ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 3 η Τα Συστήματα στις Τηλεπικοινωνίες Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Παν/μίου Πειραιώς Δομή της παρουσίασης Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Τα Συστήματα στις Τηλεπικοινωνίες Ορισμοί Κατηγορίες Συστημάτων ΓΧΑ Συστήματα Κρουστική Απόκριση Συστημάτων Συνέλιξη και Ιδιότητες Συνέλιξης Συνελικτικό Ολοκλήρωμα και Άθροισμα Διασύνδεση Συστημάτων Αυτοσυσχέτιση Ετεροσυσχέτιση 1
3 Ορισμοί Συστήματα 4 Στις τηλεπικοινωνίες ως σύστημα ορίζεται ένας νόμος, μια συναρτησιακή σχέση, μέσω της οποίας συνδέεται η έξοδος (απόκριση) y(t) με την είσοδο x(t) (διέγερση) του συστήματος. y t x t Προσοχή : Η έξοδος πρέπει να είναι μοναδικά ορισμένη για κάθε επιτρεπτό σήμα εισόδου.
Συστήματα 5 Ένα σύστημα χαρακτηρίζεται από: Το μετασχηματισμό Γ, δηλαδή τη λειτουργία που εφαρμόζει στο σήμα εισόδου Το σύνολο Χ, των επιτρεπτών σημάτων εισόδου. Πολλές φορές ο χώρος Χ, καθορίζεται από το μετασχηματισμό του συστήματος και δεν δίνεται ρητά, π.χ. ο διαφοριστής d yt xt xt dt Ανάλυση Σύνθεση Συστημάτων 6 Ανάλυση Συστήματος : αφορά στον προσδιορισμό της απόκρισης για δεδομένη διέγερση. Δεδομένα το σύστημα και το σήμα εισόδου, ζητούμενο το σήμα εξόδου. Σύνθεση Συστήματος : αφορά στον προσδιορισμό του συστήματος από την απόκριση που παρουσιάζει σε δεδομένη διέγερση. Δεδομένα το σήμα εισόδου και το σήμα εξόδου, ζητούμενα τα «συστατικά» του συστήματος. 3
Κατηγορίες Συστημάτων 7 Συστήματα Συνεχούς (Διακριτού) Χρόνου : τα συστήματα που δέχονται ως είσοδο και παράγουν ως έξοδο, σήματα συνεχούς (διακριτού) χρόνου. Συμβολισμός Συστημάτων Διακριτού Χρόνου : yn xn Παράδειγμα ο διαφοριστής διακριτού χρόνου 1 yn xn xn Συστήματα Με ή Χωρίς Μνήμη 8 Συστήματα Χωρίς Μνήμη : όταν η έξοδος σε κάθε χρονική στιγμή t εξαρτάται μόνο από την τιμή της εισόδου στην ίδια χρονική στιγμή, π.χ. y t ax t bx t Συστήματα Με Μνήμη (ή Δυναμικά Συστήματα) : όταν η έξοδος εξαρτάται και από τις προηγούμενες τιμές της εισόδου, π.χ. xn 1 yn yn k k axk 4
Γραμμικά και Μη Γραμμικά Συστήματα 9 Γραμμικό Σύστημα : αν ικανοποιεί την ιδιότητα της υπέρθεσης, δηλαδή η απόκριση σε ένα γραμμικό συνδυασμό εισόδων είναι ο γραμμικός συνδυασμός των αποκρίσεων στις αντίστοιχες εισόδους ay t by t ax t bx t ax t bx t 1 1 1 Μη γραμμικό σύστημα : όποιο δεν ικανοποιεί την παραπάνω ιδιότητα Γραμμικά και Μη Γραμμικά Συστήματα 10 Ο διαφοριστής είναι γραμμικό σύστημα d x1 t x t ax1 t x t y1 t y t dt Αντίθετα το σύστημα και το ' ' y t x t x t 4x t x t x t y t x t x t x t x t x t 5
Χρονικά Αμετάβλητα Συστήματα 11 Χρονικά Αμετάβλητο : αν η σχέση εισόδου εξόδου δεν αλλάζει με το χρόνο, δηλαδή αν και μόνο αν για κάθε x(t) και για όλες τις τιμές t o, η απόκρισή του στο σήμα x(t- t o ) είναι η y(t- t o ) y t to x t t o Δηλαδή μια καθυστερημένη έκδοση ενός σήματος εισόδου συνεπάγεται μια καθυστερημένη έκδοση του σήματος εξόδου. Χρονικά Αμετάβλητα Συστήματα 1 6
