 0} Β. { x R : 0< x< } Γ. { x : < x} 9. Το σύνολο λύσεων της εξίσωσης x+ + x = 4 είνι: R. R Ε. Α. (,) Β. [,] Γ. (, ) (, + ). (,] Ε. [,) Εξισώσεις εκθετικές x x x + + 49 0. Αν x x x =, τότε το x είνι ίσο µε 7 + 7 + 7 9 Α. 6 Β. 4 Γ.. Ε. 0 ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 4
x x + = 9. Αν, τότε το x είνι ίσο µε Α. Β. Γ.. Ε.. Αν 0 Α. Β. κι ( ) + 4 ( ) ( 0, 5) =, τότε ο είνι ίσος µε Γ.. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Ε.. Ν λύσετε τις εξισώσεις (i) ( x ) 5( x+ ) + ( 6x )( x+ ) = ( x ) (ii) ( x ) + x + ( x+ ) = x( x ) 4. Ν λύσετε τις εξισώσεις ( + ) ( ) x+ 6 x 7 5 x 0 (i) + + = x + 6 6 4x ( x ) x 5 5( 4x) (ii) = + 7 7 Πρµετρικές εξισώσεις 5. Ν λύσετε τις εξισώσεις (i) λ( λx ) x = + (ii) ( ) ( ) + 4 x + 4x = x 6. Ν λύσετε τις εξισώσεις + = (ii) λ ( λx ) + 5x = µ + 6 ( λx ) (i) µx λ x µ 7. Ν βρείτε τους λ,µ R ώστε η εξίσωση ν είνι τυτότητ. ( x λ) + x= 9( λ + µ )( λ µ ) + 6λ+ ( x+ µ ) 8. Γι ποιες τιµές του R οι πρκάτω εξισώσεις ( x) ( x) 4 ( x + ) = ( x ) κι = ν είνι συγχρόνως δύντες. 9. Ν λύσετε τις εξισώσεις ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 5
(i) ( x )( x+ ) = 4x (ii) (iii) 4 4x 5x 0 x 4x= 0 + = (iv) (vi) ( 5x+ 9)( x 4) = ( x+ )( x 4) Κλσµτικές εξισώσεις 0. Ν λύσετε τις εξισώσεις ( 9x ) x+ (i) = + 9x 6 x x+ x+ 4 (ii) + = 0 x x+ x + x. Ν λύσετε τις εξισώσεις x x 6 7 5x 9 (i) + = + x 6 x 8 8 x 4 ( ) ( ) Εξισώσεις µε πόλυτ βθµού (ii) 9x 5 x+ 9 08x+ 6x + = x+ 6x 4 9x ( ). Ν λύσετε τις εξισώσεις: (i) x 5+ = x 5+ 7 (ii) x + = x. Ν λύσετε τις εξισώσεις: (i) x = x+ (ii) 4x 5 = x. 4. Ν λύσετε τις εξισώσεις: (i) x 5 = (ii) 8 x = 5 (iii) x 6 = 4 5. Ν λύσετε τις εξισώσεις: (i) 7 x + 4 x x = 5 (ii) x + x + x + + = 5 4 6. Ν λύσετε τις εξισώσεις: x+ + 9 + 6x (i) + = (ii) x + x + + 7 = x+ 4 7. Ν λύσετε τις εξισώσεις: (i) x x= (ii) x + 5x= 7 (iii) x + x= 8. Ν λύσετε τις εξισώσεις: (i) x+ x = x 4 (ii) x + x + x 8 = 9. ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6