ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 215-16 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ιάρκεια : 3 ώρες - Ηµεροµηνία : 3/5/216 Θέµα 1ο - Περιοδικά Σήµατα - 2 µονάδες Εστω το περιοδικό σήµα (αʹ) (2.5 µ.) Υπολογίστε την περίοδό του, T. x(t) = 4 cos(2π4t π/3) + 2 cos(2π9t + π/8) + cos(2π12t) (ϐʹ) (5 µ.) Σχεδιάστε το ϕάσµα πλάτους και το ϕάσµα ϕάσης του σήµατος. (γʹ) (1 µ.) Αν το x(t) δίνεται ως είσοδος σε ένα ΓΧΑ σύστηµα µε κρουστική απόκριση να ϐρείτε την έξοδο y(t). h(t) = 2sinc(2t) (δʹ) (2.5 µ.) Ποιά είναι η ελάχιστη συχνότητα δειγµατοληψίας s η οποία απαιτείται για να µπορεί να ανακατασκευαστεί πλήρως και ακριβώς το σήµα x(t) από τα δείγµατά του ; (αʹ) Η ϑεµελιώδης συχνότητα δίνεται ως = Μ.Κ. { 1, 2, 3 } = Μ.Κ. {4, 9, 12} = 1 Hz (1) και άρα T = 1 = 1 1 s =.1 s (2) (ϐʹ) Είναι x(t) = 4 cos(2π4t π/3) + 2 cos(2π9t + π/8) + cos(2π12t) = 2e jπ/3 e j2π4t + 2e jπ/3 e j2π4t + e jπ/8 e j2π9t + e jπ/8 e j2π9t + 1 2 ej2π12t + 1 2 e j2π12t (3) οπότε το ϕάσµα πλάτους και ϕάσης ϕαίνονται στο Σχήµα 1. (γʹ) Είναι ( t ) h(t) = 2sinc(2t) H() = rect (4) 2 που είναι ένα ιδανικό χαµηλοπερατό ϕίλτρο µε συχνότητα αποκοπής c = 1 Hz. Οπότε οι συχνότητες µεγαλύτερες από 1 Hz της εισόδου ϑα χαθούν, και ϑα παραµείνουν ανεπηρέαστες οι συχνότητες µικρότερες από 1 Hz. Οπότε y(t) = 4 cos(2π4t π 3 ) + 2 cos(2π9t + π 8 ) (5)
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 215-16/Τελική Εξέταση 2 2 2 Φάσμα πλάτους 1 1 1/2 1/2-12 -9-4 4 9 12 π/3 Φάσμα φάσης -π/8-9 -4 π/8 4 9 -π/3 Σχήµα 1: Φάσµατα πλάτους και ϕάσης Θέµατος 1. (δʹ) Η µέγιστη συχνότητα που υπάρχει στο σήµα είναι η x(t) = 12 Hz, άρα σύµφωνα µε το ϑεώρηµα του Shannon, η ελάχιστη συχνότητα δειγµατοληψίας είναι η s = 2 12 = 24 Hz. Θέµα 2ο - Ανάλυση Fourier και Συστήµατα - 15 µονάδες Εστω το ευσταθές σύστηµα που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση (αʹ) (8 µ.) είξτε ότι d dt y(t) + y(t) = d x(t) x(t) dt ( H() = 1, και θ h () = tan 1 4π ) 4π 2 2 1 Τέτοια συστήµατα ονοµάζονται - όπως ξέρετε από τη ϑεωρία σας - all-pass συστήµατα. (ϐʹ) (7 µ.) είξτε ότι η κρουστική απόκριση του συστήµατος δίνεται ως h(t) = δ(t) 2e t ɛ(t) (αʹ) Είναι d dt y(t) + y(t) = d x(t) x(t) j2πy () + Y () = j2πx() X() dt (6) Y ()(j2π + 1) = X()(j2π 1) (7) Y () X() = H() = j2π 1 j2π + 1 (8) Το µέτρο της απόκρισης σε συχνότητα είναι H() = j2π 1 j2π + 1 = 4π2 2 + 1 = 1, (9) 4π2 2 + 1