Χρονικά Μεταβαλλόμενα Συστήματα 13 Παραδείγματα 14 Ο διαφοριστής Χρονικά Αμετάβλητο Σύστημα d x t t o x t t t t y t t dt o Ο διαμορφωτής Χρονικά Μεταβαλλόμενο cos y t x t f t cos xt t ft yt t o o o o o 7
Αιτιοκρατικά και Μη Συστήματα 15 Αιτιοκρατικό Σύστημα : αν η έξοδός του σε μια χρονική στιγμή t o εξαρτάται από την είσοδο σε χρονικές στιγμές πριν την t o, δηλ. : y to x t t t Μη Αιτιοκρατικό Σύστημα : αν η έξοδός του τη χρονική στιγμή t o εξαρτάται από τιμές της εισόδου μετά την χρονική στιγμή t o. Απαντώνται σε περιπτώσεις επεξεργασίας των σημάτων σε μη πραγματικό χρόνο. o Ευσταθή & Ασταθή Συστήματα 16 Ευσταθές Σύστημα : όταν για κάθε απολύτως φραγμένη είσοδο, παρουσιάζει επίσης απολύτως φραγμένη έξοδο, δηλαδή όταν x t k x ισχύει y t k y Ασταθές Σύστημα : αν η έξοδος δεν είναι φραγμένη 8
Κρουστική Απόκριση Συστημάτων 17 Η απόκριση ενός συστήματος όταν στην είσοδο θέσουμε την μοναδιαία κρουστική συνάρτηση τη χρονική στιγμή t=0. Συνεχούς Χρόνου h t y t x t t Διακριτού Χρόνου hn n Παράδειγμα η κρουστική απόκριση του ολοκληρωτή t ht d ut Κρουστική Απόκριση ΓΧΑ Συστημάτων 18 Αν εφαρμόσουμε τη δ(t) τη χρονική στιγμή τ, δηλ. δ(t-τ) ht, ht t ΠΡΟΣΟΧΗ : Με τη μεταβλητή τ αναφερόμαστε στη χρονική στιγμή που εφαρμόζουμε τη διέγερση στο σύστημα. Με τη μεταβλητή t αναφερόμαστε στη χρονική στιγμή που παρατηρούμε την έξοδο του συστήματος. Άρα ο χρόνος (t-τ) αποτελεί τη μνήμη του συστήματος. Γενικά για ένα όχι κατ ανάγκη Αμετάβλητο σύστημα ο συμβολισμός h(t,τ) σημαίνει εξάρτηση και από τις δύο μεταβλητές. 9
Κρουστική Απόκριση ΓΧΑ Συστήματος 19 t t 1 1 0 Κρουστική Απόκριση Χρονικά Μεταβαλλόμενου Συστήματος 10
Συνέλιξη 1 Η Συνέλιξη (convolution) δύο σημάτων ορίζεται : y t x t x t x x t d Ιδιότητες της Συνέλιξης x t x t x t x t 1 1 1 1 x t x t x t x t x t x t 1 3 1 3 x t x t x t x t x t x t x t 1 3 1 1 3 Αντιμεταθετική Προσεταιριστική Επιμεριστική Γραφική Απεικόνιση Συνέλιξης y t x x t d 1 1 1 11
Παράδειγμα Συνέλιξης 3 Υπολογίστε την αυτοσυνέλιξη του τετραγωνικού παλμού t t Παράδειγμα Συνέλιξης 4 1
Παράδειγμα Συνέλιξης 5 t1/ 1/ t1/ t t d t1 1/ t1/ 1/ 1/ t 1/ t t d 1t 1t 0 0 t 1 t1 1t 0 t 1 t 0 t 1 0 αλλού 1 t t 1 0 αλλού Συνέλιξη με τη Μοναδιαία Κρουστική 6 xt t x t d t t xt x t d 13
7 Συνελικτικό Ολοκλήρωμα για ΓΧΑ Συστήματα y t x t x td x t d xt x h t d ht Κάθε χρονική στιγμή η έξοδος είναι η σωρευτική αλληλεπίδραση της εισόδου με την κρουστική απόκριση Συνελικτικό Ολοκλήρωμα 8 Θεωρούμε σύστημα με κρουστική απόκριση Και είσοδο το σήμα 14
