Εργστήριο Φυσικής Τμήμτος Πληροφορικής κι Τεχνολογίς Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λμίς Νόμοι Νεύτων - Δυνάμεις Εισγωγή στην έννοι της Δύνμης Γι ν λύσουμε το πρόβλημ του πως θ κινηθεί έν σώμ ότν ξέρουμε το περιβάλλον του κι τις ιδιότητες του ίδιου του σώμτος θ χρειστεί ν μελετήσουμε τους νόμους του Νεύτων. Ότν δύο ή περισσότερες δυνάμεις (F 1, F, F 3 κλπ) σκούντι σε έν σώμ τότε η συνολική δύνμη που σκείτι σε υτό είνι ίση με το δινυσμτικό άθροισμ των επιμέρους δυνάμεων ( ή F ολ ): F 1 F F3... F ολ Η ιδιότητ υτή (επλληλί δυνάμεων) είνι πολύ σημντική κι θ την χρησιμοποιούμε γι την επίλυση των σκήσεων όχι μόνο στην μηχνική λλά κι σε άλλ κεφάλι της Φυσικής. Επιτρέπει επίσης κι την νάλυση μις δύνμης σε συνιστώσες οι οποίες μπορούν γι πράδειγμ ν βρίσκοντι πάνω στους άξονες του κρτεσινού συστήμτος συντετγμένων το οποίο χρησιμοποιούμε γι την νάλυση (συνιστώσες F κι F ). Γρφικά, η επλληλί δυνάμεων φίνετι στο πρκάτω σχήμ όπου στο σώμ σκούντι δύο δυνάμεις που μπορούν ν νλυθούν σε συνιστώσες ενώ τυτόχρον μπορούν ν ντικτστθούν κι πό μι συνολική συνιστμένη δύνμη. F 1 F 1 F F F 1 F Σχήμ 1. Επλληλί δυνάμεων σκούμενων σε έν σώμ. 1 ος Νόμος του Νεύτων Ο θεμελιώδης ρόλος της δύνμης είνι ν μετβάλλει την κινητική κτάστση του σώμτος στο οποίο σκείτι. Η τάση που έχει το σώμ ν πρμένει στην προηγούμενη κινητική του κτάστση οφείλετι στην ιδιότητ της δράνεις. Αυτό ισθάνεστε ότν είστε στο υτοκίνητο κι υτό ξφνικά μειώνει τχύτητ ή στρίβει πότομ. Το ίδιο συμβίνει στ πιάτ ότν τρβάτε το τρπεζομάντιλο πότομ πό το τρπέζι κι υτά σχεδόν δεν κινούντι πό
τη θέση τους. Γι το λόγο υτό ο πρώτος νόμος του Νεύτων συχνά εκφράζετι κι ως Νόμος της Αδράνεις. Ο πρώτος νόμος ισχύει δηλδή ότν: στθερή ος Νόμος του Νεύτων Τι γίνετι όμως ότν η συνολική δύνμη που σκείτι σε έν σώμ δεν είνι μηδενική; Στην περίπτωση που το σώμ ηρεμεί σε μι θέση ισορροπίς, το βλέπουμε ν ρχίζει ν κινείτι, ενώ ν ρχικά κινούντν τότε το μέτρο ή/κι η κτεύθυνση της τχύτητς του λλάζει (υξάνετι ή μειώνετι). Σε όλες τις περιπτώσεις υπάρχει ως κοινό χρκτηριστικό το γεγονός ότι το σώμ δέχετι επιτάχυνση. Γι ν βρούμε τη σχέση δύνμης κι επιτάχυνσης θ κτφύγουμε στο δεύτερο νόμο του Νεύτων. Η μθημτική σχέση που μπορεί ν περιγράψει υτό το νόμο είνι η πρκάτω: Σ F m, όπου m είνι η μάζ του σώμτος κι η επιτάχυνση του. Η σχέση υτή είνι δινυσμτική συνεπώς θ μπορούσν τ δινύσμτ υτά ν ντικτστθούν πό τ συνιστώμεν δινύσμτ τους. m, m κι z m. Αυτό σημίνει ότι η επιτάχυνση που δέχετι σε κάθε άξον το σώμ εξρτάτι πό τη συνιστώσ της δύνμης σε εκείνο τον άξον. Η κτεύθυνση μάλιστ της επιτάχυνσης του σώμτος όπως φίνετι πό τις προηγούμενες σχέσεις είνι υτή της δύνμης που σκείτι πάνω του. Η σχέση που χρησιμοποιείτι