Λυμένα θέματα στους Μιγαδικούς αριθμούς. Δίνονται οι μιγαδικοί z, w και u z w. α) Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός z είναι φανταστικός αν και μόνο αν ισχύει z z. β) Αν για τους z και w ισχύει: z + w z w, να δείξετε ότι ο αριθμός u z w είναι φανταστικός. γ) Αν επιπλέον ισχύει ότι w + i, να βρείτε τον γεωμετρικός τόπο των εικόνων των μιγαδικών z. α) Αν z α + βi, α, β R τότε: z z α + βi α βi α + βi α + βi α 0 α 0 Re z 0 είναι φανταστικός. ( ) ( ) z β) z + w z w υψώνοντας στο τετράγωνο έχουμε: ( z + w)( z + w) ( z w)( z ) z + w z w w z + w z + w z w z w zz + zw + zw + ww zz zw zw + ww ( )( ) ( )( ) zw zw zw zw u u που σημαίνει ότι ο zw είναι φανταστικός. γ) Αν w + i και z i,,y R τότε: u zw ( i)( + i) + iii ( y) + ( + y) i Αφού ο u είναι φανταστικός, ισχύει: Re ( u) 0 y 0 y. Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z είναι η ευθεία y.. Έστω () z z iz, z C. α) Να λύσετε την εξίσωση: ( z) i β) Αν ( z ) να βρείτε το z.. γ) Αν z να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w (z) είναι κύκλος που διέρχεται από την αρχή αξόνων.
α) () z i z iz i Αν z i τότε i( yi) i + + y y y ( y) i i y + 4y + 4, y y 4. Άρα z i. 4 β) ( z) z i z z i z ( i) z, οπότε ( z ) i z z Άρα z z γ) Αν z τότε:. w iz iz w οπότε w iz w z z άρα w. Η τελευταία σχέση εκφράζει μια εξίσωση κύκλου που επαληθεύεται.. Δίνεται ο μιγαδικός z i και έστω () z i iz z i z i y Έστω z i τότε z y i οπότε y Από () έχω,y ετερόσημοι. α) z z () z z z i iz z iz i iz. z i i και z () z + i. Θεωρούμε ακόμη τους μιγαδικούς z z + α) Να βρεθεί ο z αν z z β) Να λυθεί η εξίσωση ( z) + i γ) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z όταν ο (z) είναι πραγματικός. () ()
Όμως ( ) 4 4 y y και 4 y 44 Οπότε προσθέτοντας κατά μέλη έχουμε 4 4 ( ) 69 + y 69 () z i () 8 ±,y ετερ () ή y 8 y ± z + i Οπότε + i ή z i z + β) () z + i i iz ( z i)( + i) i iz z + iz 0i + 4 ( + 4i) z i i ( i)( 4i) 4i 0i 8 4 z i + 4i + 6 4 4 4 γ) (z) πραγματικός Im () z 0 Im () z i 0 ( z) ( z) 0 i iz + i + iz () z () z z i z + i z + 0i iz + 4 izz + 4z z + iz + izz 0i + 4 + 4z 4izz + i z + z + z z 0i 0 + 0 0 ( ) ( ) ( ) + 6 + y 0 4 6 ( + ) + + 9 + ( + ) + y + 4 6 Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι κύκλος κέντρου K, και ακτίνας ρ. 4 4 z + i 4. Δίνονται οι μιγαδικοί z και w, με z. z + α) Αν z i,,y R να γράψετε τον w στην μορφή α + βi. β) Να δείξετε ότι αν ο w είναι πραγματικός τότε ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία y. γ) Να δείξετε ότι αν w, τότε η εικόνα του z κινείται σε κύκλο, του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.
