y[n] ay[n 1] = x[n] + βx[n 1] (6)

Ασκήσεις με το Μετασχηματισμό Fourier Διακριτού Χρόνου Επιμέλεια: Γιώργος Π. Καφεντζης Δρ. Επιστήμης Η/Υ Πανεπιστημίου Κρήτης Δρ. Επεξεργασίας Σήματος Πανεπιστημίου Rennes 1 8 Οκτωβρίου 015 1. Εστω το σύστημα του Σχήματος 1. Σχήμα 1: Σχήμα Άσκησης 1 (αʹ) Βρείτε την κρουστική απόκριση h[n] του συνολικού συστήματος. (βʹ) Βρείτε την απόκριση σε συχνότητα του συνολικού συστήματος. (γʹ) Βρείτε την εξίσωση διαφορών που σχετίζει την είσοδο με την έξοδο του συστήματος. (δʹ) Είναι το σύστημα αιτιατό; Είναι το σύστημα ευσταθές; Αν όχι, υπο ποιές συνθήκες μπορεί να είναι; (αʹ) Η έξοδος εκφράζεται ως y[n] = h [n] (h 1 [n] x[n] + x[n]) = h [n] ((h 1 [n] + δ[n]) x[n]) (1) = x[n] (h 1 [n] + δ[n]) h [n] () άρα είναι εμφανές ότι h[n] = (h 1 [n] + δ[n]) h [n] = a n u[n] + βa n 1 u[n 1]. (βʹ) Θα είναι, με χρήση γνωστών ζευγών και ιδιοτήτων, (γʹ) Θα είναι H(ω) = 1 1 ae jω + 1 1 ae jω βe jω = 1 + βe jω, a < 1 (3) 1 ae jω H(ω) = Y (ω) X(ω) = 1 + βe jω 1 ae jω (4) Y (ω)(1 ae jω ) = X(ω)(1 + βe jω ) (5) y[n] ay[n 1] = x[n] + βx[n 1] (6) 1

(δʹ) Επειδή από α) ερώτημα, ισχύει h[n] = 0, n < 0, το σύστημα είναι αιτιατό. Αν το σύστημα είναι ευσταθές, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ο μετασχ. Fourier του. Από το β) ερώτημα, αυτό ισχύει μόνον όταν a < 1.. Εστω X(ω) ο μετασχ. Fourier του x[n], το οποίο φαίνεται στο Σχήμα. Βρείτε τα παρακάτω, ΧΩΡΙΣ να υπολογίσετε ρητά τον X(ω). (αʹ) X(ω) ω=0 (βʹ) X(ω) ω=π Σχήμα : Σχήμα Άσκησης (γʹ) X(ω) (δʹ) π π X(ω)dω (εʹ) Βρείτε και σχεδιάστε το σήμα που έχει μετασχ. Fourier τον X(e jω ) (ϛʹ) Βρείτε και σχεδιάστε το σήμα που έχει μετασχ. Fourier τον R{X(ω)} (αʹ) X(ω) ω=0 = (βʹ) X(ω) ω=π = 7 n= 3 7 n= 3 x[n]e jωn ω=0 = x[n]e jωn ω=π = 7 n= 3 7 n= 3 x[n] = 6 x[n]e jπn = 7 n= 3 x[n]( 1) n = (γʹ) Το σήμα στο χρόνο είναι συμμετρικό ως προς n =. Αν ήταν συμμετρικό ως προς n = 0 (δηλ. άρτιο), η φάση του θα ήταν μηδεν. Εστω y[n] αυτό το σήμα, με x[n] = y[n ]. Λόγω όμως της μετατόπισης κατά n 0 = δεξιά, ο μετ. Fourier θα είναι X(ω) = Y (ω)e jω, και άρα η φάση θα είναι arg[x(ω)] = ω. (δʹ) π π X(ω)dω = π π X(ω)e jω0 dω = πx[0] = 4π. (εʹ) Ψάχνουμε ένα y[n] που έχει μετασχ. Fourier τον X(e jω ). Είναι Y (ω) = X(e jω ) = n= x[n]e jωn = n= Άρα y[n] = x[ n], το οποίο φαίνεται στο Σχήμα 3αʹ. x[ n]e jωn = n= y[n]e jωn (7)