Συνελικτικό Ολοκλήρωμα 9 Για Δτ 0 κάθε παλμός προσεγγίζει τη μοναδιαία κρουστική με βάρος ίσο με το εμβαδόν του παλμού. Για να υπολογίσω την έξοδο του συστήματος υπολογίζω την απόκριση σε επιμέρους κρουστικές και στη συνέχεια υπερθέτω. Η χρονική στιγμή εφαρμογής του παλμού συμβολίζεται με τ i ενώ η χρονική στιγμή παρατήρησης με t i. Για τον πρώτο παλμό ισχύει x 1 A 1 Εμβαδόν Συνελικτικό Ολοκλήρωμα 30 Απόκριση σε ένα παλμό Απόκριση σε δύο παλμούς 15
Συνελικτικό Ολοκλήρωμα 31 1 1... N N x ht x ht... x ht y t Ah t A h t A h t N i1 1 1 ht x i i y t x h t d x t h t Αν Άρα η έξοδος του συστήματος είναι η υπέρθεση των ανεξάρτητων κρουστικών αποκρίσεων (που κάθε μια εφαρμόζεται τη στιγμή τ) ως συνάρτηση του t. 0 N N Παράδειγμα 3 Θεωρούμε ΓΧΑ σύστημα με κρουστική απόκριση h(t) και σήμα εισόδου x t Ae j o f t j fo t y t h Ae d j j fot j fo Ae e h e d 16
Παράδειγμα 33 jh f o j f o H fo H fo e h e d o Άρα η απόκριση του συστήματος είναι ένα άλλο μιγαδικό εκθετικό της ίδιας συχνότητας, με πλάτος και φάση μετατοπισμένες. Τα μιγαδικά εκθετικά καλούνται ΙΔΙΟΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ των ΓΧΑ Συστημάτων j ft H f o o y t A H f e Συνελικτικό Άθροισμα για ΓΧΑ Συστήματα 34 Οποιοδήποτε σήμα διακριτού χρόνου μπορεί να γραφεί : x n x k n k k Για Χρονικά Αμετάβλητα Συστήματα ισχύει hn k n k Άρα yn xn xk nk k k x k nk x k h nk k 17
35 Διαδικασία Υπολογισμού της Απόκρισης ενός ΓΧΑ Διακριτού Χρόνου 1. Αναδίπλωση του h[k] ως προς το k=0 για να προκύψει το h[ k]. Ολίσθηση του h[ k] κατά n o προς τα δεξιά (αριστερά) αν το n o είναι θετικός (αρνητικός) για να προκύψει το h[n o k] 3. Πολλαπλασιασμός του x[k] με το h[n o k] 4. Άθροιση όλων των τιμών του γινομένου για όλες τις τιμές του k, ώστε να προκύψει η τιμή της εξόδου τη χρονική στιγμή n=n o 5. Επανάληψη των ως 4 για όλες τις πιθανές τιμές της ολίσθησης ώστε να προκύψει η απόκριση του συστήματος για όλες τις χρονικές στιγμές. Σειριακή Διασύνδεση Συστημάτων 36 y t x t t 1 x1 1 1 x 1 t h1 t h t x t h t y t x t h t h t 18
Παράλληλη Διασύνδεση Συστημάτων 37 1 y t y t y t x t x t 1 1 1 y t y t y t x t h t h t x t h t x t h t 1 Αυτοσυσχέτιση 38 Παρέχει ένα μέτρο της ομοιότητας ή της συμφωνίας (συνάφειας) ενός σήματος και ενός αντιγράφου του, καθυστερημένου κατά μια μεταβλητή ποσότητα. Ορίζεται ως συνάρτηση της μεταβλητής καθυστέρησης, R x (τ). Η καθυστέρηση παίζει το ρόλο μιας παραμέτρου αναζήτησης ή σάρωσης. Διακρίνουμε Αυτοσυσχέτιση για Σήματα Συνεχούς Χρόνου και Σήματα Διακριτού Χρόνου. Επιπλέον σε κάθε κατηγορία διακρίνουμε Αυτοσυσχέτιση Σημάτων Ενέργειας και Περιοδικών Σημάτων. 19