α) w i + i + ( y + ) i [ + ( y + ) i] [( + ) yi] + + ( + ) yi i ( + ) ( + ) yi + ( + )( y + ) i ( y + ) yi ( + ) ( + ) ( y + ) y + ( + )( y + ) + i ( + ) ( + ) Έτσι Re( w) ( + ) +, ( ) Im w + 9 ( + ) β) Ο w είναι πραγματικός, αν και μόνο αν, Im( w) 0 + 9 0 y Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία y, με εξαίρεση το σημείο (, 0), αφού πρέπει z + 0 z + i 0 και y 0. γ) w z + i z + i z + + yi z + ( y + ) i ( + ) + + ( y + ) ( + ). Υψώνουμε στο τετράγωνο: + ( y + ) 4 ( + ) + 6y + 9 4 + 4 + 6 + 4y + 4 6y + 7 0 Επειδή 8 ( ) 4 9 64 + 4 6 > 0 [ ] + 8 y + 9 0 +, η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο με κέντρο κ(4, ) και ακτίνα R. 4
Λυμένα θέματα στις Συναρτήσεις & Όρια. Έστω μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού και τιμών το R. Αν για κάθε + + (), να αποδειχθεί ότι η είναι R ισχύει: ( ( )) ( ) 0 αντιστρέψιμη και έπειτα να βρείτε την Αν, R με ( ) ( ), τότε είναι: ( ( )) ( ( )) και ( ( )) + ( ) ( ( )) + ( )., οπότε είναι Επομένως λόγω της () θα είναι ή. Άρα η είναι συνάρτηση, οπότε είναι και αντιστρέψιμη. Επειδή + + έχουμε: (R) R και για κάθε R ισχύει ( ( )) ( ) 0 [ ( ( ) )] + ( ( ) ) + ( ) 0, R ή + + ( ) 0 ή ( ), R. Δίνεται η συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει ( ) + ( ) + 0 () για κάθε R. α) Να αποδειχθεί ότι η είναι, β) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης γ) Να λυθεί η εξίσωση ( ) ( ) α. Είναι () ( ) + ( ) () Έστω, R με ( ) ( ) τότε ( ) ( ) οπότε Άρα η είναι ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + +
β. Έστω () y τότε ( y) y + y y οπότε η () γίνεται ( y) 0 ( y) y y Άρα ( ) y ή ( ) γ. Η είναι οπότε η εξίσωση γίνεται + 0 0 /// 0 Οπότε ή + + 0 αδύνατο Άρα. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη στο R η οποία ικανοποιεί τη σχέση ( ( ) ) ( ) + ημ ημ, R () lim 0 Για κάθε R έχουμε από την () ημ ( ( ) ) ( ) 0 ημ ( ( ) ) ( ) + ημ ( ( ) ) () ή ή 0 Άρα είναι lim lim( ημ ) 0 lim 0 lim 0 Να βρεθεί το ( ) 0 οπότε από τη () προκύπτει και ( ( ) ) 0 lim ( ) 0 lim( ( ) ) 0 0 0 ( ) lim( ( ) ) + lim 0 + 0 0 0 0 6
4. Για τη συνεχή στο [-, ] συνάρτηση, ισχύει 0 α) () ( ) lim 0 συν συν οπότε ( ) lim lim + lim 0 ( ) lim 0 0, οπότε (0) 0. ( + ) + 0 lim 0+ β) Η g είναι συνεχής στο [, 0) ( 0,] Επίσης συν 0 0 0 0 αλλά συνεχής στο ως πηλίκο συνεχών. ( ) () συν συν lim lim + lim lim g( ) lim 0 ( ) συν lim 0 +. Άρα πρέπει α. 0 0 0 0 + lim 0 ( + ) ( + συν) lim 0+ γ) Αρκεί να δείξουμε ότι g( ) 0 για κάθε [,] Είναι g(0) 0. Επίσης ( ) συν () για κάθε [-,]. α) Να βρείτε το (0) β) Να βρείτε το α R ώστε η συνάρτηση ( ), [,0) ( 0,] g ( ) να είναι συνεχής. α, 0 γ) Για την τιμή του α που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα, να δείξετε ότι η g διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [-, ]. συν >. + συν Αλλά για 0 ισχύει 0 και συν 0 οπότε + συν > 0 ( ) > 0 οπότε ( ) 0 0 ισχύει g() 0. Επομένως g() 0 για κάθε [,] ημ + lim 0. Άρα για. + συν 7