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 215-16/Τελική Εξέταση 3 ενώ για τη ϕάση πρέπει να γράψουµε το H() ως οπότε (ϐʹ) Είναι H() = j2π 1 j2π + 1 (1 j2π)(1 j2π) = 1 + j2π 2 = 4π2 2 1 1 + 4π 2 2 + j 4π 1 + 4π 2 2 1 I{H()} θ h () = tan R{H()} = 4π tan 1 4π 2 2 1 1 H() = j2π 1 + j2π 1 j2π + 1 h(t) = d dt e t ɛ(t) e t ɛ(t) (11) (1) = e t ɛ(t) + e t δ(t) e t ɛ(t) (12) = δ(t) 2e t ɛ(t) (13) Θέµα 3ο - Συσχέτιση - 25 µονάδες Υπολογίστε την ετεροσυσχέτιση φ xy (τ) των σηµάτων ενέργειας Σας δίνεται ότι Είναι Οµως t2 x(t) = e 2t cos(t)ɛ(t) y(t) = e 2t ɛ(t) e at cos(t)dt = eat ( ) ] t 2 a cos(t) + sin(t) t 1 a 2 + 1 t 1 φ xy (τ) = Άρα έχουµε τις περιπτώσεις : τ = τ : x(t)y(t + τ)dt = e 2t cos(t)ɛ(t)e 2(t+τ) ɛ(t + τ)dt (14) = e 2τ e 4t cos(t)ɛ(t)ɛ(t + τ)dt (15) { 1, t και t τ ɛ(t)ɛ(t + τ) =, αλλού (16) φ xy (τ) = e 2τ e 4t cos(t)ɛ(t)ɛ(t + τ)dt (17) = e 2τ e 4t cos(t)ɛ(t)ɛ(t + τ)dt (18) = 1 ) (e 17 e 2τ 4t + ( 4 cos(t) + sin(t)) (19) = 4 17 e 2τ (2)
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 215-16/Τελική Εξέταση 4 τ > = τ < : φ xy (τ) = e 2τ e 4t cos(t)ɛ(t)ɛ(t + τ)dt (21) = e 2τ e 4t cos(t)ɛ(t)ɛ(t + τ)dt (22) τ = 1 ) (e 17 e 2τ 4t + ( 4 cos(t) + sin(t)) τ (23) = 4 17 e2τ cos(τ) + 1 17 e2τ sin(τ) (24) Άρα συνολικά φ xy (τ) = 4 17 e 2τ, τ 4 17 e2τ cos(τ) + 1 17 e2τ sin(τ), τ < (25) Θέµα 4ο - Μετασχ. Fourier - 3 µονάδες Εστω η διάταξη του Σχήµατος 2, µε το σήµα εισόδου x(t) να έχει µετασχ. Fourier όπως στο Σχήµα 3. w(t) z(t) v(t) x(t) x h 1 (t) x h 2 (t) y(t) ~ cos(2π c t) ~ cos(2π c t) Σχήµα 2: ιάταξη Θέµατος 4. Τα συστήµατα h i (t) δίνονται ως : h 1 (t) = 4 c sinc(2 c t) h 2 (t) = 8Bsinc(2Bt) και η συχνότητα c είναι c B. 1 X() -B B (α ) (5 µ.) Σχεδιάστε το σήµα W () που ϑα µπει ως είσοδος στο σύστηµα h 1 (t) συναρτήσει του X(). Σχήµα 3: Σήµα X() Θέµατος 4. (ϐ ) (5 µ.) Υπολογίστε και σχεδιάστε το µετασχ. Fourier του συστήµατος h 1 (t). (γ ) (5 µ.) Σχεδιάστε το σήµα Z() που προκύπτει ως έξοδος από το σύστηµα h 1 (t). (δ ) (5 µ.) Σχεδιάστε το σήµα V () που ϑα µπει ως είσοδος στο σύστηµα h 2 (t).
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 215-16/Τελική Εξέταση 5 (ε ) (5 µ.) Υπολογίστε και σχεδιάστε το µετασχ. Fourier, H 2 (),του δεύτερου συστήµατος, h 2 (t). (στ ) (5 µ.) Σχεδιάστε την τελική έξοδο της όλης διάταξης στο χώρο της συχνότητας, Y (), και γράψτε τη µαθηµατική µορφή του y(t) συναρτήσει του x(t). (α ) Είναι ( 1 w(t) = x(t) cos(2π c t) W () = X() 2 δ( c) + 1 ) 2 δ( + c) (26) = 1 2 X( c) + 1 2 X( + c) (27) Το ϕάσµα ϕαίνεται στο Σχήµα 4. W() 1/2 -c-b -c -c+b c-b c c+b Σχήµα 4: Φάσµα W (). (ϐ ) Είναι το οποίο ϕαίνεται στο Σχήµα 5. ( ) h 1 (t) = 4 c sinc(2 c t) H 1 () = 2rect 2 c (28) H 1 () 2 - c c Σχήµα 5: Φάσµα H 1 (). (γ ) Είναι Z() = W ()H 1 () = 1 2 X( c)h 1 () + 1 2 X( + c)h 1 () (29) που δεν είναι τίποτε άλλο από ένα κοµµάτι του αρχικού ϕάσµατος W () όπως στο Σχήµα 6, αφού το H 1 () είναι ένα ιδανικό χαµηλοπερατό ϕίλτρο.