γι τον ορισμό της μάζς είνι η εξής: m Η μονάδ της δύνμης προκύπτει πό το δεύτερο νόμο: 1Ν(1kgr) (1m/ec ) 1kgr m/ec. Αν διπλσιάσουμε τη δύνμη την οποί σκούμε τότε θ διπλσιστεί κι η επιτάχυνση του σώμτος: F m F m m Επίσης ν σκήσουμε την ίδι δύνμη σε δύο διφορετικές μάζες τότε ο λόγος των μζών των δύο σωμάτων θ είνι ντιστρόφως νάλογος του λόγου των επιτχύνσεων: m 1 F m1 1 m m 1 Ο δεύτερος νόμος του Νεύτων λέγετι κι δεύτερος νόμος της κίνησης ή κι Θεμελιώδης νόμος της Μηχνικής λόγω της μεγάλης του σημσίς. Ειδικές περιπτώσεις δυνάμεων z
Σε υτό το σημείο ξίζει ν νφερθούμε σε κάποιες συγκεκριμένες δυνάμεις τις οποίες χρησιμοποιούμε σε πάρ πολλά προβλήμτ φυσικής κι χρησιμοποιούμε μάλιστ στην κθημερινή μς ζωή. Το Βάρος Β ή W ενός σώμτος είνι μι έννοι που περιγράφει τη δύνμη που σκείτι σε έν σώμ πό έν κοντινό στρονομικού μεγέθους σώμ (π.χ. στην κθημερινή μς ζωή υτό το σώμ είνι η Γη). Η δύνμη υτή οφείλετι στη βρυτική έλξη μετξύ των δύο μζών κι είνι ίση κι στις δύο μάζες, πλά το δεύτερο σώμ (π.χ. η Γη) λόγω μεγέθους μάζς δεν επιτχύνετι πρκτικά (Μ Γης >>m Γης << m ). Το βάρος σν δύνμη μπορεί με πλό τρόπο ν εκφρστεί πό τον τύπο B m g, όπου το m είνι η μάζ κι το g9,8m/ec είνι η επιτάχυνση της βρύτητς στο στρονομικό σώμ όπου βρισκόμστε. Συνεπώς γι μι μάζ m8kgr στη Γη είνι: B 8kgr 9,8m/ec 784N Η ίδι μάζ σε έν άλλο στρονομικό σώμ θ ένοιωθε ν της σκείτι άλλη δύνμη. Π.χ. στη σελήνη όπου g 1,6m/ec : B 8kgr 1,6m/ec 13N Φυσικά κόμ κι στη Γη η τιμή της δύνμης του βάρους του ίδιου σώμτος εξρτάτι πό τη γεωγρφική θέση στην οποί μετράμε τη δύνμη κθώς η επιτάχυνση της βρύτητς δεν είνι ίδι πντού λλά μετβάλλετι ελφρώς. Άλλες τέτοιες δυνάμεις τις οποίες χρησιμοποιούμε κθημερινά είνι η κάθετη δύνμη, η τριβή κι η τάση. Η κάθετη δύνμη, Ν, είνι η δύνμη υτή η οποί σκείτι σε έν σώμ το οποίο βρίσκετι πάνω (ή πρκτικά πιέζετι) σε μι επιφάνει. Η δύνμη υτή είνι κάθετη στην επιφάνει. Αν γι πράδειγμ έν σώμ φεθεί σε μι οριζόντι επιφάνει (π.χ. τρπέζι) τότε υτή η επιφάνει δέχετι το βάρος του σώμτος (ή κι επιπλέον άλλες δυνάμεις). Η επιφάνει σκεί στο σώμ μι δύνμη κάθετη κι προς το σώμ (π.χ. προς τ πάνω στο πράδειγμ του τρπεζιού). Αν νλύσουμε με το δεύτερο νόμο το σύστημ μς θ δούμε ότι στο σώμ σκείτι συνολική δύνμη: m N mg, οπότε ν, τότε N mg. Η σχέση βέβι υτή δεν ισχύει γενικά ότν π.χ. σκείτι κι τρίτη δύνμη μέσω ενός ελτηρίου ή το σώμ είνι σε κεκλιμένο επίπεδο. Η τριβή είνι μι δύνμη η οποί σκείτι σε έν σώμ ότν υτό προσπθεί ν ολισθήσει ή ολισθίνει σε μι επιφάνει. Η κτεύθυνση της είνι πάντ ντίθετη προς την φορά της κίνησης (ή της προσπάθεις γι κίνηση) κι κάθετη προς τη κάθετη δύνμη. Η δύνμη της τριβής συμβολίζετι συχνά με το σύμβολο f. Η τριβή χωρίζετι σε δύο κτηγορίες. Στη τριβή που ντιτίθετι στην ένρξη μις κίνησης (το σώμ είνι κίνητο κι προσπθεί ν κινηθεί) κι σε υτή που σκείτι ότν το σώμ ρχίσει πλέον ν κινείτι. Έχουμε όλοι πρτηρήσει ότι ότν προσπθούμε ν σπρώξουμε έν βρύ ντικείμενο υτό ρχικά δεν κινείτι γιτί σκείτι η (μεγλύτερης τιμής όπως φίνετι κι στο σχήμ) σττική τριβή, f, ενώ πό την στιγμή που θ ρχίσει ν ολισθίνει η τριβή ολισθήσεως, f κ, που σκείτι πάνω του
