YΠΡΒΛΗ ρισμός: Υπερολή με εστίες κι λέγετι ο γεωμ. τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων πό τ κι είνι στθερή κι μικρότερη του Έ. Τη στθερή υτή διφορά τη συμολίζουμε κι την εστική πόστση Έ με γ. Σύμφων με τον ορισμό υτό έν σημείο Μ είνι σημείο της υπερολής, ν κι μόνο ν (ME ) (ME). Ισχύει (ME ) (ME) (EE) δηλδή γ, οπότε γ. ξίσωση Υπερολής ( )=γ (M )(ME) =a Μ Η εξίσωση της υπερολής με εστίες τ σημεί (-γ,0), (γ,0) κι διφορά είνι:, όπου γ. (-γ,0) Α Α Μ(,) (γ,0) Η εξίσωση της υπερολής με εστίες τ σημεί (0,-γ), (0,γ), κι διφορά είνι:, όπου =. Aν =, τότε η υπερολή λέγετι ισοσκελής κι η εξίσωσή της γράφετι: - = ή - = ντίστοιχ. E(0,γ) Α Α (0,-γ) Ιδιότητες Υπερολής Έστω μι υπερολή C, η οποί ως προς έν σύστημ συντετγμένων O έχει εξίσωση. Η υπερολή έχει τους άξονες κι άξονες συμμετρίς κι την ρχή των ξόνων κέντρο συμμετρίς. Το σημείο λέγετι κέντρο της υπερολής. M Α O Α M η υπερολή τέμνει τον άξον στ σημεί A (, 0 ), κι A(, 0 ). Τ σημεί υτά λέγοντι κορυφές της υπερολής. Η υπερολή C δεν τέμνει τον άξον. M =-a =a M τ σημεί της υπερολής C ρίσκοντι έξω πό την τινί των ευθειών κι, πράγμ που σημίνει ότι η υπερολή ποτελείτι πό δύο χωριστούς κλάδους. 57
Ασύμπτωτες Υπερολής H υπερολή έχει σύμπτωτες τις ευθείες a a =. H υπερολή έχει σύμπτωτες τις ευθείες =. κκεντρότητ Υπερολής νομάζουμε εκκεντρότητ της υπερολής, κι τη συμολίζουμε με ε, το λόγο. Ισχύει ότι: Όσο η εκκεντρότητ μικρίνει κι τείνει ν γίνει ίση με, τόσο πιο επίμηκες είνι το ορθογώνιο άσης κι κτά συνέπει τόσο πιο κλειστή είνι η υπερολή. Στην περίπτωση της ισοσκελούς υπερολής είνι, οπότε. φπτομένη Υπερολής Έστω μι υπερολή με εξίσωση κι έν σημείο M(, ) υτής. Η εφπτομένη της υπερολής στο σημείο M(, ) ποδεικνύετι ότι έχει εξίσωση: M(, ) Αν μι υπερολή έχει εξίσωση,τότε η εφπτομένη της στο σημείο της M(, ) θ έχει εξίσωση: ω M Aνκλστική ιδιότητ της υπερολής. ω ω Η εφπτομένη μις υπερολής σε έν σημείο της Μ διχοτομεί τη γωνί E ME, όπου E, E οι εστίες της υπερολής. 58
φρμογή Το γινόμενο των ποστάσεων ενός σημείου M (, ) της υπερολής τις σύμπτωτες είνι στθερό. πό Σχετική Θέση υθείς κι Κωνικής Ας θεωρήσουμε μί ευθεί λ κι μί κωνική τομή A B E 0. Γι ν ρούμε τ κοινά σημεί της ευθείς με την κωνική λύνουμε το σύστημ: λ A B E 0 Γι την επίλυση του συστήμτος θέτουμε στη (), όπου δευτεροάθμι εξίσωση. () () λ, οπότε προκύπτει μι Αν η εξίσωση υτή έχει δύο ρίζες άνισες ή μι πλή ρίζ (ότν είνι ου θμού), τότε η ευθεί κι η κωνική τέμνοντι σε δύο ή σε έν σημείο ντίστοιχ. Αν η εξίσωση έχει δύο ρίζες ίσες, δηλδή ν είνι ου θμού με δικρίνουσ 0, τότε ποδεικνύετι ότι η ευθεί εφάπτετι της κωνικής. Τέλος, ν η εξίσωση δεν έχει ρίζες, τότε η ευθεί κι η κωνική δεν έχουν κοινά σημεί. ε C ε C Γι πράδειγμ, έστω η ευθεί κι η προλή. Αν στην εξίσωση της προλής θέσουμε όπου, ρίσκουμε τη δευτεροάθμι εξίσωση 0, η οποί έχει τη διπλή ρίζ. Άρ, η ευθεί εφάπτετι της κωνικής κι το σημείο επφής είνι το M (, ). 59
