ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θ.Μ.Τ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΦΥΛ 14 ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θ.Μ.Τ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ a, 1 0 1. Δίνεται η συνάρτηση f (), 0 1 Να βρείτε τα α,β,γ έτσι ώστε για την συνάρτηση να ισχύουν οι προϋπόθεσης του θεωρήματος Rolle στο [-1,1]. 4. Δίνεται f ( ) a ( a 1) να δείξετε ότι : H εξίσωση f '( ) 0 έχει μια ρίζα τουλάχιστον στο (0,1) Υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο της γραφικής παράστασης της f με τετμημένη (0,1) στο οποίο η εφαπτόμενη της είναι οριζόντια. Δίνεται η συνάρτηση f ()( )ln. Να δείξετε ότι : Υπάρχει ένα τουλάχιστον (1, ) τέτοιο ώστε η εφαπτόμενη της C στο σημείο A(,()) f να είναι παράλληλη στον άξονα χ χ. f Η εξίσωση 4. Να αποδείξετε ότι : e έχει τουλάχιστον μια λύση στο (1,). 5 η εξίσωση a 5 έχει το πολύ μια ρίζα στο (-1,1) η εξίσωση 5 1 5 έχει μια μόνο ρίζα στο (-1,1) 5. Να αποδείξετε ότι : η 1 a 0 έχει το πολύ μια ρίζα στο (-,) 5 η 4 έχει μια μόνο ρίζα στο (1,) 6. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 8 τουλάχιστον ρίζα στο (0,1). έχει μια 7. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f ( ) e g( ) y y. e 5 έχουν ένα μόνο κοινό σημείο αυτό βρίσκετε στον άξονα 8. Να δείξετε ότι 4 Η συνάρτηση f ( ) (1 ) a με, R ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [-1,0]. Η εξίσωση 4 1 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (-1,0). 7

9. Δίνεται η συνάρτηση f με f '() a, R. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f () a έχει το πολύ μια πραγματική ρίζα. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 1 αληθεύει μόνο όταν 0. 10. Έστω f ( ) ( ) να δείξετε ότι : Η f '( ) 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, Η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο, 11. Έστω η 4 f ( ) 4 41 5. Να δείξετε ότι : η εξίσωση f ( ) 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (0,1) μια τουλάχιστον ρίζα στο (1,) η εξίσωση 4 8 5 7 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (0,). 1. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων g( ) f ( ) 10 1 έχουν ακριβώς δυο κοινά σημεία, Α(0,1) Β(,9). 1. Να αποδείξετε ότι η μια στο, 0 μια στο 0,. έχει ακριβώς δυο πραγματικές ρίζες 14. Να λυθούν οι εξισώσεις : 1 e e 5 5 15. Έστω η f ( ) ( )( 4) 1. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της f '( ) 0 16. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 7 a 0 έχει το πολύ τρεις ανά δυο άνισες ρίζες. 17. Δίνεται συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο [0,π], παραγωγίσιμη στο (0,π) για την οποία ισχύει f ( ) f '( ) για κάθε ( 0, ). Να αποδείξετε ότι υπάρχει [0, ] με f ( 0 ) 0. 0

18. Η f :[1,4] R είναι δυο φορές παραγωγίσιμη ισχύουν f ( 1) f ( 4) 8. Να αποδείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f που να περνάει από την αρχή των αξόνων. Αν f ''( ) 0 (1,4 ) να δείξετε ότι η εφαπτόμενη είναι μοναδική. 19. Οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο [1,e] παραγωγίσιμες στο (1,e). Να δείξετε ότι η εξίσωση f (1) g(1) f '( ) g'( ) f ( e) g(e) f (1) g(1) 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (1,e). 0. Δυο συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς στο [α,β] παραγωγίσιμες στο (α,β). Επίσης είναι g(α) g(β) g' ( ) 0 a,. Να αποδείξετε ότι υπάρχει f '( ) f ( ) f ( a) (, ) τέτοιος ώστε να είναι :. g'( ) g( ) g( a) 1. Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις η συνάρτηση f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής στο διάστημα [α,β], που κάθε φορά αναφέρεται.στις περιπτώσεις που ισχύουν όλες οι προϋποθέσεις του θεωρήματος να βρείτε όλα τα (,) έτσι ώστε ' f ()() f f () i f (), [,0] f () 10, [,5] f (), 1, 6 6 iv) f (), [0,] v) f (), [,]. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [4,10] με f (4) 6 f (10) 0. Να αποδείξετε ότι υπάρχει αριθμός (4,10), ώστε η εφαπτόμενη της γραφικής παράστασης της f στο A(,()) f να σχηματίζει γωνία με τον χ χ 15. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [1,5] με f (1) f '() (1,5), να αποδείξετε ότι 10(5) f 6. 4. Να αποδείξετε ότι : Για την f () ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο [α,β]