. Για τις συναρτήσεις, g που είναι ορισμένες στο R ισχύει: ( ( ) ) + ( g( ) ) ( ) για κάθε R. Να αποδείξετε ότι: lim ( ) lim g( ) 0. Για κάθε R ισχύει: ( ( ) ) + ( g( ) ) ( ) ή ( ( ) ) ( ) + + ( g( ) ) ή ( ( ) ) + ( g( ) ) Για κάθε R όμως ισχύει: g ( ) ( g( ) ) ( ( ) ) + ( g( ) ) g( ) ή ( ) lim g( ) 0. 0 () και λόγω της () έχουμε: g και επειδή είναι lim 0 έχουμε και 0 Για κάθε R όμως ισχύει: ( ( ) ) ( ( ) ) + ( g( ) ) (λόγω της ()), οπότε ή ( ) ή ( ) + και ( ) επειδή ( ) ( ) lim 0 0 + 0 έχουμε: lim ( ) 0 0 6. Η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα Δ [0, ] και ισχύει < για κάθε Δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ( ) 0 0 0 0 σημείο 0 [0, ), τέτοιο ώστε ( ) ( ) + 0 +. Θεωρούμε τη συνάρτηση h( ) ( ( ) ) + ( ) +, [0, ]. Η συνάρτηση h() είναι συνεχής στο [0, ] ως άθροισμα των συνεχών, και. συναρτήσεων ( ( )) ( ) h( 0) ( ( 0) ) + ( 0) ( 0) ( ( 0) + ) 0 ισχύει < ( ) 0. h() ( () ) + ( ) + > 0, αφού για κάθε [0, ] αφού είναι + + > 0 για κάθε R.. Διακρίνουμε δυο περιπτώσεις: i) Αν (0) 0, τότε ( ( 0) ) + ( 0) 0 και συνεπώς 0 0. ii) Αν (0) < 0, τότε h ( 0) h( ) < 0 και σύμφωνα με το Θ. Bolzano υπάρχει τουλάχιστο ένα 0 (0, ) με h( 0 ) 0. Επομένως υπάρχει ένα τουλάχιστον 0 [0, ) τέτοιο ώστε: + + ( ( )) ( ) 0 0 0 0 8
7. Έστω μια συνάρτηση : R R τέτοια ώστε: ( ) ( ) ημ ( ) για κάθε R. Αν lim α τότε: 0 α) Να δείξετε ότι α. ( ημ) β) Να βρείτε τα όρια: i) lim, 0 ( ( ) ) ii) lim και 0 ( ) iii) lim. + α) Για 0 διαιρούμε με την () οπότε έχουμε: ( ) ( ) ημ + και υπολογίζοντας τα όρια των δυο μελών παίρνουμε: α + α α. β) Παρατηρούμε ότι σε περιοχή του 0 έχουμε ( ημ) ( ημ) ημ ( ημ) i) όπου lim για y ημ ημ 0 ημ ( y) lim. y 0 y ii) iii) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) όπου lim ( ) ( ) 0 ( ( ) ) ( ) ( y) lim για y lim και 0 0 9 y ( ) lim 0. γίνεται 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) + Εύκολα βρίσκουμε ότι σε περιοχή του είναι: ( ) lim ( ). + + () ( )( )
8. Έστω μια συνάρτηση : R R, που είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής ( ). Αν lim. ( ημ) α) Να βρείτε το όριο: lim π συν β) Να δείξετε ότι: () 0 ( ), γ) Να βρείτε την τιμή του k, ώστε η συνάρτηση g ( ) k, να είναι συνεχής στο R. δ) Για την τιμή του k να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της g τέμνει την ευθεία (ε): y σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη 0 (0, ). π α) Παρατηρούμε ότι σε περιοχή του έχουμε: ( ημ) ( ημ) ( ημ) ( ημ) συν συν συν ημ όπου για y ημ έχουμε Άρα ( ημ) lim π συν συν συν ημ ημ + 0 0. ( ημ) ( y) lim lim ημ y y β) Επειδή συνεχής στο έχουμε: () ( ) ( ) ( ) lim lim 0 0 γ) g() lim g( ) ( ) π. lim άρα k. δ) Εφαρμόζουμε θεώρημα Bolzano για την h() g() στο [0, ]. Παρατηρούμε ότι: h(0) g(0) (0) όμως γνησίως αύξουσα στο R, οπότε: ( 0) < ( ) 0. Επομένως h(0) > 0. Ακόμα είναι: h () g() < 0. Άρα h(0)h() < 0 και επομένως υπάρχει 0 (0, ) τέτοιο ώστε h( ) 0 0 0