είνι μικρότερη κι άρ πιτείτι μικρότερη δύνμη γι ν κινηθεί. Τυπικό πράδειγμ είνι το σπρώξιμο ενός υτοκινήτου που έχει «μείνει» ή η μετκίνηση ενός ψυγείου ή άλλου ογκώδους επίπλου. Οι δυνάμεις τριβής έχουν μέτρο που εξρτάτι πό την κάθετη δύνμη, Ν. Συγκεκριμέν: f μ N κι fκ μκ N, όπου τ μ κι μ κ είνι οι συντελεστές σττικής τριβής κι τριβής ολισθήσεως ντίστοιχ κι οι οποίοι έχουν γενικά διφορετικές μετξύ τους τιμές. Η τάση είνι η δύνμη που σκείτι σε κλώδιο, σκοινί, λυσίδ ή άλλο τέτοιο ντικείμενο συνδεδεμένο με έν σώμ, είνι τεντωμένο κι χρησιμοποιείτι γι ν το έλκουμε. Η κτεύθυνση της τάσης είνι πό το σώμ κι κτά μήκος του κλωδίου, ενός σκείτι στο σημείο πρόσδεσης του κλωδίου με το σώμ. Η δύνμη της τάσης συμβολίζετι συχνά με το σύμβολο Τ. 3 ος Νόμος του Νεύτων Η δύνμη που σκείτι σε έν σώμ όπως είδμε είνι ποτέλεσμ της λληλεπίδρσης του με έν άλλο σώμ. Οι δυνάμεις δηλδή εμφνίζοντι πάντ κτά ζεύγη. Ότν σπρώχνουμε κάποιον κι υτός τυτόχρον μς σπρώχνει. Ότν κλωτσάμε μι πέτρ η πέτρ μπορεί ν φεύγει μκριά λλά κι το πόδι μς πονάει λόγω της δύνμης που σκεί η πέτρ σε υτό. Συνεπώς οι δυνάμεις που σκούντι πό την λληλεπίδρση δύο σωμάτων (1 κι ) είνι πάντ ίσες κτά μέτρο κι ντίθετες κτά φορά. Ο τρίτος νόμος είνι γνωστός κι ως νόμος δράσης ντίδρσης κι μθημτικά εκφράζετι με τη σχέση: F AB F BA, όπου τ Α κι Β είνι τ δύο σώμτ τ οποί σκούν τις ντίστοιχες δυνάμεις το έν στο άλλο. Ο νόμος υτός εκφράζει το γεγονός ότι όποιο ντικείμενο κι ν γγίξουμε, στην ουσί μς γγίζει κι υτό. Στρτηγική επίλυσης προβλημάτων Το πιο σημντικό πράγμ που πρέπει ν κάνουμε ότν λύνουμε προβλήμτ μηχνικής (λλά κι άλλων κεφλίων όπως θ δούμε ργότερ), είνι ν κάνουμε έν σωστό διάγρμμ ελεύθερου σώμτος. Τι είνι το διάγρμμ ελεύθερου σώμτος; Σε πλή περιγρφή θ μπορούσμε ν πούμε ότι είνι εκείνο το διάγρμμ όπου το σώμ είνι μόνο του (έχουμε διώξει όλο το περιβάλλον γύρω του) κι υπάρχουν μόνο τ δινύσμτ των δυνάμεων που σκούντι στο σώμ υτό πό το περιβάλλον του κι όχι υτές που σκεί το σώμ σε άλλ σώμτ. Πρέπει συνεπώς ν προσέξουμε ν βάλουμε όλες τις δυνάμεις που σκούντι στο σώμ λλά κι μόνο υτές. Δεν ενδιφερόμστε δηλδή γι τ ζεύγη δράσης ντίδρσης που νφέρει ο τρίτος νόμος λλά μόνο γι μι πό υτές. Στ διγράμμτ ελεύθερου σώμτος δεν μς ενδιφέρουν οι διστάσεις του ντικειμένου κι γι υτό το συμβολίζουμε συνήθως με μι τελεί.