(ϛʹ) Δείξαμε προηγουμένως στο γ) ερώτημα ότι X(ω) = Y (ω)e jω (8) με Y (ω) το μετασχ. Fourier του σήματος y[n], που είπαμε ότι είναι συμμετρικό ως προς n = 0. Άρα R{X(ω)} = X R (ω) = Y (ω) cos(ω) = 1 Y (ω)(ejω + e jω ) (9) Παίρνοντας αντίστροφο μετασχ. Fourier, θα έχουμε F 1 {R{X(ω)}} = 1 y[n + ] + 1 y[n ] = 1 x[n + 4] + 1 x[n] (10) και το οποίο φαίνεται στο Σχήμα 3βʹ. (αʹ) ε ερώτημα (βʹ) στ ερώτημα Σχήμα 3: Σχήματα Άσκησης 3. Ενα ΓΧΑ σύστημα περιγράφεται από τη σχέση εισόδου-εξόδου y[n] = x[n] + x[n 1] + x[n ] (11) (αʹ) Βρείτε το h[n], δηλ. την κρουστική απόκριση του συστήματος. (βʹ) Είναι το σύστημα ευσταθές; (γʹ) Βρείτε το H(ω), την απόκριση σε συχνότητα του συστήματος. Χρησιμοποιήστε τριγωνομετρικές ταυτότητες για να πάρετε μια απλή έκφραση για το H(ω). (δʹ) Σχεδιάστε το μέτρο και τη φάση της απόκρισης σε συχνότητα. (εʹ) Θεωρήστε το νέο σύστημα H 1 (ω) = H(e j(ω+π) ). Βρείτε το h 1 [n], δηλ. την κρουστική απόκριση του νέου συστήματος. (αʹ) Προφανώς h[n] = δ[n] + δ[n 1] + δ[n ]. (βʹ) Το σύστημα είναι ευσταθές γιατί για x[n] < B x δίνει y[n] < 4B x = B y (γʹ) Είναι Y (ω) = X(ω) + X(ω)e jω + X(ω)e jω (1) Y (ω) = X(ω)(1 + e jω + e jω ) (13) Y (ω)/x(ω) = 1 + e jω + e jω = H(ω) (14) H(ω) = e jω( 1 ejω + 1 + 1 e jω) = e jω (cos(ω) + 1) (15) 3

(αʹ) Φάσμα πλάτους (βʹ) Φάσμα φάσης Σχήμα 4: Φάσμα πλάτους και φάσης Άσκησης 3 (δʹ) Το φάσμα πλάτους και φάσης φαίνεται στο Σχήμα 4. Προφανώς είναι H(ω) = e jω (cos(ω)+ 1) = cos(ω) + 1 και H(ω) = ω. (εʹ) Προφανώς θα είναι H 1 (ω) = H(e j(ω+π) ) = 1 + e j(ω+π) + e j(ω+π) = 1 + e jω e jπ + e jω e jπ (16) = 1 e jω + e jω h 1 [n] = δ[n] δ[n 1] + δ[n ] (17) 4. Η απόκριση σε συχνότητα ενός ΓΧΑ συστήματος είναι H(ω) = e jω/4, π < ω π (18) Βρείτε την έξοδο του συστήματος, y[n], όταν η είσοδος είναι x[n] = cos(5πn/). Εκφράστε την απάντησή σας σε όσο πιο απλή μορφή γίνεται. Η είσοδος μπορεί να γραφεί ως x[n] = cos(5πn/) = cos((4π + π)n/) = cos(πn/) = 1 ejπn/ + 1 e jπn/ (19) και γνωρίζουμε ότι τα εκθετικά της μορφής e jω 0n αποτελούν ιδιοσυναρτήσεις ενός ΓΧΑ συστήματος, άρα θα είναι: y[n] = 1 H(eπ/ )e jπn/ + 1 H(e π/ )e jπn/ = 1 e jπ/8 e jπn/ + 1 ejπ/8 e jπn/ (0) = 1 ej(πn/ π/8) + 1 ( ( n e j(πn/ π/8) = cos π 1 (1) 8)) 5. Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ενός σήματος x[n] ορίζεται ως R x [n] = k= () x [k]x[n + k] (3) (αʹ) Δείξτε ότι υπάρχει σήμα g[n] τέτοιο ώστε R x [n] = x[n] g[n], και βρείτε αυτό το g[n]. (βʹ) Δείξτε ότι ο μετασχ. Fourier της R x [n] είναι ίσος με X(ω). 4

