ΘΕΜΑΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΤΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (000-03) ΘΕΜΑ 000 α. Αν, είναι οι ρίζες της εξίσωσης + + = 0, να αποδείξετε ότι 0-0 =0. β. Αν είναι ρίζα της εξίσωσης του α. ερωτήματος, με φανταστικό μέρος θετικό αριθμό, να βρείτε τις τιμές του θετικού ακεραίου ν για τις οποίες ν είναι πραγματικός αριθμός. ΘΕΜΑ 00 00 α. ΘΕΜΑ Έστω Να βρείτε 003 ένας τον μιγαδικός γεωμετρικό αριθμός τόπο και των f(ν) εικόνων = i ν, των ν μιγαδικών. για τους οποίους ισχύει: Δίνονται α. Να +6 =4 +. δείξετε οι μιγαδικοί ότι f(3) + αριθμοί f(8) + f(3) =α+βi, + f(8) όπου = α,β 0. και w=3 i _ +4, όπου _ είναι β. ο συζυγής Να βρείτε του τον. γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει: - = -i. α. Να αποδείξετε ότι Re(w)=3α β+4 και Ιm(w)=3β α. β. Να αποδείξετε ότι, αν οι εικόνες του w στο μιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=x, τότε οι εικόνες του κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=x. γ. Να βρείτε ποιος από τους μιγαδικούς αριθμούς, οι εικόνες των οποίων κινούνται στην ευθεία με εξίσωση y=x, έχει το ελάχιστο μέτρο.
ΘΕΜΑ 003 005 (επαναληπτικές) α. Δίνονται Να περιγράψετε οι μιγαδικοί γεωμετρικά αριθμοί το, σύνολο, (Σ) των εικόνων των μιγαδικών αριθμών 3 με 3 3. που ικανοποιούν τις σχέσεις: 9 α. Δείξτε ότι: και Ιm () 0. β. Να αποδείξετε ότι, αν η εικόνα β. Δείξτε ότι ο αριθμός είναι του πραγματικός μιγαδικού αριθμού. κινείται στο σύνολο (Σ), 4 τότε η εικόνα του μιγαδικού αριθμού w κινείται σε ευθύγραμμο τμήμα γ. Δείξτε ότι: 3 3 3. 3 το οποίο βρίσκεται στον άξονα x x. ΘΕΜΑ 005 (Επαναληπτικές) α. Αν, είναι μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει + =4+4i και - = 5+5i, να βρείτε τους,. β. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς, w ισχύουν 3i και w 3 i : i. να δείξετε ότι υπάρχουν μοναδικοί μιγαδικοί αριθμοί, w έτσι, ώστε = w ii. να βρείτε τη μέγιστη τιμή του w. ΘΕΜΑ 006 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί,, 3 με 3 και 3 α. Να αποδείξετε ότι: i. 3 3. 0 ii. 4 Re( ) και β. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των,, 3 στο μιγαδικό επίπεδο, καθώς και το είδος του τριγώνου που αυτές σχηματίζουν.
ΘΕΜΑ 007 Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός = +αi α+i με α. α. Να αποδειχθεί ότι η εικόνα του μιγαδικού ανήκει στον κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ =. β. Έστω, οι μιγαδικοί που προκύπτουν από τον τύπο = +αi α+i α = αντίστοιχα. για α = 0 και i. Να βρεθεί η απόσταση των εικόνων των μιγαδικών αριθμών και. ii. Να αποδειχθεί ότι ισχύει: ( ) ν = (- ) ν για κάθε φυσικό αριθμό ν. ΘΕΜΑ 007 008 (Επαναληπτικές) Δίνονται Αν για τους οι μιγαδικοί μιγαδικούς αριθμοί αριθμούς = και α+βi w +i και ισχύουν 3 =, όπου α, β με β 0. Δίνεται ίνεται ότι ο μιγαδικός αριθμός = είναι ρίζα της εξίσωσης +β +γ =0, (i ) 6 και w ( i ) w ( 3 3i ) τότε να βρείτε: επίσης όπου β ότι, γ α. το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών. α. Να αποδείξετε ότι β= - και γ=. α. Να αποδειχθεί ότι =. 3 β. το Να γεωμετρικό αποδείξετε τόπο ότι των = -. εικόνων των μιγαδικών αριθμών w. β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο. γ. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του μιγαδικού αριθμού w, γ. για την Αν τον ο ελάχιστη αριθμός οποίο ισχύει: τιμή είναι του w φανταστικός και αβ>0, να υπολογισθεί ο να δειχθεί ότι w = - ( ++i) 0 ( +-i) 0 =0 δ. την ελάχιστη τιμή του w 3
ΘΕΜΑ 009 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς =(λ+)+(λ )i, λ Α.α. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας πάνω στην οποία βρίσκονται οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, για τις διάφορες τιμές του λ β. Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός αριθμός 0 =-i έχει το μικρότερο δυνατό μέτρο. Β. Να βρεθούν οι μιγαδικοί αριθμοί w οι οποίοι ικανοποιούν την εξίσωση w w 0 όπου 0 ο μιγαδικός που αναφέρεται στο προηγούμενο ερώτημα. ΘΕΜΑ 009 (Επαναληπτικές) Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει: -i + +i-8 = 0 α. Nα βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών = x + yi οι οποίοι ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση. β. Nα βρείτε τον μοναδικό πραγματικό αριθμό και τον μοναδικό φανταστικό αριθμό οι οποίοι ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση. γ. Για τους αριθμούς που βρέθηκαν στο προηγούμενο ερώτημα να αποδείξετε ότι 4 = 0 4