5. Η απόσταση Αθήνας Πάτρας είναι 0 Km. Αν ένα αυτοκίνητο αναχωρεί από την Αθήνα στις 11:00 π.μ. φτάνει στις 1:0 μ.μ., να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον μια χρονική στιγμή κατά την διάρκεια της διαδρομής όπου το αυτοκίνητο έχει ταχύτητα 88 Km/h. Θεωρούμε τη συνάρτηση του διαστήματος S(t) συνεχή παραγωγίσιμη. 6. Να αποδείξετε ότι 1 ln y, y. y 1 7. Να αποδείξετε ότι e ln e 1 11 1 8. Η συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο [α,β] με f () 0 f () '() f 0. Να αποδείξετε ότι, : f ''() 0. 9. Αν η συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο υπάρχουν τρία σημεία συνευθειακά της γραφικής παράστασης της f, να δείξετε ότι με f ''() 0. 0. Αν ισχύει f '() M 0, να δείξετε ότι : αν 0 f ()(0) M f αν 0 f ()(0) M f i lim() f iv) lim() f v) Η f είναι αντιστρέψιμη. 1. Η συνάρτηση f '() είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [α,δ] α<β γ<δ με α+δ=β+γ. Να αποδείξετε ότι f ()()()() f f f. Να λύσετε την εξίσωση 4 5.. Αν η συνάρτηση f ικανοποιεί τις υποθέσεις του Θεωρήματος Μέσης Τιμής διαφορικού λογισμού στο [0,] να αποδείξετε ότι,, 0, f '() '() f '()()(0) f f f. 1 4. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [, ],. Να δείξετε ότι υπάρχουν,, f '() '() f 1 f ()() f. 1 με 1 τέτοια ώστε : παραγωγίσιμη στο

5. Αν 0 να δείξετε ότι. 6. Να αποδείξετε ότι e 1. 7. Έστω η συνάρτηση f συνεχής στο [α,β] παραγωγίσιμη στο (α,β). Να αποδείξετε ότι:, h[ a, ], h 0 0,1 :()() f h '(). f hf h 8. Να αποδείξετε ότι για μια συνάρτηση f : c έτσι ώστε να είναι f () ce. είναι f ' f αν μόνο αν 9. Δίνεται συνάρτηση f : τέτοια ώστε f ()() f y y,, y να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή στο. * 40. Έστω η συνάρτηση f : με f ()()() y, f f y y.αν η f είναι παραγωγίσιμη στο 0 0 με f '(0) 1, να δείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη στο με f '()() f. Στη συνέχεια να βρείτε τη συνάρτηση f. 41. Δυο συναρτήσεις f, g είναι τρεις φορές παραγωγίσιμες σε ένα διάστημα Δ που περιέχει το 0.Αν f '''() g'''(), ''(0) f ''(0) g, '(0) f '(0) g f (0)(0) g, να αποδείξετε ότι : f ()() g a Οι γραφικές παραστάσεις των f, g έχουν μόνο ένα κοινό σημείο στο σημείο αυτό έχουν κοινή εφαπτόμενη. 4. Δίνονται f () a 1, 0 a g() Να αποδείξετε ότι f ' g ' a, 0 4. Η συνάρτηση f έχει Π.Ο. το,(,6] βρεθεί η f, αν f (1) f (5) 4. A f '() 0 A. Να 44. Αν η συνάρτηση f έχει Π.Ο. το A (0,5) ισχύει f () f'() A f () 16 τότε :

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() f () είναι σταθερή. Να βρεθεί η f 45. Να βρείτε τις συναρτήσεις f αν: (1) f '() 6 1 f (1) f '(1 ) 7 1 f (0) 1 i f '()() (0) f 1 iv) f '() f e 46. Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις με f ''() f * '(). * f : που είναι δυο φορές παραγωγίσιμες '(0) 47. Αν f ''()() f,(0) f a f.να δείξετε ότι f () f'() a. 48. Έστω οι συναρτήσεις f, g : για τις οποίες f ''() g''(). Αν οι γραφικές παραστάσεις των f, g τέμνονται πάνω στον y y οι εφαπτόμενες τους στο 0 1 είναι παράλληλες να λύσετε την ανίσωση f ()() g.