Αυτοσυσχέτιση Σημάτων Συνεχούς Χρόνου 39 Αυτοσυχέτιση Σημάτων Ενέργειας x * R x t x t dt Είναι γενικά μιγαδική αν x(t) είναι μιγαδικό Μπορούμε επίσης να γράψουμε x * R x t x t dt Σχέση Αυτοσυσχέτισης & Αυτοσυνέλιξης 40 Η αυτοσυνέλιξη γράφεται yt xt xt x xt d Συνάρτηση της μεταβλητής t. Η συνέλιξη γενικά χρησιμοποιείται για να εκφράσουμε την έξοδο ενός συστήματος με βάση το σήμα εισόδου που εφαρμόστηκε τη χρονική στιγμή τ, και της κρουστικής απόκρισης. Στην αυτοσυσχέτιση μας ενδιαφέρει η συνάφεια δύο σημάτων που το ένα είναι χρονικά μετατοπισμένο αντίγραφο του άλλου κατά τ, ολοκληρώνοντας σε όλη τη διάρκεια, t, του σήματος. 0
Γραφική Αναπαράσταση Αυτοσυσχέτισης 41 Ιδιότητες Αυτοσυσχέτισης 4 Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης παρουσιάζει συζυγή συμμετρία, δηλαδή R x Re * Rx Rx Re Rx R Im R Im x x 1
Ιδιότητες Αυτοσυσχέτισης 43 Η τιμή της αυτοσυσχέτισης στο 0 ισούται με την ενέργεια του σήματος Η μέγιστη τιμή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης προκύπτει για τ=0 R 0 Rx x t dt x R x 0 44 Συνάρτηση Αυτοσυσχέτισης Περιοδικών Σημάτων Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ενός περιοδικού σήματος υπολογίζεται στη διάρκεια μιας περιόδου, δηλαδή 1 o * o Η τιμή στο 0 είναι η μέση ισχύς του σήματος T T o / Rx xtx t dt T / 0 T / o 1 R x t dt x To T o / Ισχύει p 1,,... R R nt n x x o p
Αυτοσυσχέτιση Σημάτων Διακριτού Χρόνου 45 Για σήματα ενέργειας ισχύει x * * r l x n x n l x n l x n n Για αιτιοκρατικά σήματα μήκους Ν x Nl 1 n * r l x n x n l n0 Αν το σήμα x[n] είναι περιοδικό με περίοδο Ν 1 1 N * rx l x n x n l N n0 Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης είναι ένα περιοδικό σήμα διακριτού χρόνου με περίοδο Ν. Ετεροσυσχέτιση Σημάτων Συνεχούς Χρόνου 46 Δίνει το μέτρο της συνάφειας (ομοιότητας) ενός σήματος με ένα χρονικά μετατοπισμένο αντίγραφο ενός άλλου σήματος. Ετεροσυσχέτιση Σημάτων Ενέργειας xy yx * R x t y t dt * R y t x t dt 3
Ιδιότητες Ετεροσυσχέτισης 47 Αντίθετα με τη συνέλιξη, στην ετεροσυσχέτιση δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα R xy R yx Ισχύει R * yx R xy Δύο σήματα ενέργειας θεωρούνται ορθογώνια σε όλο το χρονικό διάστημα, αν R 0 x t y t dt 0 xy Ετεροσυσχέτιση Περιοδικών Σημάτων 48 Η ετεροσυσχέτιση δύο περιοδικών σημάτων με περίοδο Τ ο, είναι επίσης περιοδική με την ίδια περίοδο και ορίζεται ως εξής T 1 o / * Rxy x t y t dt T o T o / 4
49 Ετεροσυσχέτιση Σημάτων Διακριτού Χρόνου Ετεροσυσχέτιση Σημάτων Ενέργειας xy * * r l x n y n l x n l y n n n Για αιτιοκρατικά σήματα μήκους Ν ισχύει xy Nl 1 * r l x n y n l n0 Αν τα σήματα x[n], y[n] είναι περιοδικά με περίοδο Ν 1 1 N * rxy l x n y n l N n0 Ανισότητα Cauchy Schwarz 50 b b b b 1 και 1 g t dt g t dt g t dt g t dt a a a a b b b g t g t dt g t dt g t dt 1 1 a a a b b 1/ b 1/ g t g t dt g t dt g t dt 1 1 a a a 5
Όριο Αυτοσυσχέτισης 51 Χρησιμοποιώντας την ανισότητα Cauchy Schwarz x R x t x t dt 0 x 0 1/ 1/ x t dt x t dt R xt dt 5 Ευχαριστώ για την προσοχή σας Αθανάσιος Κανάτας Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Τηλ: +30 10 414759 e mail: kanatas@unipi.gr 6