ΘΕΜΑ 00 Δίνεται η εξίσωση + = όπου με 0 Β. Να βρείτε τις ρίζες και της εξίσωσης. 00 00 Β. Να αποδείξετε ότι + =0. B3. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει w - 4 +3i = - τότε να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο. B4. Για τους μιγαδικούς αριθμούς w του ερωτήματος Β3, να αποδείξετε ότ 3 w 7. ΘΕΜΑ 00 (Επαναληπτικές) Έστω ότι οι μιγαδικοί αριθμοί, είναι οι ρίζες εξίσωσης δευτέρου βαθμού με πραγματικούς συντελεστές για τις οποίες ισχύουν + = και = 5 B. Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς, B. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς w ισχύει η σχέση w w να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w στο μιγαδικό επίπεδο είναι ο κύκλος με εξίσωση (x+) + y = 4 B 3. Από τους μιγαδικούς αριθμούς w του ερωτήματος Β να βρείτε εκείνους για τους οποίους ισχύει Re(w) + Im(w) = 0 B 4. Αν w, w είναι δύο από τους μιγαδικούς w του ερωτήματος Β με την ιδιότητα w w 4, να αποδείξετε ότι w w 5
ΘΕΜΑ 0 Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί και w με 3i, οι οποίοι ικανοποιούν τις σχέσεις: 3i 3i και w 3i 3i B. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών B. Να αποδείξετε ότι 3i 3i B 3. Να αποδείξετε ότι ο w είναι πραγματικός αριθμός και ότι w B 4. Να αποδείξετε ότι: w ΘΕΜΑ 0 (Επαναληπτικές) Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί, w, οι οποίοι ικανοποιούν αντίστοιχα τις σχέσεις: i = +Im() () w( w +3i) = i(3 w +i) () B. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι η παραβολή με εξίσωση y = 4 x B. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w είναι ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ(0,3) και ακτίνα ρ=. B3. Να βρείτε τα σημεία Α και Β του μιγαδικού επιπέδου, τα οποία είναι εικόνες των 6
ΘΕΜΑ 0 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς και w για τους οποίους ισχύουν οι επόμενες σχέσεις: 4 () και w 5w () B. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών στο επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ = B. Αν, είναι δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς με τότε, να βρείτε το B3. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w στο επίπεδο είναι η έλλειψη με εξίσωση μέγιστη και την ελάχιστη τιμή του w x y 9 4 και στη συνέχεια να βρείτε τη B4. Για τους μιγαδικούς αριθμούς,w που επαληθεύουν τις σχέσεις () και () να αποδείξετε ότι: w 4 7
ΘΕΜΑ 0 (Επαναληπτικές) Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς, με για τους οποίους ο αριθμός είναι φανταστικός. Να αποδείξετε ότι: B. = w = B. O αριθμός B3. 4 είναι πραγματικός. 4 όπου, δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς i B4. Οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών u, για τους οποίους ισχύειuui= w, w 0 w ανήκουν στην υπερβολή x y = 8
ΘΕΜΑ 03 Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύει ότι: ( )( ) Β. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών είναι κύκλος με κέντρο Κ(,0) και ακτίνα ρ=. Στη συνέχεια για κάθε μιγαδικό που ανήκει στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο, να αποδείξετε ότι 3 Β. Αν οι μιγαδικοί αριθμοί, που ανήκουν στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο είναι ρίζες της εξίσωσης w w 3 0, με w μιγαδικό αριθμό,, και Im( ) Im( ) να αποδείξετε ότι 4 και 5 Β3. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς a0, a, a οι οποίοι ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο του ερωτήματος Β. Αν ο μιγαδικός αριθμός v ικανοποιεί την σχέση v a a v a να αποδείξετε ότι 4 3 0 0 9
ΘΕΜΑ 03 (Επαναληπτικές) Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς,w για τους οποίους η εξίσωση x w 4 3i x, x έχει διπλή ρίζα, την x=. B. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του στο μιγαδικό επίπεδο είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα, καθώς επίσης ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w στο μιγαδικό επίπεδο είνια κύκλος με κέντρο Κ(4,3) και ακτίνα 4 Β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός αριθμός η εικόνα του οποίου ανήκει και στους δύο παραπάνω γεωμτερικούς τόπους. Β3. Για τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς του ερωτήματος Β να αποδείξετε ότι w 0 και w 0 Β4. Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς του ερωτήματος Β να βρείτε εκε ινους, για τους οποίους ισχύει: 3 5 0