(αʹ) Εχουμε R x [n] = = x [k]x[n + k] (θέτουμε r = k) (4) k= r= x [ r]x[n r] = x [ n] x[n] (5) Άρα θα είναι g[n] = x [ n]. (βʹ) Θα είναι R x (ω) = F {x [ n]}f {x[n]} = X (ω)x(ω) = X(ω) (6) 6. Θεωρήστε ένα σύστημα για το οποίο η είσοδος και η έξοδός του ικανοποιούν την εξίσωση διαφορών y[n] 1 y[n 1] = x[n] (7) για την οποία το y[ 1] είναι μηδέν για κάθε είσοδο. Αποφανθείτε αν το σύστημα είναι ευσταθές ή όχι. Αν αποφανθείτε ότι είναι, τότε εξηγήστε το συλλογισμό σας. Αν όχι, τότε δώστε ένα παράδειγμα φραγμένης εισόδου x[n] που δίνει μη-φραγμένη έξοδο y[n]. Εχουμε, για θετικά n: y[0] = x[0] (8) y[1] = x[1] + 1 y[0] = x[1] + 1 x[0] (9) y[] = x[] + 1 y[1] = x[] + 1 x[1] + 1 x[0] (30) 4 y[3] = x[3] + 1 y[] = x[3] + 1 x[] + 1 4 x[1] + 1 x[0] (31) 8 y[4] = x[4] + 1 y[3] = x[4] + 1 x[3] + 1 4 x[] + 1 8 x[1] + 1 x[0] (3) 16. Για αρνητικά n, γράφουμε την εξίσωση ως y[n] = (y[n + 1] x[n + 1]): y[ 1] = 0 (δεδομένο) (33) y[ ] = (y[ 1] x[ 1]) = x[ 1] (34) y[ 3] = (y[ ] x[ ]) = ( x[ 1] x[ ]) = 4x[ 1] x[ ] (35) y[ 4] = 8x[ 1] 4x[ ] x[ 3] (36) y[ 5] = 16x[ 1] 8x[ ] 4x[ 3] x[4] (37). Παρατηρούμε ότι για θετικά n, τα δείγματα της εισόδου αθροίζονται με συντελεστή 1 n, οπότε κάθε y[n] θα είναι φραγμένο, για φραγμένο x[n], όταν n. Αντίθετα, για αρνητικά n, το y[n] είναι άθροισμα των x[n] με συντελεστή (n 1), που για φραγμένο x[n] θα δίνει μη φραγμένο y[n], για n. 5