ΡΩΤΗΣΙΣ ΣΩΣΤ ΛΑΘΣ - ΠΛ/ΠΛΗΣ ΠΙΛΓΗΣ. Η ισοσκελής υπερολή - = έχει εκκεντρότητ ε =. Σ Λ. Η εξίσωση κ + λ = 0 πριστάνει υπερολή γι κάθε κ, λ R. Σ Λ. ι υπερολές - = κι -. Μι σύμπτωτη της υπερολής 6-5 = 00 είνι 5 6 5 Α. = Β. = Γ. = Δ. = 5 5 6. κμί πό τις προηγούμενες. = έχουν τις ίδιες εστίες. Σ Λ 5. Μι υπερολή έχει εξίσωση C: - =. Τότε Α. η C έχει τις εστίες της στον άξον Β. έχει σύμπτωτες τις = Γ. έχει εστίες (- 5, 0), (5, 0) Δ. είνι = κι =. έχει κορυφές Α (-, 0), Α (, 0). 6. Η εξίσωση κ + λ = μ με κ, λ, μ 0 πριστάνει πάντ υπερολή με Α. μ = Β. κ.λ < 0 Γ. μ < 0 Δ. κ λ. κ = μ ή λ = μ. -- 7. Έν σημείο της υπερολής - = είνι το Μ (, ). Η εφπτομένη της στο M έχει εξίσωση Α. + + = 0 Β. - = Γ. - + = 0 Δ. - = -. - + = 0. 60
ΑΣΚΗΣΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΥΠΡΒΛΗΣ. Δίνοντι οι υπερολές: i), ii) -ψ =, iii) -ψ =. Ν ρείτε τις κορυφές, τις εστίες κι τις σύμπτωτες τους. Ν πρστθούν γρφικά.. N ρεθεί η εξίσωση της υπερολής που έχει σύμπτωτες τις ευθείες ε : ψ = κι ε : ψ = κι διέρχετι πό το σημείο Μ(0,-).. Ν ρείτε την εξίσωση της υπερολής που έχει τις εστίες της στον άξον συμμετρικές ως προς την ρχή των ξόνων κι κόμ: ) έχει εστική πόστση ( ) = 6 κι εκκεντρότητ ε = ) έχει εστική πόστση ( ) = 0 κι εξισώσεις συμπτώτων = κι = -. γ) έχει εστική πόστση ( ) = κι σύμπτωτες τις διχοτόμους των γωνιών των ξόνων.. Ν ρεθεί η γωνί που σχημτίζουν οι σύμπτωτες της υπερολής. 6 5. Ν ρείτε τις εξισώσεις των εφπτομένων της υπερολής πράλληλες με την ευθεί -+=0. οι οποίες είνι 9 6. Ν ρείτε τις εξισώσεις των εφπτομένων της υπερολής 7-9 =6 οι οποίες διέρχοντι πό το σημείο Α(,). 7. Ν ρείτε την εξίσωση της ισοσκελούς υπερολής που έχει τις ίδιες εστίες με την έλλειψη + =. 5 6 8. Δίνετι η έλλειψη C : ) Έχουν τις ίδιες εστίες. κι η υπερολή C :. Δείξτε ότι 8 ) ι εφπτόμενες στ σημεί τομής τους είνι κάθετες. 6
9. κύκλος με εξίσωση + = 6 διέρχετι πό τις κορυφές της υπερολής C του διπλνού σχήμτος, της οποίς η μι σύμπτωτη έχει εξίσωση = -. Ν ρεθούν: ) οι εστίες της υπερολής ) η εστική της πόστση γ) η εξίσωσή της δ) ν προσδιοριστεί το ορθογώνιο άσης της υπερολής ε) η εκκεντρότητά της. C 0. Ν υπολογίσετε το εμδόν του τριγώνου που σχημτίζετι πό τις σύμπτωτες της υπερολής - 6 = κι την ευθεί =. 9. Έστω η υπερολή C: - σύμπτωτη τέμνει την υπερολή σ έν μόνο σημείο. =. Ν δειχθεί ότι κάθε πράλληλη προς μι. Θεωρούμε την υπερολή C: - = κι την ευθεί (ε): + =. Ν ρεθούν οι τιμές του, γι τις οποίες η (ε) εφάπτετι στη C.. Έστω Μ τυχίο σημείο της υπερολής - =, (ε) η εφπτομένη στο Μ κι Α, Β τ σημεί που η (ε) τέμνει τις σύμπτωτες. Τότε το εμδόν του τριγώνου ΑΒ είνι στθερό.. Ν ρεθούν οι εξισώσεις των εφπτομένων της υπερολής 5 - = 00 που είνι πράλληλες προς την ευθεί - = 0. 5. Δίνετι η υπερολή - Μ(, ) στον κλάδο C ( 0). = με κλάδους C κι C κι τυχίο σημείο της ) Ν γράψετε την εξίσωση της εφπτόμενης (ε) στο σημείο Μ κι ν ρείτε τ σημεί τομής της (ε) με τους άξονες. ) Ν δείξετε ότι η (ε) τέμνει τον σε σημείο μετξύ των κορυφών της υπερολής. γ) Με δεδομένο ότι η (ε) τέμνει τον κλάδο C στο Μ (, ), ν δείξετε ότι. < 0. 6
ΡΩΤΗΣΙΣ ΑΝΤΙΣΤΙΧΙΣΗΣ. Κάθε κωνική της στήλης (Α) έχει εξίσωση που ρίσκετι στη στήλη (Β). Ν συνδέσετε με γρμμές τ ντίστοιχ στοιχεί των δύο στηλών. στήλη Α στήλη Β είδος κωνικής εξίσωση γρμμής ) κύκλος ) προλή ) έλλειψη ) υπερολή Α) + = Β) + = 0 Γ) = 9 - ( - ) Δ) 9 = 6 + 7 ) - 6 = 0 ΣΤ) = 00-5. Σε κάθε γρμμή της στήλης (Α) γράφετι η εξίσωση μις κωνικής, η οποί έχει εκκεντρότητ που γράφετι στη στήλη (Β). Ν συνδέσετε με γρμμές τ ντίστοιχ στοιχεί των δύο στηλών. στήλη Α εξίσωση κωνικής στήλη Β εκκεντρότητ ) ) + = - 9 = Α) Β) Γ) 5 ) + 9 = 6 Δ) - ) 6