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 215-16/Τελική Εξέταση 6 Z() 1 -c-b -c -c+b c-b c c+b Σχήµα 6: Φάσµα Z(). (δ ) Το V () ϑα είναι το ϕάσµα του Z() µετατοπισµένο στις συχνότητες ± c, δηλ. όπως στο Σχήµα 7. v(t) = z() cos(2π c t) V () = 1 2 Z( c) + 1 2 Z( + c) (3) V() 1/2 -c -B B c c+b Σχήµα 7: Φάσµα V (). (ε ) Είναι το οποίο ϕαίνεται στο Σχήµα 8. ( ) h 2 (t) = 8Bsinc(2Bt) H 2 () = 4rect 2B H 2 () 4 (31) -B B Σχήµα 8: Φάσµα H 2 ().
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 215-16/Τελική Εξέταση 7 (στ ) Η έξοδος Y () ϑα είναι της µορφής Y () = V ()H 2 () = 1 2 Z( c)h 2 () + 1 2 Z( + c)h 2 () (32) όπως στο Σχήµα 9, αφού το H 2 () είναι ένα ιδανικό χαµηλοπερατό ϕίλτρο. δηλ. είναι ίδιο µε το αρχικό σήµα Y() 2 -B B Σχήµα 9: Φάσµα Y (). εισόδου x(t), πολλαπλασιασµένο επί 2, δηλ. y(t) = 2x(t) (33) Θέµα 5ο - Συστήµατα στο χώρο του Laplace - 25 µονάδες Ενα αιτιατό σύστηµα έχει ϱητή συνάρτηση µεταφοράς H(s). Το σύστηµα ικανοποιεί τις ακόλουθες συνθήκες : Το σήµα d 2 dt h(t) + 3 d h(t) + 2h(t) 2 dt ισούται µε µια κατανοµή έλτα αγνώστου πλάτους, aδ(t), και µια µοναδιαία ϐηµατική συνάρτηση ɛ(t). Ισχύει H(1) = 1 2 Βρείτε τη συνάρτηση µεταφοράς H(s) και την κρουστική απόκριση h(t) του συστήµατος. Είναι Από δεδοµένα d 2 dt h(t) + 3 d 2 dt h(t) + 2h(t) = aδ(t) + ɛ(t) s2 H(s) + 3sH(s) + 2H(s) = a + 1 s (s 2 + 3s + 2)H(s) = as + 1 s as + 1 H(s) = s(s 2 + 3s + 2) as + 1 = s(s + 1)(s + 2) (34) (35) (36) (37) H(1) = 1 2 (38) a + 1 = 1 6 2 (39) a = 2 (4)
Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 215-16/Τελική Εξέταση 8 Οπότε τελικά Αναπτύσσοντάς το σε µερικά κλάσµατα, έχουµε H(s) = 2s + 1 s(s + 1)(s + 2) (41) µε H(s) = A s + B s + 1 + C s + 2 (42) 2s + 1 A = = 1 (43) (s + 1)(s + 2) s= 2 B = 2s + 1 = 1 (44) s(s + 2) s= 1 C = 2s + 1 = 3 (45) s(s + 1) s= 2 2 οπότε H(s) = 1 1 2 s + 1 s + 1 3 2 1 s + 2 και αφού το σύστηµα είναι αιτιατό, το πεδίο σύγκλισής του ϑα είναι δεξιόπλευρο και συγκεκριµένα R{s} >, οπότε η κρουστική απόκριση ϑα είναι (µε χρήση γνωστών Ϲευγών) (46) h(t) = 1 2 ɛ(t) + e t ɛ(t) 3 2 e 2t ɛ(t) (47)