7. Για το σύστημα του Σχήματος 5, βρείτε την έξοδο y[n] αν για την είσοδο x[n] = δ[n] και το H(ω) είναι ένα ιδανικό χαμηλοπερατό φίλτρο, δηλ. H(ω) = { 1, ω < π/ 0, π/ < ω π (38) Σχήμα 5: Σχήμα Άσκησης 7 Ο μετασχ. Fourier του σήματος x[n] = δ[n] είναι X(ω) = 1, για κάθε ω, άρα όταν περάσει αυτό το σήμα μέσα από το ιδανικό χαμηλοπερατό φίλτρο H(ω), η έξοδος w[n] θα είναι το ίδιο το φίλτρο, δηλ. W (ω) = H(ω)X(ω) = H(ω) = { 1, ω < π/ 0, π/ < ω π (39) Η έξοδος y[n] θα ισούται με { y[n] = ( 1) n w[n] + w[n] = [( 1) n 0, n περιττά + 1]w[n] = w[n], n άρτια (40) Αρκεί να βρούμε το w[n]. Θα είναι w[n] = 1 π/ 1e jωn dω = 1 1 π/ π π/ π jn ejωn (41) π/ 1 = jπn (ejπn/ e jπn/ ) = 1 j sin(πn/) (4) jπn = 1 sin(πn/) = 1 ( n ) πn/ sinc (43) Ομως, παρατηρώντας τις τιμές του w[n], βλέπουμε ότι 1, n = 0 w[n] = ( 1) n /(πn), n περιττά 0, n άρτια (44) 6

Άρα συνολικά θα είναι { 0, n περιττά y[n] = w[n], n άρτια 1, n = 0 = 0, n άρτια, n 0 0, n περιττά (45) που ουσιαστικά είναι ο ορισμός της δ[n], άρα τελικά y[n] = δ[n]. Ενας άλλος τρόπος λύσης θα ήταν στο χώρο της συχνότητας. Μπορούμε να πούμε ότι ( 1) n w[n] = e jπn w[n] (46) το οποίο έχει μετασχ. Fourier W (e j(ω π) ). Άρα η συνολική έξοδος y[n] γράφεται y[n] = e jπn w[n] + w[n] Y (ω) = W (e j(ω π) ) + W (ω) = H(e j(ω π) ) + H(ω) (47) Ομως εύκολα βλέπουμε ότι και H(e j(ω π) ) = { 1, ω π < π/ 0, π/ < ω π π = οπότε το άθροισμά τους θα είναι H(ω) = για κάθε ω. Άρα y[n] = F 1 {1} = δ[n]. { { 1, π/ < ω < 3π/ 1, π/ < ω < π 0, 3π/ < ω π = 0, ω π/ (48) { 1, ω < π/ 0, π/ < ω π (49) Y (ω) = H(e j(ω π) ) + H(ω) = 1 (50) 8. Θεωρήστε το ΓΧΑ σύστημα με απόκριση συχνότητας H(ω) = e jω/, ω < π (51) Αποφανθείτε αν το σύστημα είναι αιτιατό ή όχι. Δικαιολογήστε την απόφασή σας. Ενα σύστημα είναι αιτιατό όταν για είσοδο x[n] = 0, n < n 0 τότε και η έξοδος είναι y[n] = 0, n < n 0. Άρα για μια είσοδο x[n] = δ[n 1] θα πρέπει η έξοδος να είναι y[n] = 0, n < 1. Ξέρουμε ότι x[n] = δ[n 1] X(ω) = e jω, άρα y[0] = 1 π = 1 π π π π π Y (ω)dω = π π e jω e jω/ dω = 1 π που είναι 0, οπότε το σύστημα είναι ΜΗ αιτιατό. H(ω)X(ω)dω (5) 3 ej3ω/ π π = 3π (53) 9. Μια συχνά χρησιμοποιούμενη αριθμητική πράξη είναι η λεγόμενη πρώτη διαφόριση, και ουσιαστικά είναι η διακριτή έκδοση της παραγώγισης. Η πράξη αυτή ορίζεται ως y[n] = (x[n]) = x[n] x[n 1] (54) όπου το x[n] ειναι η είσοδος και y[n] είναι η έξοδος του συστήματος. 7