Επιπλέον, πρέπει ν προσέξουμε τη φορά των δυνάμεων κι ν ορίσουμε έν κρτεσινό σύστημ συντετγμένων που ν μς διευκολύνει στη μελέτη μς, προσέχοντς τη θετική κι ρνητική φορά σε κάθε περίπτωση. Συχνά είνι βολικό ν πίρνουμε τη θετική φορά του οριζόντιου άξον την κτεύθυνση κτά την οποί το σώμ επιτχύνει (ότν τη γνωρίζουμε). Τέλος, πρέπει ν προσέχουμε ν μην κάνουμε λάθη κι στη συνέπει των μονάδων ενώ βοηθάει κι ν προσπθούμε ν διχωρίσουμε εξ ρχής τ γνωστά πό τ άγνωστ μεγέθη. Ασκήσεις 1) Έχουμε πρόβλημ στο υτοκίνητο μς κι πάμε στο συνεργείο. Ο γκρζιέρης μς λεει ότι πρέπει οπωσδήποτε ν βγάλει την μηχνή γι ν την κοιτάξει. Αφού κλάψουμε τ λεφτά μς πρτηρούμε ότι γι ν βγάλει την πλιά χρησιμοποιεί έν σύστημ με λυσίδες όπως στο σχήμ, το οποίο κρτάει τη μηχνή βάρους ΒΝ. Ποι είνι η τάση που σκείτι στις τρεις λυσίδες; 3 6 ο 1 Τ 3 Τ Τ 6 ο Τ Τ 1 Τ 1 Β Σχήμ 4. Μηχνή υτοκινήτου που κρέμετι πό λυσίδες, διάγρμμ ελεύθερου σώμτος στο σημείο όπου ενώνοντι οι τρεις λυσίδες κι διάγρμμ ελεύθερου σώμτος στο σημείο όπου ενώνετι η λυσίδ με το σώμ. Λύση: Η μηχνή είνι κίνητη οπότε: Από το διάγρμμ ελεύθερου σώμτος στο σημείο όπου η μηχνή ενώνετι με την λυσίδ είνι κι άρ T 1 B N Το σημείο όπου οι τρεις λυσίδες ενώνοντι είνι κίνητο οπότε: Από το διάγρμμ ελεύθερου σώμτος στο σημείο υτό είνι Σ F. Οπότε είνι κι: 3 Tσυνθ T3 κι κι Tημθ T1 Αλλά η γωνί είνι θ6 ο κι T 1 N οπότε τελικά έχουμε πό την επίλυση του συστήμτος δύο εξισώσεων με δύο γνώστους:
3N 3 T κι N 3 115 1 3 T ) Η μεγλύτερη ροδιά υτοκινήτου που έχει μετρηθεί (σύμφων με τ ρεκόρ Gine) είνι υτή που άφησε μι Jagar το 196 στην Αγγλί. Η ροδιά είχε μήκος d9m! Αν υποθέσουμε ότι ο συντελεστής τριβής ολισθήσεως του υτοκινήτου στο συγκεκριμένο δρόμο είνι μ κ.6, ποι ήτν η ελάχιστη τχύτητ που είχε το υτοκίνητο; Λύση: Από την κινημτική ξέρουμε ότι: t t, ότν το είνι στθερό. Επίσης ξέρουμε ότι: t t όποτε είνι ( ) ( ) Αλλά γνωρίζουμε ότι 9m d. Αν υποθέσουμε ότι, δηλδή ότι το υτοκίνητο τελικά στμάτησε τότε: d d Εδώ ν σημειώσουμε ότι το ρνητικό πρόσημο στη ρίζ υπάρχει γιτί το όχημ επιβράδυνε (ρνητική τιμή επιτάχυνσης). Επίσης ξέρουμε πό το δεύτερο νόμο του Νεύτων κι επειδή η μόνη δύνμη στον οριζόντιο άξον ήτν υτή της τριβής ότι: m f - m f κ - m κ Ν μ Επίσης στον κτκόρυφο άξον ισχύει: N B mg N Συνεπώς έχουμε:
μ κmg - -μ κg m κι τελικά προκύπτει ότι η ελάχιστη τχύτητ ήτν: μκgd 1km/h Αυτή ήτν πρεπιπτόντως η ελάχιστη τχύτητ την οποί είχε το όχημ μις κι τελικά το υτοκίνητο βγήκε εκτός δρόμου κι δεν υπήρχν εκεί ροδιές. 3) Επειδή κουρστήκμε ν διβάζουμε φυσική πίρνουμε το βιβλίο κι βάζουμε επάνω σε υτό έν νόμισμ γι ν κάνουμε έν πείρμ. Σηκώνουμε σιγά σιγά το βιβλίο πό την μι του άκρη στρέφοντς το έτσι σε γωνί θ. Μετά πό ρκετές δοκιμές βρίσουμε ότι η γωνί στην οποί το νόμισμ ρχίσει ν ολισθίνει είνι 13 ο. Ποιος είνι ο συντελεστή σττικής τριβής σε υτή την περίπτωση; d h Σχήμ 5. Νόμισμ που ολισθίνει πάνω σε βιβλίο. Λύση: Κάνουμε το διάγρμμ ελεύθερου σώμτος τη στιγμή λίγο πριν το νόμισμ ρχίσει ν ολισθίνει. N Βημθ f Β θ Βσυνθ Σχήμ 6. Διάγρμμ ελεύθερου σώμτος του νομίσμτος πάνω στο βιβλίο. Γενικά γι τις δυνάμεις ισχύει: Σ F Ν Β f. Γι τις συνιστώσες στον άξον λίγο πριν την κίνηση ισχύει: f Βημθ κι άρ f Βημθ. Γι τις συνιστώσες στον άξον λίγο πριν την κίνηση ισχύει: Ν Βσυνθ κι άρ Ν Βσυνθ. Ότν το νόμισμ ολισθίνει έχουμε την μέγιστη σττική τριβή: μ Ν. Αντικθιστώντς το στην πρώτη σχέση την οποί κι διιρούμε με τη δεύτερη, έχουμε: f μ Ν Βημθ ημθ εφθ Ν Ν Βσυνθ συνθ
Συνεπώς προκύπτει ότι: μ Ν εφθ μ εφ1 3 ο. 3 Ν Σημείωση: γι την μέτρηση του συντελεστή σττικής τριβής στην πράξη δεν χρειζόμστε μοιρογνωμόνιο φού μπορούμε ν χρησιμοποιήσουμε έν χάρκ κι ν μετρήσουμε το λόγο h/d όπου η είνι το ύψος της μις άκρης του βιβλίου κι d είνι το μήκος πό τη άλλη άκρη του βιβλίου ως την προβολή της νσηκωμένης άκρης. Μετράμε έτσι στην ουσί την εφπτομένη της γωνίς. 4) Ένς άνθρωπος σέρνει έν φορτωμένο έλκηθρο με μάζ m ελκ 1 kgr κτά μήκος μις οριζόντις επιφάνεις με στθερή τχύτητ Um/ec. Αν ο συντελεστής τριβής ολισθήσεως είνι μ κ 1 κι η γωνί με την οποί τρβάει το έλκηθρο (η γωνί του σκοινιού με τον οριζόντιο άξον) είνι θ45 ο, ) ποι είνι η τάση που σκείτι στο σκοινί κι β) ποι η κάθετη δύνμη;