(αʹ) Δείξτε ότι το σύστημα είναι γραμμικό και χρονικά αμετάβλητο. (βʹ) Βρείτε την κρουστική απόκριση του συστήματος. (γʹ) Βρείτε και σχεδιάστε την απόκριση σε συχνότητα (φάσμα πλάτους και φάσης). (δʹ) Δείξτε ότι αν τοτε όπου δηλώνει τη συνέλιξη. (αʹ) Για είσοδο ax 1 [n] η έξοδος είναι x[n] = f[n] g[n] (55) (x[n]) = (f[n] g[n]) = f[n] (g[n]) = f[n] g[n] (56) ενώ για είσοδο βx [n] η έξοδος είναι Για είσοδο ax 1 [n] + βx [n], η έξοδος θα είναι y 1 [n] = ax 1 [n] ax 1 [n 1] y [n] = βx [n] βx [n 1] y[n] = ax 1 [n] + βx [n] ax 1 [n 1] βx [n 1] που είναι το ίδιο με το άθροισμα των επιμέρους εξόδων, άρα το σύστημα είναι γραμμικό. Για είσοδο x[n n 0 ], η έξοδος είναι και η έξοδος άρα είναι χρονικά αμετάβλητο. y[n] = x[n n 0 ] x[n n 0 1] y[n n 0 ] = x[n n 0 ] x[n n 0 1] (βʹ) Προφανώς, η κρουστική απόκριση υπολογίζεται θέτοντας x[n] = δ[n], και άρα είναι y[n] = x[n] x[n 1] h[n] = δ[n] δ[n 1] (γʹ) Είναι το οποίο γράφεται ως Είναι H(ω) = 1 e jω (57) H(ω) = H(ω) e j tan 1 I{H(ω)} R{H(ω)} (58) H(ω) = 1 e jω = 1 cos( ω) j sin( ω) = (1 cos(ω)) + j sin(ω) (59) = 1 cos(ω) + cos (ω) + sin (ω) = cos(ω) (60) και H(ω) = arctan sin(ω) 1 cos(ω) των οποίων οι γραφικές παραστάσεις φαίνονται στο Σχήμα 6. (61) 8

Η(e jω ) π/ <Η(e jω ) -π 0 π ω -π 0 π ω -π/ Σχήμα 6: Σχήματα Άσκησης 9 (δʹ) Είδαμε ότι x[n] = x[n] h[n] = x[n] (δ[n] δ[n 1]) = x[n] x[n 1] (6) οπότε για x[n] = f[n] g[n] θα είναι f[n] g[n] = f[n] g[n] (δ[n] δ[n 1]) = f[n] (g[n] g[n 1]) = f[n] g[n] (63) ή και f[n] g[n] = f[n] g[n] (δ[n] δ[n 1]) = (f[n] f[n 1]) g[n] = f[n] g[n] (64) 10. α) Βρείτε την απόκριση συχνότητας H(ω) του ΓΧΑ του οποίου η είσοδος και η έξοδος ικανοποιούν την εξίσωση διαφορών y[n] 1 y[n 1] = x[n] + x[n 1] + x[n ] (65) β) Βρείε την εξίσωση διαφορών που χαρακτηρίζει το σύστημα με απόκριση σε συχνότητα α) Είναι H(ω) = 1 1 e jω + e j3ω 1 + 1 e jω + 3 4 e jω (66) y[n] 1 y[n 1] = x[n] + x[n 1] + x[n ] (67) Y (ω) 1 Y (ω)e jω = X(ω) + X(ω)e jω + X(ω)e jω (68) Y (ω)(1 1 e jω ) = X(ω)(1 + e jω + e jω ) (69) Y (ω) X(ω) = H(ω) = 1 + e jω + e jω 1 1 (70) e jω 9

β) Είναι H(ω) = Y (ω) X(ω) = 1 1 e jω + e j3ω 1 + 1 e jω + 3 4 e jω (71) Y (ω)(1 + 1 e jω + 3 4 e jω ) = X(ω)(1 1 e jω + e j3ω ) (7) Y (ω) + 1 e jω Y (ω) + 3 4 e jω Y (ω) = X(ω) 1 e jω X(ω) + e j3ω X(ω) (73) που είναι και το ζητούμενο. y[n] + 1 y[n 1] + 3 4 x[n ] = x[n] 1 x[n 1] + x[n 3] (74) 11. Θεωρήστε ένα σύστημα με είσοδο x[n] και έξοδο y[n] που ικανοποιούν την εξίσωση διαφορών y[n] = ny[n 1] + x[n] (75) Το σύστημα είναι αιτιατό και ικανοποιεί τις συνθήκες αρχικής ηρεμίας, δηλ. x[n] = 0, n < n 0, τότε y[n] = 0, n < n 0. (αʹ) Αν x[n] = δ[n], βρείτε το y[n] για κάθε n. (βʹ) Είναι το σύστημα γραμμικό; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. (γʹ) Είναι το σύστημα χρονικά αμετάβλητο; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. { 1, n = 0 (αʹ) Αν x[n] = δ[n] = 0, n 0 h[n] του συστήματος. Άρα τότε ξέρουμε ότι η έξοδος αποτελεί την κρουστική απόκριση y[n] = 0, n < 0 (76) y[0] = 0y[ 1] + 1 = 1 (77) y[1] = 1y[0] = 1 (78) y[] = y[1] = (79) y[3] = 3y[] = 6 (80) y[4] = 4y[3] = 4 (81) y[5] = 5y[4] = 10 (8). y[n] = h[n] = n!u[n] (83) (βʹ) Εστω η είσοδος x[n] = aδ[n] + bδ[n], τότε θα έχουμε y[n] = 0, n < 0 (84) y[0] = a + b (85) y[1] = a + b (86) y[] = (a + b) (87) y[3] = 6(a + b) (88) y[4] = 4(a + b) (89). 10

Επειδή η έξοδος του αθροίσματος των δυο σημάτων εισόδου είναι ίση με το άθροισμα των επιμέρους εξόδων, το σύστημα είναι γραμμικό. (γʹ) Εστω η είσοδος x[n] = δ[n 1], τότε η παραπάνω αναδρομή μας δίνει y[n] = 0, n < 0 (90) y[0] = 1 (91) y[1] = (9) y[] = 6 (93) y[3] = 4 (94). Χρησιμοποιώντας την h[n] από το α) ερώτημα, έχουμε ότι η h[n 1] δίνει διαφορετική ακολουθία τιμών, άρα h[n 1] = (n 1)!u[n 1] y[n] x[n]=δ[n 1] (95) και άρα το σύστημα δεν είναι χρονικά αμετάβλητο. 1. Βρείτε τον αντίστροφο μετασχ. Fourier των παρακάτω σημάτων. ˆ j sin(ω) cos(5ω) ˆ cos (ω) + sin (3ω) ˆ 1 + 3e jω + e jω 4e j3ω + e j10ω ˆ Θα είναι ( 1 j sin(ω) cos(5ω) = j j ejω 1 j e jω)( 1 ej5ω + 1 e j5ω) ( 1 = ejω 1 e jω)( 1 ej5ω + 1 e j5ω) = 1 4 ej6ω + 1 4 e j4ω 1 4 ej4ω 1 4 e j6ω 1 4 δ[n + 6] + 1 4 δ[n 4] 1 4 δ[n + 4] 1 δ[n 6] (96) 4 ˆ Εχουμε ˆ Είναι cos (ω) + sin (3ω) = 1 + 1 cos(ω) + 1 1 cos(6ω) = 1 + 1 cos(ω) 1 cos(6ω) = 1 + 1 4 ejω + 1 4 e jω 1 4 ej6ω 1 4 e j6ω δ[n] + 1 4 δ[n + ] + 1 4 δ[n ] 1 4 δ[n + 6] 1 δ[n 6] (97) 4 1 + 3e jω + e jω 4e j3ω + e j10ω δ[n] + 3δ[n 1] 4δ[n 3] + δ[n 10] (98) 11